2.1二重積分的計算(1)ppt課件

1、定理定理1：若函數：若函數f(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D上連續(xù)，上連續(xù)，區(qū)域區(qū)域D可表示為：可表示為：, bxa ),()(21xyx Ddyxf),( baxxdxdyyxf),( )()(21那那么么.),( )()(21 baxxdyyxfdx,dyc ).()(21yxy dcyydxyxfdy)()(21),( dcyydydxyxf)()(21),(其中函數其中函數 在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù).)()(21xx 、c,dabzyx證證 當當 f (x,y) 0 時，時， Ddyxf),( 表示以表示以 z = f (x,y) 為頂的曲頂柱體體積為頂的曲頂柱體體積)(0 xA)(1x

2、y),( yxfz)(2xy0 x在在x處的截面面積為：處的截面面積為：bxa )()(21),()(xxdyyxfxA Ddyxf),( badxxA)(.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf例例1 求積分求積分 Dyxde)(其中其中D為為10 ; 10 yx解解 Dyxde)( 10)(10dyedxyx 1010)(dxeyx 10)1(dxeexx10)1(xxee 1212 ee)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 1.外層外層x的積分限：的積分限： D在在x 軸上的投影區(qū)間軸上的投影區(qū)間2.內層內層y的積分限：的積分限： D下邊界的下邊

3、界的y值到上邊界值到上邊界的的y值。值。)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D1.外層外層y的積分限：的積分限： D在在y 軸上的投影區(qū)間軸上的投影區(qū)間2.內層內層x的積分限：的積分限： D左邊界的左邊界的x值到右邊界值到右邊界的的x值。值。x= y2所圍平面閉區(qū)域所圍平面閉區(qū)域。 Ddxdyyx)(2例例2 求求其中其中D是由拋物線是由拋物線y=x2和和解解2xy 2yx 2xy 2yx Ddxdyyx)(2 dyyxdx)( 2 10 xx2 10222)21(dxyyxxxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 Dxdxdy例例3 求求其中其中D是由是由

4、y=x2和和x= y2所圍區(qū)域。所圍區(qū)域。 解解 Dxdxdy 2212yyxdxdy 2142)2(21dyyy215351)2(3121 yy練習題練習題1.計算計算 Ddxdyx其中其中D是由是由y=x、y=2x及及x=2圍成的閉區(qū)域圍成的閉區(qū)域2.計算計算 Ddxdyyysin其中其中D是由是由y=x、x=0及及2 y圍成的閉區(qū)域圍成的閉區(qū)域作業(yè)：作業(yè)：P154: T2, T4(1)(2)(3) Dxydxdy其中其中D是由直線是由直線 y=x、y=2x和和 x+y=6所圍區(qū)域。所圍區(qū)域。 例例5: 計算計算xyoy=xx+y=632y=2x解解 6yxxy)3 , 3( 62yxxy

5、)4 , 2( Dxydxdy 21DDxydxdyxydxdy xydydx 20 xx2 xydydx 32 xx613 xyo極坐標極坐標: P(x,y),| OP極軸到極軸到OP與的轉角為與的轉角為，數組數組 為點為點P的極坐標。的極坐標。),( sincosyx222 yxAoDii ii iii iiii2)(21iiii )2(21iiiii 2)(,iiii iiniiDfdxdyyxf ),(lim),(10ii 221,sin ,cosiiiiii 取取iiiiiniiif )sin,cos(lim10iiniiDfdxdyyxf ),(lim),(10iiiniiyxf

6、),(lim10.)sin,cos(),( DDddfdxdyyxf,iiii ,sin ,cosiiiiii 取取若區(qū)域若區(qū)域D: ).()(,21 ADo)(1 )(2 .)sin,cos()()(21 dfd Dddf)sin,cos(1) 外層外層: 始于原點的射線轉動時，恰能覆蓋始于原點的射線轉動時，恰能覆蓋D的轉的轉角范圍。角范圍。(2) 內層內層 :在射線被區(qū)域在射線被區(qū)域D 所截得線段上，從始所截得線段上，從始點的點的 值到終點的值到終點的 值值. 解解 設設dxdyeDyx 22 aded0402).1(82ae y=x (x0)及及x正半軸所圍成正半軸所圍成dxdyeDyx 22例例6 計算計算其中其中D 是由是由x2 + y