低維帶參非線性狄拉克方程

1、低維帶參非線性狄拉克方程本文介紹了如何用由雅可比橢圓函數(shù)法演變而來的F展開法處理非線性狄拉克方程。量子場論如今作為描述微觀現(xiàn)象的基本物理學(xué)理論已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于近代物理的各個分支，并且粒子物理學(xué)的發(fā)展不斷為場論的研究引進(jìn)新的問題，諸如對稱自發(fā)破缺場論、復(fù)合粒子場論、真空理論和非阿貝爾規(guī)范場論等相互聯(lián)系著的新發(fā)展理論。其中通過對Thirring模型的參數(shù)化非線性的研究中得到了一維非線性狄拉克方程。利用F-展開法的一般思想，來處理非線性狄拉克方程，然后查詢所得到的F函數(shù)與雅可比橢圓方程系數(shù)之間的關(guān)系表，最終解出方程的精確解。通過分析得到的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)Thirring模型下的帶參低維非線性狄拉克方程的解

2、具有亮孤子的特點(diǎn)。同時研究表明F-展開法在處理廣義非線性狄拉克方程時依舊具有著突出的簡潔性和實(shí)用性。關(guān)鍵詞：非線性；狄拉克；F-展開法AbstractIn this paper, we will introduce how to use F-expansion which derives from Jacobi elliptic function to deal with low-dimensional nonlinear Dirac equation with parameters. The quantum field theory as a basic physics theory des

3、cribes the microscopic phenomena has been widely applied in various branches of modern physics and the development of particle physics has been introducing many new subjects. Through the research of parametric nonlinear Thirring model, we can get the one dimensional nonlinear Dirac equation.by using

4、 the F-expansion method, to deal with the nonlinear Dirac equation, and by querying the relationship between the F-function and Jacobi elliptic equation coefficient, we will finally get the exact solution of the equation. Through the analysis of the result obtained, we found the solution with parame

5、ter of low dimensional nonlinear Dirac equation under the Thirring model has the characteristics of bright solation. At the same time, studies show that the F- method in the treatment of generalized nonlinear Dirac equation still has outstanding simplicity and practicality.Key word: Nonlinear; Dirac

6、; F-expansion;目錄AbstractII第一章 緒論11.1 量子力學(xué)的起源與發(fā)展11.1.1 克萊因-高登方程11.1.2 狄拉克方程的提出21.2 非線性量子力學(xué)31.2.1 近代非線性量子力學(xué)的概述41.2.2 非線性方程一般解法5第二章 非線性狄拉克方程的F-展開法求解過程12.1 Thirring 模型與F展開法的概述12.1.1 Thirring模型定義12.1.2 F-展開法一般求解過程22.2非線性狄拉克方程形式32.2.1 非線性狄拉克方程求解概述42.2.2 簡化與討論6結(jié) 論8參 考 文 獻(xiàn)99第一章 緒論1.1 量子力學(xué)的起源與發(fā)展20世紀(jì)初期，從普朗克成功

7、的解決黑體輻射中的紫外災(zāi)難1問題引出的微觀粒子能量量子化概念到波爾為解釋原子的光譜線系而提出的原子結(jié)構(gòu)的量子論，雖然使當(dāng)時物理學(xué)中光電效應(yīng)、固體在低溫下的比熱等重大疑難問題的解決。但該理論始終未能表現(xiàn)出電磁場的粒子性，同時該理論也不能兼容光子，更不能描述光子的湮滅和產(chǎn)生。因此，此時所創(chuàng)立的量子理論依舊是不完善的。這些理論上的瑕疵極大的促進(jìn)了當(dāng)時理論物理的蓬勃發(fā)展，而量子力學(xué)就是在解決這些問題中逐步建立起來的，其中量子力學(xué)的最基本理論假設(shè)為以下五條。(1)微觀體系的狀態(tài)由波函數(shù)描述，并且該波函數(shù)可以歸一化。(2)描述體系含時演變的波函數(shù)滿足薛定諤方程的約束。(3)經(jīng)典的力學(xué)量由相應(yīng)的量子線性算符

8、表示。(4)量子力學(xué)中的力學(xué)量算符之間有確定的對易關(guān)系，即量子條件；坐標(biāo)算符與動量算符中的在直角坐標(biāo)系下的分量的對易關(guān)系稱為基本量子條件； (5)全同多粒子體系的中交換任意一對粒子描述體系的波函數(shù)對于具有一定的對稱性：玻色子系統(tǒng)的波函數(shù)是交換對稱的，費(fèi)米子系統(tǒng)的波函數(shù)是交換反對稱的。根據(jù)以上假設(shè)，經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證逐步建立起了近代量子力學(xué)的基本框架，到目前為止量子力學(xué)中的理論預(yù)言尚未被證明是錯誤的。量子力學(xué)的創(chuàng)立與相對論并列為20世紀(jì)最偉大的物理學(xué)成就。 1.1.1 克萊因-高登方程在作為量子力學(xué)的基石的 5個理論假設(shè)中，第四個假設(shè)導(dǎo)出的含時演變的薛定諤方程與狹義相對論的要求明顯不兼

9、容。量子力學(xué)中的哈密頓算符是由經(jīng)典物理體系中非相對論力學(xué)的運(yùn)動方程一階低能近似得到的。這便導(dǎo)致了非相對論性下的薛定諤方程在高能領(lǐng)域中，無法對由粒子的產(chǎn)生與湮滅導(dǎo)致的粒子數(shù)不完全守恒的體系給出正確地描述。為了解決非相對論性矛盾，1926年，克萊因(O.Klein)和高登(W.Gordon)仿照單粒子的薛定諤方程，利用相對性原理得到了第一個相對論性波動方程即Klein-Gordon方程。但K-G方程自身依然具有許多問題。(1)*不是正定的，無法解釋為粒子的位置概率； (2)總能量有負(fù)的本征值，而且沒有下限，這將造成嚴(yán)重的困難，因?yàn)樵诹孔恿W(xué)理論中存在自發(fā)躍遷，因而這個方程的所有定態(tài)解將不斷自發(fā)躍遷

10、到的能級。(3)同時方程是一個對時間的二階方程，解此方程時除了需要起始時刻的外還需要作為初始條件；(4)由K-G方程計算氫原子能級所得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)符合得不好；(5)這一方程除的自由形式之外，無法納入量子力學(xué)的已有體系之中。然而又不能簡單地否定這個方程，因?yàn)?1)這一方程的非相對論極限正是薛定諤方程；(2)由克萊因-高登得出的空間概率密度與非相對論薛定諤方程得出的結(jié)果十分相似.2上述分析表明，克萊因-高登方程既然是符合相對論的要求，上述的問題很可能不是有K-G方程導(dǎo)致的，而是由錯誤的波函數(shù)引起的。1.1.2 狄拉克方程的提出狄拉克認(rèn)真的分析了上述的情況，他試圖通過尋找相對論運(yùn)動方程的另一個形式

11、，該方程為時間的一階方程，同時作為該方程解的波函數(shù)依舊滿足克萊因高登方程。于是狄拉克設(shè)想自由電子的運(yùn)動方程滿足下列形式的相對論方程： (1.1)其中為算符性質(zhì)與泡利算符類似。在狄拉克方程提出不久之后，泡利用這個方程成功解出了氫原子的能級，并且得到的結(jié)果與當(dāng)時的實(shí)驗(yàn)物理得到結(jié)果吻合的非常好。由此便可以證明狄拉克方程至少對于自旋電子系統(tǒng)是適用的。并且方程中的待定常數(shù)在其作用的希爾伯特空間中是與電子的自旋有關(guān)的。1.2 非線性量子力學(xué)狄拉克提出的自由電子的運(yùn)動方程與薛定諤方程一樣同為線性方程。線性量子力學(xué)體系下，微觀粒子是以波包來運(yùn)動得，并且隨著時間變化以高斯波的形式在整個空間逐漸的發(fā)散出去。同時計

12、算表明這種發(fā)散的趨勢無法在外場的約束下終止。這就表明外場勢的狀態(tài)對描述粒子運(yùn)動狀態(tài)的波函數(shù)無關(guān)，對于微觀粒子的一些力學(xué)性質(zhì)無法直接影響。這也就是說在量子力學(xué)體系中不存在一種已知力場可以從根本上阻止粒子的彌散運(yùn)動。隨著時間的演變粒子最終會從一個局域性波包變成一個分布于整個空間的高斯波。對于僅能以波的形式運(yùn)動而無法局域化的微觀粒子與實(shí)際生活中的粒子概念完全無法協(xié)調(diào)，這便成立該理論一個無法克服的理論缺陷。這便導(dǎo)致了微觀粒子的色散性與分布概率表示等特點(diǎn)的出現(xiàn)。上述問題主要是由描述體系能量的哈密頓算符和運(yùn)動狀態(tài)的動量算符與粒子的本身運(yùn)動狀態(tài)無關(guān)和理論自身為線性理論導(dǎo)致的。以兩個觀點(diǎn)與經(jīng)典的物理學(xué)觀念格格

13、不入。一般來說處在不同狀態(tài)的粒子，所具有的能量不會相同，這是因?yàn)榱Ｗ拥哪芰颗c粒子所處的狀態(tài)決定了粒子所具有的能量。這也進(jìn)一步說明描述系統(tǒng)能量的哈密頓算符是與波函數(shù)有密切的關(guān)系的。如果引入了這種相互作用，粒子的特性便得到了改變，粒子隨著時間演變而導(dǎo)致的彌散便可以阻止，從而使粒子能被局域化。另外，通常來說粒子的不同狀態(tài)疊加后不在描述系統(tǒng)的原有狀態(tài)。這也就是說線性疊加原理和線性薛定諤方程應(yīng)該改變，使得理論更加的符合實(shí)際。非線性關(guān)系普遍的存在于各個系統(tǒng)中，特別是在多粒子體系中非線性關(guān)系更是普遍存在。1.2.1 近代非線性量子力學(xué)的概述在提到非線性量子力學(xué)時就不得不提及德布羅意所做的貢獻(xiàn)。在20世紀(jì)20

14、年代德布羅意就在其著作中提出把一個體系的波函數(shù)認(rèn)為是物理空間中真實(shí)存的場。他通過把設(shè)想成是描述場與粒子之間一種本質(zhì)的耦合。并由此來解釋電子的衍射和干涉現(xiàn)象。之后他在J.de Physique 上發(fā)表的“波動力學(xué)與輻射的原子結(jié)構(gòu)”一文中提到雙重解理論。他認(rèn)為量子力學(xué)方程允許存在一類具有統(tǒng)計意義并且可以歸一化的連續(xù)解，并假設(shè)其僅僅具有統(tǒng)計意義，由此可以排除其描述物理波動。另一類具有奇點(diǎn)與定域的意義的波，粒子的其他具體特性可以同過該波函數(shù)推出。通過擴(kuò)展單色平面波公式廣，同時利用引導(dǎo)公式來規(guī)定粒子波的傳播規(guī)律，由此表示它在波中的運(yùn)動。這也就意味著在波中運(yùn)動的粒子一種力的約束，該力的性質(zhì)可以從“量子勢”

15、中導(dǎo)出，此勢與普朗克常數(shù)平方成正比。若該粒子的波函數(shù)為平面波形式，那么它所具有的量子勢為零。1950年左右，德布羅意完善了“雙重解理論”。但滿足波函數(shù)的具體非線性方程形式并未給出。此外，該理論在描述單粒子的基態(tài)和多粒子體系時遇到了嚴(yán)重的困難。由于缺少實(shí)驗(yàn)的支持，該理論只有少數(shù)人的支持，并且一直未得到發(fā)展。但是由該理論所提及的“量子勢”概念卻引起了很多人的關(guān)注。1952年玻姆提出定域隱函數(shù)理論并且提出把作為量子勢的具體表達(dá)式，其中 R是可歸一化波函數(shù)的振幅。玻姆在粒子的運(yùn)動方程中引入量子勢，并認(rèn)為具有超距作用的量子勢將使量子測量過程受到干擾。1966年玻姆-波布提出的隱函數(shù)理論中，并且他們在薛定

16、諤方程中再次加進(jìn)量子勢和非線性作用，并試圖通過客體、隱函數(shù)和環(huán)境之間的關(guān)系來研究這個非線性項(xiàng)所滿足方程的具體形式，依此來研究量子勢與非線性項(xiàng)所引起的粒子性質(zhì)的改變情況，使得微觀粒子變化可測的。然而，該理論最終未能得到理想的結(jié)果。雖然很多的工作沒能從根本上改變量子力學(xué)存在的問題，但卻給我們指明了解決問題的方向和更加深刻理解理論存在的問題。(1)量子力學(xué)并非是最終的理論，它也需要改進(jìn)和發(fā)展，在以后的一段時間中發(fā)展始終是量子力學(xué)的主題。(2)改進(jìn)量子力學(xué)的目的是為了使微觀粒子局域化，使之成為具有波粒二象性的物理粒子。(3)量子力學(xué)改進(jìn)的方向就是建立非線性量子力學(xué)，把非線性相互作用加進(jìn)薛定諤方程，使粒

17、子性質(zhì)改變。然而，引入非線性相互作用是否就是的非線性作用或量子勢，依舊是值得研究的。這就是說，對于微觀粒子體系，如何正確的引入非線性相互作用形式是值得深入和廣泛研究的。非線性理論主要起源于孤子理論，自從1834年英國工程師羅素第一次觀察到孤波開始，一直到1965年扎布斯基(N.J.Zabusky)和克魯斯卡(M.D.Kruskal)解出了KdV方程的數(shù)值解時發(fā)現(xiàn)孤波相互作用后能保持各自波速不變的粒子性質(zhì)并將其稱之為孤子，自此之后孤子和孤波的概念才廣泛的應(yīng)用于物理學(xué)的各個領(lǐng)域。目前從等離子體、流體力學(xué)、凝聚態(tài)物理、光學(xué)、基本粒子物理乃至天體物理，都發(fā)現(xiàn)了孤子存在的實(shí)驗(yàn)事實(shí)或者物理機(jī)制。1.2.2

18、 非線性方程一般解法實(shí)際上在自然界中，非線性現(xiàn)象才是最普遍的，非線性才是自然界的本質(zhì)，描述一個現(xiàn)象的物理規(guī)律在一定近似下大多可以建立數(shù)學(xué)模型。研究非線性物理中的孤波現(xiàn)象，就必須求解描述物理學(xué)各領(lǐng)域相應(yīng)規(guī)律的非線性方程，包括非線性常微分方程、非線性偏微分方程、非線性差分方程和函數(shù)方程等。如今非線性物理的研究，特別是孤子理論的研究，使得很多非線性方程可以精確求解了。這些方程主要有burgers方程、非線性Klein-Gordon方程、KdV(korteweg-de Vries)方程、Boussinesq 方程、mKdV方程、BDO(Benjamin-davis-ono)方程、KdV-burgers

19、-Kuramoto方程、非線性薛定諤(NLS)方程、非線性狄拉克(NLD)方程、Fisher方程等。3求解非線性方程的方法有分多種。例如試探函數(shù)法4、Darboux/Bäcklund變換法5、tanh函數(shù)法6、Hirota雙線性算子法7、Backlund變換法8、jacobi橢圓函數(shù)法9與F展開法10-12等。近年來隨著橢圓函數(shù)和一些非線性演化方程之間的關(guān)系的研究，展開法特別是-展開法13和F-展開法，引起了廣泛的關(guān)注，并且這些方法在尋找行波解時是行之有效的。行波在在描述眾多的復(fù)雜物理現(xiàn)象中取得了很大的成功，特別是在對自旋場中Thirring模型下的耦合多組分非線性狄拉克方程的求解是

20、行之有效的。并且由于旋量場中的Thirring模型符合有非線性狄拉克方程描述的以為相對論費(fèi)米理論所得到的精確解而且與量子場論中的Sina-Gordon模型很類似，這些特殊的性質(zhì)引起了眾多研究者的興趣。第二章 非線性狄拉克方程的F-展開法求解過程2.1 Thirring 模型與F展開法的概述本文正是在此研究背景下，利用F展開法對Thirring模型中的一維帶參非線性狄拉克方程精確求解。2.1.1 Thirring模型定義Thirring模型是完全可解且協(xié)變的(1+1)維二分量狄拉克旋量的量子場論14。我們把Thirring 拉格朗日量表示成如下形式：我們稱上式為Sommerfield 拉格朗日量

21、對于Thirring 拉格朗日量的更一般的形式為由Charles Sommerfield 與20世紀(jì)60年代得出。在中通常存在著二分量狄拉克旋量、自旋為1的場和一個完全反對稱張量場。在拉格朗日量中我們默認(rèn)給出了經(jīng)典流形的定為。該模型是一個描述狄拉克費(fèi)米子與局部相互作用的特殊的(1+1)維模型。事實(shí)上由于僅存在4個獨(dú)立的場并且考慮泡利原理時，我們得到所有的四次方局部作用是等價的，并且在高能作用下局部相互作用會消失。(其中包含有導(dǎo)數(shù)的相互作用，例如，并未考慮在相互作用形式中，因?yàn)樗鼈兌际欠侵卣?。Thirring模型的關(guān)聯(lián)函數(shù)驗(yàn)證了Osterwalder-Schrader公理15。所以理論上有

22、理由把它作為量子場論。并且無質(zhì)量情況下Thirring模型在已知n個點(diǎn)場的相關(guān)公式已知情況下是精確可解的。2.1.2 F-展開法一般求解過程提出F 展開法最初是為了概括jacobi橢圓函數(shù)展開法， 即用滿足雅可比橢圓方程(輔助常微分方程)的抽象函數(shù)F代替具體的雅可比橢圓函數(shù)，從而大大簡化了計算，想要得到雅可比橢圓函數(shù)展開法的結(jié)果時只需要查詢函數(shù)F 與雅可比橢圓方程系數(shù)之間的關(guān)系表即可。準(zhǔn)確地說, 非線性數(shù)學(xué)物理方程的解一般都可以表示成關(guān)于F 的多項(xiàng)式形式, 其中F 的最高次數(shù)由非線性數(shù)學(xué)物理方程中占支配地位的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和最強(qiáng)的非線性項(xiàng)的齊次平衡來求出, 同時F 滿足輔助常微分方程。已有文獻(xiàn)中

23、輔助常微分方程的部分解已明確給出, 但這并不表明只有這些已有結(jié)果, 若能得到輔助常微分方程新的有意義的解, 根據(jù)F 展開法, 就可求得諸如，非線性波動方程，K-D(Konopelchenko-Dubrovsky)方程等多種非線性數(shù)學(xué)物理方程相對應(yīng)的新的精確解；此外F 展開法中選用的輔助常微分方程還可選取其它著名常微分方程如：tanh方程、log-方程與指數(shù)方程或者也可以選用一些可積耦合的非線性演化方程，已選用的方程有Riccati 方程、Riccati 方程組投影與一般方程等。F展開法用于求解具有以下形式的偏微分方程 (2-1)其中H及其各階偏導(dǎo)數(shù)都是由組成的多項(xiàng)式。F展開法的基本思想是用多項(xiàng)

24、式表示未知函數(shù)，定義為； (2-2)其中是常數(shù)。在等式(2-2)的兩端乘上，化簡得的表達(dá)式： (2-3)我們把未知函數(shù)表示成如下形式 (2-4)將方程(2-4)帶入原非線性偏微分方程(1)中利用式(2-2)和(2-3)通過權(quán)衡最高導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)來確定m.而(1)式中的H則可以表示為多項(xiàng)式加上多項(xiàng)式。設(shè)的所有項(xiàng)的系數(shù)為零可以求解方程(2-1)。這將產(chǎn)生一組關(guān)于的超定代數(shù)方程，如果這組代數(shù)方程能被最終求解，那么在式(2-4)中的未知函數(shù)則可以被精確求解。2.2非線性狄拉克方程形式我們考慮如下形式的非線性狄拉克方程16-17 (2-5) (2-6)其中參數(shù)化非線性項(xiàng)為 (2-7)當(dāng)對應(yīng)于Thirr

25、ing方程下的情況。將式(2-7)帶入方程(2-5)和(2-6)中得到 (2-8) (2-9)用歸一化坐標(biāo)和函數(shù)讓上述方程的系數(shù)為1，簡單的推導(dǎo)可得，得到 (2-10)方程(2-10)具有以下的一般解 (2-11)其中p，q為常數(shù)。我們在接下來的步驟中對式(2-8)，(2-9)，與(2-11)進(jìn)行配湊。2.2.1 非線性狄拉克方程求解概述應(yīng)用F-展開法之前，我們回顧下(2-8)，(2-9)，(2-11)中提出的問題并且假設(shè)有如下形式的行波解 (2-12)其中，k為常數(shù)。將(12)式帶入(8)(9)得到虛數(shù)部分為 (2-13)實(shí)數(shù)部分： (2-14)讓方程組(2-13)與(2-14)分別相等，很

26、容易得到， (2-15)將式(2-15)帶入(2-13)與(2-14)得到 (2-16) (2-17)其中，如果我們定義 (2-18)聯(lián)立方程(2-16)與(2-17)消除我們得到關(guān)于的方程(2-19)現(xiàn)在我們仿照式(2-4)把F展開法應(yīng)用到，則可以表示成的多項(xiàng)式其中已在(3)中定義過。不難看出，通過平衡式(2-19)中的非線性項(xiàng)和最高導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，我們得到時，與之間存在線性關(guān)系。所以我們能把表示成的三階多項(xiàng)式，表示成的二階多項(xiàng)式。與仿照上述方法表示成的多項(xiàng)式。將式(2-19)改寫成的多項(xiàng)式我們可以得到當(dāng)取非零值時 (2-20)當(dāng)， (2-21)其中，和為待定系數(shù)2.2.2 簡化與討論我們逐一的來考

27、慮上述兩種情況情況：將(2-20)帶入(19)我們得到一個三項(xiàng)多形式，令每項(xiàng)前面的系數(shù)為0我們可以得到如下代數(shù)式解得，其中，。 (2-22)由(22)與(20)聯(lián)立可以得到的精確解其中是任意常數(shù)，聯(lián)立(12)(18)(23)(16)我們得到 (2-24)其中為，為。情況：與情況類似我們得到，與情況(i)中令特殊情況一樣，所以關(guān)于的公式僅適用于(2-23)式中的第一種情況。其中，由(24)式可得。結(jié) 論在上一節(jié)，我們得到了系數(shù)的解析表達(dá)式和相位和，特別是當(dāng)我們可以得到 (25)其中，為歸一化常數(shù)。當(dāng)時該模型就變成了傳統(tǒng)的Thirring 系統(tǒng)，其中(25)式有以前計算出的結(jié)果符合18.因此，在本

28、文中，通過參數(shù)化非線性狄拉克模型，同時抓住系統(tǒng)的主要非線性特征亮孤子型解，我們證明了最終的解的形式，而且它對冪指數(shù)中出現(xiàn)的非線性參數(shù)具有很強(qiáng)的依賴性，這也就表明F-展開法在求一大類廣義非線性狄拉克模型精確解中具有很強(qiáng)的實(shí)用性。參 考 文 獻(xiàn)1 龐小峰. 非線性量子力學(xué). 電子工業(yè)出版社，2009:9-142 哈興林. 高登量子力學(xué). 高等教育出版社，2001:207-2113 吳國將. Jacobi橢圓函數(shù)在求解非線性發(fā)展方程中的應(yīng)用. 安徽大學(xué)碩士學(xué)位論文. 2007年:2-44 馮慶江，李巖，楊利垚. 用試探函數(shù)法求Zakharov-Kuznetsov方程的孤子解. 長春大學(xué)學(xué)報，2010

29、,20(6):27-285 Matveev, V. A., and M. A. Salle. 1991. Darboux Transformation and Solitons. Springer.6 Malfliet, M., and W. Hereman. 1996. “The tanh method: I. Exact solutions of nonlinear evolution and wave equations,” Phys. Scr., 54(6):563.7 Hirota, R. 2004. The direct method in soliton theory. Camb

30、ridge University Press, Cambridge.8 李沿光. Backlund變換理論發(fā)展簡述及其新方法. 力學(xué)進(jìn)展，1991，049 王曉麗，張鴻慶. Jacobi橢圓函數(shù)展開法及其應(yīng)用. 煙臺大學(xué)學(xué)報，2003,16(02)：94-9710 Abdou, M. A. 2007. “The extended F-expansion method and its application for a class of nonlinear evolution equations,” Chaos, Solitons and Fractals, 31(1):95-104.11 Zhou, Y., M. L. Wang, and Y. M. Wang. 2003. “Periodic wave solutions to a coupled KdV equations with variable coefficients,” Phys. Lett. A, 308(1):31-36.12 Mo