我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

1、我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)21世紀(jì)到來,各國都在進(jìn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的研制工作。在建立數(shù)學(xué)課程目標(biāo)時,首先回答的問題是:我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)(然后才是學(xué)什么樣的數(shù)學(xué),怎樣學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué))。站在不 同角度,對這個問題有不同的回答，因而給數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的制訂帶來困惑與困難,甚至出現(xiàn)種種誤解與偏差。本文從數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系，數(shù)學(xué)對人的發(fā)展的影響及數(shù)學(xué)與人類文化的相互作用三個方面來重新認(rèn)識這個問題。通過對數(shù)學(xué)與科學(xué)發(fā)展的歷史分析,揭示數(shù)學(xué)與自然,數(shù)學(xué)與科學(xué)的密切關(guān)系。并闡述這種關(guān)系使數(shù)學(xué)成為人類認(rèn)識自然、認(rèn)識現(xiàn)實世界的中介與工 具,是一種高級的認(rèn)識論與方法論系統(tǒng)。在人類探索宇宙的規(guī)律(這種規(guī)律更多的是用數(shù)學(xué)進(jìn)行

2、表述的)的過程中,數(shù)學(xué)這種獨特的性質(zhì)促進(jìn)了人類智慧的發(fā)展,品德的完善,人格的健全,同時促進(jìn)了人類思維的不斷創(chuàng)新。這種對人類智慧的記錄、傳遞與創(chuàng)造的作用,使得數(shù)學(xué)成為人類文化的重要組成部分,在人類文化發(fā)展中起著不可替代的作用。從而說明,只有對數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系,數(shù)學(xué)與人的發(fā)展,數(shù)學(xué)與文化的作用等有正確的認(rèn)識,才能建立合理的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)。 (一)數(shù)學(xué):人類認(rèn)識自然的中介數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系十分密切,這里只討論自然與課程目標(biāo)關(guān)系相密切的兩個問題,數(shù)學(xué)為什么總是有效的,數(shù)學(xué)僅僅是為了應(yīng)用嗎？ 1.數(shù)學(xué)為什么總是有效的這個問題一直困擾著哲學(xué)家、科學(xué)家與數(shù)學(xué)家,并激勵著他們不停地探索自然的真諦,探索數(shù)學(xué)中

3、隱藏的巨大力量和源泉。 公元前6世紀(jì)的古希臘人認(rèn)為,自然界是被合理地安排好的,一切現(xiàn)象都是按一個精密的不可變的計劃進(jìn)行的。這個計劃就是數(shù)學(xué)計劃,世界是建立在數(shù)學(xué)原理之上的。這期間占統(tǒng)治地位的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為,數(shù)是描述大自然的第一原理,是一種物質(zhì),“萬物皆數(shù)”。他們創(chuàng)立兩種學(xué)說:自然界是根據(jù)數(shù)學(xué)原則安排的。數(shù)比是實質(zhì)，是基礎(chǔ)，是唯一本質(zhì),是自然界中序列認(rèn)識的工具。這種觀點雖然很快就被找出謬誤,但它的影響卻一直延續(xù)到近代。這是因為它“終究提出了宇宙的本性問題,提出人可以通過對數(shù)的研究達(dá)到對宇宙的本質(zhì)認(rèn)識 ”B1。原子論學(xué)派也斷言,以現(xiàn)實世界的經(jīng)常性變化為基礎(chǔ)的現(xiàn)實性可以用數(shù)學(xué)語言 來表示,數(shù)學(xué)定

4、律嚴(yán)格預(yù)定了在這個世界上正在產(chǎn)生的一切。柏拉圖認(rèn)為,現(xiàn)實世界是建立在數(shù)學(xué)原則之上的,“現(xiàn)實的，為事物的表示現(xiàn)象所掩蓋的,表示事物內(nèi)部實質(zhì)的那些東西,就是數(shù)學(xué)”B2。亞里士多德學(xué)派也支持以整個宇宙為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)計劃的說法,認(rèn)為數(shù)學(xué) 的抽象是從物質(zhì)世界中吸取的。中世紀(jì)的歐洲哲學(xué)家由于無法解釋數(shù)學(xué)與自然的神奇聯(lián)系,避免與神學(xué)的沖突,便認(rèn)為用數(shù)學(xué) 原理創(chuàng)造世界的正是上帝。他們在數(shù)學(xué)中看到了通往認(rèn)識的自然之路,世界的和諧就是數(shù)學(xué) 結(jié)構(gòu)的表現(xiàn),上帝用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)秩序奠定了世界的基礎(chǔ)。正如數(shù)學(xué)史家克萊茵所評:“1618 世紀(jì),數(shù)學(xué)家的工作實質(zhì)就是宗教的尋找,在尋覓數(shù)學(xué)定律之中舉行宗教儀式,揭示神的創(chuàng)造 力的光榮

5、與偉大?！盉3他們“深信存在著自然界所有現(xiàn)象的數(shù)學(xué)定律。每一次發(fā)現(xiàn)自 然定律,都又一次證明上帝的英明”B4。 17世紀(jì),“回歸自然”口號的提出,歐洲的“科學(xué)革命”,數(shù)學(xué)起了重要的作用。分析17世紀(jì) 以后哲學(xué)家的思想,我們可以對數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系有更深入的認(rèn)識。首先是笛卡兒和伽利略 把自然科學(xué)與數(shù)學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來。笛卡兒認(rèn)為,“只有研究秩序或度量的那些學(xué)科才屬于 數(shù)學(xué)領(lǐng)域”B5,相信自然界是以數(shù)學(xué)原理為基礎(chǔ)的?！艾F(xiàn)實世界就是數(shù)學(xué)定律表 現(xiàn)物體在時空中運(yùn)動的總和,而整個宇宙則是一個以數(shù)學(xué)定律構(gòu)成的龐大而協(xié)調(diào)的機(jī)器”B6。 因而認(rèn)為,正是數(shù)學(xué)方法為人類開辟了一條獲得自然規(guī)律的道路。伽利略認(rèn)為,自然科學(xué)

6、家在研究自然時應(yīng)該遵循某個數(shù)學(xué)模型,“數(shù)學(xué)符號就是上帝用來書寫自然這一偉大著作的統(tǒng)一語言,不了解這些文字就不可能懂得自然的統(tǒng)一語言,只有用數(shù)學(xué)概念和公式所表達(dá)的物理世界的性質(zhì)才可認(rèn)識”B7。其后是牛頓、萊布尼茲等科學(xué)家的進(jìn)一步擴(kuò)展。牛頓“努力使自然現(xiàn)象服從于數(shù)學(xué)規(guī)律”B8, 以其著作自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理向人類顯示出一個新的世界秩序宇宙的運(yùn)動可用幾條數(shù)學(xué)定律描述,使古希臘的理念得到確切的證實,擺脫了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)神秘主義。萊布尼茲認(rèn)為現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界是協(xié)調(diào)的,這種科學(xué)哲學(xué)觀奠定了他的宇宙基礎(chǔ)數(shù)學(xué)原理說的基礎(chǔ)。 總之,“笛卡兒、伽利略、牛頓、萊布尼茲及其他現(xiàn)代數(shù)學(xué)的奠基人始終信仰的實質(zhì)就是:

7、自然界內(nèi)部固有著某個隱藏的和諧,它以簡單數(shù)學(xué)定律的形式在我們的意識中反映出來。由于 這一和諧性,結(jié)合數(shù)學(xué)分析的觀察能預(yù)言自然現(xiàn)象”B9。 隨著科學(xué)與數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展,數(shù)學(xué)的推演與實際觀測的吻合,人們從信仰宗教轉(zhuǎn)到信仰自然 ,堅信自然規(guī)律就是數(shù)學(xué)規(guī)律,一切注意力都集中在探索宇宙的數(shù)學(xué)規(guī)律上。數(shù)學(xué)家魏爾的思 想“在自然界中存在著其內(nèi)部固有的隱藏著的協(xié)調(diào),它反映在我頭腦中的形式為簡單的數(shù)學(xué)定律”B10,更是明確指出了自然與數(shù)學(xué)的密切關(guān)系。巴雷特甚至斷言:“整個數(shù)學(xué)的歷 史證明數(shù)學(xué)理性與自然之間存在著相互聯(lián)系。”B11因此,數(shù)學(xué)仿佛是一種人與自然,人 們的內(nèi)在世界與周圍外部世界之間的媒介物。 對近現(xiàn)代

8、科學(xué)的重大成就稍作分析就會發(fā)現(xiàn),它們幾乎全是數(shù)學(xué)的成就,甚至完全依賴于數(shù)學(xué) 。首先,電磁場理論就是最好的例證。它在理論物理中的重要地位是眾所周知的,然而它幾乎 是純數(shù)學(xué)理論。近代物理的精神就是數(shù)學(xué)理論。愛因斯坦認(rèn)為這種變化是“從牛頓時代以來 物理所經(jīng)受的最深刻、最富有成效的變化”B12。其次,原子結(jié)構(gòu)觀點對于物理學(xué)具有非常重要的意義,對化學(xué)和生物的研究也有極大的促進(jìn)作用。然而,原子模型卻是數(shù)學(xué)模型?！皵?shù)學(xué)在充滿混亂的地方展示和建立了秩序”B13。第三,今天的微電子技術(shù) ,信息網(wǎng)絡(luò)技術(shù)更是由數(shù)學(xué)編織而成?？傊?從古希臘至今,人們一直在探索數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系。科學(xué)史的大量資料也顯示了數(shù)學(xué)的 巨大力量

9、和源泉,在人類的創(chuàng)造中最強(qiáng)大的方法就是數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)使得我們對形形色色的自然 現(xiàn)象取得確定的認(rèn)識,數(shù)學(xué)是人類認(rèn)識自然現(xiàn)象必不可少的中介。它“體現(xiàn)了最有效地使現(xiàn) 實世界與感性認(rèn)識世界聯(lián)系的環(huán)節(jié),長期以來,數(shù)學(xué)處于人類思維的前沿,它保持先進(jìn)的位置, 至今,它仍是加以百般愛護(hù)的人類理性的無價之寶”B14?！皵?shù)學(xué)的事業(yè)是一樁偉 大的探索,探索宇宙和人類自己最深的奧秘”B15。 2.數(shù)學(xué)僅僅是為了應(yīng)用嗎 數(shù)學(xué)與自然的密切關(guān)系使數(shù)學(xué)成為一切科學(xué)的基礎(chǔ),因而具有廣泛的應(yīng)用性。數(shù)學(xué)在人類生 活、生存、科學(xué)與文化發(fā)展中一直發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。培根認(rèn)為“對自然界的許多部分 ,如果沒有數(shù)學(xué)的幫助和參與,則既不能以足夠

10、的技巧予以制造,也不能以充分的表白予以演示,也不能以足夠的靈巧使之適于應(yīng)用”B16。尤其在今天科技發(fā)展的時代,“被人如此稱頌的高技術(shù)本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”B17。 由于數(shù)學(xué)的應(yīng)用給人類物質(zhì)方面帶來數(shù)不盡的巨大成就,導(dǎo)致了對數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識的各種偏差 。最典型的幾種情形是：忘記了數(shù)學(xué)的應(yīng)用是建立在數(shù)學(xué)與自然的密切關(guān)系基礎(chǔ)之上的, 過分片面地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。能用的即予保留,暫時用不上的即予放棄;對物質(zhì)生產(chǎn)直接起 作用的即予發(fā)展,無直接作用的便不予接納。這種現(xiàn)象在東方的數(shù)學(xué)史中尤為突出。中國古代數(shù)學(xué)受經(jīng)世致用思想的導(dǎo)引,數(shù)學(xué)只在商業(yè)、運(yùn)輸、水利、天文、歷法等實踐中具體應(yīng)用 。在早期階段,隨著農(nóng)商業(yè)迅速發(fā)

11、展,數(shù)學(xué)也迅速發(fā)展,許多成果在世界數(shù)學(xué)史上領(lǐng)先達(dá)千年之久。然而隨著農(nóng)業(yè)社會的緩慢發(fā)展,以應(yīng)用為目的的數(shù)學(xué)的生存與擴(kuò)展空間便越來越窄,最終成為無源之流,漸趨枯竭。對“無用的”數(shù)學(xué)加以拒絕,否定,直到看到其“用”才接受，吸納。虛數(shù)的承認(rèn),非歐幾何的建立在數(shù)學(xué)史上都經(jīng)歷波折。盡管它們解決了數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾,但由于在數(shù)學(xué)之外尚未看到可“用”,因而當(dāng)初都被拒絕過。為了使數(shù)學(xué)有“用”,許多人曾堅信，辯解，斷言,所有數(shù)學(xué)都是有用的。非歐幾何、數(shù)論中的一些定理常被引為例證。他們聲稱這種有用可能在若干年后“叫你難以相信,你不可能到達(dá)那一步,讓你永久地期待”(鐘開萊數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué))B18。 這些觀點把數(shù)學(xué)的“用”擺在

12、第一位,“用”是最高目標(biāo),可用即為數(shù)學(xué),不可用即非數(shù)學(xué)。 盡管這些觀點已受到多次否定，批評,但至今在一些人的意識里仍占著主導(dǎo)地位。實際上,這是對數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系的曲解。一方面,把數(shù)學(xué)應(yīng)用降為工具性側(cè)面,忽視了數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù)學(xué)與自然的本質(zhì)的關(guān)系的反映。另一方面,混淆了“數(shù)學(xué)的應(yīng)用”與“應(yīng)用的數(shù)學(xué)”這兩個本質(zhì)不同的概念。實際上,“數(shù)學(xué)的應(yīng)用”不僅包括“應(yīng)用數(shù)學(xué)”,還包括數(shù)學(xué)思想方法,“數(shù)學(xué)化”的過程,數(shù)學(xué)品質(zhì)等更廣闊的內(nèi)容。只有從數(shù)學(xué)與自然的辯證關(guān)系認(rèn)識,把數(shù)學(xué)視作與自然統(tǒng)一的地位,才能真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。否則,舍棄掉數(shù)學(xué)是認(rèn)識自然、征服自然的中介,舍棄其作為認(rèn)識論、方法論、思維創(chuàng)造乃至文化、藝術(shù)

13、于一體的特征,把數(shù)學(xué)只視作一種工具,視為應(yīng)用而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的功利主義或?qū)嵱弥髁x,不僅會降低數(shù)學(xué)的地位,而且也不利于學(xué)生素質(zhì)的整體發(fā)展。 3.啟示隨著對數(shù)學(xué)價值的深入認(rèn)識,各國在21世紀(jì)的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中都極為重視數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系 作用,重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用,并使數(shù)學(xué)的應(yīng)用與應(yīng)用的數(shù)學(xué)二者有機(jī)地結(jié)合起來。在確立數(shù)學(xué)作為 認(rèn)識自然、改造自然的中介地位的基礎(chǔ)上,既考慮社會需要,更注重人的整體素質(zhì)的培養(yǎng)。在 對學(xué)生進(jìn)行基本的數(shù)學(xué)認(rèn)識、思維、推理、評價、聯(lián)系、交流、問題解決教育的同時,盡可 能選擇當(dāng)今社會中應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)內(nèi)容,如微積分、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計、計算機(jī)等作為學(xué)習(xí)內(nèi)容。盡管各國課程有不同的哲學(xué)文化背景,有不

14、同的政治經(jīng)濟(jì)制度制約,但最終的根仍扎在數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系之中,很少有強(qiáng)調(diào)以“應(yīng)用數(shù)學(xué)”為終極目標(biāo)的課程。 (二)數(shù)學(xué):人的發(fā)展中不可或缺的內(nèi)容 數(shù)學(xué)與自然的特殊關(guān)系使得數(shù)學(xué)成為人的發(fā)展中不可或缺的主要內(nèi)容。首先,在上文中已揭 示,數(shù)學(xué)不僅給人以應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識,更為重要的是,數(shù)學(xué)給人如何運(yùn)用數(shù)學(xué)去看待世界、去認(rèn)識自然的方法。通過數(shù)學(xué),使人掌握宇宙發(fā)展的普遍規(guī)律。因此,數(shù)學(xué)對人的世界觀的形成具有特殊作用。第二,數(shù)學(xué)是一種思維形式,是思維創(chuàng)造的產(chǎn)物,表現(xiàn)著人類智慧的本質(zhì)與特征。數(shù)學(xué)活動是智力體操與創(chuàng)造發(fā)明的活動。它對人的科學(xué)思維與創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)起著重要的作用。第三,數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系揭示了現(xiàn)實

15、世界內(nèi)在不變的規(guī)律,揭示了自然的奧秘、事物之間的相互關(guān)系,揭示了物體運(yùn)動發(fā)展的動力與源泉,對形成學(xué)生鑒別真、善、美的能力有一定的促進(jìn)作用。對形成學(xué)生興趣,培養(yǎng)學(xué)生自信、毅力、批判性等良好的個性品質(zhì)方面也極為有益。 1.數(shù)學(xué)有利于正確的認(rèn)識論與世界觀的形成 數(shù)學(xué)對于人的認(rèn)識論形成的功用上文已有說明。同時我們還看到,數(shù)學(xué)對象具有雙重性,它的理論是思維創(chuàng)造的產(chǎn)物,而非客觀世界中的真實存在?？陀^世界中不存在數(shù)學(xué)中的點、線、面、三角形、圓,數(shù)學(xué)中的概念、命題等都是抽象思維的產(chǎn)物。然而,就其內(nèi)容而言,數(shù)學(xué)對象則又具有明確的客觀意義,它是人的思維對于客觀現(xiàn)實的正確反映。這里的現(xiàn)實與感性是相對而言、具有層次的

16、。在同一公理系統(tǒng)內(nèi),數(shù)學(xué)的真理具有絕對性,而對于不同的公理系統(tǒng),數(shù)學(xué)真理又具有相對性。這些思想對人的認(rèn)識論、方法論、世界觀的形成都是非常有益的。2.數(shù)學(xué)有助于人的思維能力與創(chuàng)造能力的發(fā)展 美籍學(xué)者項武義說過:“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的首要目的在于開發(fā)腦力,提供解析思維的基本訓(xùn)練。而其第二個主要目的才是讓學(xué)生掌握現(xiàn)代技術(shù)工藝上普遍應(yīng)用的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)當(dāng) 然十分有用、十分重要,但是,認(rèn)識問題、解決問題的思維訓(xùn)練實在更加有用，更加重要?！盉19美國人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來則認(rèn)為，“中等教育特別缺乏揭示數(shù)學(xué)的思維方式,而這都是提高公民的理解力所需要的” B20。長久以來,人們已認(rèn)識到數(shù)學(xué)對人的思維訓(xùn)練是極

17、為有益的。首先,數(shù)學(xué)是思維的工具,通過數(shù)學(xué)活動可以提高人的思 維能力。第二,數(shù)學(xué)活動過程是一種再創(chuàng)造、重新發(fā)現(xiàn)的過程,通過觀察、實驗、歸納、類比 、猜想、驗證等活動,概括抽象出數(shù)學(xué)概念,提出數(shù)學(xué)命題;通過建立數(shù)學(xué)模型,解決實際問題 。這一系列活動對人的思維能力與創(chuàng)造能力進(jìn)行了全方位培養(yǎng)。因此,數(shù)學(xué)活動對人的思維訓(xùn)練來說,既是素材,又是過程。(1)數(shù)學(xué)是思維的工具。數(shù)學(xué)是思維創(chuàng)造的結(jié)果,也是思維的工具,可以充當(dāng)思維訓(xùn)練的素材 。 第一,數(shù)學(xué)思維是一種抽象邏輯思維,主要表現(xiàn)在兩個方面：數(shù)學(xué)具有抽象思維的能力。數(shù)學(xué)是研究思想事物的抽象科學(xué)。盡管數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界關(guān)系密切,但數(shù)學(xué)內(nèi)容一經(jīng)建立,它便脫 離現(xiàn)

18、實,它的對象與結(jié)果都是思維的創(chuàng)造。運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題,也是對現(xiàn)實進(jìn)行抽象,建立其 數(shù)學(xué)模型的結(jié)果。數(shù)學(xué)具有邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性,結(jié)論的可靠性。正如愛因斯坦所言,“為什么數(shù)學(xué)比其他一切科學(xué)受到特殊尊重,一個理由是它的命題是絕對可靠的和無可爭辯的,另一個理由是數(shù)學(xué)給予精密自然科學(xué)以某種程度的可靠性。沒有數(shù)學(xué),這些科學(xué)是達(dá)不到這種可靠性的” B21。 第二,數(shù)學(xué)思維也是形象思維與直覺思維。盡管其他學(xué)科(文學(xué)、藝術(shù)等)也培養(yǎng)學(xué)生形象思 維的能力,但其內(nèi)容與程度遠(yuǎn)沒有數(shù)學(xué)豐富與深刻。這是因為數(shù)學(xué)的形象思維是對現(xiàn)實世界抽象之后的數(shù)、形、結(jié)構(gòu)、形式等內(nèi)容之上的形象加工。這種形象思維與邏輯思維緊密結(jié)合,相互補(bǔ)充,相互促

19、進(jìn)。(2)數(shù)學(xué)活動是訓(xùn)練思維的最佳途徑。朱梧檟先生對數(shù)學(xué)活動過程作了深入的分析B22,并給出圖示: 從具體問題或素材出發(fā) 觀察與實驗對應(yīng)與類比 經(jīng)驗歸納推廣 聯(lián)想推廣建立猜想或形成普遍命題邏輯論證猜想的真實性 他認(rèn)為前一階段是創(chuàng)新過程,以形象思維、直覺思維為主,后一階段是驗證過程,以邏輯思維 為主。實際上,在前一階段中也滲透邏輯思維,在后一階段也借助于形象思維與直覺思維。兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的活動實質(zhì)上是再創(chuàng)造過程。每個人都是在學(xué)習(xí)過程中,根據(jù)自己的體驗,用自己的思維方式,重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。這種活動除了提供各種定理和理論之外,還提供各種特定的思維方式,包括抽象化、模型化、最優(yōu)化、邏輯分析、數(shù)據(jù)推

20、斷、符號運(yùn)用等。在數(shù)學(xué)活動過程中既包括抽象思維訓(xùn)練,又包括形象思維訓(xùn)練。因而數(shù)學(xué)活動是訓(xùn)練思維的最佳途徑。 3.數(shù)學(xué)有益于人的心靈凈化 數(shù)學(xué)除了在人的智力發(fā)展方面的巨大影響外,對人的心靈凈化,良好的個性品質(zhì)形成,乃至身心健康也有重要的促進(jìn)作用。(1)數(shù)學(xué)有益于人類對真、善、美的追求。過去的教育中,數(shù)學(xué)的德育或者被忽略或者 被狹義 的愛國主義、民族自尊心替代而流于形式。實際上,“數(shù)學(xué)在人們品質(zhì)形成上有不可替代的 作用”。數(shù)學(xué)既然是自然的秩序與規(guī)則的反映,它有自己的“道”,因而也有自己的“德”。 數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性與結(jié)論的精確性,促使進(jìn)行數(shù)學(xué)活動的人必須嚴(yán)格遵守相應(yīng)的規(guī)則、體系 。在同一系統(tǒng)內(nèi),數(shù)學(xué)

21、真理具有絕對性,數(shù)學(xué)追求的目標(biāo)幾乎是一種清晰可達(dá)的信仰。因而, 學(xué)習(xí)與從事數(shù)學(xué)的活動追求的是一種抽象的“真”,一種心靈上的純真與虔誠,“首先在工作 中,它必須是完全忠實的,這倒不是出于任何優(yōu)秀的道德品質(zhì),而是因為它無法拿著冒牌逍遙法外” B23。 柏拉圖在兩千年前就把善與數(shù)學(xué)等同起來,認(rèn)為數(shù)學(xué)對于“理想”的探求具有重要意義。20 世紀(jì)40年代,懷特海又舊話重提,對數(shù)學(xué)這一學(xué)科的一般性質(zhì)作了揭示,認(rèn)為“數(shù)學(xué)是從模式化的個體和抽象的過程中對模式進(jìn)行研究” B24。因為“數(shù)學(xué)對于理解模式和分析模式之間的關(guān)系是最強(qiáng)有力的技術(shù)” B25,所以,模式在人類生活中占有重要地位。“每一種藝術(shù)都奠基于模式的研究

22、,社會組織的結(jié)合力也依賴于行為模式的保持,文明的 進(jìn)步也僥幸地依賴于這些行為模式的變更” B26。因此,他指出的關(guān)于數(shù)學(xué)與善的概念的關(guān)系便得到清楚地說明。數(shù)學(xué)應(yīng)用于人類生活的一切領(lǐng)域,幫助人們建立自然的秩序與規(guī)則,阻礙災(zāi)難的發(fā)生,為人類的福利與文明不斷地作出奉獻(xiàn),數(shù)學(xué)在人類價值序列中占有不可替代的地位:這就是數(shù)學(xué)的善。追求數(shù)學(xué)的同時我們也要追求數(shù)學(xué)之善,促進(jìn)整個世界的和諧與秩序建立,促進(jìn)整個世界的科技進(jìn)步,促進(jìn)文化藝術(shù)的增加,從而使文明不斷提升。 數(shù)學(xué)是一門藝術(shù),數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力,這方面的論述已有很多共識。我們認(rèn)為,至少包含三種含義。 首先,數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史表明,應(yīng)用是數(shù)學(xué)產(chǎn)生的源泉,而美

23、學(xué)標(biāo)準(zhǔn)是數(shù)學(xué)發(fā)展最為關(guān)鍵的動力, “進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的最主要的驅(qū)策力是對數(shù)學(xué)美的追求” B27。18世紀(jì),科學(xué)與自然向數(shù)學(xué)提出眾多問題,牛頓與萊布尼茲創(chuàng)立了微積分,但真正使微積分成為數(shù)學(xué)的還是柯西等人的工作,是美學(xué)的作用。“美觀與高雅對數(shù)學(xué)概念的評價來說,比是否嚴(yán)格正確,是否可能應(yīng)用都重要得多” B28。第二,數(shù)學(xué)是藝術(shù),是美的化身,但這種美是思維抽象創(chuàng)造的產(chǎn)物,是一種精神。欣賞數(shù)學(xué)，鑒 賞數(shù)學(xué)，評價數(shù)學(xué)活動只有在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與做數(shù)學(xué)的過程中才可以進(jìn)行。只有置身其中,才能 分享這種美,才能產(chǎn)生喜悅的感受,感覺到精神上的亢奮,而不是感官的滿足。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是再 創(chuàng)造活動,與一般的藝術(shù)學(xué)習(xí)有較大的區(qū)別。臨摹與

24、演練不會產(chǎn)生創(chuàng)造時的激動,很難達(dá)到心 靈與精神上的美的享受。 第三,數(shù)學(xué)美的追求是人的一種精神動力。美的需要與生俱有。物質(zhì)生活需要永遠(yuǎn)都是相對 的,而追求美的精神需要幾乎是絕對的。這就可以理解數(shù)學(xué)的產(chǎn)生有許多方面不僅是為了應(yīng) 用,數(shù)學(xué)與藝術(shù)為什么會有天然的密切關(guān)系等問題。人有物質(zhì)需要,更有精神需要、審美需要 。數(shù)學(xué)在滿足人類物質(zhì)需要(作為應(yīng)用工具)的同時,又為其提供了高層次的智力活動與美的享受。這是人的生命中不可缺少的一種精神動力。而數(shù)學(xué)活動(包括學(xué)習(xí)數(shù)學(xué))實際上是一個探索自然界潛藏奧秘的過程,這本身就是一個體驗美的過程。經(jīng)歷這個過程“使我們的智力變得精致和洗練” B29,使我們的精神世界不斷

25、得到升華?！拔覀儾旁谛撵`深處感 受到了真正的神的形象,真正的美的本質(zhì),真正的藝術(shù)的芬芳這時,我們才從心底感到無 比喜悅,并情不自禁地使人類理性得以發(fā)揚(yáng)” B30。 (2)數(shù)學(xué)有益于良好個性品質(zhì)形成 由于數(shù)學(xué)是思維創(chuàng)造的產(chǎn)物,數(shù)學(xué)活動是思維創(chuàng)造活動,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是思維的再創(chuàng)造過程,因而 它有益于形成人的許多良好的個性品質(zhì)。首先,數(shù)學(xué)可以激發(fā)人思維的興趣,激發(fā)其探索自然 奧秘的好奇心。數(shù)學(xué)的實踐活動，尤其是解決問題,實際是在失敗中進(jìn)行探索,試圖找到一條成功的道路。通過嘗試、失敗、挫折的磨練,可以增強(qiáng)人的自信心與學(xué)習(xí)毅力,可以堅定學(xué)生的意志,使學(xué)生不畏錯誤,勇于探索。 在追求數(shù)學(xué)目標(biāo)的過程中,通過對自己

26、的方案進(jìn)行不斷地反思，否定，批判,可以培養(yǎng)學(xué)生的 批判能力,培養(yǎng)其正確的科學(xué)態(tài)度及獨立思考、解決問題的能力。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中通過對 自己的動機(jī)、自信、成就等不斷地評價，評估,從而可以認(rèn)識自己的價值,不斷對自己的行為進(jìn)行監(jiān)控，調(diào)整。這些內(nèi)容對于學(xué)生追求人生目標(biāo),實現(xiàn)自我價值等方面也有遷移或示范作用。4. 啟示 數(shù)學(xué)在人的發(fā)展中的這種特殊作用愈來愈受到教育的關(guān)注。首先,現(xiàn)代教育普遍重視數(shù)學(xué)的 思維價值,各國把培養(yǎng)學(xué)生的思維能力放在數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的中心地位。其中包括邏輯思維能力與形象思維能力的培養(yǎng),并通過解決問題來達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。其次是重視數(shù)學(xué)對于人的道德與個性品質(zhì)的作用。在處理知識與能力,能

27、力與品質(zhì)等方面進(jìn)行廣泛的研究與探索。而那種忽視人的整個思維能力的培養(yǎng),僅以邏輯思維為主的課程已受到多方面挑戰(zhàn)，把數(shù)學(xué)僅作為應(yīng)用工具的觀點也受到廣泛的批評,數(shù)學(xué)課程愈來愈發(fā)揮它在促進(jìn)人的發(fā)展方面的全方位功能。 (三)數(shù)學(xué):人類文化的重要組成部分 上文中我們已論述,數(shù)學(xué)是人類認(rèn)識自然的中介,是自然科學(xué)的工具,是思想方法的體系;數(shù)學(xué) 是思維的工具,數(shù)學(xué)活動是一種創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)活動;數(shù)學(xué)同時是一種藝術(shù)。因而,數(shù)學(xué)是人類文 化的重要組成部分。它在創(chuàng)造，保存，傳遞，交流，發(fā)展人類文化中充當(dāng)著重要角色,發(fā)揮著巨大的作用。數(shù)學(xué)促進(jìn)著人類文化不斷進(jìn)步,促進(jìn)著人類文明不斷邁向更高階段,數(shù)學(xué)精神是人類文化精神的最高代表

28、。1.數(shù)學(xué)是人類文化的有機(jī)組成部分在人類文化的長河中,我們隨機(jī)取一個片段,都可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是其中的一個重要組成部分。古 希臘、東方中國至今保存下來的文化遺產(chǎn)中,有很大部分是藝術(shù)與數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)在文化保存與 傳播中發(fā)揮著潛在作用,并直接或間接地影響著人的精神的改變。數(shù)學(xué)能幫助人們認(rèn)識生活和世界,是人類從事普遍活動的有效工具,數(shù)學(xué)幫助并促進(jìn)人類整個文化目標(biāo)的實現(xiàn)。因此,數(shù)學(xué)應(yīng)視作社會文化的一個方面。從歷史角度考察,數(shù)學(xué)在不同的歷史發(fā)展時期都扮演著重要的角色,發(fā)揮著重要作用。古希臘 的理性,導(dǎo)致希臘文化的興盛；古羅馬的專制,輕視數(shù)學(xué),導(dǎo)致文化的衰落。文藝復(fù)興也緣于 恢復(fù)古希臘的理性,追根揭底仍與數(shù)學(xué)有不解

29、之緣。近代工業(yè)技術(shù)與數(shù)學(xué)的互相促進(jìn),新技術(shù)革命起源于計算技術(shù)的改進(jìn)都是與數(shù)學(xué)息息相通的。數(shù)學(xué)發(fā)展促進(jìn)了技術(shù)發(fā)展,技術(shù)發(fā)展也刺激了數(shù)學(xué)發(fā)展,二者共同促進(jìn)了人類文化的發(fā)展。這是因為,數(shù)學(xué)與技術(shù)的共同發(fā)展使物質(zhì)得以迅速增長,人們隨之而來的對世界與自然的認(rèn)識,即思想方法發(fā)生變革，這些變革促進(jìn)了藝術(shù)等更多領(lǐng)域的變化,因此文化本身向前發(fā)展了。 同時,我們也應(yīng)看到,數(shù)學(xué)與文化發(fā)展有同步速度現(xiàn)象?！皵?shù)學(xué)還是一棵有生命力的樹,她隨 著文明的興衰而容枯” B31。當(dāng)數(shù)學(xué)發(fā)展迅速時,正是人類文化發(fā)展最繁榮的時代。古希臘時期、文藝復(fù)興之后的科學(xué)時代等等都是例證。當(dāng)數(shù)學(xué)發(fā)展緩慢時,也正是科學(xué)技術(shù)、文化藝術(shù)發(fā)展最緩慢的時

30、代。歐洲中世紀(jì)長達(dá)千年的桎梏,盡管把數(shù)學(xué)捧作上帝,但上帝并不領(lǐng)情,中國明清數(shù)學(xué)的僵化,科技文化同樣衰落。這其中是否是數(shù)學(xué)起主導(dǎo)作用,還有爭議,但數(shù)學(xué)與文化息息相通,處于整個文化群體之中,這一點是不可否認(rèn)的。“數(shù)學(xué)的生命力正是根植于養(yǎng)育她的文明的社會之中。事實上,數(shù)學(xué)一直是文明和文化的重要部分” B32。 “數(shù)學(xué)作為文化的一個部分,又扮演著不同的角色,發(fā)揮著不同作用。數(shù)學(xué)在文化方面的反映可以是宗教的、藝術(shù)的、實際的、技術(shù)的或是為自身而研究的等等,因此,每種文化下都有自 己的數(shù)學(xué)” B33。由于人類發(fā)展的地域、種族等不同,物質(zhì)與文化成分的不同 ,造成了早期數(shù)學(xué)發(fā)展的差異,因而文化也產(chǎn)生差異。這種差

31、異形成遺傳力量(內(nèi)部的差異)。同時,我們又看到,數(shù)學(xué)作為人們對自然界、宇宙的規(guī)則的認(rèn)識,在人類進(jìn)化的同一階段有著共同認(rèn)識自然的趨勢與水平。這樣,數(shù)學(xué)發(fā)展又有等同水平性。例如,不同的民族都想到以符號記數(shù),想到數(shù)的運(yùn)算,幾何和代數(shù)學(xué)的初步內(nèi)容。正是這種文化上的等同性,才使得在一定階段,人類具有文化交流的可能與實現(xiàn),人類智慧才得以傳播與交流,整個人類文化才能獲得不斷地創(chuàng)新。“每種文化的數(shù)學(xué)都具有同等價值,因為一切文化具有同等效力” B34 。 數(shù)學(xué)作為人類文化的組成部分,我們還可以從數(shù)學(xué)發(fā)展的力量來考查,Wilder較早對此作了分 析。他認(rèn)為,數(shù)學(xué)的發(fā)展是由其內(nèi)部力量和外部力量共同決定的。內(nèi)部力量指

32、遺傳力量(包括 知識成分與觀念成分),外部力量指環(huán)境力量(包括人類直接需要的物質(zhì)成分和一般科學(xué)對數(shù) 學(xué)的需要文化成分)。Wilder斷言,數(shù)學(xué)發(fā)展的外部力量主要是其他科學(xué),特別是物理科 學(xué)的需要,而非人類物質(zhì)生活的直接需要B35。把數(shù)學(xué)看成是一個由于起內(nèi)在力量 與外部力量共同作用而處于不斷發(fā)展和進(jìn)化之中的文化系統(tǒng),數(shù)學(xué)活動就其性質(zhì)來說是社會 性的,數(shù)學(xué)家是社會成員,他們研究的是某種潛在的數(shù)學(xué)文化認(rèn)為是重要的問題,也即存在某 種文化力量而促使人們?nèi)ソ鉀Q的那些問題B36。盡管美學(xué)和哲學(xué)決定性地塑造了 數(shù)學(xué)的特征,并且作出像歐氏幾何和非歐氏幾何這樣不可超越的貢獻(xiàn),然而數(shù)學(xué)家登上純思維 的頂峰,主要是

33、借助于社會力量的推動?！叭绻@些力量不能為數(shù)學(xué)家們注入活力,那么他們 就立刻會心疲力竭,然后他們就僅僅只能保持這門學(xué)科處于孤立的境地” B37。 2.數(shù)學(xué)促進(jìn)人類文化發(fā)展,促進(jìn)人類文明進(jìn)步除了具有一般文化特征之外,數(shù)學(xué)還具有自己獨特的性質(zhì)?？筛爬?打開科學(xué)大門的鑰匙, 科學(xué)的語言,思維的工具,一種思想方法,理性的藝術(shù),充滿理性的精神。B38。這些 獨特性使數(shù)學(xué)具有獨特的文化價值,從而促進(jìn)人類文化不斷發(fā)展,促進(jìn)人類文明不斷進(jìn)步?！?數(shù)學(xué)一方面是出乎意料的實用性,一方面是審美的行動準(zhǔn)繩” B39，二者構(gòu)成了數(shù) 學(xué)發(fā)展的兩大支柱。數(shù)學(xué)在文化中的地位,包括柏拉圖在內(nèi)的許多哲學(xué)家把數(shù)學(xué)看作是文化 的最

34、高理想,這的確是個崇高的要求。 探索宇宙的規(guī)律,提供自然現(xiàn)象的合理結(jié)構(gòu),解決社會需要提出的問題,永遠(yuǎn)是科學(xué)與生活的 主題,而這些主題最終又歸結(jié)到數(shù)學(xué)上。在美學(xué)原則指引下,數(shù)學(xué)確切地告訴人們自然和宇宙 是什么,人類應(yīng)該遵循什么規(guī)律與規(guī)則。 總之,數(shù)學(xué)無論是追求美學(xué)而產(chǎn)生創(chuàng)新,還是作為工具解決現(xiàn)實世界中的問題,它所進(jìn)行的活 動都是對已有文化的重新整理或突破,是一種不斷創(chuàng)造的過程。正是通過數(shù)學(xué)的不斷加工,使 人類既獲得物質(zhì)方面的財富,又獲得精神的不斷升華。數(shù)學(xué)在人類文化進(jìn)步、文明發(fā)展中具 有不可替代的作用。 3.數(shù)學(xué)促進(jìn)人類智慧的傳遞 數(shù)學(xué)是一種理性,又是一種技術(shù),這種二重性幾乎只有數(shù)學(xué)才具有。技術(shù)

35、的進(jìn)步是高速的,而 理性的進(jìn)展猶如進(jìn)化一樣,是相對緩慢的。作為技術(shù)的數(shù)學(xué)變化是巨大的,它必須跟隨，有時甚至超前于飛速發(fā)展的科技步伐。然而作為理性的數(shù)學(xué)思想方法及精神等內(nèi)容變化又相對緩慢。因此,兩千年前的古希臘的許多數(shù)學(xué)思想方法在今天對人的思維訓(xùn)練等方面仍發(fā)揮著重要的作用,但一百年前(甚至幾十年前)的技術(shù)在今天已顯得陳舊。值得注意的是,理性一旦獲得突破,將給數(shù)學(xué)與科學(xué)帶來巨大的飛躍?！皼]有非歐幾何,自然也就沒有相對論,沒有全部現(xiàn)代的物理以及以之為基礎(chǔ)的全部現(xiàn)代技術(shù)。那樣也不會有全部關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究,不會有形式系統(tǒng)這樣的思想,不會有哥德爾定理,同樣也不會有計算機(jī)。更重要的是,沒有人類理性思維的高

36、度發(fā)展,人的精神狀態(tài)會是什么樣呢” B40。同時還應(yīng)注意到,在理性發(fā)展方面,“數(shù)學(xué)是兩個方向生長的,即向研究宇宙的深度發(fā)展,也向自身作為人類的理性的深度發(fā)展” B41。實際上,“在最廣泛的意義上說,數(shù)學(xué)是一種精神,一種理性精神。正是這種精神,使得人類的 思維得以運(yùn)用到最完美的程度；亦正是這種精神，使得人類的所為得以運(yùn)用到最完善的程度 ；亦正是這種精神,試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活;試圖回答有關(guān)人類自身 存在所提出的問題;努力去理解和控制自然,盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻和最完 美的內(nèi)涵” B42。注意區(qū)分技術(shù)的數(shù)學(xué)與精神的數(shù)學(xué)(理性的數(shù)學(xué)),對于認(rèn)識數(shù)學(xué)促進(jìn)人類進(jìn)步是極為有益的 。認(rèn)識到數(shù)學(xué)不僅僅是一種應(yīng)用工具,而且是一種精神