奧數(shù)幾何-三角形五大模型帶解析(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 三角形五大模型 【專題知識(shí)點(diǎn)概述】本講復(fù)習(xí)以前所學(xué)過的有關(guān)平面幾何方面的知識(shí)，旨在提高學(xué)生對(duì)該部分知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。重點(diǎn)模型重溫一、等積模型等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如右圖夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比二、等分點(diǎn)結(jié)論（“鳥頭定理”

2、）如圖，三角形AED占三角形ABC面積的×= 三、任意四邊形中的比例關(guān)系 （“蝴蝶定理”） S1S2=S4S3 或者S1×S3=S2×S4 AOOC=（S1+S2）（S4+S3）梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”） S1S3=a2b2S1S3S2S4= a2b2abab ; S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為（a+b）2模型四：相似三角形性質(zhì)如何判斷相似(1)相似的基本概念：兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊城比例，對(duì)應(yīng)角相等。(2)判斷相似的方法：兩個(gè)三角形若有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等則這兩個(gè)三角形相似；兩個(gè)三角形若有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，且這兩組對(duì)應(yīng)邊所夾的角相等則兩個(gè)三角形相似。 ; S1S2=a2A2 模型五

3、：燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1. 模型一與其他知識(shí)混雜的各種復(fù)雜變形2. 在紛繁復(fù)雜的圖形中如何辨識(shí)“鳥頭”【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】1. 三角形面積等高成比2. “鳥頭定理”3. “蝴蝶定理”【習(xí)題精講】【例1】（難度等級(jí) ）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積是56平方厘米，點(diǎn)E、F、G分別是長(zhǎng)方形ABCD邊上的中點(diǎn)，H為AD邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積.【例2】（難度等級(jí) ）如右圖，ABFE和CDEF都是矩形，AB的長(zhǎng)是4厘米，BC的長(zhǎng)是3厘米，那么圖中陰影部分的

4、面積是_平方厘米【例3】（難度等級(jí) ）如圖，在三角形ABC中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E、F分別為AB和AC的中點(diǎn)，那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？【例4】（難度等級(jí) ）如圖，在面積為1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CF交AB邊于E,求三角形AEF和三角形CDF的面積之和。【例5】（難度等級(jí) ）如右圖BE=BC，CD=AC，那么三角形AED的面積是三角形ABC面積的幾分之幾？【例6】（難度等級(jí) ）如圖所示，四邊形ABCD與AEGF都是平行四邊形，請(qǐng)你證明它們的面積相等【例7】（難度等級(jí) ）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，Y是BD的中點(diǎn)，Z是DY的中點(diǎn)，如果AB=24

5、厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面積【例8】（難度等級(jí) ）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4厘米，EF和BC平行， ECH的面積是7平方厘米，求EG的長(zhǎng)?！纠?0】（難度等級(jí) ）如圖已知四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10厘米，那么圖中陰影三角形BFD的面積為多少平方厘米? 【例11】（難度等級(jí) ）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被切成8塊，其中三塊的面積分別為12，23，32，則圖中陰影部分的面積為?【例12】（難度等級(jí) ）如圖，平行四邊形ABCD周長(zhǎng)為75厘米，以BC為底時(shí)高是14厘米；以CD為底時(shí)高是16厘米。求平行四邊形ABCD的面積?！纠?3】（難度等級(jí) ）如右圖，正方形

6、ABCD的邊長(zhǎng)為6厘米，ABE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積.【例14】（難度等級(jí) ）如圖，三角形ABC被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾？【例15】（難度等級(jí) ）某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對(duì)角線AC、BD分成四個(gè)部分，AOB面積為1平方千米，BOC面積為2平方千米，COD的面積為3平方千米，公園陸地的面積是6.92平方千米，求人工湖的面積是多少平方千米？【例16】（難度等級(jí) ）圖中是一個(gè)正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米問：陰影部分的面積是多少平方厘米?【作業(yè)】1. 如圖，三角形中，三角形

7、ADE的面積是20平方厘米，三角形的面積是多少？2. 如右圖所示，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49那么圖中陰影部分的面積是多少？3. 右圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長(zhǎng)是4厘米， 求三角形ABC的面積。4. 如圖，平行四邊形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四邊形ABCD的面積是2， 求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比. 5. 如圖，在ABC中，延長(zhǎng)BD=AB，CE=BC，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，若ABC的面積是2，則DEF的面積是多少？【例1】（難度等級(jí) ）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積是56平方厘米，點(diǎn)E、F、G分

8、別是長(zhǎng)方形ABCD邊上的中點(diǎn)，H為AD邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積.【分析與解】 如右圖，連接BH、HC，由E、F、G分別為AB、BC、CD三邊的中點(diǎn)有AE=EB、BF=FC、CG=CD.因此S1=S2，S3=S4，S5=S6,而陰影部分面積=S2+S3+S6，空白部分面積=S1+S4+S5.所以陰影部分面積與空白部分面積相等，均為長(zhǎng)方形的一半，即陰影部分面積為28.【例2】（難度等級(jí) ）如右圖，ABFE和CDEF都是矩形，AB的長(zhǎng)是4厘米，BC的長(zhǎng)是3厘米，那么圖中陰影部分的面積是_平方厘米【分析與解】 上排4個(gè)陰影三角形的高都等于BF，底邊之和恰好為AB，他們的面積之和為；下排4個(gè)三角

9、形的高都等于CF，底邊之和恰好為CD，他們的面積之和為.所以陰影部分面積為:(平方厘米).【例3】（難度等級(jí) ）如圖，在三角形ABC中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E、F分別為AB和AC的中點(diǎn)，那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？【分析與解】首先，平方厘米，而F是AC中點(diǎn)，所以.又E是AB中點(diǎn)，所以平方厘米. 【例4】（難度等級(jí) ）如圖，在面積為1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CF交AB邊于E,求三角形AEF和三角形CDF的面積之和。【分析與解】 連接DE,于是三角形AEF的面積=三角形EFD的面積，所求被轉(zhuǎn)化為三角形EDC的面積。因?yàn)镕是AD中點(diǎn)，所以三角形AEC的

10、面積和三角形EDC的面積相等，設(shè)SBDE為1份,則SAEC=SEDC為3份 因此SABC一共7份，每份面積為 所以SEDC占3份為?！纠?】（難度等級(jí) ）如右圖BE=BC，CD=AC，那么三角形AED的面積是三角形ABC面積的幾分之幾？【分析與解】 上圖中，三角形AEC與三角形ABC的高相等，而BE=BC，于是EC=BC， 又由于三角形AED與三角形AEC的高相等，而CD=AC,于是AD=AC, 所以，三角形AED的面積=×三角形AEC的面積=××三角形ABC的面積 =×三角形ABC的面積 【例6】（難度等級(jí) ）如圖所示，四邊形ABCD與AEGF都是平行

11、四邊形，請(qǐng)你證明它們的面積相等【分析與解】連接BE顯然有，所以【例7】（難度等級(jí) ）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，Y是BD的中點(diǎn)，Z是DY的中點(diǎn)，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面積【分析與解】平方厘米因?yàn)閅是BD中點(diǎn)，Z是DY中點(diǎn)，所以【例8】（難度等級(jí) ）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4厘米，EF和BC平行， ECH的面積是7平方厘米，求EG的長(zhǎng)?！痉治雠c解】×EG×AE +×EG×EB = 7平方厘米即×EG×AB=7平方厘米；EG=3.5厘米【例10】（難度等級(jí) ）如圖已知四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且正方

12、形ABCD的邊長(zhǎng)為10厘米，那么圖中陰影三角形BFD的面積為多少平方厘米? 【分析與解】 連接CF由ABCD和CEFG都是正方形有所以.由平行線間距離相等知三角形BDF和三角形BDC同底等高所以【例11】（難度等級(jí) ）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被切成8塊，其中三塊的面積分別為12，23，32，則圖中陰影部分的面積為?【分析與解】 如右圖，已知a+b+x=23+a+32+12+b所以 x=23+32+12 x=67.【例12】（難度等級(jí) ）如圖，平行四邊形ABCD周長(zhǎng)為75厘米，以BC為底時(shí)高是14厘米；以CD為底時(shí)高是16厘米。求平行四邊形ABCD的面積?！痉治雠c解】BC×14=CD×

13、;16，BC：CD=16：14，BC+CD=，BC=×=20ABCD面積=14×20=280（平方厘米）【例13】（難度等級(jí) ）如右圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6厘米，ABE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積.【分析與解】因?yàn)锳BE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，所以四邊形AECF的面積與ABE、ADF的面積都等于正方形面積的三分之一，也就是： 在ABE中，因?yàn)锳B6.所以BE4，同理DF4，因此CECF2，ECF的面積為2×2÷22所以（平方厘米）【例14】（難度等級(jí) ）如圖，三角形ABC被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分

14、，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾？【分析與解】由BD=DC有；由，有.由鳥頭定理有，故.【例15】（難度等級(jí) ）某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對(duì)角線AC、BD分成四個(gè)部分，AOB面積為1平方千米，BOC面積為2平方千米，COD的面積為3平方千米，公園陸地的面積是6.92平方千米，求人工湖的面積是多少平方千米？【分析與解】由任意四邊形的蝴蝶定理有所以平方千米，故公園總面積為平方千米，人工湖面積為平方千米【例16】（難度等級(jí) ）圖中是一個(gè)正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米問：陰影部分的面積是多少平方厘米?【分析與解】 如下圖所示，為了方便所敘，將某些點(diǎn)標(biāo)上字母，并連接BG設(shè)AEG的面積為x，顯然EBG、BFG、FCG的面積均為x，則ABF的面積為3x，即，那么正方形內(nèi)空白部分的面積為. 所以原題中陰影部分面積為 (平方厘米)【作業(yè)】1. 如圖，三角形中，三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形的面積是多少？【答案】1202. 如右圖所示，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49