數(shù)學(xué)解方程方法

1、如何解初中出現(xiàn)的幾種方程一 、一元一次方程解法步驟：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。一般解法：1.去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)（不含分母的項(xiàng)也要乘）；2.去括號(hào)：先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)；(記住如括號(hào)外有減號(hào)的話一定要變號(hào)）3.移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊；移項(xiàng)要變號(hào)4.合并同類(lèi)項(xiàng)：把方程化成ax=b(a0)的形式；5.系數(shù)為成1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=b/a. 一元一次方程具體解題例題：例1小船在靜水中速度為12千米每小時(shí)，水流速度是3千米每小時(shí)。小船先從上游甲點(diǎn)順流而下到乙點(diǎn)，又從乙點(diǎn)逆流而

2、上到丙點(diǎn)（丙在甲的上游），兩段行程共花費(fèi)2小時(shí)，已知甲丙相距10千米，求甲乙相距多遠(yuǎn)？】分析： 本題關(guān)鍵句為兩段行程共花費(fèi)2小時(shí)，就是甲->乙，乙->丙兩段時(shí)間和是2小時(shí)。 上游 >>->>->> 下游 丙 10 千米 甲 ? 乙順?biāo)?靜水船速+水流速度.船從甲到乙的速度是（12+3）千米每小時(shí)逆水船速=靜水船速- 水流速度. 船從乙到丙的速度是（12-3）千米每小時(shí)解：設(shè)甲乙相距距離為x 由題意得到這個(gè)方程 ： 看看如何解這個(gè)方程，我們套用上面的步驟，1.去分母2.去括號(hào)3.移項(xiàng)4.合并同類(lèi)項(xiàng)5.系數(shù)為成1。這個(gè)方程應(yīng)該先整理方程，在去分母

3、，但是去分母之后沒(méi)有括號(hào)，則這一步省略，然后移項(xiàng)，再合并同類(lèi)項(xiàng)，最后系數(shù)化為1，所以說(shuō)我們不要生搬硬套解一元一次方程的解法，該省則省，要靈活變通，活學(xué)活用。 （整理方程） （去分母） 3x+5x+50=90 （移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)） x=5 （系數(shù)化為1）答：甲乙相距5千米。例2一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字少1，若把這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字跟個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，得到的新三位數(shù)比原三位數(shù)小396，求原三位數(shù)】分析：先找關(guān)鍵句-“若把三位數(shù)的百位數(shù)字跟個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)以后得到的新三位數(shù)比原三位數(shù)小396”，做這道題還要會(huì)用x表示三位數(shù)。 若設(shè)原三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是x，由題意十位數(shù)字為x+1，

4、百位數(shù)字是2（x+1）原來(lái)三位數(shù)大小可表示為2（x+1）×100+（x+1）×10+x 對(duì)調(diào)后新的三位數(shù)個(gè)位數(shù)字是2（x+1），則十位數(shù)字為x+1，百位數(shù)字是x新三位數(shù)大小可表示為100x+（x+1）×10+2（x+1）解：設(shè)原來(lái)三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是x由題意得到方程（x+1）×100+（x+1）×10+x=100x+（x+1）×10+2（x+1）+396我們來(lái)分析一下這個(gè)方程的解法，第一步還是先看看解一元一次方程的步驟，1.去分母2.去括號(hào)3.移項(xiàng)4.合并同類(lèi)項(xiàng)5.系數(shù)為成1。但是這一題中沒(méi)有分母，則這一步省略，但是第二步我們是不是就去

5、括號(hào)，很顯然不是，我們發(fā)現(xiàn)等式的兩邊有兩個(gè)完全相同的代數(shù)式（x+1）×10,所以我們先約去，第三步我們?cè)谌ダㄌ?hào)，第四步在移項(xiàng)，第五步在合并同類(lèi)項(xiàng)，第六步在系數(shù)化為1.如果這里不先約去兩個(gè)代數(shù)式，則解這一題相對(duì)來(lái)說(shuō)比較麻煩，一元一次方程的解法步驟，我們要牢記，但是一定要注意靈活運(yùn)用，且應(yīng)注意簡(jiǎn)便的省時(shí)間的方法。2（x+1）×100+（x+1）×10+x=100x+（x+1）×10+2（x+1）+396（約去代數(shù)式) 2（x+1）×100+x=100x+2（x+1）+396(去括號(hào)） 200x+200+x=100x+2x+2+396 （移項(xiàng)，合并同

6、類(lèi)項(xiàng)） 99x=198 （系數(shù)化為1） x=2原來(lái)的數(shù)字個(gè)位2，十位x+1=3，百位2（x+1）=6。該三位數(shù)為632答：原來(lái)的三位數(shù)是632二 、解一元二次方程的基本思想方法是通過(guò)“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開(kāi)平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 一元二次方程具體解法例題 :例1、直接開(kāi)平方法把方程ax2+c0(a0)，這解一元二次方程的方法叫做直接開(kāi)平方法。 （移項(xiàng)） 2=8 =4 （二次項(xiàng)系數(shù)化為1） x=±2 （開(kāi)平方） 例2、配方法將一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c0(a0)；把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，如ax2+b

7、x-c；方程的兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，例1解方程：2x235x解：移項(xiàng)，得：2x2-5x30，3、公式法只要是有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，均可將a，b，c的值代入兩根公式中直接解出，所以把這種方法=0的根。例題12x2+7x-40a2，b7，c-4b2-4ac72-4×2×(-4)49+3281例題2.4x2-a(3x-2a+b)-b20(a-2b0)x2-3ax+2a2-ab-b20a1，b-3a，c2a2-ab-b2b2-4ac(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)9a2-8a2-4ab+4b2a2-4ab+4b2(a-2b)2當(dāng)(

8、a-2b0)時(shí)，得4. 十字相乘法口訣：破首尾，交叉乘，和等中間剛好行。例題1、套用上面方法 可以分解為（x-2)(2x-1)=0解得=2 =三 、二元一次方程代入消元法（1）概念：將方程組中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，最后求得方程組的解. 這種解方程組的方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)代入法.（2）代入法解二元一次方程組的步驟選取一個(gè)系數(shù)較簡(jiǎn)單的二元一次方程變形，用含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)；將變形后的方程代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程（在代入時(shí)，要注意不能代入原方程，只能代入另一

9、個(gè)沒(méi)有變形的方程中，以達(dá)到消元的目的. ）；解這個(gè)一元一次方程，求出未知數(shù)的值；將求得的未知數(shù)的值代入中變形后的方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；用“”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解；最后檢驗(yàn)求得的結(jié)果是否正確（代入原方程組中進(jìn)行檢驗(yàn)，方程是否滿足左邊=右邊）.加減消元法例題： 由x+y=8得x=8-y把x=8-y代入，2x+3y=17y =1,把y=1代入2x+3y=17得：x =4說(shuō)以方程組的解為x=4,y =1。加減消元法（1）概念：當(dāng)方程中兩個(gè)方程的某一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊相加或相減來(lái)消去這個(gè)未知數(shù)，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后求得方程組的解，

10、這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱(chēng)加減法.（2）加減法解二元一次方程組的步驟利用等式的基本性質(zhì)，將原方程組中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)化成相等或相反數(shù)的形式；再利用等式的基本性質(zhì)將變形后的兩個(gè)方程相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程（一定要將方程的兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)，切忌只乘以一邊，然后若未知數(shù)系數(shù)相等則用減法，若未知數(shù)系數(shù)互為相反數(shù)，則用加法）；解這個(gè)一元一次方程，求出未知數(shù)的值；將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任何一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；用“”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解；最后檢驗(yàn)求得的結(jié)果是否正確（代入原方程組中進(jìn)行檢驗(yàn)，方程是否滿足左邊=右邊）消元:“消元”是解

11、二元一次方程的基本思路。所謂“消元”就是減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，使多元方程最終轉(zhuǎn)化為一元方程再解出未知數(shù)。這種將方程組中的未知數(shù)個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。例題1 乘以2得到：4x+6y=8 得到式，-式得10y=5得到y(tǒng)= ,把y= 代入式得到x= 所以方程解為x= y= . 預(yù)投欄目：初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)并不是對(duì)以前所教的知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的回憶和再現(xiàn)。最主要的是要通過(guò)對(duì)知識(shí)系統(tǒng)復(fù)習(xí)，使每一章節(jié)中的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，找出其變化規(guī)律、性質(zhì)相似之處及不同點(diǎn)等從而形成完整的知識(shí)體系，達(dá)到以點(diǎn)成線，以線成面，以面成體的目的，只有這樣學(xué)生才能把所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通。一、章節(jié)復(fù)習(xí)善于轉(zhuǎn)化我

12、國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生指出“學(xué)習(xí)有兩個(gè)過(guò)程，一個(gè)是從薄到厚，另一個(gè)是從厚到薄”，前者是“量”的積累，后者則是質(zhì)的飛躍，教師在復(fù)習(xí)過(guò)程中，不僅應(yīng)該要求學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)、典型的例題進(jìn)行反思，而且還應(yīng)該重視對(duì)學(xué)生鞏固所學(xué)的知識(shí)由“量”到“質(zhì)”的飛躍這一轉(zhuǎn)化過(guò)程。按常規(guī)的方式進(jìn)行復(fù)習(xí)，通常是按照課本的順序把學(xué)生學(xué)過(guò)的知識(shí)，如數(shù)學(xué)概念、法則、公式和性質(zhì)等原本地復(fù)述梳理一遍。這樣做學(xué)生感到乏味又不易記憶。針對(duì)這一情況，我在復(fù)習(xí)概念時(shí)，采用章節(jié)知識(shí)歸類(lèi)編碼法，即先列出所要復(fù)習(xí)的知識(shí)要點(diǎn)，然后歸類(lèi)排隊(duì)，再用數(shù)字編碼，這樣做可增加學(xué)生復(fù)習(xí)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生的記憶和理解，最主要的是起點(diǎn)了把章節(jié)知識(shí)由量到質(zhì)的飛躍，實(shí)

13、現(xiàn)厚薄間的轉(zhuǎn)化。 例如，復(fù)習(xí)“直線、線段、射線”這一節(jié)內(nèi)容，我把主要知識(shí)編碼成（1）（2）（3）（4）。（1）一個(gè)基礎(chǔ)；（2）兩個(gè)要點(diǎn)；（3）三種延伸；（4）四個(gè)異同點(diǎn)。這種復(fù)習(xí)提綱一提出，學(xué)生思維立即活躍，有的在思維，有的在議論，有的在閱讀課本，設(shè)法尋找提綱的答案，我趁勢(shì)把知識(shí)進(jìn)行必要的講解和點(diǎn)撥，其答案如下：（1）一個(gè)基礎(chǔ)。是指以直線為基本圖形，線段和射線是直線上的一部分。（2）兩個(gè)要點(diǎn)。兩點(diǎn)確定一條直線；兩條直線相交只有1個(gè)交點(diǎn)。（3）三種延伸。三種圖形的延伸。直線可以向兩方無(wú)限延伸；線段不能延伸；射線可以向一方無(wú)限延伸。（4）四個(gè)異同點(diǎn)。端點(diǎn)個(gè)數(shù)不同；圖形特征不同；表示方法不同；描述的

14、定義不同；事實(shí)證明，這種善于轉(zhuǎn)化的復(fù)習(xí)確實(shí)能提高復(fù)習(xí)效率。二、例題講解善于變化復(fù)習(xí)課例題的選擇，應(yīng)選擇最有代表性和最能說(shuō)明問(wèn)題的典型習(xí)題。應(yīng)能突出重點(diǎn)，反映大綱最主要、最基本的內(nèi)容和要求。對(duì)例題進(jìn)行分析和解答，發(fā)揮例題以點(diǎn)帶面的作用，有意識(shí)有目的地在例題的基礎(chǔ)上作系列的變化，達(dá)到能挖掘問(wèn)題的內(nèi)涵和外延、在變化中鞏固知識(shí)、在運(yùn)動(dòng)中尋找規(guī)律的目的，實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)的知識(shí)從量到質(zhì)的轉(zhuǎn)變。例如，在復(fù)習(xí)二次函數(shù)的內(nèi)容時(shí)，我舉了這樣一個(gè)例題：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）與（-1，-1），開(kāi)口向上，且在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2。求它的解析式。因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象拋物線是軸對(duì)稱(chēng)圖形，由題意畫(huà)圖后，不難看出（-1，-1）

15、是頂點(diǎn)，所以可用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式y(tǒng)=-a(x+m)2+n，再求得它的解析式（解法略）。在數(shù)學(xué)中我對(duì)例題作了變化，把題例中的條件“拋物線在x軸上截得的線段2改成4”，求解析式。變化后，由題意畫(huà)圖可知（-1，-1）不再是拋物線的頂點(diǎn)，但從圖中看出，圖像除了經(jīng)過(guò)已知條件的兩個(gè)點(diǎn)外，還經(jīng)過(guò)一點(diǎn)（-4，0），所以可用y=a(x-x1)(x-x2)的形式求出它的解析式。再對(duì)例題進(jìn)行變化，把題目中的“開(kāi)口向上”這一條件去掉，求解析式。再次變化后，此題可有兩種情況(i)開(kāi)口向上；(ii)開(kāi)口向下；所有有兩個(gè)結(jié)論。由于條件的不斷變化，使學(xué)生不能再套用原題的解題思路，從而改變了學(xué)生機(jī)械的模仿性，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，尋找

16、解決問(wèn)題的途徑，達(dá)到了在變化中鞏固知識(shí)，在運(yùn)動(dòng)中尋找規(guī)律的目的。從而在知識(shí)的縱橫聯(lián)系中，提高了學(xué)生靈活解題的能力。三、解題思路善于優(yōu)化一題多解有利于引導(dǎo)學(xué)生沿著不同的途徑去思考問(wèn)題，可以優(yōu)化學(xué)生思維，因此要將一題多解作為一種解題的方法去訓(xùn)練學(xué)生。一題多解可以產(chǎn)生多種解題思路，但在量的基礎(chǔ)上還需要考慮質(zhì)的提高，要對(duì)多解比較，找出新穎、獨(dú)特的最佳解才能成為名副其實(shí)的優(yōu)解思路。在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)，我不僅注意解題的多樣性，還重視引導(dǎo)學(xué)生分析比較各種解題思路和方法，提煉出最佳解法，從而達(dá)到優(yōu)化復(fù)習(xí)過(guò)程，優(yōu)化解題思路的目的。如：已知2斤蘋(píng)果，1斤桔子，4斤梨共價(jià)6元，又知4斤蘋(píng)果，2斤梨，2斤桔子共價(jià)4元，現(xiàn)買(mǎi)

17、4斤蘋(píng)果，2斤桔子，5斤梨應(yīng)付多少錢(qián)？（解題略）本題妙在不具體求出每種水果的單價(jià)，而是使用整體解題的思路直接求出答案為8元。又如計(jì)算(6x+y/2)(3x-y/4)這是一題多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，本題從表面上看無(wú)規(guī)律可找，學(xué)生也習(xí)慣按多項(xiàng)式系數(shù)，發(fā)現(xiàn)第一個(gè)因式提出公因數(shù)2后，恰能構(gòu)成平方差公式的模型，顯然后一種解題思路優(yōu)于第一種解題的思路。再如，計(jì)算若此題把各因式計(jì)算后再相乘，很繁瑣，若能把各因式逆用平方差公式，再計(jì)算、約分，可以迅速地求出結(jié)果。在復(fù)習(xí)的過(guò)程中加強(qiáng)對(duì)解題思路優(yōu)化的分析和比較，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)和思維發(fā)展，能為學(xué)生培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)、創(chuàng)新的學(xué)風(fēng)打下良好的基礎(chǔ)。四、習(xí)題歸類(lèi)善于類(lèi)化考查同一知識(shí)點(diǎn)，可以從不同的角度，采用不同的數(shù)學(xué)模型，作出多種不同的命題，教師在復(fù)習(xí)時(shí)要善于引導(dǎo)學(xué)生將習(xí)題歸類(lèi)，集中精力解決同類(lèi)問(wèn)題中的本質(zhì)問(wèn)題，總結(jié)出解這一類(lèi)問(wèn)題的方法和規(guī)律。例如在復(fù)習(xí)應(yīng)用題時(shí)，我選下列4個(gè)題目作為例題。題目1：甲乙兩人同時(shí)從相距10000米的兩地相對(duì)而行，甲騎自行車(chē)每分鐘行80米，乙騎摩托車(chē)每分鐘行200米，問(wèn)經(jīng)過(guò)幾分鐘，甲乙兩人相遇？題目2：從東城到西城，汽車(chē)需8小時(shí)，拖拉機(jī)需12小時(shí)，兩車(chē)同時(shí)從兩地相向而行，幾小時(shí)可以相遇？題目3：一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需8天，乙隊(duì)單獨(dú)做需10天，兩隊(duì)合作需幾天完成？題目4：一池水單開(kāi)甲管8小時(shí)可以注滿，單開(kāi)乙管12小時(shí)可以完