圓錐曲線焦點(diǎn)三角形和焦點(diǎn)弦性質(zhì)的

1、圓錐曲線焦點(diǎn)三角形和焦點(diǎn)弦性質(zhì)的探討數(shù)學(xué)系 2008級(jí) 6班 唐流聰 指導(dǎo)教師XXX摘 要 ： 圓錐曲線是現(xiàn)行高中解析幾何學(xué)的重要內(nèi)容之一，且圓錐曲線知識(shí)既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，因而成為高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容。而圓錐曲線的主要內(nèi)容之一是過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦或直線的有關(guān)問(wèn)題，學(xué)生在求解此類題目時(shí)，常常感到無(wú)從下手。為解除這種困惑， 在全面研究了高中數(shù)學(xué)教材及要求的基礎(chǔ)上，通過(guò)分析、推導(dǎo)的方法，文章對(duì)橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)及圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)進(jìn)行了研究和探討，得出圓錐曲線焦點(diǎn)三角形的五條基本性質(zhì)，以便使學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)有一個(gè)更全面、更系統(tǒng)、更深刻的了解，從而進(jìn)一步提高運(yùn)用這些

2、性質(zhì)去解決相關(guān)題目的數(shù)學(xué)能力和應(yīng)用能力。關(guān)鍵詞 ：圓錐曲線；焦點(diǎn)三角形；性質(zhì)；焦點(diǎn)On the Properties of Conic Focal Point Triangleand Focal Point StringAbstract: The cone curve, as an important part of content of analytical geometry in present high school, is rated not only as a key point but also a difficulty in mathematics teaching in sen

3、ior high school, and so it becomes a key examination point in the college entrance examination. The most important content of cone curve is the problems concerning the string or straight line which passes through the conic focal point. Faced with this kind of questions, some students do not always k

4、now what to begin with. To relieve their confusion, this paper, on the basis of a thorough study of the mathematical teaching material for high schools and by means of analysis and deduction, probes into the nature of ellipse focal point triangle, the nature of hyperbolic curve focal point triangle

5、and the nature of conic focal point string, and points out five basic properties of the conic focal point triangle. These properties can help students further understand the conic knowledge systematically and improve their mathematics competence and application ability in solving mathematical proble

6、ms.Key words: cone curve; focal point triangle; properties; focal point1 引言圓錐曲線是現(xiàn)行高中解析幾何學(xué)的重要內(nèi)容之一，且圓錐曲線知識(shí)既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)而圓錐曲線的主要內(nèi)容之一是過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦或直線的相關(guān)問(wèn)題. 在求解這類問(wèn)題時(shí)，許多學(xué)生常常感到束手無(wú)策，部分學(xué)生由于計(jì)算量大的繁鎖，產(chǎn)生厭學(xué)數(shù)學(xué)的情緒為了解除這種困惑，培養(yǎng)或提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生掌握一定的解題方法或數(shù)學(xué)思想是很必要的在數(shù)學(xué)中，我們常常是利用性質(zhì)去討論問(wèn)題，因此，文章首先探討圓錐曲線焦點(diǎn)三角形及焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，然后再討論這些性質(zhì)的應(yīng)用.

7、圓錐曲線焦點(diǎn)三角形及焦點(diǎn)弦具有不少性質(zhì)，許多教師或?qū)＜乙炎鲞^(guò)研究.文獻(xiàn)2主要是對(duì)橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)進(jìn)行研究，而文獻(xiàn) 7主要是對(duì)雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)進(jìn)行研究.文獻(xiàn)2、7都是孤立地進(jìn)行探討，缺乏系統(tǒng)性，顯得單.文獻(xiàn)1、10主要圍繞焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓將橢圓焦點(diǎn)三角形與雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)結(jié)合起來(lái)探討,彌補(bǔ)了文獻(xiàn)2、7的不足之處.文獻(xiàn)9主要是探討圓錐曲線焦點(diǎn)弦的幾何特征.作為一個(gè)有機(jī)整體的圓錐曲線焦點(diǎn)三角形，探求其所具有的共同特征的性質(zhì)應(yīng)該是一件非常有意義的事情對(duì)文獻(xiàn)進(jìn)行分析、研究的基礎(chǔ)上，文章主要是結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程的要求,的性質(zhì)，雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)及圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)作一定的探討， 集中

8、或進(jìn)行了一定的擴(kuò)展， 讓學(xué)生對(duì)其有一個(gè)更全面、 更深刻的了解, 運(yùn)用這些性質(zhì)去解決相關(guān)問(wèn)題的數(shù)學(xué)素質(zhì)和應(yīng)用能力.對(duì)橢圓焦點(diǎn)三角形將其系統(tǒng)地歸納 從而進(jìn)一步提高學(xué)生2圓錐曲線焦點(diǎn)三角形的定義及性質(zhì)圓錐曲線上一點(diǎn)與其兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形叫做圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形2.1橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)11(a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)Fi, F2及橢圓上任意一點(diǎn)P (除長(zhǎng)軸上兩個(gè)端點(diǎn)外)為頂點(diǎn)的 .2F1PF2,叫做橢圓的焦點(diǎn)三角形設(shè) F1PF2二，PFF2= , PF2F1 = 3 ,橢圓的離心率為 e,則有以下性質(zhì):性質(zhì)1PF1PF22b21 cos證明：在 F1PF2中，由余弦定理，有22 PF1 PF2 4a2

9、PF1PF22P PF?cosF1F222(2c)2PF1PF22aPF1PF24a22PF1 PF2 2PF1 PF2cos4c2整理，得PF1 PF22b21 cos例1如圖2: F1、2 xF2分別為橢圓-2 a2-y2- 1(a b b0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，POF2是面積為21入手，即1的正三角形，求 b2的值.分析：此題按常規(guī)思路是從S pof2c 1 -S -OF2 PO sin 602且2,44.3求得c2.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為3c、3一,c .22由于點(diǎn)P在橢圓上，有2c4a2b23c24b222c a解此方程組就可得到 b2的值.但這涉及到解二元二次方程組，計(jì)算量很

10、大，非常麻煩.若用性質(zhì)1求解可使運(yùn)算得以簡(jiǎn)化.解：連接PF1,則 F1PF290 ,有S POF 21s2FFF 2性質(zhì)2 SFFF 21PF1 PF2 sin902b24 1 cos902."二 sin 90b2 tan .2證明：由性質(zhì)1得S F1PF2PF1 PF2 sin1 2by2-1( a b 0)上任一點(diǎn)，且b2 sin2 1 cos2 sinb 1 cosb2 tan .2例2已知F12 x F2是橢圓642 y251的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，且F1PF2求F1PF2的面積.3大且過(guò)程繁雜，須另尋捷徑.知道F1PF2一,可以直接利用性質(zhì) 2求解，使運(yùn)算量簡(jiǎn)3分析：

11、如果設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, y）,由P點(diǎn)在已知橢圓上且F1PF2 一，利用這兩3F1PF2的面積，這種方法，運(yùn)算量個(gè)條件，列出關(guān)于 x, y的兩個(gè)方程，解出 x , y .再求化.解：S F1PF2 b2 tanS F1PF225 tan-625 . 33例3已知點(diǎn)P(x0,y0) (y02 x 0)是橢圓 aF1PF2證明:.求證：yS F1PF2S F1PF222cb2c12 b2V。tan .211.F1F2 h - 2c |yotan2b2 tan 2yo 0b2y。tan .222例4點(diǎn)P是橢圓x- y 1上一點(diǎn)，以點(diǎn) P以及焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的面 54積等于1,求點(diǎn)P的坐標(biāo)

12、.分析：要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，不妨設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x0,y0）,由P點(diǎn)在已知橢圓上和 F1PF2的面積等于1,可列兩個(gè)方程，解方程可得點(diǎn)3P的坐標(biāo).此題也可在例3的基礎(chǔ)上進(jìn)行求解PF1PF2 2a解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x0,y0）,則有b .S fe 1yotan-c 2 c cc .a2 b2 1yo1y01.2215把y01代入1 得x0-.542點(diǎn)P坐標(biāo)為（*），彎，1），既1),2b ,、性質(zhì) 3 Oarccos(2- 1).a證明：由正弦定理，有PF1I|PF2|F1 F2sinsinsinPF1|PF2sin sinsin sin"1F2sin sin180()sin sinsin(

13、 )2 sincos222 sin cos221sin 21 20scos/2 _L_cos cos22FR2 4c* 2 4(a2 b2)2a2"2_ 2b2. 1 costan 2,2b 1 cos22cos因?yàn)?2b a當(dāng)點(diǎn)P在長(zhǎng)軸上的端點(diǎn)0 ,這時(shí)，F(xiàn)1PF2不存在，因此，arccos(2b2 a1) 4.性質(zhì)4 離心率cose 2cos證明：由正弦定理，有PFiPF2sin sinF1F2 sinF1F2sin(F1F2PFiPF2sin( sin) sin2sin cos222sin cos22cos 2cos2例5 （2004年福建高考題）已知 F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦

14、點(diǎn)，過(guò) F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于 A、B兩點(diǎn)，若 ABF2是正三角形，求這個(gè)橢圓的離心率5分析：由 ABF2是正三角形可知AF22 AF1 ,根據(jù)橢圓的第一定義可求得AF22 一一 2a.再由 cos303FlF2AF2可求得離心率e.若用T質(zhì)4解題，求解更簡(jiǎn)便.解：根據(jù)已知條件有AF1F2 90 , F1F2A 30 .（如圖3）cos290308s2 cos 60.3cos29030 cos 303cos2圖31 e性質(zhì) 5 tan tan 221 e證明：由正弦定理，有PFi|PF2|IF1F2sinsinsin|Fi F2Isinsin( )PF1| |PF2|sin sin

15、 sin sinc sin( )e -a sin sin2sincos222sincos22cos cos cos sin sin22222cos coscossinsin 222221 tan tan 221 tan tan 一22tan222例6 如圖4, P是橢圓斗、1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、 F2是焦點(diǎn)，已知 a b _6PF1F2, PF2F1 2，求橢圓的離心率分析：知道 PF1 F2圖4PF2F12，我們可以直接利用性質(zhì) 5解題.解：由性質(zhì)5有21 etan tan-221 esin22 sinsincos2cos2cos - cos221 cos21 e21cos cos 1 e化簡(jiǎn)，得

16、e 2cos 1.1(a 0,b2.2雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2及雙曲線上任意一點(diǎn) P （除實(shí)軸上兩個(gè)端點(diǎn)外）為頂點(diǎn)的F1PF2,叫做雙曲線的焦點(diǎn)三角形7設(shè) FiPF2= ， PFiF2 =PF2F1 = 3 ,雙曲線的離心率為 e ,則有以下性質(zhì):性質(zhì)1PFi PF2證明：在 F1PF2中,PFiPF1PF1由得PF1設(shè)F1和F1PF2解:性質(zhì)2b21 cos由余弦定理，有PF2PF2PF2PF22 PF1PF2cosF1F22(2c)22a2PF12b21 cos2xF2為雙曲線16F1PF2的面積.PF1 PF2PF24a22b21 cosPF1 PF2 sin90%

17、pf2b2cot.2證明：由性質(zhì)1得F1PF2PF1 PF22 1 cos獨(dú)一sin1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)9- 181 cos909.sin1 cosP在雙曲線上且滿足tan2cot 21 cos sin sin1 cosS F1PF2b2 cot .2例2已知點(diǎn)F1 （同）、F2 （厄0）,動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2PFi 2 .當(dāng)點(diǎn)P的縱，11,一坐標(biāo)是1時(shí)，若令2F1PF2，求cot 一的值.2解：由雙曲線的第一定義可知點(diǎn)P的軌跡方程為y2 1(x 0).則 b2 1,c22.所以FiPF 2F1PF2分析:b2cot一212cot-222 X設(shè)點(diǎn)P（x。，y。）（ y。0）是雙曲線ab2,求證：y 一

18、 cot .c 22 y b21（a 0,b 0）上任一點(diǎn)，此題根據(jù)已知條件列方程求解， 計(jì)算量大且過(guò)程繁瑣， 應(yīng)另外尋求解法，由于y。和F1PF2的高相等，不妨從F1PF2的面積入手進(jìn)行求解-1 _ _證月：S F1PF2 2 F1F2 y02S f1Pf2 b cot 21cl , 2,-2c y0b cot22y°0b2y0 cot .c 2sin性質(zhì)3離心率 e 2c a22.2一2x2(e21)x2,若能求出e的值，則漸近線方程就求出.知道a一().sin2證明：由正弦定理，有PFi|咀jFiF|FE|sin sin sin sin( )sin sinPFi| |PF2|F

19、iF2|.sin sin sin( )即accos sin sin cos2222又 o, cos 02sin2sin22例4 (2002年上海高考題)如圖6,已知Fi、F2為雙曲線當(dāng) 1(a 0,b 0) b2的焦點(diǎn)，過(guò)F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn) P,且 PF1F2 30 .求雙曲線的漸近線方程.b分析：由于雙曲線的漸近線萬(wàn)程為y -x ,若能求出a, b的值，漸近線方程就可ab確te .在此題中，我們不易求出a , b的值，我們將y 已x作一下變形，b2aPF1F2PF2F190 ,利用性質(zhì)4可求e.sin 60sin30sin解： e 2sin222y 2xy 2x.(1)當(dāng)P點(diǎn)

20、在雙曲線右支上時(shí)e 1 tan cot - 22 e 1(2)當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線左支上時(shí)tan cot 22證明：(1)當(dāng)P點(diǎn)在雙曲線右支上時(shí)PF1PF22a.由正弦定理，有PF1|PF2|"1F2sinsinsinPF1I 四2 sin sin sin sin|F1 F2|sinsin( )2a sin sin2c sin( )e c)a sin sin2sincos222cossin22sin sin cos cos sin 22222sin sin cos cos sin 222221 tan cot221 tan cot22tan cot 22例5 （2005年福建高考題）已知2

21、 x F1、52是雙曲線一2 a2yy 1(a 0,b 0)的兩焦點(diǎn), b2以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，求雙曲線的離心率8NF1F260 所以解：連接F2N ,則 NF2F1 303060e 1tancot.22e 1,“ e 1tan 15 cot 30e 1tan15 tan(45 30 )tan 45 tan301 tan 45 tan 30(2. 3)3e .3 1.3圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)性質(zhì)1過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于點(diǎn)P、Q ,A、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)N , A2P和A1Q交于點(diǎn)M ,則MF NF .NyM P2

22、證明：如圖，設(shè)橢圓的方程為 今 a2氏1(ab 0）,則可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（c,0）,點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（acos,bsin),(acos,bsin ),則A1P的方程為bsina(1 cos )(x a).A2Q的方程為bsina(cos 1)(x a).由得asin sinsin( )a cos2由于點(diǎn)P、F、Q共線,bsinacos化簡(jiǎn)，得asin(2asin 2sin 02sin( ) sin sincos2則有bsinacosc(sincos2sin )2c cos sin 22cos2cos2將式代入式,所以，點(diǎn)N的坐標(biāo)為bsin (a % ).c(cos 1)同理，點(diǎn)M的坐標(biāo)為b

23、sin (a c)網(wǎng) ) .c(cos 1)K MF K NF(a222. 2c )b sin2c2(cos21) ( c)2c性質(zhì)2軸上的頂點(diǎn),MFNF.過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，Ai、A2為雙曲線實(shí)A1P和A2Q相交于點(diǎn)N , A1Q和A2P相交于點(diǎn)M ,則MF NF .證明與性質(zhì)1的證明類似，從略.性質(zhì)3過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn) P、Q , A為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的平行線交AQ于點(diǎn)M ,過(guò)Q點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的平行線交AP于點(diǎn)證明：設(shè)拋物線方程為x22py(p0),則點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)可分別設(shè)為一 22、 一 22、(2pti ,2pti )

24、, (2血，2血).因?yàn)镻、F、Q三點(diǎn)共線，所以2pt： p2 Pt22 p2 22pti2 Pt2化簡(jiǎn)，得4t1t21 .又PA的方程為y tix,QN的方程為x 2 Pt2, 由得_py 2Ptit21.即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2 pt2, R).2同理點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2 pt1, £)阿K MF K NFP P2pti 2 Pt2即MF NF.4總結(jié)文章主要是在對(duì)文獻(xiàn)進(jìn)行分析、研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程的要求，將具有共同特征的橢圓焦點(diǎn)三角形與雙曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)地歸納集中，得出五條基本性質(zhì)，并采用初等方法進(jìn)行了證明，對(duì)圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)進(jìn)行有機(jī)統(tǒng)一，讓學(xué)生對(duì)其有一個(gè)更全面、更深刻的了解，從而進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用這些性質(zhì)去解決相關(guān)問(wèn)題的數(shù)學(xué)素質(zhì)和 應(yīng)用能力.參考文獻(xiàn)1唐永金.圓錐曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)探微J.數(shù)學(xué)通報(bào)，2000,(9):24 25.2熊光漢.橢圓焦點(diǎn)三角形的若干性質(zhì)J.數(shù)學(xué)通報(bào)，2004,(5):24 25.3人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(必修)數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)M,北京：人民教育出版社，2004.4李迪淼.關(guān)于橢圓的十個(gè)最值問(wèn)題J.數(shù)學(xué)通報(bào)，2002,(4):24 25.5任志鴻.十年高