復(fù)數(shù)知識點及題型歸納總結(jié)

1、復(fù)數(shù)知識點及題型歸納總結(jié)知識點講解、基本概念(1) i 叫虛數(shù)單位，滿足 i21 ,當(dāng) k Z 時，i4k 1,i4k1 i,i4k21,i4k 3 i .(2)形如a bi(a,b R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作 a bi C .復(fù)數(shù)z a bi(a,b R)與復(fù)平面上的點 Z(a,b)一對應(yīng)，a叫z的實部，b叫z的虛部;b 0 z R, Z點組成實軸；b 0,z叫虛數(shù)；b 0且a 0,z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應(yīng)點組成虛軸 (不 包括原點)。兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軻復(fù)數(shù)一 *一,一一 ac 一一，、一，兩個復(fù)數(shù)a bi,c di(a,b, c,d R)相等(兩復(fù)數(shù)對應(yīng)同一點)b d uu

2、uuuu復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)a bi(a, b R)的模，也就是向量 OZ的模，即有向線段 OZ的長度，其計算公式為 | z| | a bi | a2 b2 ,顯然，|z| |a bi |a2 b2, z z二、基本性質(zhì)1 .復(fù)數(shù)運算(1) (a bi) (c di) (a c) (b d)i(2) (a bi) (c di) (ac bd) (ad bc)i(a bi) (a bi) z z a2 b2 |z|2(注意 z2 |z|2)z z 2a其中1z| Ja2 b2 ,叫z的模；z a bi是za bi的共軻復(fù)數(shù)(a，bR).(3)a bic di(a bi) (c di)(c di) (c

3、 di)(ac bd) (bc ad)i 22c2T(c d0).實數(shù)的全部運算律(加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)募運算法則)都適用于復(fù)數(shù) 2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z a bi (a, b R)對應(yīng)平面內(nèi)的點z(a,b)；uuu(2)復(fù)數(shù)z a bi (a, b R)對應(yīng)平面向量 OZ ；(3)復(fù)平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復(fù)數(shù)(4)復(fù)數(shù)z a bi (a, b R)的模| z |表示復(fù)平面內(nèi)的點 z(a,b)到原點的距離.題型歸納與思路提示題型1復(fù)數(shù)概念及其代數(shù)運算思路提示無論是復(fù)數(shù)模、共軻復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運算都要認清復(fù)數(shù)包括

4、實部和虛部兩部分，所以在解決復(fù) 數(shù)有關(guān)問題時要將復(fù)數(shù)的實部和虛部都認識清楚例15.1下面關(guān)于復(fù)數(shù)zC-2Pl : z 2P2 ： z其中的真命題為(A. P2, P3解析因為z的四個命題：1 iP4 : z的虛部為 1D. P ,P2iP3：z的共軻復(fù)數(shù)為1 i)22( 1 i)1i ( 1 i)( 1 i)B . R, P2C . P , P=221 i,所以z J2, z ( 1 i) 2i , P3：z的共軻復(fù)數(shù)1 i , z的虛部為1.為1 i , P4 : z的虛部為 1, z的共軻復(fù)數(shù)為 其中的真命題為 p,p ,故選C .變式1設(shè)a,b R,i是虛數(shù)單位，則“ab 0"

5、是“復(fù)數(shù)a b為純虛數(shù)”的()iA.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件變式2 sin 21 i(J2cos1)是純虛數(shù)，則 ()A. 2k (k Z) B. 2k (k Z)44kC. 2k (k Z)D.一(k Z)424變式3復(fù)數(shù)z 1 i,z為z的共軻復(fù)數(shù)，則 zz z 1()A. 2iB. i C.i D.2i例15.2復(fù)數(shù)z滿足z i 2 i5,則z為A. -2-2 iB. -2+2 iC. 2-2 iD 2+2 i解析令 za bi, aR,b R,則 z i2i a b 1 i 2 i2(b 1) a i b 1 2a 5,2 b 1a

6、0. a 2一 一所以,解得 ，所以z 2 2i .故選D.2a b 1 5. b 22 變式1已知復(fù)數(shù)z 1 i ,則-一2z()z 1A. 2iB. 2i C. 2 D. 2變式2復(fù)數(shù)()1 2iA. iB.C.例 15.3 設(shè) a, bbi4511 7i1 2i3.i 5D. f 3i5 5為虛數(shù)單位）a b的值為解析據(jù)題abi117i1 2i(11 7i)(1(1 2i)(12i)2T2515i53i ,所以 a 5,b 3,從而 a b 8.故填8.變式1若1i =a+bi ,其中a, bR,i為虛數(shù)單位,變式2 若a, bR,i是虛數(shù)單位，且(ai)iA. a 1,b 1B. a

7、1,bC.1,bD. a1,b1例15.4方程x2A.3 2i6x13 0的一個根是B. 3 2iC.3iD. 2 3i解析解法一：設(shè)bi,則(a bi)26(abi)130,整理，得：（a2 b26a13) (2ab 6b)i0,a2 b2 6a 132ab 6b 0a 3 ,即b= 2-3 2i解法二：用求根公式求解:變式1若1 揚是關(guān)于A.b 2,c 3C.b 2,c1復(fù)數(shù)的幾何意義,4ac b2i2a3 2i ,故選Ax的實系數(shù)方程xB. b 2,cD. b 2,cbxc0的一個復(fù)數(shù)根，則（思路提示復(fù)數(shù)的幾何意義在于復(fù)數(shù)的實質(zhì)是復(fù)平面上的點，其實部、虛部分別是該點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，這是

8、 研究復(fù)數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點.例15.5若復(fù)數(shù)z滿足| z i | J2（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為解析設(shè) z x yi, x, y R,則有 | x (y 1)i |72,即 x2 (y21）2 ,所以z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形為以（0,1）為圓心,.2為半徑的圓，其面積為變式1已知5),貝愎數(shù)z (cos4sin ) i(sincos ）在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（變式2 0 a 2, z a i,|z|的取值范圍為（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限A. (1,3)B. (1,、,5)C. (1,3)D. (1,5)變式3 已知z C ,且| z 2

9、2i | 1 ,則| z 2 2i |的最小值為()A. 2B. 3C. 4D. 5例15.6若 C ,且1的實部為0,求復(fù)數(shù) -L-在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡.1112211解析令x yi(x, y R,x y 0),則 1,12 ,1x yix yi11所以1 (x yi)(22x 2yi 1 2x 1 2yi 其實部為 0,所以 2x 1 0(y R),這就1x yi是所求軌跡的方程，它是一條平行于虛軸的直線、, 、一 一一1變式1 設(shè)z是復(fù)數(shù)，z - R, 12.z(1) 求| z |及z的實部的取值范圍；(2) 若u L二，分析u是否為純虛數(shù)，并說明理由；1 z(3) 求u2的最小值有效訓(xùn)練題2iA. 1B.1C. iD. i2 .若復(fù)數(shù)z滿足z(2 i) 11 7i(i為虛數(shù)單位)，則z ()A. 3 5iB. 3 5iC.3 5iD.3 5i3 .設(shè)a,bR,“a 0”是“復(fù)數(shù)a bi是純虛數(shù)”的()A .充分而不必要條件B.必要而不充分條件C .充要條件D .既不充分也不必要條件234 .受數(shù)z滿足z +2=0,則z ()A.2拒iB.2歷C.272D. 272i5 .復(fù)數(shù)z滿足(2 i)z i ,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點所在的象限是()6 .已知復(fù)數(shù)z 2L ,則z的共軻復(fù)數(shù)Z ()2