函數(shù)方程的解法(論文)

1、巢湖學(xué)院2012屆本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目 淺談函數(shù)方程的解法 院（系） 數(shù)學(xué)系 專(zhuān)業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) 本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))誠(chéng)信承諾書(shū)本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。本人簽名：日期：13淺談函數(shù)方程的解法摘 要眾所周知，在數(shù)學(xué)之中有兩類(lèi)性質(zhì)截然不同的方程，其中一類(lèi)如我們中學(xué)學(xué)過(guò)的代數(shù)方程、三角方程等等，他的解

2、只是個(gè)別數(shù)值；而另一類(lèi)如我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中接觸過(guò)的隱函數(shù)方程，她的解則是函數(shù)，后一類(lèi)我們統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)方程。函數(shù)方程在我們平常生活中占有舉足輕重的低位，所以研究函數(shù)方程的解法具有非常重要的價(jià)值和必要。函數(shù)方程的解法千變?nèi)f化，十八世紀(jì)初期，歐拉、拉格朗日等數(shù)學(xué)大師就已經(jīng)用函數(shù)方程解決問(wèn)題了，著名數(shù)學(xué)家柯西就曾對(duì)下面的幾個(gè)函數(shù)方程做出了深入的研究，并且創(chuàng)立了一種求解函數(shù)方程的重要方法：柯西法。函數(shù)方程的探究不僅可以拓展我們對(duì)函數(shù)的理解，它在許多涉及數(shù)學(xué)的科學(xué)中有著重要的作用，所以有必要對(duì)函數(shù)方程進(jìn)行較為深入和廣泛的探討，以便對(duì)函數(shù)方程有著全面的認(rèn)識(shí)和理解。本文著重探討了函數(shù)方程的一些重要和常見(jiàn)解法，簡(jiǎn)單

3、的列舉一些實(shí)例來(lái)闡述一系列方法并加以總結(jié)。關(guān)鍵詞：函數(shù)方程；賦值法；數(shù)學(xué)歸納法；柯西法；解法Discussion on the function equationAbstract As everyone knows, in mathematics has two kinds of different equations, one of a kind as our high school algebra equations, trigonometric equation and so on, his solution is just the individual value; and anoth

4、er class as we in the mathematical analysis in contact with the implicit function equation, her solution is a function, we collectively referred to as function equation. Function equation in our daily life has play a decisive role in the low, so the study of function equation solution value is very

5、important and necessary. Function solution of the equation the myriads of changes, the early eighteenth Century, Euler, Lagrange, master of mathematics has been using function equation to solve the problem, the famous mathematician Cauchy had the following function equation to make an in-depth study

6、, and created a solution of function equation important method: Cauchy method. Function equation of inquiry can not only broaden our understanding of the function, it is involved in numerous mathematical science plays an important role, so it is necessary to function more thorough and wide-ranging d

7、iscussion, in order to function equation has a comprehensive knowledge and understanding. This paper focuses on the function equation of some important and commonly used method, simple enumerate some of examples of a series of methods and tries to sum up.Key words: Function equation, Assignment meth

8、od, Mathematical induction, Cauchy method, Solution目 錄前言一解函數(shù)方程的方法（一）換元法 1（二）待定系數(shù)法 2（三）遞推法 3（四）賦值法 5（五）解方程組法 5（六）數(shù)學(xué)歸納法 7（七）不動(dòng)點(diǎn)法 8（八）參數(shù)法 9（九）柯西法 10（十）解微分方程法 11結(jié)束語(yǔ) 13參考文獻(xiàn) 13前言如果函數(shù)在其定義域內(nèi)的一切值均滿(mǎn)足所給函數(shù)方程，那么稱(chēng)是該函數(shù)方程的解。函數(shù)方程的解是一個(gè)或幾個(gè)，甚至無(wú)限多個(gè)函數(shù)。有關(guān)函數(shù)方程方面的 題目大致可分為三類(lèi)：確定函數(shù)的表達(dá)式；確定滿(mǎn)足函數(shù)方程的函數(shù)的性質(zhì)；確定函數(shù)的值。在中學(xué)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也經(jīng)常遇到與函數(shù)方程

9、求解相關(guān)的問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題的分析,主要是直接求解某一給定的函數(shù)方程或根據(jù)數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題寫(xiě)出函數(shù)方程后再求解其它拓展問(wèn)題。求解這類(lèi)題型是有一定難度的,這些困難同函數(shù)方程本身有關(guān),因?yàn)闀簳r(shí)探索出解函數(shù)方程的方法還不全面,大量的函數(shù)方程至今仍未解出，本文重點(diǎn)介紹從函數(shù)方程中抽象、概括出來(lái)的幾類(lèi)常用的函數(shù)方程解法的分析。一.函數(shù)方程的解法(一)、換元法 換元法又叫定義法，它是已知復(fù)合函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)，求外函數(shù)，從而求出函數(shù)的表達(dá)式的一種方法。是解函數(shù)方程的基本方法之一。也就是對(duì)函數(shù)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，得到一個(gè)新的函數(shù)方程，從而得到原方程的解。例1.1 設(shè)且，求解。 解：不妨設(shè)，則有 故 所以有例

10、1.2 已知，求； 解：由題可知，令，則有 由此可得 化簡(jiǎn)之 故有 在使用換元法時(shí)，最好要要遵循有利于標(biāo)準(zhǔn)化有利于運(yùn)算的基本原則，還需注意的是換元后勿忘還元，而且換元后要注意變量范圍的確定，一定要使新變量的取值范圍相對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能擴(kuò)大也不能縮小。（二）、待定系數(shù)法當(dāng)我們知道函數(shù)的類(lèi)型及函數(shù)的某些特征，我們可以用待定系數(shù)法來(lái)解更為方便簡(jiǎn)潔。其基本解題步驟為（1）確定所求問(wèn)題含待定系數(shù)的解析式；（2）根據(jù)恒等條件，列出含待定系數(shù)的方程；（3）解方程或消去待定系數(shù)。例2.1 對(duì)任意R，函數(shù)滿(mǎn)足且試求函數(shù)方程的解解：根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)，我們先求出形如的解，其中是待定常數(shù)將代入方程得：即所以，

11、解得再設(shè)原方程的解為其中A，B是常數(shù)由得A=-2，B=3故原方程解為；例2.2 若 為多項(xiàng)式函數(shù)，求 解：為多項(xiàng)式函數(shù)，而 、不改變多項(xiàng)式的次數(shù)故為二次函數(shù)，不妨設(shè) 有 故可有 故即為所求，也可以驗(yàn)證它滿(mǎn)足題目中的條件需求。一般的，已知函數(shù)的類(lèi)型（有理函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)等等）或函數(shù)的某些特征（如已知函數(shù)在某一特殊點(diǎn)的值或周期性、對(duì)稱(chēng)性等），都可以考慮是否可以用待定系數(shù)法來(lái)求解。 （三）、遞推法函數(shù)方程的定義在正整數(shù)上時(shí),且方程是以遞推數(shù)列形式給出時(shí),我們可以使用遞推法求解之.從要求解的函數(shù)方程出發(fā)，從簡(jiǎn)單情況入手，逐步遞推，求出方程的解。遞推法對(duì)于實(shí)數(shù)集上的函數(shù)方程未必適用。遞

12、推法涉及到兩個(gè)方面的內(nèi)容，一類(lèi)是以遞推表達(dá)式為特征的函數(shù)方程形式，另一類(lèi)是以遞歸數(shù)列表達(dá)的函數(shù)方程形式。例3.1 定義在正整數(shù)上的函數(shù),且 求 解: 令,有即取得 累加得 所以例3.2 已知是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，滿(mǎn)足，且對(duì)任意，有：，求.解 由已知的函數(shù)方程，令，且，得 化簡(jiǎn)后，可得令累加得 將代入，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)可得故即為所求。若是定義在自然數(shù)集上的函數(shù).(確定常數(shù)) , 如果存在一個(gè)遞推(或遞歸) 關(guān)系,當(dāng)知道了前面項(xiàng)的值 由可唯一確定的值, 那么稱(chēng)為階遞歸函數(shù). 遞推法(或遞歸)是解決這類(lèi)函數(shù)方程的重要方法.（四）、賦值法給方程中的某些元素賦上具體的數(shù)值，再運(yùn)用數(shù)值的運(yùn)算或推理來(lái)解決問(wèn)題，

13、我們稱(chēng)此法為賦值法。例4.1已知函數(shù)滿(mǎn)足條件且對(duì)于任意的 有 (1) 試求 解：令代入(1)中我們可以得到 (2) 令代入(1)又可得 (3) 令代入(1)我們有 (4) (2)(3)(4)得 即為所求， 常見(jiàn)賦特殊值有0,1，-1等；此方法的特點(diǎn)是當(dāng)函數(shù)方程的自變量多于一個(gè)時(shí)，將其中的一個(gè)或幾個(gè)自變量用一些特殊值代入，常?？梢院?jiǎn)化方程，或求得未知函數(shù)在某些特殊點(diǎn)的值。這樣就能夠得到以簡(jiǎn)取縈、化難為易的效果。（五）、解方程組法將函數(shù)方程的變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q或幾次變量代換，得一個(gè)或多個(gè)新的函數(shù)方程，然后與原方程聯(lián)立，解方程組中的未知函數(shù)，即可得出所求的函數(shù)方程的解。例5.1 設(shè)是一切實(shí)數(shù)有定

14、義的函數(shù)，且 （1） 求解 ：基本思想: 消去，求解 令，代入式得 （2） ，代入式得： （3） 又： （4） 由方程組（2）（3）（4）得 即：例5.2 設(shè)，且 （1）求.解： 從原方程的形式可以看出，作變量代換是有作用的，代入（1）得，把這個(gè)式子中的改寫(xiě)成，得 （2） 再令，代入（1）中可得把換成，可得（3）把（1）、（2）、（3）聯(lián)立，就可以看成是一個(gè)關(guān)于的三元一次方程組。（1）+（2）-（3）解之，可得 例5.3 求解函數(shù)方程（1） 解：令，我們可以得到 于是（1）即為（2）將（2）中的換為可得 （3） 將（3）中的換為可得 （4） 同理可得到 （5） 得 故有（六）、數(shù)學(xué)歸納法 函數(shù)

15、迭代是特殊的函數(shù)復(fù)合形式，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有一定的地位，通常我們使用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)求解。例6.1 ，若 （1）求； ； ， 猜想 （2） 設(shè)時(shí)（2）成立，則當(dāng)，我們可以得到 。 故即為所求。數(shù)學(xué)歸納法常用來(lái)求定義在自然數(shù)上函數(shù)方程的解。所以數(shù)學(xué)歸納法的原理通常被規(guī)定為自然數(shù)公理。由自然數(shù)集N的任何非空子集必有最大數(shù)。產(chǎn)生第二數(shù)學(xué)歸納法：（1）若F(1)成立 （2）假設(shè)時(shí)F(n)成立，若F(R+1)也成立，則F(n)成立； （七）、不動(dòng)點(diǎn)法設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在使得成立，則稱(chēng)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)是由荷蘭數(shù)學(xué)家不勞威爾提出的。用圖像的話(huà)來(lái)說(shuō)，不動(dòng)點(diǎn)就是意味著函數(shù)與直線有公共點(diǎn)且此公共點(diǎn)為不動(dòng)點(diǎn)。運(yùn)用

16、函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)求解函數(shù)方程也是一個(gè)重要且有效地?cái)?shù)學(xué)方法。例2.7.1 已知：且滿(mǎn)足：（1）對(duì)任意的，有；（2）。 求函數(shù)。解： 令則很顯然是的不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)集為 令得，得故，所以有（舍去） 也就是是的不動(dòng)點(diǎn)，從而，所以下證是的惟一不動(dòng)點(diǎn)，假設(shè) 若，由得當(dāng)時(shí)，故 與已知矛盾 若，由得得，且，也矛盾 故只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。本題的求解關(guān)鍵是求出不動(dòng)點(diǎn)，然后得出此數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出它的通項(xiàng)公式。不動(dòng)點(diǎn)定理時(shí)應(yīng)用十分廣泛的定理，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以用到它的理論來(lái)解題，函數(shù)方程的解也不例外，同樣可以應(yīng)用它，而且有時(shí)會(huì)覺(jué)得比其它方法更為簡(jiǎn)單。（八）、參數(shù)法如果函數(shù)未知數(shù)較多，為求解簡(jiǎn)便，有時(shí)可增設(shè)一些參數(shù)（也

17、叫輔助未知數(shù)），以便更好地溝通數(shù)量關(guān)系，這叫設(shè)參數(shù)法；運(yùn)用參數(shù)法函數(shù)方程其基本步驟為：引入?yún)?shù)，消去參數(shù)，再求解；例 8.1 已知有 ，求 解：設(shè)所求函數(shù)的參數(shù)方程為消去參數(shù)就可以得到 從而有例 8.2 解函數(shù)方程。解 設(shè)所求函數(shù)參數(shù)方程為，消去參數(shù)就可以得到 又因?yàn)榛?，故所以（九）、柯西法在函?shù)的發(fā)展史上，許多函數(shù)方程的建立和解法都是由柯西提出的。比如柯西最早對(duì)方程加以研究，我們稱(chēng)此方程為柯西方程，由數(shù)學(xué)歸納法可知： ；當(dāng)時(shí)，有（1）時(shí)，取，則 （設(shè)） 時(shí)，（2）時(shí)， ，即時(shí)，（3）時(shí)，取，則 即時(shí)，（4）時(shí)，構(gòu)造滿(mǎn)足 則 綜合（1）、（2）、（3）、（4）可得柯西方程在解函數(shù)方程具有非常重

18、要的作用，許多函數(shù)方程都可以通過(guò)適當(dāng)方法轉(zhuǎn)化為柯西方程來(lái)求解；例9.1 用柯西法解解 因函數(shù)的定義域是正實(shí)數(shù).設(shè) 代入原方程得，令可得，它是我們上面說(shuō)的柯西方程故 代入可得不妨設(shè)，則有故，故所求函數(shù)為一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)；柯西解法的基本步驟是：依次求出對(duì)于已知自變量的所有自然數(shù)值、整數(shù)值、有理數(shù)值，直至所有實(shí)數(shù)值的函數(shù)方程的解。（十）、解微分方程法 采用微分法也是解函數(shù)方程的一個(gè)重要的方法，對(duì)有些函數(shù)方程可以采取對(duì)其中某一變量求導(dǎo)的方法來(lái)求解。例10.1 已知，求。 解： 令 可得 由導(dǎo)數(shù)的定義對(duì)于有 即，兩邊對(duì)積分可得，又，故 所以即為所求。例10.2 設(shè)連續(xù)，存在且，并且對(duì)于任意的都有 （1） 求。解：在（1）中令得，所以 于是有 故，令有即，兩邊積分令，則，所以故即為所求。結(jié)