復(fù)變函數(shù)與積分變換經(jīng)典PPT—復(fù)變函數(shù)44

1、x xy yz zs sn np p復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換第四章第四章 級數(shù)級數(shù)1. 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)2. 冪級數(shù)冪級數(shù)3. 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)4. 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)5. 第四章小結(jié)與習(xí)題第四章小結(jié)與習(xí)題0zrr2r.z1k2k1r. 1r2r.0z第第四四節(jié)節(jié) 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)問題的引入問題的引入1洛朗級數(shù)的概念洛朗級數(shù)的概念2小結(jié)與思考小結(jié)與思考5典型例題典型例題4函數(shù)的洛朗展開式函數(shù)的洛朗展開式3 . , )( 00的冪級數(shù)的冪級數(shù)是否能表示為是否能表示為不解析不解析在在如果如果zzzzf 一、問題的引入一、問題的引入問題問題:nnnzzc)(. 10 雙邊冪級數(shù)雙邊冪級

2、數(shù)負(fù)冪項(xiàng)部分負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分主要部分解析部分解析部分同時(shí)收斂同時(shí)收斂收斂收斂 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收斂半徑收斂半徑收斂收斂時(shí)時(shí),r 101rrzz 收斂域收斂域收斂半徑收斂半徑2r20rzz 收斂域收斂域:)1( 21rr 若若兩收斂域無公共部分兩收斂域無公共部分,:)2(21rr 兩收斂域有公共部分兩收斂域有公共部分.201rzzr r結(jié)論結(jié)論:的的收收斂斂區(qū)區(qū)域域?yàn)闉殡p雙邊邊冪冪級級數(shù)數(shù)nnnzzc)(0 .201rzzr 圓環(huán)域圓環(huán)域1r2r.0z常

3、見的特殊圓環(huán)域常見的特殊圓環(huán)域: :2r.0z200rzz 1r.0z 01zzr 00zz.0z:10 內(nèi)內(nèi)在圓環(huán)域在圓環(huán)域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析都不解析,但在圓環(huán)域但在圓環(huán)域10 z及及110 z內(nèi)都是解析的內(nèi)都是解析的.)1(1)(zzzf 而而1,1112 zzzzzn2. 問題問題: :在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開成級數(shù)成級數(shù)? ?,111zz 所以所以)1(1)(zzzf ,121 nzzzz即即在在)(zf10 z內(nèi)可以展開成級數(shù)內(nèi)可以展開成級數(shù).內(nèi)，內(nèi)，在圓環(huán)域在圓環(huán)域110 z也可以展開成級數(shù)：也

4、可以展開成級數(shù)：)1(1)(zzzf .)1()1()1(1)1(121 nzzzz nzzzz)1()1()1(1112 )1(1111zz二、洛朗級數(shù)的概念二、洛朗級數(shù)的概念定理定理內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，在在圓圓環(huán)環(huán)域域設(shè)設(shè) )( 201rzzrzf ,)()(0nnnzzczf cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nc為圓環(huán)域內(nèi)繞為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡單閉曲線的任一正向簡單閉曲線. 0z為洛朗系數(shù)為洛朗系數(shù).內(nèi)內(nèi)可可展展開開成成洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)在在那那末末dzf )( d21d21)(12 kkzfizfizf證證)()(1100zzzz 因因?yàn)闉閷τ诘谝粋€(gè)積分

5、對于第一個(gè)積分: 00001nnzzzz 111100000zzzzzzzz 0zrr2r.z1k2k1r. ,)()(0100 nnnzzz nnnzzc)(00 d)(212 kzfi所以所以對于第二個(gè)積分對于第二個(gè)積分: d)(211 kzfi)()(11 00zzzz 因因?yàn)闉?100zzz nnknzzzfi)(d)()(2100102 000111zzzzz 1010)()(nnnzzz ,)()(10110nnnzzz d)(211 kzfi則則其中其中 )(zrn d)()()(211010 knnnnzzfzi)()(d)()(21011101zrzzzfinnnnkn 下面

6、證明下面證明.0)(lim1外部成立外部成立在在 kzrnn 000 zzrzzzq 令令. 10, q無關(guān)無關(guān)與積分變量與積分變量 )()( 的連續(xù)性決定的連續(xù)性決定由由因?yàn)橐驗(yàn)橛钟謟fmf szzzzfzrknnnnd)(21)(1000 rqrmnnn 221.1qmqn ,)(01nnnzzc . 0)(lim zrnn所以所以 d)(21 1 kzfi于于是是nnknzzzfi )(d)()(2101101 d)(21d)(21)(12 kkzfizfizf則則nnnnnnzzczzc )()(0100.)(0nnnzzc ), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficcnn

7、如果如果c為在圓環(huán)域內(nèi)繞為在圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條正向簡單的任何一條正向簡單0znncc 與與閉曲線閉曲線 . 則則可用一個(gè)式子表示為可用一個(gè)式子表示為: 證畢證畢 nnnzzczf)()(0 說明說明:函數(shù)函數(shù))(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式洛朗展開式)(zf在圓環(huán)域內(nèi)的在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗洛朗(laurent)級數(shù)級數(shù). 1) 2) 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)是唯一的，冪項(xiàng)的級數(shù)是唯一的， 這就是這就是 f (z) 的洛朗級數(shù)的洛朗級數(shù). 定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)的

8、一般方法的一般方法. .三、函數(shù)的洛朗展開式三、函數(shù)的洛朗展開式常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 間接法間接法 1. 直接展開法直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)利用定理公式計(jì)算系數(shù)nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficcnn 然后寫出然后寫出.)()(0nnnzzczf 缺點(diǎn)缺點(diǎn): 計(jì)算往往很麻煩計(jì)算往往很麻煩.根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級數(shù)的唯一性，可根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級數(shù)的唯一性，可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 .優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) : 簡捷簡捷 , 快速快速 .2. 間接展開法間接展開法四、典型例題四、典型例題例例1

9、 1, 0 內(nèi)內(nèi)在在 z. )( 2展開成洛朗級數(shù)展開成洛朗級數(shù)將將zezfz 解解,)(nnnzczf 由定理知由定理知: d)()(2110 cnnzfic d213 cnei其中其中)2, 1,0(, )0(: nzc , 3 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n0 nc, 2在圓環(huán)域內(nèi)解析在圓環(huán)域內(nèi)解析zez故由柯西故由柯西古薩基本定理知古薩基本定理知:, 2 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n由高階導(dǎo)數(shù)公式知由高階導(dǎo)數(shù)公式知:022)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n 2)!2()( nnnzzf故故 ! 4! 3! 211122zzzz z0 d213 cnneic另解另解 ! 4! 3! 21143222zzzz

10、zzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn)既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),. 2的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)也是函數(shù)也是函數(shù)zez例例2 2 : )2)(1(1)( 在圓環(huán)域在圓環(huán)域函數(shù)函數(shù) zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z內(nèi)是處處解析的內(nèi)是處處解析的,試把試把 f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).解解,)2(1)1(1)(zzzf , 10 )1內(nèi)內(nèi)在在 zoxy1,1 z由于由于 nzzzz2111則則2112121zz )( zf所以所以)1(2 zz 421212zz 2874321zz12 z從

11、而從而 nnzzz22212122 , 21 )2內(nèi)內(nèi)在在 z12oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122)( zf于是于是 21111zzz 2222121zz 842111121zzzzznn, 2 )3內(nèi)內(nèi)在在 z2oxy2 z由由12 z此時(shí)此時(shí)zzz211121 24211zzz, 121 zz此時(shí)此時(shí)仍有仍有zzz111111 21111zzz)( zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz注意注意:0 z奇點(diǎn)但卻不是函數(shù)奇點(diǎn)但卻不是函數(shù))2)(1(1)( zzzf

12、的奇點(diǎn)的奇點(diǎn) .本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心是各負(fù)冪項(xiàng)的是各負(fù)冪項(xiàng)的說明說明:1. 函數(shù)函數(shù))(zf在以在以0z為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中盡管含有數(shù)中盡管含有0zz 的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng), 而且而且0z又是這些又是這些項(xiàng)的奇點(diǎn)項(xiàng)的奇點(diǎn), 但是但是0z可能是函數(shù)可能是函數(shù))(zf的奇點(diǎn)的奇點(diǎn),也可能也可能)(zf的奇點(diǎn)的奇點(diǎn).不是不是2. 給定了函數(shù)給定了函數(shù))(zf與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)0z以后以后,函數(shù)在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開函數(shù)在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式式 (包括泰勒展開式作為它的特例包括泰勒展開式作為它的特例).回答：不矛盾

13、回答：不矛盾 .朗展開式是唯一的朗展開式是唯一的)問題：這與洛朗展開式的唯一性是否相矛盾問題：這與洛朗展開式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛. 0 sin 0洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)的去心鄰域內(nèi)展開成的去心鄰域內(nèi)展開成在在將函數(shù)將函數(shù) zzz解解 z0zzzfsin)( .)!12()1(02 nnnnz例例3 )!12()1(! 51! 3111253nzzzzznn例例4 4. 2 )2( 01展開成洛朗級數(shù)展開成洛朗級數(shù)的去心鄰域內(nèi)的去心鄰域內(nèi)在在將函數(shù)將函數(shù) zzz解解 , 220 內(nèi)內(nèi)在在 z ) 2(1)(zzzf 2

14、2112121zz 011)2(2)1(nnnnz.2221)2(2132 zz) 2(2121 zz例例5 5: )1)(2(52)( 22在以下圓環(huán)域在以下圓環(huán)域求求 zzzzzf內(nèi)的洛朗展開式內(nèi)的洛朗展開式. ; 21 )1( z520)2( z解解 1221)(2 zzzf, 21 )1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z 221121221)(zzzzf 22111221121zzznnnnnzzz 20201)1(2221.2)1(201121 nnnnnnzz, 520 )2內(nèi)內(nèi)在在 z1221)(2 zzzf iziziz1121 )2()2(1)2()2(121iziziz iziiziiz221)2(1221)2(121 0022)1(2122)1(2121nnnnnniziiziiz.5)2()2()2()1(211110 nnnnnnziiiz 110)2(1)2(1)2()1(21nnnnniiziz五、小結(jié)與思考五、小結(jié)與思考 在這節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了洛朗展開定理和函在這節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了洛朗展開定理和函數(shù)展開成洛朗級數(shù)的方法數(shù)展開成洛朗級數(shù)的方法. . 將函數(shù)展開成洛朗級將函數(shù)展開成洛朗級數(shù)是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)數(shù)是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn). .