物理競賽-質(zhì)心平衡

1、力力 物體的平衡物體的平衡【擴(kuò)展知識【擴(kuò)展知識】1 1重力重力: : 物體的重心與質(zhì)心物體的重心與質(zhì)心重心重心：從效果上看，我們可以認(rèn)為物體各部分受到的重力作：從效果上看，我們可以認(rèn)為物體各部分受到的重力作用集中于一點，這一點叫做物體的重心。用集中于一點，這一點叫做物體的重心。質(zhì)心：質(zhì)心：物體的質(zhì)量中心。物體的質(zhì)量中心。設(shè)物體各部分的重力分別為設(shè)物體各部分的重力分別為G1、G2Gn，且各部分重力的作，且各部分重力的作用點在用點在oxy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是（坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是（x1，y1）（）（x2，y2）（xn，yn）,物體的重心坐標(biāo)物體的重心坐標(biāo)xc，yc可表示為可表示為例題：勻質(zhì)球例題：

2、勻質(zhì)球A質(zhì)量為質(zhì)量為M，半徑為半徑為R,勻質(zhì)棒勻質(zhì)棒B質(zhì)量為質(zhì)量為m，長度為長度為L，求它的重心求它的重心法一：平衡法法一：平衡法分割成球和棒，則由力矩平衡可知：mBCMAC2LRBCAC兩式聯(lián)立即可得到：mMLRMBC)2(法二：公式法法二：公式法mMmLRMxc0)2()(法三：割補(bǔ)法：法三：割補(bǔ)法：即：將棒球看成對稱的，和一個質(zhì)量為即：將棒球看成對稱的，和一個質(zhì)量為-M的球的組合的球的組合MCAmMBC)2(BCBACA兩式聯(lián)立可得：兩式聯(lián)立可得：mMLRMBC)2(例題例題1：求如圖所示中重為：求如圖所示中重為G的均勻質(zhì)板（陰影部分）的均勻質(zhì)板（陰影部分）的重心的重心O的位置（面密度為

3、的位置（面密度為 ）。）。解析：解析：21)(Rom4)(222Rrom0)(1Ox2)(2ROx實際中：實際中：1、平衡法法、平衡法法 2、實驗法（懸掛法）、實驗法（懸掛法） 3、對稱法、對稱法 （高度對稱性的）（高度對稱性的） 4、割補(bǔ)法、割補(bǔ)法 5、公式法、公式法6)4(2)4(222RRRRRxc如圖所示，求圖示均勻薄板的重心，大正方形的邊長為如圖所示，求圖示均勻薄板的重心，大正方形的邊長為a,挖去的挖去的小正方形的邊長是大正方形的四分之一，一個頂點在大正方形的小正方形的邊長是大正方形的四分之一，一個頂點在大正方形的幾何中心上，兩正方形各對應(yīng)邊相互平行幾何中心上，兩正方形各對應(yīng)邊相互平

4、行解法一：解法一：建立建立ox坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸,再挖去一個相同的正方形如圖所示再挖去一個相同的正方形如圖所示根據(jù)對稱性根據(jù)對稱性,剩余部分重心必在剩余部分重心必在ox軸上軸上.原點在原點在O點點.1 12 212n nnmrm rm rrmmm23 21459 22814120mamaramm.解法二：負(fù)質(zhì)量法解法二：負(fù)質(zhì)量法12025916)8222(2216ammamamxc2、巴普斯定理及其推論（提供求質(zhì)心的一種技巧）、巴普斯定理及其推論（提供求質(zhì)心的一種技巧） 一個平面物體，質(zhì)量分布均勻，令其上各質(zhì)點沿著垂直于一個平面物體，質(zhì)量分布均勻，令其上各質(zhì)點沿著垂直于平面的方向運(yùn)動，在空間掃過一立

5、體體積，則此體積等于面物平面的方向運(yùn)動，在空間掃過一立體體積，則此體積等于面物體的面積乘以物體質(zhì)心在運(yùn)動中所經(jīng)過的路程體的面積乘以物體質(zhì)心在運(yùn)動中所經(jīng)過的路程例題：求如圖所示的直角三角形的質(zhì)心例題：求如圖所示的直角三角形的質(zhì)心231abVabs21xc2質(zhì)心運(yùn)動的圓周長為：即：csVax31可得：by31同理可得：即：重心位置為：即：重心位置為：)31,31(ba練習(xí)：練習(xí)：求均勻半圓盤的質(zhì)心位置。求均勻半圓盤的質(zhì)心位置。2321234RxR34 Rx 推論：推論：一條質(zhì)量均勻分布的平面曲線，其上各點沿垂直一條質(zhì)量均勻分布的平面曲線，其上各點沿垂直于曲線平面方向運(yùn)動，在空間掃過一曲面，則此曲面

6、的于曲線平面方向運(yùn)動，在空間掃過一曲面，則此曲面的面積等于質(zhì)心在運(yùn)動中所經(jīng)路程和曲線長度的乘積面積等于質(zhì)心在運(yùn)動中所經(jīng)路程和曲線長度的乘積例題：求質(zhì)量均勻分布的半圓形金屬線的質(zhì)心位置例題：求質(zhì)量均勻分布的半圓形金屬線的質(zhì)心位置RxR 242Rx2拓展：如果是封閉線呢？設(shè)線密度為拓展：如果是封閉線呢？設(shè)線密度為Rx2102xRm1又：Rm22Rmmxmxc2221113 3彈力彈力彈簧的串并聯(lián)公式：彈簧的串并聯(lián)公式：nkkkk1.11121串（各彈簧所受拉力相等）（各彈簧所受拉力相等）nkkkk.21并（各彈簧形變量相等）（各彈簧形變量相等）例題：例題：兩根勁度系數(shù)分別為兩根勁度系數(shù)分別為K K

7、1 1和和K K2 2的輕彈簧豎直懸掛，下端的輕彈簧豎直懸掛，下端用光滑的細(xì)線連接，把一光滑的輕滑輪放在細(xì)繩上，求當(dāng)滑用光滑的細(xì)線連接，把一光滑的輕滑輪放在細(xì)繩上，求當(dāng)滑輪下掛一重為輪下掛一重為G G的物體時，滑輪下降的距離？的物體時，滑輪下降的距離？解析：解析：設(shè)兩彈簧伸長量為設(shè)兩彈簧伸長量為x1,x2則有：則有：2211xkxkG2211xkxkxxx221Gkkkkx21214所以：4摩擦力摩擦力最大靜摩擦力：可用公式最大靜摩擦力：可用公式fm=0FN來計算。來計算。FN為正壓力，其中為正壓力，其中0為靜摩擦因數(shù)，對于相同的接觸面，應(yīng)有為靜摩擦因數(shù)，對于相同的接觸面，應(yīng)有0(為動摩擦因為

8、動摩擦因數(shù)數(shù))摩擦角：若令：摩擦角：若令：摩擦角是正壓力摩擦角是正壓力FN與最大靜摩擦力與最大靜摩擦力f m的合力與接觸面法線間的的合力與接觸面法線間的夾角。夾角。為摩擦角則,tan0NmFf在一般情況下，靜摩擦力未達(dá)到最大值，即在一般情況下，靜摩擦力未達(dá)到最大值，即Nf0000Nftan0NfNf0tan令：時，即當(dāng)：tantan無論用多大的力，物體也不會滑動。無論用多大的力，物體也不會滑動。法一：解析法法一：解析法法法2：引入摩擦角：引入摩擦角物體放在水平面上，用與水平方向成物體放在水平面上，用與水平方向成30的力拉物體時，物體的力拉物體時，物體勻速前進(jìn)。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物

9、體，物體仍勻速前進(jìn)。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進(jìn)，求物體與水平面之間的動摩擦因素能勻速前進(jìn)，求物體與水平面之間的動摩擦因素。 練習(xí)練習(xí)1：法一：正交分解：法一：正交分解：（分析受力（分析受力列方程列方程得結(jié)果）得結(jié)果）法二：引進(jìn)桌面力法二：引進(jìn)桌面力R ：對物體兩個平衡狀態(tài)進(jìn)行受力分析，再進(jìn)：對物體兩個平衡狀態(tài)進(jìn)行受力分析，再進(jìn)行矢量平移（注意：重力行矢量平移（注意：重力G是不變的，而桌面力是不變的，而桌面力R的方向不變、的方向不變、F的大小不變），的大小不變），m指摩擦角。指摩擦角。則：則：m = 15 = tanm = tan 15 =0.268練習(xí)練習(xí)2法一：隔

10、離法法一：隔離法由第一個物理情景容易的出：斜面與滑塊的動摩擦因數(shù)為：由第一個物理情景容易的出：斜面與滑塊的動摩擦因數(shù)為：tan對第二個物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將對第二個物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將F沿斜面、垂直斜面分解成沿斜面、垂直斜面分解成Fx和和Fy ，滑塊與斜面之間的兩對相，滑塊與斜面之間的兩對相互作用力只用兩個字母表示（互作用力只用兩個字母表示（N表示正壓力和彈力，表示正壓力和彈力，f表示摩擦表示摩擦力），如圖所示。力），如圖所示。對滑塊對滑塊sinmgfFxNmgFycostanNNf綜合以上三式可得：綜合以上三式可得：sin2tanmgFFyx對斜

11、面體，只看水平方向平衡就行了對斜面體，只看水平方向平衡就行了 sincosNfPsincoscossin4NNmg綜合以上可以得到：綜合以上可以得到：cosmgFysin3mgFx則：222sin81mgFFFyxcot31tanxyFF并指向斜面內(nèi)部并指向斜面內(nèi)部法二：引入摩擦角和整體觀念法二：引入摩擦角和整體觀念先看整體在水平方向平衡先看整體在水平方向平衡pF)cos(再隔離滑塊，受力如下再隔離滑塊，受力如下其中：)arctan(tanarctan解以上式子即可得到結(jié)果例題：如圖所示，長為例題：如圖所示，長為L 、粗細(xì)不均勻的橫桿被兩根、粗細(xì)不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛，繩子與水平方向的

12、夾角在圖上已標(biāo)示，輕繩水平懸掛，繩子與水平方向的夾角在圖上已標(biāo)示，求橫桿的重心位置。求橫桿的重心位置。解法一：直接用三力共點的知識解題，幾何關(guān)系比較簡單。 距棒的左端L/4處。 G7、固定轉(zhuǎn)動軸物體的平衡、固定轉(zhuǎn)動軸物體的平衡1)、力矩、力矩(是改變物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因是改變物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因 )力的三要素是大小、方向和作用點。由作用點和力的方向所確力的三要素是大小、方向和作用點。由作用點和力的方向所確定的射線稱為力的作用線。力作用于物體，常能使物體發(fā)生轉(zhuǎn)定的射線稱為力的作用線。力作用于物體，常能使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動，這時外力的作用效果不僅取決于外力的大小和方向，而且動，這時外力的作用效果不僅取決于外

13、力的大小和方向，而且取決于外力作用線與軸的距離取決于外力作用線與軸的距離力臂力臂(d) 定義：力與力臂的乘積稱為力矩定義：力與力臂的乘積稱為力矩 FdM通常規(guī)定通常規(guī)定: :繞逆時方向轉(zhuǎn)動的力矩為正。當(dāng)物體受到多個力作用繞逆時方向轉(zhuǎn)動的力矩為正。當(dāng)物體受到多個力作用時，物體所受的總力矩等于各個力產(chǎn)生力矩的代數(shù)和時，物體所受的總力矩等于各個力產(chǎn)生力矩的代數(shù)和 受力與否的三個判據(jù)受力與否的三個判據(jù)條條件件效效果果特特征征3 3）有固定轉(zhuǎn)動軸物體的平衡）有固定轉(zhuǎn)動軸物體的平衡 有固定轉(zhuǎn)軸的物體，若處于平衡狀態(tài)，作用于物體上各力的有固定轉(zhuǎn)軸的物體，若處于平衡狀態(tài)，作用于物體上各力的力矩的代數(shù)和為零。力

14、矩的代數(shù)和為零。 0M 0 xM0yM 0zM 非慣性參照系 凡牛頓第一定律成立的參照系叫慣性參照系，簡稱慣性系。凡相對于慣性系靜止或做勻速直線運(yùn)動的參照系，都是慣性系。在不考慮地球自轉(zhuǎn)，且在研究較短時間內(nèi)物體運(yùn)動的情況下，地球可看成是近似程度相當(dāng)好的慣性系。凡牛頓第一定律不成立的參照系統(tǒng)稱為非慣性系，一切相對于慣性參照系做加速運(yùn)動的參照系都是非慣性參照系。在考慮地球自轉(zhuǎn)時，地球就是非慣性系。在非慣性系中，物體的運(yùn)動也不遵從牛頓第二定律，但在引入慣性力的概念以后，就可以利用牛頓第二定律的形式來解決動力學(xué)問題。直線系統(tǒng)中的慣性力簡稱慣性力，例如在加速前進(jìn)的車廂里，車?yán)锏某丝投加X得自己好象受到一個

15、使其向后倒得力，這個力就是慣性力，其大小等于物體質(zhì)量m與非慣性系相對于慣性系的加速度大小a的乘積，方向于a相反。用公式表示，這個慣性力F慣=-ma,不過要注意：慣性力只是一種假想力，實際上并不存在，故不可能找出它是由何物所施，因而也不可能找到它的反作用力。慣性力起源于物體慣性，是在非慣性系中物體慣性體現(xiàn)。轉(zhuǎn)動系統(tǒng)中的慣性力簡稱慣性離心力，這個慣性力的方向總是指向遠(yuǎn)離軸心的方向。它的大小等于物體的質(zhì)量m與非慣性系相對于慣性系的加速度大小a的乘積。如果在以角速度轉(zhuǎn)動的參考系中，質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離為r,則： F慣=m2r.假若物體相對于勻速轉(zhuǎn)動參照系以一定速度運(yùn)動，則物體除了受慣性離心力之外，還要受到另一種慣性力的作用，這種力叫做科里奧利力，簡稱科氏力，這里不做進(jìn)一步的討論。 例題：長分別為l1和l2的不可伸長的輕繩懸掛質(zhì)量都是m的兩個小球，如圖所示，它們處于平衡狀態(tài)。突然連接兩繩的中間小球受水平向右的沖擊（如另一球的碰撞），瞬