(整理)極限運算法則兩個重要極限

1、復(fù)習(xí)舊課：1.無窮小量、無窮大量、無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系導(dǎo)言：前面我們介紹了極限的定義，為了方便計算下面我們介紹極限的運算法則和兩個重要的極限2. 3. 1極限的性質(zhì)定理1 :(唯一性)lim f (x)A，lim定理2 :域內(nèi)有界定理3 :2. 3極限的運算法則如果極限lim f(x)存在，則它只有一個極限。即若f (x) B，則 A B(有界性)若極限lim f (x)存在，則函數(shù)f (x)在x0的某一空心鄰X xq(局部保號性)如果lim f(x) A，并且A 0 (或A 0)，則x xq在X0的某一空心鄰域內(nèi)，有f(X) 0 (或f (x)推論 若在x0的某一空心鄰域

2、內(nèi)有f (x)(或 f(X)0 )，且講述我們先介紹極限的運算法則證明從略。以上性質(zhì)只對xx0的情況加以敘述，其它 的形式也有類似的結(jié) 果。lim f (x) A，則 A 0 (或 A 0)ox xq2. 3.2極限的運算法則定理(1)若 g(x) C .(常數(shù))，則 lim Cf (x)C lim f (x)CAlim 3 皿3A(bg(x)lim g(x)B0)證明因為 lim f (x) A, lim g(x)B，利用2o 2定理，它們可以分別寫為：其中f(x) = A (x),g(x) B(x)(x),(x)均為無窮小量，則有:1:設(shè) lim f (x) A, lim g (x)B ,

3、則limf(x) g(x) = lim f (x) lim g(x) lim f (x)g (x) lim f (x) lim g(x) A(1)f(x) + g(x) =A+B+(x)(x)由2. 2定理知 (X)(x)仍為無窮小量 所以f(x)+g(x)以a+b為極限.即 lim f (x)g(x) = lim f(x) lim g(x) A B.設(shè)P(x)為多項式Xo時,容易證明：limX xoP(x)P(X0)Q(X0)limx xoP(x)QwP(X0)Q(X0)f (x)為多項式，所以極限值等于在求 lim(3x2x 2x 5)x0處的函數(shù)值因為f(x)為兩個多項匹25) = 15

4、2x 3x2 解 lim rx 1 X X 552x 36X 1例3求limx 1x 1X 1解 因為lim _- = 0根據(jù)無窮大于無窮小的關(guān)系x 1 X 1X 1所以有l(wèi)imx 1 x求極限時,注意:1必須注意每一步的根據(jù)，否則會出現(xiàn)錯誤。2lim x 1 X 1x2Jliml2LJD =lim(x 1)2X 1 X 1x 1例 5 limx 3X29x2 7x 12解 lim =79= = lim 以 3)以 3)=向 _36x 3x2 7x 12 x 3(x 3)(x 4) x 3x 4式商的極限，且在 x=1 處分母的極限不為零， 所以極限值等于函數(shù) 值。在x=-1處，分母為零, 不

5、能直接計算極限。在x=-1處，分母為零, 不能直接計算極限?！毙停仍O(shè)法0約去非零因子。例6求lim3x3 X3X量分出法，即分子、分 母同時除以x的最高次解limx3x33XlimX冪。結(jié)論:aoXmaiXm 1ambT,當(dāng)mboo,當(dāng)m,當(dāng)mn,bon,n.求 lim(-X 1 X1 解 lim (x 1 X 1是)X 1y2) = limX21 X 1小結(jié)：1.極限運算法則2 .求極限方法1)設(shè) P(x)為多項式，則 lim P(x)P(Xo)。XXo2)P(x)、Q(x)均為多項式，且Q(Xo)0，則0,先通分，再計算。lim 空 fCXo)X XoQ(x)Q(Xo)若 f(x) o,

6、g(x)型時,用因式分解找出“零因子”m5)結(jié)論：!m 1ax. n 1biXambn直，當(dāng)mboo,當(dāng)m,當(dāng)mn,bon,n.0,6)若(X)0, f (x)有界，則 lim (x)f(x)07)若 lim f(x) g(x)為“”型時，一般是通分或有理化后再處理。2. 4. 12. 4兩個重要極限 判別極限存在的兩個準(zhǔn)則準(zhǔn)則1 (夾逼定理)設(shè)函數(shù)f (x), g (x), h( x)在x0的某一鄰域U (x0,)內(nèi)滿足g(x) f(x) h(x)且有極限lim g(x)x x0lim h(x)x xoA，則有 lim f (x) Ax x準(zhǔn)則2如果數(shù)列Xn單調(diào)有界，則lim xn 一定存在

7、。x2. 4. 2兩個重要極限一般sin x ,1.極限 lim1x 0 x例8計算lim tanxx 0 x“ tanxsi nx解 lim= limx 0 x x 0 x1 cosx2x丄=lim匹 cosx x 0 xlim=1x 0 cosx例9計算xim解limx 0cosx ""2 x2si n必lim2x0x2=lim -x 0 22.xsin 2xlim列巴1U 0 U證明略例8例9結(jié)果可作 為公式使用。cosx 1 2si n2-22cos2-x 12可證得此結(jié)論。=Sm2x 02.xsin _2x例 10 計算 lim sin5xX 0 3x212解li

8、m沁fim啞5x 0 3x x 0 5x 3結(jié)論：xm0晉1例 11 計算 limsin3x sinxx 0 x初. sin3x sinx .解 lim= limX 0Vx 0x比' "c u* I.sin x例12 求limX 0 ta n X2C0s2xsinx 2lim cos2xx 0lim匹x 0 x和差化積公式練習(xí):lim COsX cos3xX 0x2解 lim =lim(snxx 0 ta n Xx 0 xtan xlim(輕x 0 x-)tan x例13求limxsinx解錯誤做法:tanxsin x limx因為當(dāng)時,正確做法:limx2.極限lim(1x

9、例14計算lim(1x解 lim (1x例15計算例16計算=lim(沁 tanx x x沁=lim処0 tan(tan x-)x exlim (1xtanxsin t9 limt) t 0 tant1e2lim刮x一般Uim(1Uim0(1u)U12x)xlim(1x12x)x = lim (122x)2xlim(1 5)xXXx5解=lim (1-)x = lim 1XXX()x5(5)=lim (1-)x x2 X例17計算lim (x 3)x = lim(1X XX 3解 lim (x 3=lim (1x)xx丄)x :x 33 lim (1X X 3lim(1xxV)3lim也衛(wèi)X 0 X解 lim ln(1 X) = lim 1 ln(1 x)X 0 XX 0 X例18計算1飛叫叩x)x -巴叫(11x) lnex 1例 19 limx解令uex1則 X ln(1u),當(dāng) x0時，u 0例18,例19視情況選講所以00代 ln(1+ u