《三維設(shè)計(jì)》2021級數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)講解空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系

1、空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系強(qiáng)雙耳知識能否憶起、平面的根本性質(zhì)名稱圖示文子表示付號表示公理i如果一條直線上的兩 點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A l， B l，且 Aa，B 0? 1? a公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3如果兩個(gè)不重合的平 面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P a，且 P 3? aCl 3 =l，且 P l二、空間直線的位置關(guān)系1. 位置關(guān)系的分類相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；共面直線 平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).2. 平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行3. 等

2、角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或 4. 異面直線所成的角(或夾角)(1) 定義：設(shè)a, b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn) O作直線a/ a, b/ b，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角.(2)范圍:n0, 2三、直線與平面的位置關(guān)系宀護(hù)方 位置大糸圖示付號表示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)直線1在平面a內(nèi)l? a無數(shù)個(gè)直線l與平面a相交l Cl a= A一個(gè)直線l與平面a平行Z /l / a0個(gè)四、平面與平面的位置關(guān)系/亠護(hù) W 位置大糸圖示付號表示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)平面平行人 / &_/all 00個(gè)兩個(gè)平面相交aC 0= l無數(shù)個(gè)這些公共點(diǎn)均在交線1上小題能否全

3、取1. 教材習(xí)題改編a, b是異面直線，直線 c平行于直線a，那么c與b A .異面B.相交C.不可能平行D.不可能相交解析：選C 由直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，假設(shè)b / c,貝U a/ b.與a, b是異面直線相矛盾.2. 2021東北三校聯(lián)考以下命題正確的個(gè)數(shù)為 經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面； 梯形可以確定一個(gè)平面； 兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面； 如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合.A. 0B. 1C. 2D. 3解析：選C 錯(cuò)誤，正確.3. 空間中有三條線段 AB, BC和CD，且/ ABC =Z BCD，那么直線 AB與CD的位置關(guān)系是

4、A. AB / CDB. AB與CD異面C. AB與CD相交D. AB / CD或AB與CD異面或 AB與CD相交解析：選D 假設(shè)三條線段共面，如果 AB，BC, CD構(gòu)成等腰三角形，那么直線 AB與CD相交，否那么直線AB與CD平行；假設(shè)不共面，那么直線AB與CD是異面直 線.4. (教材習(xí)題改編)如下圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，E,F分別是AB , AD的中點(diǎn)，那么異面直線 BiC與EF所成的角的大小為解析：連接BiDi, DiC,那么 BiDi /EF,故ZDiBiC 為所求，又 BiDi= BiC= DiC,/JDiBiC= 60 答案：605. (教材習(xí)題改編)平行六

5、面體ABCD AiBiCiDi中既與AB共面又與CCi共面的棱的條數(shù)為解析：如圖，與AB和CCi都相交的棱有 BC;與AB相交且與CCi平行的棱有 AAi, BBi ;與AB平行且與 CCi相交的棱有 CD , CiDi,故符合條件的棱共有 5條.答案：5i三個(gè)公理的作用(i) 公理i的作用：檢驗(yàn)平面；判斷直線在平面內(nèi)；由直線在平面內(nèi)判斷直線上 的點(diǎn)在平面內(nèi).(2) 公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件.(3) 公理3的作用：判定兩平面相交；作兩相交平面的交線；證明多點(diǎn)共線.2. 異面直線的有關(guān)問題(1) 判定方法：反證法；利用結(jié)論即過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直

6、線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖.(2) 所成的角的求法：平移法.學(xué)疲法平面的根本性質(zhì)及應(yīng)用ABCD AiBiCiDi 中，E石典題導(dǎo)入例12021湘潭模擬如下圖，在正方體為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AiA的中點(diǎn)，求證：CE , DiF, DA三線共點(diǎn).自主解答1EF 綊CD1,直線D1F和CE必相交.設(shè) D1F n CE = P,P D1F 且 D1F?平面 AA1D1D,P 平面 AA1 D1D.又P EC且CE?平面ABCD ,P 平面 ABCD ,即P是平面 ABCD與平面AA1D1D的公共點(diǎn).而平面 ABCD n平面 AA1D1D = AD.P AD.CE、D1F、DA三線共點(diǎn). ft

7、 3E本例條件不變試證明 E, C, D1, F四點(diǎn)共面.證明：E, F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，1EF 綊2A1B又 A1D1 綊 B1C1 綊 BC.四邊形A1D1CB為平行四邊形.A1B /CD1,從而 EF /CD1.EF與CD1確定一個(gè)平面.E, Ci, F, D四點(diǎn)共面.-丄由題悟法1. 證明線共點(diǎn)問題常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直 線上.2證明點(diǎn)或線共面問題一般有以下兩種途徑：首先由所給條件中的局部線或點(diǎn)確定一個(gè)平面，然后再證其余線 或點(diǎn)均在這個(gè)平面內(nèi)；將所有條件分為兩局部，然后分別 確定平面，再證平面重合.呂以題試法1. 12021江西模擬在空間中，

8、以下命題正確的選項(xiàng)是A 對邊相等的四邊形一定是平面圖形B 四邊相等的四邊形- -定是 平面圖形C.有一組對邊平行的四邊形一定是平面圖形D .有一組對角相等的四邊形一定是平面圖形對于四面體 ABCD，以下命題正確的選項(xiàng)是 寫出所有正確命題的編號 . 相對棱AB與CD所在直線異面； 由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是 BCD三條高線的交點(diǎn)； 假設(shè)分別作 ABC和厶ABD的邊AB上的高，那么這兩條高所在的直線異面； 分別作三組相對棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn).解析：1由“兩平行直線確定一個(gè)平面 知C正確.2由四面體的概念可知，AB與CD所在的直線為異面直線，故正確；由頂點(diǎn)A作四面體的高，只有當(dāng)

9、四面體 ABCD的對棱互相垂直時(shí),其垂足是厶BCD的三條高線的交點(diǎn)， 故錯(cuò)誤；當(dāng)DA = DB , CA= CB時(shí)，這兩條高線共面,故錯(cuò)誤；設(shè) AB , BC, CD , DA的中點(diǎn)依次為E, F, M , N,易證四邊形 EFMN為平行四邊形，所以EM與FN相交于一點(diǎn)，易證另一組對棱中點(diǎn)的連線也過它們的交點(diǎn)，故正確.答案：1C2異面直線的判定例2 2021金華模擬在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),那么表示直線GH，MN是異面直線的圖形有 .填上所有正確答案的序號自主解答圖中，直線GH /MN ;圖中，G , H , N三點(diǎn)共面，但 M?面GHN ,因此直線GH與MN異

10、面；圖中，連接MG, GM /HN ,因此GH與MN共面；圖中，G , M , N共面，但H?面GMN ,因此GH與MN異面.所以圖中GH與MN異面.答案二由題悟法1異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否認(rèn)假設(shè)肯定兩條直線異面. 法在異面直線的判定中經(jīng)常用到.2. 客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該 點(diǎn)的直線是異面直線.呂以題試法2. m, n, I為不同的直線，a, B為不同的平面，有下面四個(gè)命題： m, n為異面直線，過空間任一點(diǎn) P, 定能作一條直線I與m,

11、n都相交. m, n為異面直線，過空間任一點(diǎn) P, 定存在一個(gè)與直線 m, n都平行的平面. a丄B, aA 3= I, m? a, n? 3, m, n與I都斜交，那么 m與n定不垂直； m, n是a內(nèi)兩相交直線，那么 a與3相交的充要條件是 m, n至少有一條與 3相交.那么四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為 B. 2C. 3D. 4解析：選B錯(cuò)誤，因?yàn)檫^直線 m存在一個(gè)與直線 n平行的平面，當(dāng)點(diǎn) P在這個(gè)平 面內(nèi)且不在直線 m上時(shí)，就不滿足結(jié)論；錯(cuò)誤，因?yàn)檫^直線 m存在一個(gè)與直線n平行的 平面，當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平面內(nèi)時(shí)， 就不滿足結(jié)論；正確，否那么，假設(shè) m丄n,在直線m上取 一點(diǎn)作直線a丄I，由a丄得

12、a丄n.從而有n丄a,貝U n丄I :正確.異面直線所成角石典題導(dǎo)入例32021大綱全國卷正方體 ABCD A1B1C1D1中，E, F分別為BBi, CCi的中點(diǎn)，那么異面直線 AE與DiF所成角的余弦值為 .自主解答連接DF，那么AE /DF ,JDiFD即為異面直線 AE與DiF所成的角.設(shè)正方體棱長為a,貝U DiD = a, DF =5ya,DiF =Licos/D iFD =于a 2 a235.答案5J由題悟法求異面直線所成的角一般用平移法，步驟如下：i 一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角；二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；3三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角

13、是銳角或直角，那么它就是要求的角， 如果求出的角是鈍角，那么它的補(bǔ)角才是要求的角.么以題試法3. 20i2唐山模擬四棱錐P ABCD的所有側(cè)棱長都為.5,底面ABCD是邊長為2的 正方形，那么CD與RA所成角的余弦值為25廠，5AB455D.解析：選B 如下圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，故CD / AB,那么CD與PA所成的角即為 AB與PA所成的角/ PAB，在cos / FAB =PA2 + AB2 FB22 X FA X AB5+ 4 5 _逅2X 2X .55PAB內(nèi)，PB= PA = .5, AB = 2,利用余弦定理可知:全員必做題1. (2021杭州模擬)假設(shè)a, b, c,

14、d是空間四條直線.如果“ a丄c, b丄c, a丄d, bd， 那么()A . a / b 且 c/ dB. a, b, c, d中任意兩條可能都不平行C. a / bD. a與b, c與d中至少有一對直線互相平行解析：選D (1)假設(shè)a, b, c, d在同一平面內(nèi)，那么 a / b, c/ d.(2)假設(shè)a, b, c, d不在同一平面內(nèi)， 假設(shè)a, b相交，貝U a , b確定平面 a,此時(shí)c丄a, d a,故c/ d. 假設(shè)a , b異面，那么可平移 a與b相交確定平面 3,此時(shí)，c丄3, d 3, c/ d. 假設(shè)a , b平行，貝U c , d關(guān)系不定.同理，假設(shè)c , d相交，異

15、面也可推出 a/b ,假設(shè)c , d平行，那么a , b關(guān)系不確定.綜上知，a , b , c , d中至少有一對直線互相平行.2.l1 , I2 ,|3是空間三條不同的直線，那么以下命題正確的選項(xiàng)是()A.|1 丄 |2 ,|2 丄 |3? |1 / |3B.1 1 丄 |2 ,l 2 / 13? |1 丄 |3C.l 1 / |2 /|3? |1 ,12 ,13 共面D.l1 , I2,|3共點(diǎn)？ |1 , |2 , |3共面解析：選B 在選項(xiàng)A中：h丄|2 , 12丄13 , 11與13可以平行也可相交或異面，借助正 方體的棱很容易理解.在B中：11丄|2 , l2 / l3 ,由異面直

16、線所成角的定義可以推出 |1丄13.l1 / l2 / l3 ,三直 線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱不共面. 共點(diǎn)的三條直線不一定共面， 如三棱錐中共 頂點(diǎn)的三條棱不共面.3設(shè)四棱錐P ABCD的底面不是平行四邊形，用平面a去截此四棱錐如圖，使得截面四邊形是平行四邊形，那么這樣的平面a A .不存在B.只有1個(gè)C.恰有4個(gè)D.有無數(shù)多個(gè)解析：選D 設(shè)四棱錐的兩組不相鄰的側(cè)面的交線為m, n,直線m,n確定了一個(gè)平面3,作與B平行的平面a,與四棱錐的各個(gè)側(cè)面相截，那么截得的四邊形必為平行四邊形，而這樣的平面a有無數(shù)多個(gè).冗nB.-47t解析：選D 如下圖，設(shè) ACn BD = O,連接VO,由

17、于四棱錐V ABCD是正四棱錐，所以 VO丄平面ABCD，故BD丄VO又四邊形ABCD是正方形，所以 BD丄AC,所以BD丄平面VAC.所以BD丄VA,即異面直線VA與BD所成角的大小為5如圖為正方體外表的一種展開圖，那么圖中的四條線段 EF , GH在原正方體中互為異面的對數(shù)為A . 1B . 2C. 3D . 4AB, CD,解析：選C AB , CD, EF和GH在原正方體中如下圖，顯然AB與CD, EF與GH , AB與GH都是異面直線，而 AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行.故互為異面的直線有且只有三對.6.2021重慶高考設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1, ：2

18、和a,且長為a的棱與長為,;2的棱異面，那么a的取值范圍是A. 0,B. 0, 3C. 1,D. 1 , .3解析：選A 如下圖的四面體 ABCD中，設(shè)AB= a，那么由題意可得CD = 2，其他邊的長都為 1，故三角形 ACD及三角形 BCD都是以CD 為斜邊的等腰直角三角形，顯然 a0.取CD中點(diǎn)E,連接AE, BE，那么AE4. 2021 州模擬在正四棱錐 V ABCD中，底面正方形 ABCD的邊長為1,側(cè)棱長 為2,那么異面直線 VA與BD所成角的大小為丄CD , BE丄CD且AE = BE =1-2=卡，顯然a, b , E三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，應(yīng)滿足任意兩邊之和大于第三邊，可得2 22

19、a，解得0a2.7.E, F, G, H是空間四點(diǎn)，命題甲：E, F , G , H四點(diǎn)不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，那么甲是乙成立的 條件.解析：E, F, G, H四點(diǎn)不共面時(shí)，EF, GH 一定不相交，否那么，由于兩條相交直線共面，貝U E, F, G, H四點(diǎn)共面，與矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF , GH不相交,含有EF, GH平行和異面兩種情況，當(dāng) EF , GH平行時(shí)，E, F , G , H四點(diǎn)共面，故乙不能推出甲即甲是乙的充分不必要條件.答案：充分不必要8如圖是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E, F分別為FA, PD的中點(diǎn).在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)

20、論： 直線BE與CF異面；直線 BE與AF異面；直線 EF / 平面FBC;平面 BCE丄平面FAD.其中正確的有個(gè).解析：如圖，易得EF /AD , AD /BC,EF /BC，即B, E, F , C四點(diǎn)共面，那么錯(cuò)誤，正確，正 確，不一定正確.答案：29如下圖，在三棱錐 C ABD中，E, F分別是AC和BD的中點(diǎn)，假設(shè)CD = 2AB= 4, EF丄AB，貝U EF與CD所成的角是 .解析：取CB的中點(diǎn)G,連接EG, FG ,EG /AB, FG /CD.EF與CD所成角即為/ EFG.又TEF 丄 AB,.EF 丄 EG ,1在 Rt 牢FG 中，EG= 2AB= 1 ,1FG =

21、qCD = 2,/1 一 n-sin /EFG = . ./EFG =二.2 6nEF與CD所成的角為-.6答案：n610. 空間四邊形 ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD的中點(diǎn).(1) 求證：BC與AD是異面直線；(2) 求證：EG與FH相交.證明：(1)假設(shè)BC與AD共面，不妨設(shè)它們所共平面為 a那么B、C、A、D a所以四邊形 ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾所以BC與AD是異面直線.EH /FG，貝U EFGH(2)如圖，連接 AC, BD，貝U EF /AC, HG /AC，因此 EF /HG ;同理為平行四邊形.又EG、FH

22、是?EFGH的對角線，所以EG與HF相交.11. 如下圖，正方體 ABCD A1B1C1D1中，A1C與截面DBC1交于O點(diǎn)，AC, BD交于M點(diǎn)，求證：C1, O, M三點(diǎn)共線.證明：乂代平面A1ACC1,且C1平面DBC1.C1是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點(diǎn).又VMC AC,.M 平面 A1ACC1.Ml BD ,.M 平面 DBC1,Ml也是平面 A1ACC1與平面DBC1的公共點(diǎn)，C1M是平面 A1ACC1與平面 DBC1的交線.O為A1C與截面DBC1的交點(diǎn)，9 平面 AiACCi , O 平面 DBCi,即O也是兩平面的公共點(diǎn)，O 直線CiM,即卩Ci, O, M三點(diǎn)共線

23、.12. (2021許昌調(diào)研)如圖，平面 ABEF丄平面 ABCD，四邊形 ABEF與ABCD 都是直角梯形，/ BAD = Z FAB= 90 BC 綊*AD, BE 綊*FA, G, H / 分別為FA, FD的中點(diǎn).再、(1) 求證：四邊形 BCHG是平行四邊形；B C(2) C, D, F , E四點(diǎn)是否共面？為什么？解：(1)證明：由題設(shè)知，F(xiàn)G = GA, FH = HD ,1 1所以GH綊AD.又BC綊2AD，故GH綊BC.所以四邊形BCHG是平行四邊形.(2)C, D, F , E四點(diǎn)共面.理由如下：由BE綊2aF , G是FA的中點(diǎn)知，BE綊GF ,所以EF綊BG.由(1)知

24、BG/CH ,所以EF /CH,故EC , FH共面.又點(diǎn) D在直線FH上，所以C , D ,F , E四點(diǎn)共面.日繳重點(diǎn)選軸題1. 將圖1中的等腰直角三角形 ABC沿斜邊BC的中線折起得到四面體 ABCD(如圖2), 那么在四面體 ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是()A .相交且垂直B .相交但不垂直C.異面且垂直D .異面但不垂直解析：選C 在圖1中的等腰直角三角形 ABC中，斜邊上的中線 AD就是斜邊上的高，那么AD丄BC,翻折后如圖2, AD與BC變成異面直線,而原線段BC變成兩條線段 BD , CD,這兩條線段與 AD垂直，即AD丄BD, AD丄CD，故AD丄平面BCD，所以AD丄

25、BC.2. 2021哈爾濱模擬假設(shè)兩條異面直線所成的角為60那么稱這對異面直線為“黃金異面直線對，在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中，“黃金異面直線對共有對.解析：正方體如圖，假設(shè)要出現(xiàn)所成角為60的異面直線，那么直線需為面對角線，以AC為例，與之構(gòu)成黃金異面直線對的直線有4條，分別是A B, BC , A D, C D,正方體的面對角線有 12條，所以所求的黃金異面直線對共有 T4 = 24對每一對被計(jì)算兩次，所以要除以2.答案：243. 2021池州模擬正方形ABCD中，點(diǎn)E, F分別在AB, CD上, 且AE= 2EB, CF = 2FD，將直角梯形 AEFD沿EF折起到 A EFD 的位置

26、，使點(diǎn) A在平面ABCD上的射影G恰好落在BC 上.1判斷直線AA 與DD的位置關(guān)系，并證明；證明平面A AE丄平面A BC;解：1AA /DD .設(shè)直線AD與EF相交于點(diǎn)O,翻折后直線A, A , D, D 四點(diǎn)共面于平面 OAA 又 FD /AE, FD?平面 A AE,AE?平面 A AE,FD /平面 A AE.同理，F(xiàn)D /平面 A AE,而 FD n FD = F ,平面DFD /平面A AE.又平面 OAA n平面DFD = DD 平面 OAA n 平面 A AE = AA , AA /DD .(2) /A G丄平面 ABCD ,A G 丄 AB.又 AB丄 BC, BC n A G= G,AB丄平面A BC.又AB?平面A AE,平面A AE丄平面 A BC.1. 2021襄陽模擬關(guān)于直線a, b, l以及平面M , N，下面命題中正確的選項(xiàng)是 A .假設(shè)a/M ,b/M,貝U a / bB .假設(shè)a/M ,ba，貝Ub MC.假設(shè) a丄 M , a/ N，貝U M 丄 ND .假設(shè) a? M , b? M,且 I 丄 a, l 丄 b,貝U I 丄 M解析：