數列求和常見的種方法

1、數列求和的基本方法和技巧一、總論：數列求和7種方法：利用等差、等比數列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用數列通項法求和二、等差數列求和的方法是逆序相加法，等比數列的求和方法是錯位相減 法，三、逆序相加法、錯位相減法是數列求和的二個基本方法。數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎.在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位.數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有 求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個歷屆高考數學和數 學競賽試題來談談數列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和

2、公式求和是數列求和的最基本最重要的方法1、等差數列求和公式：Sn =n（a1 F = na1 +血衛(wèi)d2 2(q=1)2、等比數列求和公式：sn = 21（1 -qn） a1 -anqL 1-q1-q(qH1)3、Sn1n(n+1)kz12、Sn =送 k-n(n +1)(2n+1)k=165、n 1S%krn(n+1)2例 1已知 log 3 X =1log 2 3求 X + x2 +x3 +xn +的前n項和.解：由 log 3 X =二log 2 31log3 X = Tog3 2= x =-由等比數列求和公式得23nSn=X+X +X +X（利用常用公式）1 11-X_ x(1-xn)

3、 _ 2(2n) _ 1 1 h _1 戸2的最大值.例 2設 S= 1+2+3+n, n N；求 f(n)=(n + 32)Sn 卡用公式）解：由等差數列求和公式得1Sn=2n(n+1)，Sn（利用常f(n2d2 _ .34641 _ 164/8 2n+34 + ( Jn-)+50nVn50當仁士，即 n_ 8 時，f（n）ma50二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數列的前 n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列an bn的前n項和，其中an 、 b n 分別是等差數列和等比數列.例 3求和：Sn =1+3x+5X2 +7X3 + 中（2n- 1）xn解：由題可知，（2n-1）x

4、2的通項是等差數列2n 1的通項與等比數列n_4 IX 的通項之積設 xSn =1x +3x2 +5x3 +7x4 + + (2門 _用（設制錯位）一得 (1-x)Sn =1+2x+2x2+2x3+2x4+ +2x2(2 門_ i)Xn（錯位相減）4n -1再利用等比數列的求和公式得：（1-x）Sn =1+2x匚-（2 n-1）xn1 -X。(2n- 1)xn* -(2n+ 1)xn + (1 + x)(1-X)2Sn =例4求數列|,A,|3,罟，前n項的和.解：由題可知，繹的通項是等差數列2n的通項與等比數列!的通項之積2 22n設 Sn =? +丄 + n2 2 2 22462n+ +

5、+ +23 24+2n +（設制錯位）一得(2)Sn= 2 + 2亠22 22 23 24 2n2 2n（錯位相減）Snn +2=4-尹三、反序相加法求和這是推導等差數列的前 n項和公式時所用的方法,就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個（a+an）.例 5求證：Cn* +3C1 + 5C： + + (2n+ 1)C；=( n+ 1)2n.證明： 設 Sn =C： +3cn +5C； + +(2n +1)Cnn把式右邊倒轉過來得Sn =(2n +1)Cnn +(2n-1)C：4 + +3（反序）Sn(2n +1)Cn+(2 n-1)cn + +3Cn +cn.+得

6、2SnnJn=(2 n+2)(C； +C1 + +CT+C；：) =2( n+1)”2n（反序相加）Sn=(n +1)公例 6求 sin21 +sin22 +sin23 +sin2 88 +sin289 的值解：設 S =sin 2r + sin22+sin23+ +sin2 88 + sin289將式右邊反序得2勺202 勺2 它2S =sin 89 +sin 88 + ”+sin 3 + sin 2 +sin 1（反序）又因為 sin X =cos(90-x),sin2x+ cos2x=1（反序相加）202 竊20202百2百亠亠2S=(sin 1 +cos 1 )+(sin 2 + co

7、s 2 )+ +(sin 89 +cos 89 ) = 89 S = 44.5已知函數(1)證明：/（+人1-力二1 ；(2)爬卜遵卜打三+/丄IW丿110丿解:（1）先利用指數的相關性質對函數化簡，后證明左邊二右邊(2)利用第（1）小題已經證明的結論可知,兩式相加得:2S = 9x y +/I 110 丿=9所以二I.+丄練習、求值： 3+仃+尹廚+齊正+亍吋四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆幵，可分 為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可例 7求數列的前 n 項和：1 +1,- +4*3 n-2，a aa1 1 1解：設 Sn

8、=(1 +1) +(+4) +(飛 +7) + +3n -2)aaa將其每一項拆幵再重新組合得+1) +(1 + 4 + 7 +3n 2) a（分組）當a= 1時，Sn(3n-1) n (3n +1) n=n +=2 2（分組求和）當aHl時，&+ (3n 1)n = a a12a-1+(3 n-1)n2例8求數列n（n+1）（2n+1）的前n項和.解：設 ak =k(k +1)(2k +1) =2k3 + 3k2 +knnSn =2： k(k +1)(2k +1) = Z (2k3+3k2 +k)k壬km將其每一項拆幵再重新組合得（分組）n2 藝 k3Zk 二kvnk2+5： kk 二=2(

9、13 + Z3 + ” 十 n3) +3(12 +22 + + n2)十(1 + 2 + ”十 n)n2( n+1)2十 n(n +1)(2n+1)十 n(n +1)2 2（分組求和）n(n +1)2( n +2)五、裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項.通項分解（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的（裂項）如：1an=f (n +1) _ f (n)sin 1；5 = tan(n +1) -tanncos n cos(n +1)anann(n +1)n +1(4) an =(2n)2(2n-1)(2 n+1)小爲n1 2n

10、+1n(n1)(n+2)Vn(n+1)(n+1)(n+2)n +2ann(n+1) 2n2(n +1)-nn(n +1)2nnA(n+1)2，則Sn=1 -(n + 1)2n(7)an(An +B)(A n+C) C-B(A n+B An+Can例9品 n+1求數列（裂項）項求和）例 10項的和.（裂項）1 +73的前n項和.=(72-71)+(73-72)= 7-1在數列an中,解:anann+1n+1an=Jn+1一 Jnn+1（裂+(Jn +1 - J n)n+1，又bnan“a n十,求數列bn的前n+1bn =n n +121= 8(-=0數列b n的前n項和)n n +1（裂項Sn

11、 =8(1) + (3122334求和）1=8(1 苗8nn+1例 11求證：COS0 Js cos1Js2 0cos1NN2cos88 cos89 sin 1解:+COS0 cosV cos1 cos2+COS88 COS89sin1 = tan(n+1) -tanncos n cos(n+1)（裂項）+cos0 cos1 cos1 cos2+COS88 COS89（裂項求和）1 (tan 1 Q_tan 0 ) + (tan2 tan1 J + (tan3Q tan2)+ tan 89_tan88 sin 1 -(tan89-tanO ) = cotf = COS1sin1si n1sin

12、 1原等式成立答案.223挖+ 2科+ 3丿六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求S.例 12求 cos1 + cos2 + cos3 + + COS178 + cos179。的值.解：設S= cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 cos n = cos(180 一 n（找特殊性質項）(cos1 + COS179 )+( cos2 + cos178 )+ ( cos3 + cos177)+ -+( cos89+ cos91+ cos90（合并求和）例

13、 13數列3 n : 31 =1,32 =3,33 =2,3計=3n出3n，求 S2002.解：設S2002 = 31 + 32 + 33 + 3200231 二1, 32 =3, 33 =2, 3nH2 =3n+3n 可得36k+ +36k42 中361卡+36144 +36k 書 +36k 書=0（找特殊性質項）S200231 + 32 + 33 + + 3 2002（合并求和）=(ai +32 +33 + 36)+(37 +38+ -312)+ ”+(36kH1 +36k書+M36k 書) 31999 + 32000 + 32001 十 3200236k + +36k42 +36k43

14、+36k+4例14在各項均為正數的等比數列中，若3536 =9,求log 3 34 + log 3 32 + log 3 310的解軍：設 Sn =log3ai +log3 32 + Mlog3 印。由等比數列的性質 m+n = p+q= 3m33 p3q殊性質項）和對數的運算性質logaM +logaN =logaM N 得（找特（合并求S(log 3 3log3 310(log 3 3 log 3 39 -+(log 3 35 中 logs as)和）(log 3 *1 810 ) + (log 3*2 9) + f + (log 3 a5 6 )=log 3 9 +1003 9 + .+

15、 log3 9七、利用數列的通項求和先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規(guī)律來求數列的前n項和，是一個重要的方法.例 15求 1+11+111 + +11丄二1 之和.n個11 1解：由于I1?*警于9=9（10k_1）（找通項及特征）1+11+111 +111 17n個1111 1=一仆。1 -1) +-(102 -1) +-(103 -1) +.+ -(10n -1)9999（分組求和）11=(101 中102 +103 + +10n)- (ht1LL21)99n個 1_ 1 10(10 -1) n910-19=丄(10n+ _10 -9n)81例 16C已知數列an : an =8,求送(n + 1)(an a.十)的值.(n +1) (n +3) nrn解：,(n+1)(an-an 8(n+1)(n+1)(n+3)(n+2)(n + 4)（找通項及特征）(n +2)( n + 4) (n + 3)( n+4)（設制分組）1（裂項）1 1 +8(n + 3 n-丄)+8(丄n4 n+2 n + 4n+3 n + 4（分組、裂項求CoC 12 (n+ 1)(an -and =4W (n 4和）111=4一 + ) + 8 ”一3 44=133提高練習：1.已知數列設數列設數列中，Sn是其