數(shù)列求和常見的種方法

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用數(shù)列通項法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減 法，三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有 求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù) 學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和

2、公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式：Sn =n（a1 F = na1 +血衛(wèi)d2 2(q=1)2、等比數(shù)列求和公式：sn = 21（1 -qn） a1 -anqL 1-q1-q(qH1)3、Sn1n(n+1)kz12、Sn =送 k-n(n +1)(2n+1)k=165、n 1S%krn(n+1)2例 1已知 log 3 X =1log 2 3求 X + x2 +x3 +xn +的前n項和.解：由 log 3 X =二log 2 31log3 X = Tog3 2= x =-由等比數(shù)列求和公式得23nSn=X+X +X +X（利用常用公式）1 11-X_ x(1-xn)

3、 _ 2(2n) _ 1 1 h _1 戸2的最大值.例 2設(shè) S= 1+2+3+n, n N；求 f(n)=(n + 32)Sn 卡用公式）解：由等差數(shù)列求和公式得1Sn=2n(n+1)，Sn（利用常f(n2d2 _ .34641 _ 164/8 2n+34 + ( Jn-)+50nVn50當(dāng)仁士，即 n_ 8 時，f（n）ma50二、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項和，其中an 、 b n 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 3求和：Sn =1+3x+5X2 +7X3 + 中（2n- 1）xn解：由題可知，（2n-1）x

4、2的通項是等差數(shù)列2n 1的通項與等比數(shù)列n_4 IX 的通項之積設(shè) xSn =1x +3x2 +5x3 +7x4 + + (2門 _用（設(shè)制錯位）一得 (1-x)Sn =1+2x+2x2+2x3+2x4+ +2x2(2 門_ i)Xn（錯位相減）4n -1再利用等比數(shù)列的求和公式得：（1-x）Sn =1+2x匚-（2 n-1）xn1 -X。(2n- 1)xn* -(2n+ 1)xn + (1 + x)(1-X)2Sn =例4求數(shù)列|,A,|3,罟，前n項的和.解：由題可知，繹的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列!的通項之積2 22n設(shè) Sn =? +丄 + n2 2 2 22462n+ +

5、+ +23 24+2n +（設(shè)制錯位）一得(2)Sn= 2 + 2亠22 22 23 24 2n2 2n（錯位相減）Snn +2=4-尹三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項和公式時所用的方法,就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a+an）.例 5求證：Cn* +3C1 + 5C： + + (2n+ 1)C；=( n+ 1)2n.證明： 設(shè) Sn =C： +3cn +5C； + +(2n +1)Cnn把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得Sn =(2n +1)Cnn +(2n-1)C：4 + +3（反序）Sn(2n +1)Cn+(2 n-1)cn + +3Cn +cn.+得

6、2SnnJn=(2 n+2)(C； +C1 + +CT+C；：) =2( n+1)”2n（反序相加）Sn=(n +1)公例 6求 sin21 +sin22 +sin23 +sin2 88 +sin289 的值解：設(shè) S =sin 2r + sin22+sin23+ +sin2 88 + sin289將式右邊反序得2勺202 勺2 它2S =sin 89 +sin 88 + ”+sin 3 + sin 2 +sin 1（反序）又因為 sin X =cos(90-x),sin2x+ cos2x=1（反序相加）202 竊20202百2百亠亠2S=(sin 1 +cos 1 )+(sin 2 + co

7、s 2 )+ +(sin 89 +cos 89 ) = 89 S = 44.5已知函數(shù)(1)證明：/（+人1-力二1 ；(2)爬卜遵卜打三+/丄IW丿110丿解:（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊二右邊(2)利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知,兩式相加得:2S = 9x y +/I 110 丿=9所以二I.+丄練習(xí)、求值： 3+仃+尹廚+齊正+亍吋四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆幵，可分 為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可例 7求數(shù)列的前 n 項和：1 +1,- +4*3 n-2，a aa1 1 1解：設(shè) Sn

8、=(1 +1) +(+4) +(飛 +7) + +3n -2)aaa將其每一項拆幵再重新組合得+1) +(1 + 4 + 7 +3n 2) a（分組）當(dāng)a= 1時，Sn(3n-1) n (3n +1) n=n +=2 2（分組求和）當(dāng)aHl時，&+ (3n 1)n = a a12a-1+(3 n-1)n2例8求數(shù)列n（n+1）（2n+1）的前n項和.解：設(shè) ak =k(k +1)(2k +1) =2k3 + 3k2 +knnSn =2： k(k +1)(2k +1) = Z (2k3+3k2 +k)k壬km將其每一項拆幵再重新組合得（分組）n2 藝 k3Zk 二kvnk2+5： kk 二=2(

9、13 + Z3 + ” 十 n3) +3(12 +22 + + n2)十(1 + 2 + ”十 n)n2( n+1)2十 n(n +1)(2n+1)十 n(n +1)2 2（分組求和）n(n +1)2( n +2)五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項.通項分解（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的（裂項）如：1an=f (n +1) _ f (n)sin 1；5 = tan(n +1) -tanncos n cos(n +1)anann(n +1)n +1(4) an =(2n)2(2n-1)(2 n+1)小爲(wèi)n1 2n

10、+1n(n1)(n+2)Vn(n+1)(n+1)(n+2)n +2ann(n+1) 2n2(n +1)-nn(n +1)2nnA(n+1)2，則Sn=1 -(n + 1)2n(7)an(An +B)(A n+C) C-B(A n+B An+Can例9品 n+1求數(shù)列（裂項）項求和）例 10項的和.（裂項）1 +73的前n項和.=(72-71)+(73-72)= 7-1在數(shù)列an中,解:anann+1n+1an=Jn+1一 Jnn+1（裂+(Jn +1 - J n)n+1，又bnan“a n十,求數(shù)列bn的前n+1bn =n n +121= 8(-=0數(shù)列b n的前n項和)n n +1（裂項Sn

11、 =8(1) + (3122334求和）1=8(1 苗8nn+1例 11求證：COS0 Js cos1Js2 0cos1NN2cos88 cos89 sin 1解:+COS0 cosV cos1 cos2+COS88 COS89sin1 = tan(n+1) -tanncos n cos(n+1)（裂項）+cos0 cos1 cos1 cos2+COS88 COS89（裂項求和）1 (tan 1 Q_tan 0 ) + (tan2 tan1 J + (tan3Q tan2)+ tan 89_tan88 sin 1 -(tan89-tanO ) = cotf = COS1sin1si n1sin

12、 1原等式成立答案.223挖+ 2科+ 3丿六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求S.例 12求 cos1 + cos2 + cos3 + + COS178 + cos179。的值.解：設(shè)S= cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 cos n = cos(180 一 n（找特殊性質(zhì)項）(cos1 + COS179 )+( cos2 + cos178 )+ ( cos3 + cos177)+ -+( cos89+ cos91+ cos90（合并求和）例

13、 13數(shù)列3 n : 31 =1,32 =3,33 =2,3計=3n出3n，求 S2002.解：設(shè)S2002 = 31 + 32 + 33 + 3200231 二1, 32 =3, 33 =2, 3nH2 =3n+3n 可得36k+ +36k42 中361卡+36144 +36k 書 +36k 書=0（找特殊性質(zhì)項）S200231 + 32 + 33 + + 3 2002（合并求和）=(ai +32 +33 + 36)+(37 +38+ -312)+ ”+(36kH1 +36k書+M36k 書) 31999 + 32000 + 32001 十 3200236k + +36k42 +36k43

14、+36k+4例14在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若3536 =9,求log 3 34 + log 3 32 + log 3 310的解軍：設(shè) Sn =log3ai +log3 32 + Mlog3 印。由等比數(shù)列的性質(zhì) m+n = p+q= 3m33 p3q殊性質(zhì)項）和對數(shù)的運算性質(zhì)logaM +logaN =logaM N 得（找特（合并求S(log 3 3log3 310(log 3 3 log 3 39 -+(log 3 35 中 logs as)和）(log 3 *1 810 ) + (log 3*2 9) + f + (log 3 a5 6 )=log 3 9 +1003 9 + .+

15、 log3 9七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例 15求 1+11+111 + +11丄二1 之和.n個11 1解：由于I1?*警于9=9（10k_1）（找通項及特征）1+11+111 +111 17n個1111 1=一仆。1 -1) +-(102 -1) +-(103 -1) +.+ -(10n -1)9999（分組求和）11=(101 中102 +103 + +10n)- (ht1LL21)99n個 1_ 1 10(10 -1) n910-19=丄(10n+ _10 -9n)81例 16C已知數(shù)列an : an =8,求送(n + 1)(an a.十)的值.(n +1) (n +3) nrn解：,(n+1)(an-an 8(n+1)(n+1)(n+3)(n+2)(n + 4)（找通項及特征）(n +2)( n + 4) (n + 3)( n+4)（設(shè)制分組）1（裂項）1 1 +8(n + 3 n-丄)+8(丄n4 n+2 n + 4n+3 n + 4（分組、裂項求CoC 12 (n+ 1)(an -and =4W (n 4和）111=4一 + ) + 8 ”一3 44=133提高練習(xí)：1.已知數(shù)列設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列中，Sn是其