3-5-可分離變量型方程及其解法

1、2.1可分離變量型方程的解法教學(xué)內(nèi)容1.介紹導(dǎo)數(shù)、不定積分公式表及其意義；2.介紹求導(dǎo)和求不定積分的法則；3.引入齊次方程的概念及其求解方法；4.介紹其他可分離變量型方程及其解法.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)是知道齊次方程如何引入新的因變量化為分離變量型方程，難點(diǎn)是如何 根據(jù)方程的形式引入新的變量變換使得新方程為可分離變量型方程.教學(xué)方法自學(xué)1、2;講授3、4，5課堂練習(xí)考核目標(biāo)1.會(huì)熟記、記準(zhǔn)導(dǎo)數(shù)公式和積分公式；2.知道求導(dǎo)法則和積分法則，并熟練、正確計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和不定積分；3.知道齊次方程的形式dy =f（），并會(huì)用變換u =，將原方程化為 dx XX變量可分離型方程；4.知道探照燈形狀設(shè)計(jì)問(wèn)題及其求

2、解步驟和方法；5.知道如何將函數(shù)方程或積分方程求解問(wèn)題化歸為微分方程來(lái)求解.1. 導(dǎo)數(shù)公式和積分表的意義小學(xué)時(shí)大家熟記乘法口訣表，這是小學(xué)、中學(xué)數(shù)學(xué)乘、除運(yùn)算的基礎(chǔ)，要不然，買2斤蘋(píng)果3斤梨子，都不知道該付給商販多少錢。大學(xué)時(shí)大家關(guān)心的是函數(shù)，其中求導(dǎo)和求積分是兩個(gè)重要的運(yùn)算，函數(shù)的不少性質(zhì)需要求助于這兩種運(yùn)算的結(jié)果，比如單調(diào)性、凸凹性、曲線的長(zhǎng)度等.（導(dǎo)數(shù)表參見(jiàn)數(shù)學(xué)分析上P101基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，積分表參見(jiàn)數(shù)學(xué)分析上P180列表）練習(xí)17. （ 1）合上書(shū)本，寫(xiě)出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和不定積分公式.X-XX-Xe ee 十 e(2)雙曲正弦sh X =，雙曲余弦 ch X =,(有的

3、教材用 sinh x和 cosh x 表2 22 2示).證明：(ch X)' = sh x, (sh X)' = ch x, ch x sh x = 1.（積分）公式，但你要會(huì)將這些函數(shù)的 來(lái)算，這就要知道求導(dǎo)（積分）法則業(yè)=f '(X)少 dy =f '(x)dx，導(dǎo) dx2. 求導(dǎo)法則和積分法則碰到的函數(shù)成千上萬(wàn)，不可能記住所有這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)（積分）轉(zhuǎn)化為上面基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（積分）對(duì)于一元函數(shù)y =f（x）而言，可導(dǎo)性和可微性是等價(jià)的,數(shù)也稱為微商，原因是 f '（X）是y的微分與x微分的商.下面就給出求導(dǎo)、求微分、求積分法則.設(shè)U =f

4、（x）, V =g（x）均可導(dǎo)，則 (f(x) + g(x)' =f '(X) +g '(x) , d(u +v) =du +dv ；相應(yīng)(1) J d(u +v) = J du+ J dv;(f(x) g(x)' =f ' (x)g(x)中f(x )g ' (x) , d(u v) = v du + u dv ；于是相應(yīng)地有(2) J d(u “V)= J V du + J u dv ；-d-(f (g(x) =f '(g(x) g'(x)，d(f(g(x) =f'(v)dv, v = g(x)；于是相應(yīng)地有 dx（從左

5、往右，從右往左，不同思路(3)J d(f(g(x) = J f '(v)dv = J f ' (g(x) g' (x)dx都要會(huì)）例18.求下列積分（a） Ij = J 2（X(2x +3)dx+5x + 6) ；(b)I27教材P32 例3.解：(1) (a)記 f(x) =22x + 3)(x +5x +6)_(2x +3)"(x+2)(x +3),將f（x）分解為簡(jiǎn)單分式的和：f(x)X +2于是，I1 =_13xdx + jdx=3In|x+31 如x+2|+c.(b)記 g(x)=(2x +3)(x +1)(x -1)2g（x）=島十七十合，其中A1

6、2x +3"(X -1)2x +3"(x+1)xm=5/2,系數(shù)A2確定如下，取x=0（不同于-1,1），則 g(o)=3=14+包+5/21 -1 1解得 A2 = -1/4.因此,I2 =l|n Ix+ljln |x -1|-445丄+c2(x -1)例19.求下列積分（a） I3=J t In t dt;(b) I4 = J t sin t dt ； (c) 15= J t ea t dt.解:十2t2t21t2t2(a)I f In t d(t2/2)In t - fd(Int) = Int - f一 一dt=In t -一+ C .2'22 2 t 24t

7、2(b) I4t2t2t2Fsin t g-sint) =此路不通！I4 = J t d(-cos t) =t(cos t) J(-cost)d(t) = -t cos t中 J costdt = -t cos t +sin t + C.（c）作為練習(xí).例20.求下列積分(a) l6 7 (xF：3x曙3/2 ； (b) l7=Jdx.解：（a）令 v =x2+ 3x + 6, dv = (2x + 3)dx,于是有-一-l6 -v3/2 -宀V=缶宀+2嚴(yán)+C.（從右往左）(b)令 X =sin t, dx =cos t dt， 于是有l(wèi)71 +cos2t=f cos t costdt =

8、f21 竺型凹丄泌 、224+C作業(yè)18.求下列方程的通解.(X +1)(1) ¥-+；-.； dx (x + 2)(x -1)dydxdydxx2 +x +1ex例21.求解下列方程:w（y） H0,分離變量dy = J1 y2 ； dxdy申(y)(b)= f（x）dx，【熬=Jf(x)dx .dydx=y in y ； (c)dydxtan ycot x3. 可分離變量型方程形式、齊次方程形式及其求解方法（1）可分離變量型方程形式：業(yè)=f（x） W（y），其中f（x）/P（y）連續(xù).dx求解方法：（1）求出W（y） =0的根y =yo，常函數(shù) y =yo也是方程的解;=dx，詬

9、性 Fdx,y解：（a）令（1 y2 =0，得到y(tǒng) =勺； 當(dāng)J1 -y2 hO時(shí)，原方程改寫(xiě)為 f dy 21 - y2于是，arcsin y =x +C, y =sin（x +C）為所求的通解，此外，y = ±1也是方程的解.dy當(dāng) y In yO 時(shí)，-= dx,亠=fdx, In | In y |= x + C即為所求通積分，另外 y In y' y In y y =1也是方程的一個(gè)解當(dāng) tan yO時(shí)，-dydxcos ydytan ycot xsin ysin xdx cos ydy .sin xdx,J ;sin ycos xcos x于是得到 In | sin

10、 y |= In | cos x | +C, sin y = ±CC = eC為所求的通積分，另外,cosx(c)令 tan y = 0 ,解得y = k n k迂Z也是方程的解.作業(yè)19.求解如下方程：y歲=x(1 -y2).dx(2)齊次方程的形式及其解法稱形如gy =f仕為齊次方程，解法如下：令dxu = 乂，y = ux, 9乂 = u + X 屯，于是新方 xdxdx程為 duf(u)udx，這是可分離變量型方程du于是x=ta n u.dx例 22.求解方程(ajh'+tanXb) x + zjxy py, xcO. dx x x dxdx解：(a)令 u =-,

11、 y =ux,業(yè)=u + x 魚(yú)=u + tan u ,xdx令 tan u = 0，解得 u = k n k 忘 Z .當(dāng) tan yH0時(shí)，du dx cosudu dxcosududxtan u X sin u x于是In |sin u|=ln|x|弋.返回原變量得到,、sin uIn |sin |=ln |x | +C .x另外y = k nx, k Z也是方程的解.dx(b)改寫(xiě)原方程為2jy，這是個(gè)齊次方程.V x x令 u=y, y=ux, dy=u+x 空=口+2 府，即 x 空=2石.xdxdxdxdu dxdu當(dāng)心0時(shí)，麗匚頑空，ju=ln|x|+C，返回原變量得到, XJ

12、- =ln |x|+C為所求的通積分Vx.另外，u=0對(duì)應(yīng)的y=0也是方程的一個(gè)解.例23.求解方程(a) dy X -ydx x+y(b)dy X - y +1dx x+ y -3解：（a）這是改寫(xiě)為齊次方程dydx1 +y/xydyduu = , y = ux,=u +xXdxdxdu 1 -2u-u2.(i)dx1+u令 1 -2u -u2 =0 ,解得 u =-2一2±如4卄.1-u2(ii)當(dāng) 1 -2u-u HO時(shí),(1+ u)dudx1-2u-u21 r-(2 + 2u)dudx2 =2 1-2U-U2于是-h n|1 -2u-u2 |=ln |x|+C,2In |1-

13、2u-u2|+2ln|x|= -2C ,得到 x2(1-2u-u2) =±e2C返回原變量得到，原方程的通積分為X2 2xy y2 =±C, C=e2C為任意正實(shí)數(shù).另外，u=1+J2對(duì)應(yīng)兩條直線y=（1+J2）x也是方程的解.（b）通過(guò)線性變換可以將原方程化為（a）的情形.具體做法（參見(jiàn)教材P38例7.）作業(yè)20.教材P42習(xí)題1（ 6 ）、（ 9）；教材P43習(xí)題（3）常見(jiàn)可經(jīng)變量替換化為可分離變量型方程2 (3)、(7).例25.求解下列方程:理ex y; (b)dx xdy X - y +5d2; (c)業(yè)dx X y 233 2x -2xy +10xdx3x2y2

14、 -3y5-6y解：(a)令 V = x y,空=ydx"Xdy，改寫(xiě)原方程為X學(xué)+y二X eX y，于是，色二X eV.dx（以下略）(b)令 V =x y 2, dVdx=1_理=1_匕7-7dxV新方程為.空dx（以下略）(c)改寫(xiě)方程為f = 一4-，令u = y , V2xdx x -y -2/，新方程為duu - V + 5u V 2注解：更多通過(guò)變換化為可分離變量型方程的例子（參見(jiàn)教材P38第一段,P43習(xí)題3.）4.應(yīng)用題P41 例 9）（2）建立坐標(biāo)系，將曲線放在坐標(biāo)系內(nèi)，討（4）方程求解參見(jiàn)例 24.例26.探照燈反射鏡面的形狀設(shè)計(jì)問(wèn)題（參見(jiàn)教材 思路：（1）將三

15、維空間曲面約化為平面曲線； 論曲線的方程；（3 ）根據(jù)設(shè)計(jì)要求建立曲線的微分方程;例27.物體在空氣中下落與特技跳傘k>0.假設(shè)質(zhì)量為m的物體在空氣中下落，空氣阻力物體速度的平方成正比，比例系數(shù)為二定律有mx=mg-k x，引入速度v=x，則V滿足的方程為dt以鉛直向下直線為正向，建立坐標(biāo)軸x軸，記x（t）表示時(shí)刻t時(shí)2物體的位置，則由牛頓第2dv k 2 =g一 v . m先考慮特技跳傘問(wèn)題，假設(shè)跳傘員開(kāi)傘前阻尼系數(shù)為ki，開(kāi)傘后阻尼系數(shù)為k2 » ki，在Ti最小且有安T1T使得降落時(shí)間給定高度Ho = 0 f（t）dt , T1為落地時(shí)間，如何掌握開(kāi)傘時(shí)間全的降落速度v1

16、這是一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題（參見(jiàn) 丁同仁、李承治常微分方程教程P27例 3)例24.求解方程魚(yú)=隹dx x+Jx2+y2解：（1）當(dāng)x>0時(shí)，改寫(xiě)為dydxy/x1 +J1 +(y/x)2令 u =y, yx= ux, =u+x dxdudx1 + Jl +u2(i)當(dāng) u >0時(shí),(1 +Jl+u2)du uJl +u2dx(1+ 也+口典 _dxx ' uJ1+u2duuj1 +udud(-)=ln u +，u=ln u +l n( 1! + J + 1)+cu V u* 2于是，In(-1+J1+u )+ln x=C，返回原變量得到ln(-x+ Jx2 +y2) =C,I

17、 22 C22Jx +y =C+ X, C=e，化簡(jiǎn)得到 y =C +2Cx(ii)當(dāng) ucO時(shí),(1+j1+u2)dudxuJ1+u2r(1+Jl+U2)dU，/ 2uTi + u2dxdu 十 f duuu(1+u2-du=ln u + f一嚴(yán)叭存1d()un+1=ln(- u) + 打Ju2=In(- u) + ln( + jA + 1) u u+C,于是，In (-1 +Jl+u2)+ln x=C，返回原變量同樣得到2 2y2 =c2 +2C X(iii)當(dāng)u=O時(shí)，y=O也是方程的一個(gè)解.當(dāng)x<0時(shí)，改寫(xiě)為字=y/xdx1-J1 +(y/x)2u=y,y=ux,魚(yú)=udxx，y

18、+xdudxdx(i)當(dāng) u >0時(shí),(1-Jl +u2)duuJl + u2dx(1 - J1 + u 2)duX '， IuPl + u2uJl + u21-Jl + u2dxu 'uvW=Tn 嚴(yán)dud(-丄)u=-In u + f = Tn u-1n(丄 + J +1) E u h、u+C,于是，-ln(1 + J1 + u2) Tn(- x)=C，返回原變量得到 ln(-x + Jx2+ y2) =C,7x2 +y2 =C +x, C=eC，化簡(jiǎn)得到 y2 =C2 +2C x.(ii)當(dāng) ucO時(shí),dx(1-j1+u2)du dx(1 j1+u2)du一 J u 時(shí)=du=_ln(- u) - fd(-)uAd-n(-f計(jì))+C，于