常微分方程歐拉方法

1、第八章常微分方程數(shù)值解法-8.1 Euler 方法方法第第8章章 常微分方法的數(shù)值解法常微分方法的數(shù)值解法8.1.2 局部誤差和方法的階局部誤差和方法的階8.1.1 Euler 方法及其有關(guān)的方法方法及其有關(guān)的方法第八章常微分方程數(shù)值解法第第8章章 常微分方法的數(shù)值解法常微分方法的數(shù)值解法教學(xué)目的教學(xué)目的 1. 1. 掌握解常微分方程的單步法：掌握解常微分方程的單步法：EulerEuler方法、方法、TaylorTaylor方法和方法和Runge-KuttaRunge-Kutta方法；方法；2. 2. 掌握解常微分方程的多步法：掌握解常微分方程的多步法：AdamsAdams步法、步法、Simp

2、sonSimpson方法和方法和MilneMilne方法等；方法等；3. 3. 了解單步法的收斂性、相容性與穩(wěn)定性；多步了解單步法的收斂性、相容性與穩(wěn)定性；多步法的穩(wěn)定性。法的穩(wěn)定性。教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 重點(diǎn)重點(diǎn)是解常微分方程的單步法：是解常微分方程的單步法：EulerEuler方法、方法、TaylorTaylor方法和方法和Runge-KuttaRunge-Kutta方法和解常微分方程的方法和解常微分方程的多步法：多步法：AdamsAdams步法、步法、SimpsonSimpson方法和方法和MilneMilne方法等；方法等；難點(diǎn)難點(diǎn)是理解單步法的收斂性、相容性與穩(wěn)定性及多是理解

3、單步法的收斂性、相容性與穩(wěn)定性及多步法的穩(wěn)定性。步法的穩(wěn)定性。第八章常微分方程數(shù)值解法第第8章章 常微分方法的數(shù)值解法常微分方法的數(shù)值解法科學(xué)技術(shù)與工程問題常常需要建立微分方程形式的數(shù)學(xué)模型，科學(xué)技術(shù)與工程問題常常需要建立微分方程形式的數(shù)學(xué)模型，下面是這類問題的例子。下面是這類問題的例子。設(shè)設(shè)N（t）為某物種的數(shù)量，）為某物種的數(shù)量， 為該物種的的出生率與死亡率之為該物種的的出生率與死亡率之差，差， 為生物的食物供給及它們所占空間的限制，描述該物種增長(zhǎng)為生物的食物供給及它們所占空間的限制，描述該物種增長(zhǎng)率的數(shù)學(xué)模型是率的數(shù)學(xué)模型是。002)()()(NtNtNtNdtdN 設(shè)設(shè)Q是電容器上的帶

4、電量，是電容器上的帶電量，C為電容，為電容，R為電阻，為電阻，E為電源的為電源的電動(dòng)勢(shì)，描述該電容器充電過程的數(shù)學(xué)模型是電動(dòng)勢(shì)，描述該電容器充電過程的數(shù)學(xué)模型是。，00)()(QtQRCtQEdtdQ 第八章常微分方程數(shù)值解法以上兩個(gè)例子是常微分方程初值問題，下面是一個(gè)兩點(diǎn)邊值問以上兩個(gè)例子是常微分方程初值問題，下面是一個(gè)兩點(diǎn)邊值問題的例子。題的例子。 設(shè)一跟長(zhǎng)為設(shè)一跟長(zhǎng)為L(zhǎng)的矩形截面的梁，兩端固定。的矩形截面的梁，兩端固定。E是彈性模量，是彈性模量，S是是端點(diǎn)作用力，端點(diǎn)作用力，I（x）是慣性矩，）是慣性矩，q是均勻荷載強(qiáng)度，梁的橈度是均勻荷載強(qiáng)度，梁的橈度y（x）滿足如下方程滿足如下方程

5、。）（，00)()(2)()(22 LyylxxEIqxxyxEISdxyd針對(duì)實(shí)際問題建立的數(shù)學(xué)模型，要找出模型解的解析表達(dá)式往往針對(duì)實(shí)際問題建立的數(shù)學(xué)模型，要找出模型解的解析表達(dá)式往往是困難的，甚至是不可能的。因此，需要研究和掌握微分方程的數(shù)值是困難的，甚至是不可能的。因此，需要研究和掌握微分方程的數(shù)值解法，即計(jì)算解域內(nèi)離散點(diǎn)上的近似值的方法。本章討論常微分方程解法，即計(jì)算解域內(nèi)離散點(diǎn)上的近似值的方法。本章討論常微分方程數(shù)值解的基本方法和理論。數(shù)值解的基本方法和理論。第八章常微分方程數(shù)值解法8.1 Euler 方法方法8.1.1 Euler 方法及其有關(guān)的方法方法及其有關(guān)的方法考慮一階常微

6、分方程初值的問題：考慮一階常微分方程初值的問題： 00)(),(yxyyxfy設(shè)設(shè)f（x,y）是連續(xù)函數(shù)，對(duì)）是連續(xù)函數(shù)，對(duì)y滿足滿足Lipschitz條件，這樣初值問題的解是條件，這樣初值問題的解是存在唯一的，而且連續(xù)依賴于初始條件。存在唯一的，而且連續(xù)依賴于初始條件。 為了求得離散點(diǎn)上的函數(shù)值，將微分方程的連續(xù)問題（為了求得離散點(diǎn)上的函數(shù)值，將微分方程的連續(xù)問題（8.1.1）進(jìn)行）進(jìn)行離散化。一般是引入點(diǎn)列離散化。一般是引入點(diǎn)列 ，這里，這里為步長(zhǎng)，經(jīng)常考慮定長(zhǎng)的情形，即為步長(zhǎng)，經(jīng)常考慮定長(zhǎng)的情形，即 。記記 為初始問題（為初始問題（8.1.1）的問題準(zhǔn)確解）的問題準(zhǔn)確解 在在 處的值，處

7、的值，用均差近似代替（用均差近似代替（8.1.1）的導(dǎo)數(shù)得）的導(dǎo)數(shù)得 nxnnnnhnhxx。稱稱,.2 , 1,1 ，100 nnhxxhhnn)(xy)(nxynx第八章常微分方程數(shù)值解法。，)()()()()()(11nnnnnnnnxyxfhxyhxyxyxfhxyhxy令令 為為 的近似值，將上面兩個(gè)近似寫成等式，整理后得的近似值，將上面兩個(gè)近似寫成等式，整理后得ny)(nxy。，10)(10)(1111nyxhfyynyxhfyynnnnnnnn（8.1.2）（8.1.3）從從 處的初值處的初值 開始，按（開始，按（8.1.2）可逐步計(jì)算以后各點(diǎn)上的值。稱）可逐步計(jì)算以后各點(diǎn)上的值

8、。稱（8.1.2）式為）式為顯式顯式Euler。由于（。由于（8.1.3）式的右端隱含有待求函數(shù)值）式的右端隱含有待求函數(shù)值 ，不能逐步顯式計(jì)算，稱（不能逐步顯式計(jì)算，稱（8.1.3 ）式為）式為隱式隱式Euler公式公式或或后退后退Euler公式公式。如果。如果將（將（8.1.2）和（）和（8.1.3）兩式作算術(shù)平均，就得）兩式作算術(shù)平均，就得梯形公式。梯形公式。0 x0y1ny第八章常微分方程數(shù)值解法梯形公式也是隱式公式。以上公式都是由梯形公式也是隱式公式。以上公式都是由 去計(jì)算去計(jì)算 ，故稱它們?yōu)閱尾椒?。，故稱它們?yōu)閱尾椒ā?例例8.1 取取h=0.1，用，用Euler方法、隱式方法、隱

9、式Euler方法和梯形方法解方法和梯形方法解ny1ny。，1)0(1yyxy 解解 本題有本題有 如果用如果用Euler方法，由（方法，由（8.1.2）并代入并代入h=0.1得得 。，11)(0yyxyxf。1 . 09 . 01 . 01nnnyxy同理，用隱式同理，用隱式Euler方法有方法有。) 1 . 01 . 0(1 . 1111nnnyxy。，1)()(2111onyxfyxfhyynnnnnn（8.1.4）第八章常微分方程數(shù)值解法用梯形公式有用梯形公式有。)105.095.01 .0(05.111nnnyxy三種方法及準(zhǔn)確解三種方法及準(zhǔn)確解 的數(shù)值結(jié)果如表的數(shù)值結(jié)果如表8-1所示

10、。從表中看所示。從表中看 到，在到，在 處，處，Euler方法和隱式方法和隱式Euler方法的誤差方法的誤差 分分別是別是 和和 ，而梯形方法的誤差卻是，而梯形方法的誤差卻是 。 xexxy)(5 . 0nxnnyxy)(2104 . 12106 . 14105 . 2 在例在例8.1中，由于中，由于f（x，y）對(duì)）對(duì)y是線性的，所以對(duì)隱式公式也可以方便地計(jì)是線性的，所以對(duì)隱式公式也可以方便地計(jì)算算 。但是，當(dāng)。但是，當(dāng)f（x，y）是）是y的非線性函數(shù)時(shí)，如的非線性函數(shù)時(shí)，如 ，其隱式，其隱式Euler公式為公式為 。顯然，它是。顯然，它是 的非線性方程，可以選擇的非線性方程，可以選擇非線性方

11、程求根的迭代求解非線性方程求根的迭代求解 。以梯形公式為例，可用顯式。以梯形公式為例，可用顯式Euler公式提供公式提供迭代初值迭代初值 ，用公式，用公式1ny35yxy)5(3111nnnnyxhyy1ny)0(1ny1ny第八章常微分方程數(shù)值解法表表8-1 Euler方法方法 隱式隱式Euler方法方法 梯形法梯形法 準(zhǔn)確解準(zhǔn)確解nx 0 1 1 1 10.1 1.000000 1.009091 1.004762 1.0048370.2 1.010000 1.026446 1.018549 1.018731 0.3 1.029000 1.051315 1.040633 1.040818 0

12、.4 1.056100 1.083013 1.070096 1.070320 0.5 1.090490 1.120921 1.106278 1.106531 第八章常微分方程數(shù)值解法，102)()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyyknnnnnknnnnn反復(fù)迭式，直到反復(fù)迭式，直到，)(1)1(1knknyy其中，步長(zhǎng)其中，步長(zhǎng)h成為迭代參數(shù)，它需要滿足一定的條件，才能收斂。若將成為迭代參數(shù)，它需要滿足一定的條件，才能收斂。若將（8.1.4）式減去該迭代公式，得）式減去該迭代公式，得)(1111)1(112knnnnknnyxfyxfhyy，假設(shè)假設(shè)f（x，y）關(guān)于）關(guān)于y

13、滿足滿足Lipschiz條件，則有條件，則有第八章常微分方程數(shù)值解法，)(11)1(112knnknnyyhLyy這里，這里，L是是Lipschiz常數(shù)。當(dāng)常數(shù)。當(dāng)hL/21即即h2/L時(shí)，迭代序列時(shí)，迭代序列 收斂收斂 。 )(1kny 1 ny 對(duì)于隱式公式，通常采用估計(jì)對(duì)于隱式公式，通常采用估計(jì)-校正技術(shù)，即先用顯式公式計(jì)算，得到校正技術(shù)，即先用顯式公式計(jì)算，得到預(yù)估值，然后以預(yù)估值作為隱式公式的迭代初值，用隱式公式迭代一次得到預(yù)估值，然后以預(yù)估值作為隱式公式的迭代初值，用隱式公式迭代一次得到校正值，稱為校正值，稱為預(yù)估預(yù)估-校正技術(shù)校正技術(shù)。例如，用顯式。例如，用顯式Euler公式作預(yù)

14、估，用梯形公式公式作預(yù)估，用梯形公式作校正，即作校正，即。，1021111nyxfyxfhyyyxhfyynnnnnnnnnn稱該公式為稱該公式為改進(jìn)的改進(jìn)的Euler公式公式。它顯然等價(jià)于顯式公式為。它顯然等價(jià)于顯式公式為nnnnnnnnyxhfyxfyxfhyy,211， （8.1.6）第八章常微分方程數(shù)值解法也可以表示為下列平均化的形式也可以表示為下列平均化的形式。，qpnpnnqnnnpyyyyxhfyyyxhfyy2111例例8.2 取取h=0.1，用改進(jìn)的，用改進(jìn)的Euler方法解方法解。，102yyxyy解解 按（按（8.1.5），改進(jìn)的），改進(jìn)的Euler方法解方法解。，10)

15、2()2(2)2(11111nyxyyxyhyyyxyhyynnnnnnnnnnnnn第八章常微分方程數(shù)值解法由由 得計(jì)算結(jié)果如表得計(jì)算結(jié)果如表8-2。該初值問題的準(zhǔn)確解為。該初值問題的準(zhǔn)確解為 。1 . 010hy， xxy21表表 8-2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0959 1.1841 1.2662 1.3434 1.4164 1.4860 1.5525 1.6153 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5492 1.6165 nxny)(nxy第八章常微分方程數(shù)值解法8.1.2 局部誤差和方法

16、的階局部誤差和方法的階 初值問題（初值問題（8.1.1）的單步法可以寫成如下統(tǒng)一形式）的單步法可以寫成如下統(tǒng)一形式，)(111hyyxxhyynnnnnn（8.1.7）f其中其中 與與 有關(guān)。若有關(guān)。若 中不含中不含 ，則方法是顯式的，否則是隱式的，所以一，則方法是顯式的，否則是隱式的，所以一般顯式單步法表示為般顯式單步法表示為1ny。，hyxhyynnnn1（8.1.8）例如，例如，Euler方法中，有方法中，有 yxfhyx，對(duì)于不同的方法，計(jì)算值對(duì)于不同的方法，計(jì)算值 與準(zhǔn)確解與準(zhǔn)確解 的誤差各不相同。所以有必要討論方的誤差各不相同。所以有必要討論方法的截?cái)嗾`差。我們稱法的截?cái)嗾`差。我們

17、稱 為某一方法在為某一方法在 點(diǎn)的點(diǎn)的整體截?cái)嗾`差整體截?cái)嗾`差。顯。顯然，然， 不單與不單與 這步的計(jì)算有關(guān)，它與以前各步的計(jì)算也有關(guān)，所以誤差被稱這步的計(jì)算有關(guān)，它與以前各步的計(jì)算也有關(guān)，所以誤差被稱為整體的。分析和估計(jì)整體截?cái)嗾`差為整體的。分析和估計(jì)整體截?cái)嗾`差 是復(fù)雜的。為此，我們假設(shè)是復(fù)雜的。為此，我們假設(shè) 處的處的 沒有誤差，即沒有誤差，即 ，考慮從，考慮從 到到 這一步的誤差，這就是如下的局部這一步的誤差，這就是如下的局部誤差的概念。誤差的概念。nynxynnnyxyenxnenxnenxnynnxyy nx1nx第八章常微分方程數(shù)值解法 hxyxyxxhxyxyTnnnnnnn，

18、1111定義定義8.1 設(shè)設(shè) 是初值問題（是初值問題（8.1.1）的準(zhǔn)確解，則稱）的準(zhǔn)確解，則稱 xy為單步法（為單步法（8.1.7）的）的局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差。 定義定義8.2 如果給定方法的如果給定方法的 局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差 ，其中，其中 為整數(shù)，則稱該方法是為整數(shù)，則稱該方法是p階階的，或具有的，或具有p階精度階精度。若一個(gè)。若一個(gè)p階單步法的局部階單步法的局部截截?cái)嗾`差為斷誤差為)(11pnhOT1p ，211ppnnnhohxyxgT則稱其第一個(gè)非零項(xiàng)則稱其第一個(gè)非零項(xiàng) 為該方法的為該方法的局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)。 對(duì)于對(duì)于Euler方法，有方法，有Taylor展開有展開有1pnnhxyxg nnnnnxyxhfxyxyT，11)(1nnnxyhxyxy 2432)(62hohoxyhxyhnn 第八章常微分方程數(shù)值解法對(duì)于隱式對(duì)于隱式Euler方法，其局部截?cái)嗾`差為方法，其局部截?cái)嗾`差為所以所以Euler方法是一種一階方法，其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為方法是一種一階方法，其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為 。nxyh