實(shí)變函數(shù)習(xí)題

1、第一章習(xí)題2、(ii) 證明：對(duì)于22、具體構(gòu)造與之間的一個(gè)完全的一一映射.解：記中的有理數(shù)點(diǎn)集為；中的無(wú)理數(shù)點(diǎn)集為 ；,作映射 所以 29、求證：中任一集合的導(dǎo)集是閉集.證明：若,則為閉集,否則 要證明為閉集 為的聚點(diǎn) 中含有的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)也中含有的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn) 從而為閉集30、(i)設(shè)是任意的兩個(gè)集合,若,則.證明：為的聚點(diǎn) 為的聚點(diǎn) (ii)若,求證：是閉集.根據(jù)(i)式可知,則是閉集32、中任一集合的孤立點(diǎn)是至多可數(shù)的證明：先來(lái)證明中的孤立點(diǎn)是至多可數(shù)的記為中以有理數(shù)為端點(diǎn)的開區(qū)間全體所成的集合,則為可數(shù)集.設(shè)為中的孤立點(diǎn)全體,則對(duì)于任意的,則存在的一個(gè)以有理數(shù)為端點(diǎn)的鄰域,使得對(duì)于每一個(gè)

2、,都做出這樣的一個(gè)鄰域,由于每個(gè)鄰域中只含有一個(gè)中的點(diǎn),故對(duì)于中不同的兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的鄰域，也不同.令則與等價(jià),而,則是至多可數(shù)集,從而是至多可數(shù)集,因此有限個(gè)至多可數(shù)集的直積是至多可數(shù)集.33、若不可數(shù),則也不可數(shù).證明：假設(shè)是至多可數(shù)集,則設(shè)為的孤立點(diǎn)全體,則為至多可數(shù)集因?yàn)?則為至多可數(shù)集則為至多可數(shù)集與已知矛盾.第二章習(xí)題2、求證：證明：因?yàn)?所以又因?yàn)?而,其中為兩兩不交的開區(qū)間因?yàn)殚_區(qū)間是開集,但是開集不一定是開區(qū)間,所以因此3、設(shè)是兩個(gè)不相交的開集,求證：證明：,所以 6、設(shè)求證：證明：要想證明,只需要證明下面來(lái)證明,即證明：而同理可證明：10、設(shè)是可測(cè)集列,(i)求證：.證明：,左

3、右取測(cè)度 (ii)若有,使得,求證：證明：,左右取測(cè)度 11、設(shè)可測(cè)并且,則.證明：可測(cè) 由可測(cè)可知可測(cè) 而,所以可測(cè) 從而可測(cè);可測(cè),而,所以可測(cè).13、設(shè)都可測(cè),求證：.證明：已知可測(cè),則取集合,有 再取,有 結(jié)合上邊兩式便知 20、設(shè)是中測(cè)度皆為一的可測(cè)集列,求證.證明 22、設(shè)是中的可測(cè)集,滿足,求證：.證明：,要證明,只需證明而 第三章習(xí)題 4、若對(duì)于任何,在可測(cè),求證:在上可測(cè).證明：， 因此在上可測(cè)6、求證：為使在上可測(cè),充要條件是對(duì)于任意的有理數(shù).證明：必要性因?yàn)樵谏峡蓽y(cè),則對(duì)于,因此,對(duì)于任意的有理數(shù) 充分性對(duì)于，存在單調(diào)遞增的有理數(shù)列,且則 因此在上可測(cè)8、設(shè)是可測(cè)集合上的

4、可測(cè)函數(shù)，則對(duì)于任何開集和閉集,和是可測(cè)集合.證明：，所以 由并集定義可知, 而 10、設(shè)是可測(cè)集合上的可測(cè)函數(shù)列,求證：中使得收斂的點(diǎn)的全體是可測(cè)集.證明：設(shè)中使得收斂的點(diǎn)的全體為集合,而11、設(shè)在上可微,求證：可測(cè).證明：因?yàn)樵谏峡晌?所以在上連續(xù),因此在上為可測(cè)函數(shù).所以 可測(cè)14、設(shè)是一列兩兩不相交的可測(cè)集,求證為使在上可測(cè)的充要條件是對(duì)于每一個(gè)在上可測(cè).必要性: 由題設(shè)知為可測(cè)集,而在上可測(cè),所以與均為可測(cè)集,故為可測(cè)集,所以在上可測(cè)充分性： 已知對(duì)于任意的為可測(cè)集,由可測(cè)集滿足可數(shù)并的性質(zhì)在集合上測(cè) 23、設(shè)在可測(cè)集上,求證：(i).證明：已知可知對(duì)于， (ii) 證明：因?yàn)樗砸?/p>

5、此(iv)當(dāng)時(shí),證明：對(duì)于的任意子列,因?yàn)樗?因此存在子列使得又因?yàn)?，所以因此存在子列，使?所以27、設(shè)是上的一列實(shí)值可測(cè)函數(shù),若,求證：證明：因?yàn)?則反之不成立.定理3.2.2、設(shè),為可測(cè)集合上的可測(cè)函數(shù),是實(shí)數(shù),當(dāng)幾乎處處有定義的時(shí)候,有都是可測(cè)集合上的可測(cè)函數(shù).證明：對(duì)于；因?yàn)榭蓽y(cè),則可測(cè),因此可測(cè).因此也可測(cè).第四章習(xí)題1、設(shè)非負(fù)且，求證在上幾乎處處為零.證明： 所以在上幾乎處處為零2、設(shè),求證：.證明：因?yàn)?則由積分的絕對(duì)連續(xù)性可知,對(duì)于對(duì)于當(dāng),有因?yàn)?則由極限定義可知對(duì)于上述的,存在正整數(shù)當(dāng)時(shí),有因此對(duì)于存在正整數(shù)當(dāng)時(shí),有3、設(shè)是可測(cè)集合上的幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列,求證：為了使得充要條件是.證明：必要性因?yàn)?所以又因?yàn)?所以根據(jù)控制收斂定理可知：充分性：因?yàn)?所以如果,則對(duì)于任意的,有而與矛盾因此,7、