等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用.（課堂PPT）

1、1等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用2018年3月2知識(shí)回顧：1. an為等差數(shù)列為等差數(shù)列 . ， an= ， 更一般的，更一般的，an= ，d= . an+1- an=d2an+1=an+2+ana1+(n-1)dan=an+b a、b為常數(shù)為常數(shù)am+(n-m)dmnaamn 2)(1naan dnnna2)1(1 2.等差數(shù)列前n 項(xiàng)和Sn = = .3復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)： 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 2)(1nnaanS2) 1(1dnnnaSn41、通項(xiàng)公式與前、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系：項(xiàng)和的關(guān)系：nnSn212例例1、已知數(shù)列、已知數(shù)列a n的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和為為 ，求這個(gè)數(shù)

2、列的通項(xiàng)，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，公式。這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？它的首項(xiàng)與公差分別是什么？5分析：分析： nnnaaaaaS1321) 1(13211naaaaSnn所以當(dāng)所以當(dāng)n 1時(shí)，時(shí)， 212)1(21) 1(21221nnnnnSSannn當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，時(shí)，2311 Sa也滿足上式。也滿足上式。 因而，數(shù)列因而，數(shù)列na是一個(gè)首項(xiàng)為是一個(gè)首項(xiàng)為23，公差為，公差為2的等差數(shù)列。的等差數(shù)列。 6注：由上例得注：由上例得S n與與na之間的關(guān)系：之間的關(guān)系： 由由nS的定義可知，當(dāng)?shù)亩x可知，當(dāng)n = 1時(shí)，時(shí)，11aS 當(dāng)

3、當(dāng)n 2時(shí)，時(shí)，1nnnSSa)2() 1(11nSSnSannn即 7新課182461,4,=19S =23SSnn123456789nm2m3m在等差數(shù)列 中，求，在等差數(shù)列 中，a +a +a =8,a +a +a =12,求a +a +a =，在等差數(shù)列 中，S =30,S =100,求S課前練習(xí)9na2nSpnqnr0p 探究：探究：如果一個(gè)數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為，其中，其中p、q、r為常數(shù)，且為常數(shù)，且，那么這個(gè)數(shù)列一定是，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是多少？等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是多少？1nnnaSS2nSpnqnr11

4、Sapqr分析：由分析：由，得，得令令p + q + r = 2p (p + q)，得，得r = 0。 時(shí)當(dāng)2n22() (1)(1)pnqnrp nq nr2()pnpq=na所以當(dāng)所以當(dāng)r = 0時(shí)，數(shù)列時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)是等差數(shù)列，首項(xiàng)a 1 = p + q，pqpnpqppnaadnn2)() 1(2)(21公差10有有最最大大值值nSda, 0, 01 001nnaa有有最最小小值值nSda, 0, 01 001nnaa2,nSAnBn二、配方，看對(duì)稱軸等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題項(xiàng)的最值問(wèn)題一、11=0mmmSSa三、特別的11例題例題：已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列 的

5、前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和為為 ，求使得，求使得 最大的序號(hào)最大的序號(hào) n 的值。的值。nS743 ,724 , 5nS的的值值。二二次次函函數(shù)數(shù)來(lái)來(lái)求求以以利利用用一一些些點(diǎn)點(diǎn)。因因此此，我我們們可可的的圖圖象象是是一一條條拋拋物物線線的的關(guān)關(guān)于于，容容易易知知道道時(shí)時(shí)的的函函數(shù)數(shù)值值。另另一一方方面面當(dāng)當(dāng)可可以以看看成成函函數(shù)數(shù)，所所以以項(xiàng)項(xiàng)和和公公式式可可以以寫寫成成等等差差數(shù)數(shù)列列的的前前nnSnxNxxdaxdySndandSnnnn )()2(2 )2(2 1212分析：分析：等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問(wèn)題項(xiàng)的最值問(wèn)題12)75)(1(522nnSn所以，的公差為，列解：由題意知

6、，等差數(shù)75-7437245561125)215(1451457522nn取最大值。時(shí)，或最接近的整數(shù)即取與于是，當(dāng)nSn87215131：數(shù)列an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，150,0.6ad （1）從第幾項(xiàng)開(kāi)始有）從第幾項(xiàng)開(kāi)始有0na （2）求此數(shù)列前）求此數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值項(xiàng)和的最大值練習(xí)：10112nS =Snn1，設(shè)為等差數(shù)列a ，公差d=-2，S 為其前 項(xiàng)和，若則a14有有最最大大值值nSda, 0, 01 001nnaa有有最最小小值值nSda, 0, 01 001nnaa配方，看對(duì)稱軸配方，看對(duì)稱軸,2BnAnSn 小結(jié)：小結(jié)：aan n 為等差數(shù)列，求為等差數(shù)列，求S Sn

7、n的最值。的最值。15已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值時(shí)取何值時(shí),Sn取最大值取最大值.解法解法1由由S3=S11得得113 133211 1311 1022dd d=2113(1) ( 2)2nSnn n 214nn 2(7)49n 當(dāng)當(dāng)n=7時(shí)時(shí),Sn取最大值取最大值49.7n113Sn能力提升16已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值時(shí)取何值時(shí),Sn取最大值取最大值.解法解法2由由S3=S11得得d=2當(dāng)當(dāng)n=7時(shí)時(shí),Sn取最大值取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由由100nnaa 得

8、得152132nn 17已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值時(shí)取何值時(shí),Sn取最大值取最大值.解法解法3由由S3=S11得得d=20,S13013a1+136d02437d 等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì)38(2) 11(1)2nSnan nd1(122 )(1)2ndn nd25(12)22ddnnSn圖象的對(duì)稱軸為圖象的對(duì)稱軸為5122nd由由(1)知知2437d 由上得由上得51213622d1362n即即由于由于n為正整數(shù)為正整數(shù),所以當(dāng)所以當(dāng)n=6時(shí)時(shí)Sn有最大值有最大值.Sn有最大值有最大值.39作業(yè)作業(yè)求集合求集合的元素個(gè)數(shù)，

9、并求這些元素的和的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和. .60, 12mNnnmmM40作業(yè)作業(yè)1 1、已知等差數(shù)列、已知等差數(shù)列25,21,19, 25,21,19, 的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn, ,求使求使得得Sn最大的序號(hào)最大的序號(hào)n的值的值. .2 2：已知在等差數(shù)列：已知在等差數(shù)列 an n 中中, ,a10=23, ,a25=-22 , ,Sn為其前為其前n項(xiàng)和項(xiàng)和. .（1 1）問(wèn)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)？）問(wèn)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)？（2 2）求）求S10（3 3）求使）求使 Sn0的最小的正整數(shù)的最小的正整數(shù)n. . (4) (4) 求求| |a1 1|+|+|a2 2|+|+|a3 3

10、|+|+|+|a2020| |的值的值411.1.根據(jù)等差數(shù)列前根據(jù)等差數(shù)列前n n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式. .1112nnnanaSSn 2 2、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求 的最值的最值. .ndandSn)2(212423.等差數(shù)列等差數(shù)列an前前n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差數(shù)列也在等差數(shù)列,公差為公差為在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,其前其前n項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為Sn,則有則有性質(zhì)性質(zhì)2:若若Sm=p,Sp=m(mp),則則Sm+p=性質(zhì)性質(zhì)3:若若Sm=Sp (mp),則則 Sp+m=性質(zhì)性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為

11、偶數(shù)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則則 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1為中為中間兩項(xiàng)間兩項(xiàng)),此時(shí)有此時(shí)有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶n2d0nd1nnaa (m+p)43性質(zhì)性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1,則則 S2n-1=(2n 1)an (an為中間項(xiàng)為中間項(xiàng)), 此時(shí)有此時(shí)有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶兩等差數(shù)列前兩等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系性質(zhì)性質(zhì)6:若數(shù)列若數(shù)列an與與bn都是等差數(shù)列都是等差數(shù)列,且且前前n項(xiàng)的和分別為項(xiàng)的和分別為Sn和和Tn,則則nnab 性質(zhì)性質(zhì)5: 為等差數(shù)列為等差數(shù)列.nSnan1nn 2

12、121nnST 44新課545倒序法求和倒序法求和倒序相加法：倒序相加法：將數(shù)列的順序倒過(guò)來(lái)排列，與原數(shù)列兩式將數(shù)列的順序倒過(guò)來(lái)排列，與原數(shù)列兩式相加，若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，這相加，若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和。樣的數(shù)列可用倒序相加法求和。46倒序法求和倒序法求和221)(xxf23例例1.1.若若)6()5()4()5(ffff，則，則的值為的值為 。221)(xxfxxxxf2222221)1 (1xx2222122222211)1 ()(xxxfxf 【解析】【解析】 47裂項(xiàng)法求和裂項(xiàng)法求和一些常用的裂項(xiàng)公式一些常用的裂項(xiàng)公式:

13、 :11) 1 (nn12) 12(1)2(nn )2(1)3(nnnn 11)4(111nn)121121(nn21nn1)211(nn214811112.11 21 231 2nSn例 求的值解解：nan 211設(shè)設(shè))1(2 nn)111(2 nn)111()111()3121()211(2 nnnn122)111(2 nnSn)1(2)1(2322212 nnnnSn49利用數(shù)列周期性求和利用數(shù)列周期性求和 有的數(shù)列是周期數(shù)列，把握了數(shù)列的周期則可順利求和有的數(shù)列是周期數(shù)列，把握了數(shù)列的周期則可順利求和. .關(guān)關(guān)鍵之處是尋找周期。鍵之處是尋找周期。 nannnaaaaaa12321, 2

14、, 3, 12002S例例3 3：在數(shù)列：在數(shù)列中，中，求求nnnaaaaaa12321, 2, 3, 1, 2, 3, 1654aaa, 2, 3, 1, 2, 3, 1121110987aaaaaa解：由解：由 可得可得50利用數(shù)列周期性求和利用數(shù)列周期性求和 2, 3, 1, 2, 3, 1665646362616kkkkkkaaaaaa0665646362616kkkkkkaaaaaa2002S)()()(66261612876321 kkkaaaaaaaaaa2002200120001999199819941993)(aaaaaaa 2002200120001999aaaa54321aaaa而而51例例4 4：求和：求和其它方法求和其它方法求和 合合 并并 求求 和和 法法) 12() 1(531nn解：設(shè)解：設(shè)) 12() 1(531nSnn當(dāng)當(dāng)n n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2kn=2k，則，則) 14()34(5312kkSk)14()34()75()31(kkk2) 12(12) 14(22212kkkkaSSkkknSnn) 1(而且而且52練習(xí)：求和練習(xí)：求和裂項(xiàng)法求和裂項(xiàng)法求和13)1311 (31)131231()7141()411(31) 13)(23(1741411nnnnnnn) 13)(23(1