兩角差的余弦公式

1、1:11:091:11:09請(qǐng)同學(xué)們思考請(qǐng)同學(xué)們思考:某城市的電視發(fā)某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上射塔建在市郊的一座小山上.如如圖所示圖所示,小山高小山高BC約為約為30米米,在在地平面上有一點(diǎn)地平面上有一點(diǎn)A,測(cè)得測(cè)得A、C兩兩點(diǎn)間距離約為點(diǎn)間距離約為67米米,從從A觀(guān)測(cè)電觀(guān)測(cè)電視發(fā)射塔的視角視發(fā)射塔的視角(CAD)約為約為45.求這座電視發(fā)射塔的高度求這座電視發(fā)射塔的高度.ABCD306745課題引入：課題引入：X1:11:09一、一、 新課引入新課引入問(wèn)題問(wèn)題1:cos15？ sin75= ？問(wèn)題問(wèn)題2:cos15cos（45 30） cos45 cos30 ?sin75sin（

2、 45 +30） sin45+ sin30？ cos(-) =? ?1:11:09cos()思考思考1 1：設(shè)設(shè)，為兩個(gè)任意角為兩個(gè)任意角, , 你能判斷你能判斷cos( cos( )coscoscoscos恒成立嗎恒成立嗎? ?例例:cos(30:cos(303030) )cos30cos30cos30cos30因此，對(duì)角， cos()coscos一般不成立.1:11:09探究探究1 coscos（-）公式的結(jié)構(gòu)形式應(yīng)該與哪些量有關(guān)系公式的結(jié)構(gòu)形式應(yīng)該與哪些量有關(guān)系 ？發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)： coscos（-）公式的結(jié)構(gòu)形式）公式的結(jié)構(gòu)形式 應(yīng)該與應(yīng)該與sin ,cos ,sin ,cossin ,co

3、s ,sin ,cos均有關(guān)系均有關(guān)系 sin)2cos()cos(,2令令則則令令,則則cos)cos()cos(令令令令,2,則則則則sin)2cos()cos(cos)cos()cos(1:11:10sin60sin120cos60cos120cos( (120 60) )sin30sin60cos30cos60cos( (60 30) )323232321212123212思考思考2 2：我們知道我們知道cos(cos()的值與的值與，的三角函數(shù)值有一定關(guān)系，觀(guān)察下表中的數(shù)的三角函數(shù)值有一定關(guān)系，觀(guān)察下表中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？121:11:10從表中從表中,可以發(fā)現(xiàn)

4、可以發(fā)現(xiàn):cos(60 30)=cos60cos30+sin 60sin30cos(120 60) =cos120cos60+sin 120sin60現(xiàn)在，我們猜想，對(duì)任意角現(xiàn)在，我們猜想，對(duì)任意角， 有：有：cos(cos()coscoscoscossinsinsinsin1:11:10 x xy yP PP P1 1M MB BO OA AC Csincoscoscos+1 11 1探究探究2 借助三角函數(shù)線(xiàn)來(lái)推導(dǎo)借助三角函數(shù)線(xiàn)來(lái)推導(dǎo)coscos（-）公式）公式coscos(cos()coscoscoscossinsinsinsin又又 OMOBBMOM cos(-) OBcoscosBM

5、sinsinsinsin1:11:101、已知、已知OP為角為角 的終邊，求終邊與單位圓交點(diǎn)的終邊，求終邊與單位圓交點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)POXY P（cos ，sin ）探究探究3 cos（-）公式我們能否用向量的知識(shí)來(lái)推導(dǎo)？）公式我們能否用向量的知識(shí)來(lái)推導(dǎo)？c co os sb ba ab ba a溫溫故故知知新新2、兩個(gè)向量的數(shù)量積：、兩個(gè)向量的數(shù)量積：11, yxa 22, yxb 2 21 12 21 1y yy yx xx xb ba a1:11:10探究探究3 cos（-）公式我們能否用向量的知識(shí)來(lái)推導(dǎo)？）公式我們能否用向量的知識(shí)來(lái)推導(dǎo)？提示：提示：1、結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇、結(jié)合圖形

6、，明確應(yīng)該選擇哪幾個(gè)向量，它們是怎樣表示的？哪幾個(gè)向量，它們是怎樣表示的？2、怎樣利用向量的數(shù)量積的、怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計(jì)算公式得到探索結(jié)果？概念的計(jì)算公式得到探索結(jié)果？BAyxo-111-1cossinOA , ,cossinOB , ,)cos(OBOAOBOA)cos(OBOAsinsincoscos cos(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsin cos(-)=coscos+sinsin cos(-)=coscos+sinsin1:11:10探究探究3 兩角差的余弦公式有哪些結(jié)構(gòu)特征？?jī)山遣畹挠嘞夜接心男┙Y(jié)構(gòu)特征？()C coscoscos

7、sinsin注意：注意：1.公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：等號(hào)的左邊是復(fù)角公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：等號(hào)的左邊是復(fù)角-的的余弦值，等號(hào)右邊是單角余弦值的乘積與正弦值的乘余弦值，等號(hào)右邊是單角余弦值的乘積與正弦值的乘積的積的和和。2. .公式中的公式中的,是是任意任意角。角。上述公式稱(chēng)為上述公式稱(chēng)為差角的余弦公式差角的余弦公式，記作，記作簡(jiǎn)記簡(jiǎn)記“C C S S，符號(hào)相反，符號(hào)相反”1:11:10探究（二）：探究（二）：兩角差的余弦公式的變通兩角差的余弦公式的變通 思考思考1 1：若已知若已知和和的三角函數(shù)的三角函數(shù)值，如何求值，如何求coscos的值？的值？ coscoscos(cos() cos(cos() cos

8、) cossin(sin()sin)sin. . 思考思考2 2：利用利用()可得可得coscos等于什么？等于什么？coscoscos(cos() cos(cos()cos)cossin(sin()sin)sin. .1:11:10思考思考3 3：若若coscoscoscosa，sinsinsinsinb b，則，則cos(cos()等于什么？等于什么？22)cos(22ba思考思考4 4：若若coscoscoscosa，sinsinsinsinb b，則，則cos(cos()等于什么？等于什么？22)cos(22ba 1:11:10公式應(yīng)用公式應(yīng)用引例引例: :求求cos15的值的值.分析

9、：將分析：將150可以看成可以看成450-300而而450和和300均為特殊角，均為特殊角， 借助它們即可求出借助它們即可求出150的余弦的余弦.cos150 =cos（450- 300） =cos450cos300 + sin450sin300 = + =你會(huì)求你會(huì)求sin75的值了嗎？的值了嗎？1:11:10應(yīng)用應(yīng)用解:由sin , ( ,),得542 分析分析: :由由C C-和本題的條件，要計(jì)算和本題的條件，要計(jì)算cos(-),cos(-),還應(yīng)求什么？還應(yīng)求什么？ 53541sin1cos22又由cos= ，是第三象限的角，得135-13121351cos1sin22所以所以cos(-) coscos+sinsin653313125413553 已知已知sin ,( , ),cos= - , 是是第三象限角，求第三象限角，求cos(-)的值。的值。542 135例例2，小結(jié)：要求小結(jié)：要求cos(-)應(yīng)先求出應(yīng)先求出,的正余弦，的正余弦，1:11:10理論遷移理論遷移例例3 3 已知已知 且且 , , 求求 的值的值. . 1cos() cossi n() si n,3abbabb+=)cos(4223,1:11:1