沈陽理工大學(xué)信號及系統(tǒng)課程設(shè)計傅里葉變換的時域卷積和時域微分特性

1、成 績 評 定 表學(xué)生姓名班級學(xué)號專 業(yè)通信工程課程設(shè)計題目傅里葉變換的時域卷積和時域微分特性評語組長簽字：成績?nèi)掌?20 年 月 日課程設(shè)計任務(wù)書學(xué) 院信息科學(xué)與工程學(xué)院專 業(yè)通信工程學(xué)生姓名班級學(xué)號課程設(shè)計題目傅里葉變換的時域卷積和時域微分特性實踐教學(xué)要求與任務(wù):1、 學(xué)習(xí)Matlab軟件及應(yīng)用；2、 學(xué)習(xí)并研究傅里葉變換的時域卷積和時域微分特性有關(guān)理論；3、利用Matlab編程，完成傅里葉變換的時域卷積和時域微分特性課題；4、寫出課程設(shè)計報告，打印程序，給出運行結(jié)果。工作計劃與進度安排:第1-2天： 1、學(xué)習(xí)使用Matlab軟件、上機練習(xí)2、明確課題內(nèi)容，初步編程 第3-5天： 1、上機

2、編程、調(diào)試2、撰寫課程設(shè)計報告書3、檢查編程、運行結(jié)果、答辯4、上交課程設(shè)計報告指導(dǎo)教師：201 年 月 日專業(yè)負責人：201 年 月 日學(xué)院教學(xué)副院長：201 年 月 日摘 要本文研究的是傅里葉變換的時域卷積和時域微分特性，傅里葉變換的性質(zhì)：對稱性、線性（疊加性）、奇偶虛實性、尺度變換特性、時移特性、頻移特性、微分特性、積分特性、卷積特性（時域和頻域）；從信號與系統(tǒng)的角度出發(fā),給出了激勵信號的具體模型；應(yīng)用Matlab軟件進行仿真，將研究的信號轉(zhuǎn)化成具體的函數(shù)形式，在Matlab得到最終變換結(jié)果。使用傅里葉變換的方法、卷積的求解方法以及函數(shù)的微分等方法研究題目。 關(guān)鍵詞: 傅里葉變換;卷積求

3、解;微分;Matlab目錄1、Matlab介紹12、傅里葉變換的有關(guān)知識12.1傅里葉變換和卷積的內(nèi)容12.2傅里葉變換的相關(guān)性質(zhì)23、用Matlab實現(xiàn)傅里葉變換時域卷積和微分特性的驗證34、總結(jié)85、參考文獻9鍵入文字1、Matlab介紹MATLAB作為一種功能強大的工程軟件，其重要功能包括數(shù)值處理、程序設(shè)計、可視化顯示、圖形用戶界面和與外部軟件的融合應(yīng)用等方面。 MATLAB軟件由美國Math Works公司于1984年推出，經(jīng)過不斷的發(fā)展和完善，如今己成為覆蓋多個學(xué)科的國際公認的最優(yōu)秀的數(shù)值計算仿真軟件。MATLAB具備強大的數(shù)值計算能力，許多復(fù)雜的計算問題只需短短幾行代碼就可在MAT

4、LAB中實現(xiàn)。作為一個跨平臺的軟件，MATLAB已推出Unix、Windows、Linux和Mac等十多種操作系統(tǒng)下的版本，大大方便了在不同操作系統(tǒng)平臺下的研究工作。 MATLAB軟件具有很強的開放性和適應(yīng)性。在保持內(nèi)核不變的情況下，MATLAB可以針對不同的應(yīng)用學(xué)科推出相應(yīng)的工具箱(toolbox)，目前己經(jīng)推出了圖象處理工具箱、信號處理工具箱、小波工具箱、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱以及通信工具箱等多個學(xué)科的專用工具箱，極大地方便了不同學(xué)科的研究工作。國內(nèi)已有越來越多的科研和技術(shù)人員認識到MATLAB的強大作用，并在不同的領(lǐng)域內(nèi)使用MATLAB來快速實現(xiàn)科研構(gòu)想和提高工作效率。 MATLAB提供了20類

5、圖像處理函數(shù),涵蓋了圖像處理的包括近期研究成果在內(nèi)的幾乎所有的技術(shù)方法,是學(xué)習(xí)和研究圖像處理的人員難得的寶貴資料和加工工具箱。這些函數(shù)按其功能可分為:圖像顯示;圖像文件I/O;圖像算術(shù)運算;幾何變換;圖像登記;像素值與統(tǒng)計;圖像分析;圖像增強;線性濾波;線性二元濾波設(shè)計;圖像去模糊;圖像變換;鄰域與塊處理;灰度與二值圖像的形態(tài)學(xué)運算;結(jié)構(gòu)元素創(chuàng)建與處理;基于邊緣的處理;色彩映射表操作;色彩空間變換;圖像類型與類型轉(zhuǎn)換。2、傅里葉變換的有關(guān)知識2.1傅里葉變換和卷積的內(nèi)容傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波

6、等，傅里葉變換用正弦波作為信號的成分。傅里葉變換：f(t)是t的周期函數(shù)，如果t滿足狄里赫萊條件：在一個周期內(nèi)具有有限個間斷點，且在這些間斷點上，函數(shù)是有限值；在一個周期內(nèi)具有有限個極值點；絕對可積，則有下圖式成立，稱為積分運算f(t)的傅里葉變換；式的積分運算叫做F()的傅里葉逆變換，F(xiàn)()叫做f(t)的像函數(shù)，f(t)叫做F()的像原函數(shù)，F(xiàn)()是f(t)的像，f(t)是F()原像。傅里葉變換傅里葉逆變換卷積是兩個變量在某范圍內(nèi)相乘后求和的結(jié)果。如果卷積的變量是序列x(n)和h(n)，則卷積的結(jié)果yn=-xhn-=xn*hn（ 其中星號*表示卷積）當時序n=0時，序列h(-i)是h(i)的

7、時序i取反的結(jié)果；時序取反使得h(i)以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180度，所以這種相乘后求和的計算法稱為卷積和，簡稱卷積。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n對應(yīng)不同的卷積結(jié)果。如果卷積的變量是函數(shù)x(t)和h(t)，則卷積的計算變?yōu)閥t=-xhh-d=xt*ht（其中是積分變量，積分也是求和，t是使函數(shù)h(-)位移的量，星號*表示卷積）2.2傅里葉變換的相關(guān)性質(zhì)（1）微分特性若函數(shù)的傅里葉變換為，且其導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換存在，則有Fft=jwFw即導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子jw。更一般地，若的階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換存在，則Ffnt=jwn Fw即階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉

8、變換乘以因子jwn。（2）卷積特性 1） 時域卷積定理：若給定兩個時間函數(shù)f1t，f2t,已知Ff1t=F1wFf2t=F2w則 Ff1t*f2t=F1wF2w 2）頻域卷積定理：類似于時域卷積定理，由頻域卷積定理可知，若Ff1t=F1wFf2t=F2w則 Ff1tf2t=12F1w*F2w其中F1w*F2w=-F1uF2w-udu3、用Matlab實現(xiàn)傅里葉變換時域卷積和微分特性的驗證一、時域卷積特性的驗證：例1：利用Matlab畫出信號f1t=ut-ut-1,ft=f1t*f1t并由實驗結(jié)果驗證傅里葉變換的時域卷積特性。程序：N=256; t=-2:4/N:2; f1=heaviside(

9、t)-heaviside(t-1);subplot(221) plot(t,f1); xlabel('t'); ylabel('f1(t)'); grid on; f=4/N*conv(f1,f1); n=-4:4/N:4; subplot(222) plot(n,f); xlabel('t'); ylabel('f(t)=f1(t)*f1(t)'); grid on; dt=4/(N-1); dn=4/(N-1); M=401; w=linspace(-2*pi,2*pi,M); F1=f1*exp(-j*t'*w)*d

10、t; subplot(223) plot(w,F1); xlabel('w'); ylabel('F1(w)'); grid on; F=f*exp(-j*n'*w)*dn; G=F1.*F1; subplot(224); plot(w,F,'r') hold on plot(w,G) legend('F(w)','F1(w).F1(w)') xlabel('w'); ylabel('F(w)'); grid on;運行結(jié)果如圖1所示：例1運行結(jié)果圖圖1根據(jù)運行結(jié)果可知F1w

11、F2w和Ff1t*f2t的圖像曲線完全重合，進而驗證了傅里葉變換的時域卷積特性。二、時域微分特性的驗證：例2：已知一個三角波信號ft=0 t>或t<-t+1 -<t<01-t 0<t<，求其微分及微分后的傅里葉變換并驗證傅里葉微分特性。程序：r=0.01; t=-5:r:5; f1=heaviside(t+pi)-heaviside(t-pi); f2=heaviside(t+pi)-2*heaviside(t)+heaviside(t-pi); f=pi/2*(sawtooth(t+pi,0.5)+1).*f1; w1=2*pi*5; N=200;k=-N

12、:N;w=k*w1/N; F=r*f*exp(-j*t'*w); F2=r*f2*exp(-j*t'*w); F3=F2./(j*w); subplot(222); plot(t,f2); set(gca,'box','off') xlabel('t'); ylabel('df(t)/dt'); subplot(221); plot(t,f); set(gca,'box','off') xlabel('t'); ylabel('f(t)'); subp

13、lot(223); plot(w,F); set(gca,'box','off') xlabel('w');ylabel('F(df(t)/dt)'); subplot(224); plot(w,F3,'r'); hold onplot(w,F)set(gca,'box','off') xlabel('w');ylabel('jwF(w)');運行結(jié)果如圖2所示：例2運行結(jié)果圖圖2根據(jù)運行結(jié)果可知Fft和jwFw的圖像曲線完全重合，進而驗證了傅里葉變換的時域微分特性。4、總結(jié)通過本次 “信號與系統(tǒng)”課程，對傅里葉時域卷積定理和時域微分特性有了進一步了解，并且掌握MATLAB的應(yīng)用，對MATLAB 語言在中的推廣應(yīng)用起到促進作用。從而將便多的時間留于對信號與系統(tǒng)的基本分析方法和應(yīng)用的理解與思考學(xué)會應(yīng)用 MATLAB的數(shù)值計算功能，以及對信號與系統(tǒng)的基本分析方法和應(yīng)用的理解與思考。讓我們將課程中的重