直線及方程的教案

1、直線與方程直線的傾斜角與斜率知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：直線的傾斜角平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角.規(guī)定：當(dāng)直線和軸平行或重合時(shí)，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是要點(diǎn)詮釋：1.要清楚定義中含有的三個(gè)條件直線向上方向；軸正向；小于的角.2.從運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)來看，直線的傾斜角是由軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角.3.傾斜角的范圍是.當(dāng)時(shí)，直線與軸平行或與軸重合.4.直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有惟一的傾斜角和它對(duì)應(yīng).5.已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點(diǎn)和這條直線

2、的傾斜角可以唯一確定直線的位置.知識(shí)點(diǎn)二：直線的斜率傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即要點(diǎn)詮釋：1.當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，=0°，k=tan0°=0；2.直線與x軸垂直時(shí)，=90°，k不存在.由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.知識(shí)點(diǎn)三：斜率公式已知點(diǎn)、，且與軸不垂直，過兩點(diǎn)、的直線的斜率公式.要點(diǎn)詮釋：1.對(duì)于上面的斜率公式要注意下面五點(diǎn)：(1) 當(dāng)x1=x2時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角=90°，直線與x軸垂直；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)，即y1，y2和x1，x2在公式中的前

3、后次序可以同時(shí)交換，但分子與分母不能交換；(3)斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得；(4)當(dāng)y1=y2時(shí)，斜率k=0，直線的傾斜角=0°，直線與x軸平行或重合；(5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率而得到2.斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：(1)由、點(diǎn)的坐標(biāo)求的值；(2)已知及中的三個(gè)量可求第四個(gè)量；(3)已知及、的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))可求；(4)證明三點(diǎn)共線.知識(shí)點(diǎn)四：兩直線平行設(shè)兩條不重合的直線的斜率分別為.若，則與的傾斜角與相等.由，可得，即.因此，若，則.反之，若，則.要點(diǎn)詮釋：1.公式成立的前提條件是兩條直線的斜率存在分別為；不重合；2

4、.當(dāng)兩條直線的斜率都不存在且不重合時(shí)，的傾斜角都是，則.知識(shí)點(diǎn)五：兩直線垂直設(shè)兩條直線的斜率分別為.若，則.要點(diǎn)詮釋：1.公式成立的 前提條件是兩條直線的斜率都存在；2.當(dāng)一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，兩條直線也垂直.三、規(guī)律方法指導(dǎo)1由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率小于零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在直線的斜率與直線的傾斜角(除外)為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然2直線的斜率可用于直線的平行(重

5、合)、垂直等位置關(guān)系的判斷，直線傾斜角的范圍、大小的判斷、求解及直線方程的求解等3我們在判斷兩直線的平行與垂直時(shí)，往往先判斷直線的斜率是否存在，然后再根據(jù)具體情況進(jìn)行判斷；4判斷兩直線平行時(shí)，易忽略兩直線重合的情況，需特別注意；5平行、垂直的判斷中，斜率不存在的情況易忽略致錯(cuò)，需特別注意.三：經(jīng)典例題透析類型一：傾斜角與斜率的關(guān)系已知直線的傾斜角的變化范圍為，求該直線斜率的變化范圍；類型二：斜率定義已知ABC為正三角形，頂點(diǎn)A在x軸上，A在邊BC的右側(cè)，BAC的平分線在x軸上，求邊AB與AC所在直線的斜率類型三：斜率公式的應(yīng)用求經(jīng)過點(diǎn)，直線的斜率并判斷傾斜角為銳角還是鈍角類型四：兩直線平行與垂

6、直四邊形的頂點(diǎn)為，試判斷四邊形的形狀直線的方程知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程方程由直線上一定點(diǎn)及斜率決定，我們把叫做直線的點(diǎn)斜式方程，簡稱點(diǎn)斜式.要點(diǎn)詮釋：1點(diǎn)斜式方程是由直線上一點(diǎn)和斜率確定的，點(diǎn)斜式的前提是直線的斜率存在.點(diǎn)斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2當(dāng)直線的傾斜角為0°時(shí)，直線方程為；3當(dāng)直線傾斜角為90°時(shí)，直線沒有斜率，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.這時(shí)直線方程為:.4表示直線去掉一個(gè)點(diǎn)；表示一條直線.知識(shí)點(diǎn)二：直線的斜截式方程如果直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可得，即.我們把直線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做直線在軸上的截

7、距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式.要點(diǎn)詮釋：1b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實(shí)數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；距離必須大于或等于零；2斜截式方程可由過點(diǎn)(0，b)的點(diǎn)斜式方程得到；3當(dāng)時(shí)，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式.4斜截式的前提是直線的斜率存在.斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線.5斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距.知識(shí)點(diǎn)三：直線的兩點(diǎn)式方程經(jīng)過兩點(diǎn)(其中)的直線方程為，稱這個(gè)方程為直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式.要點(diǎn)詮釋：1這個(gè)方程由直線上兩點(diǎn)確定；2當(dāng)直線沒有斜率()或斜率為時(shí)，不

8、能用兩點(diǎn)式求出它的方程. 3()與范圍不一樣,后者范圍小.4直線方程的的表示與選擇的順序無關(guān).知識(shí)點(diǎn)四：直線的截距式方程若直線與x軸的交點(diǎn)為A(a，0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0，b)，其中，則過AB兩點(diǎn)的直線方程為，這個(gè)方程稱為直線的截距式方程.a叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距.要點(diǎn)詮釋：1截距式的條件是，即截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線以及不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線.2求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y= 0得直線在x軸上的截距.知識(shí)點(diǎn)五：直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線我們把方程寫為Ax+By+C=0，這個(gè)方程(其中A、B不全

9、為零)叫做直線方程的一般式要點(diǎn)詮釋：A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線.三、規(guī)律方法指導(dǎo)1直線的確定：一條直線可以由直線上一點(diǎn)與直線的傾斜角確定，也可以由兩個(gè)不同的點(diǎn)確定根據(jù)直線不同的確定方法，從而有不同的直線方程形式與之對(duì)應(yīng)2直線方程的幾種表達(dá)方式的選取：在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因?yàn)樾苯厥街恍枰獌蓚€(gè)獨(dú)立變數(shù)，而點(diǎn)斜式需要三個(gè)獨(dú)立變數(shù)在求直線方程時(shí)，要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问揭话愕?，已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過這點(diǎn)的直線，通常采用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y 軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式從

10、結(jié)論上看，若求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積或周長，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏3補(bǔ)充說明：(1)在應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)，往往把分式形式通過交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式，從而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情況，但此轉(zhuǎn)化過程不是一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)化過程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的討論要避免討論，可直接假設(shè)兩點(diǎn)式的整式形式(2)截距相等問題中，勿忽略a=b=0即直線過原點(diǎn)時(shí)的情況(3)若兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，其中點(diǎn)為(x，y)，則x=，y=，稱為中點(diǎn)公式，需熟練掌握(4)某點(diǎn)關(guān)于各軸及任意直線的對(duì)

11、稱點(diǎn)的坐標(biāo)的求法需熟悉；有關(guān)光線的反射問題，最終都需轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問題來解決四：經(jīng)典例題透析類型一：求規(guī)定形式的直線方程(1) 求經(jīng)過點(diǎn)A(2，5)，斜率是4直線的點(diǎn)斜式方程； (2)求傾斜角是，在軸上的截距是5；直線的斜截式方程類型二：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題】過點(diǎn)P(2，1)作直線與x軸、y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，求AOB面積的最小值及此時(shí)直線的方程類型三：斜率問題求過點(diǎn)，且與軸的交點(diǎn)到點(diǎn)的距離為5的直線方程.類型四：截距問題求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：直線的交點(diǎn)：求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可.若有，則方

12、程組有無窮多個(gè)解，此時(shí)兩直線重合；若有，則方程組無解，此時(shí)兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時(shí)兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo).要點(diǎn)詮釋：求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上就是解方程組，看方程組解的個(gè)數(shù).知識(shí)點(diǎn)二：兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式為.要點(diǎn)詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來解決.另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握.知識(shí)點(diǎn)三：點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離為.要點(diǎn)詮釋：此公式常用于求三角形的高、兩平行間的距離及下一章中直

13、線與圓的位置關(guān)系的判斷等.點(diǎn)到直線的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離中最小距離.知識(shí)點(diǎn)四：兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；距離公式：直線與直線的距離為.要點(diǎn)詮釋：(1)兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)一般可以取直線上的特殊點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離；(2)利用兩條平行直線間的距離公式時(shí)，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中x，y的系數(shù)要保持一致.三、規(guī)律方法指導(dǎo)應(yīng)用解析思想解決問題的基本步驟：第一步：建

14、立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量.坐標(biāo)系的選擇是否適當(dāng)是影響解題過程簡捷與否的重要因素，坐標(biāo)系建立的不恰當(dāng)會(huì)人為的擴(kuò)大題目的計(jì)算量.在建立坐標(biāo)系時(shí)一般以特殊的點(diǎn)、線作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，建立坐標(biāo)系時(shí)，對(duì)圖形的特性應(yīng)用的越充分，題目中出現(xiàn)的變量就會(huì)越少，運(yùn)算過程也會(huì)越簡便.第二步：進(jìn)行有關(guān)的代數(shù)運(yùn)算.通過各點(diǎn)的坐標(biāo)、各圖形方程之間的各種運(yùn)算，求得所需結(jié)果的代數(shù)形式.通過運(yùn)算可求得各個(gè)點(diǎn)、直線間的距離、角度、直線的斜率、截距、直線方程及兩直線的交點(diǎn)等.第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.通過計(jì)算結(jié)果說明某幾何結(jié)論成立.四：經(jīng)典例題透析類型一：求交點(diǎn)坐標(biāo)判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系，如果相

15、交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo). 類型二：求兩點(diǎn)間的距離在直線2x-y=0 上求一點(diǎn)P ，使它到點(diǎn) M(5，8) 的距離為，并求直線PM 的方程類型三：求點(diǎn)到直線的距離求點(diǎn)P(3，-2)到下列直線的距離： 類型四：求兩平行直線間的距離求兩條平行線間的距離.一選擇題（共55分，每題5分）1. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(0,4)和點(diǎn)B（1，2），則直線AB的斜率為（ ）A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在2過點(diǎn)且平行于直線的直線方程為（ ）A BCD3. 在同一直角坐標(biāo)系中，表示直線與正確的是（ ） A B C D4若直線x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，則a=（ ）A B C D5.過(x1，y1)

16、和(x2，y2)兩點(diǎn)的直線的方程是( )L36、若圖中的直線L1、L2、L3的斜率分別為K1、K2、K3則（ ）L2 A、K1K2K3B、K2K1K3ox C、K3K2K1L1 D、K1K3K2 7、直線2x+3y-5=0關(guān)于直線y=x對(duì)稱的直線方程為（ ）A、3x+2y-5=0 B、2x-3y-5=0C、3x+2y+5=0 D、3x-2y-5=08、與直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱的直線是（ ）A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=09、直線5x-2y-10=0在x軸上的截距為a,在y軸上的截距為b,則（ ）A.a=2

17、,b=5; B.a=2,b=; C.a=,b=5; D.a=,b=.10、直線2x-y=7與直線3x+2y-7=0的交點(diǎn)是（ ）A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1)11、過點(diǎn)P(4,-1)且與直線3x-4y+6=0垂直的直線方程是（ ）A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0二填空題（共20分，每題5分）12. 過點(diǎn)（1，2）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程 _ _；13兩直線2x+3yk=0和xky+12=0的交點(diǎn)在y軸上，則k的值是14、兩平行直線的距離是 。15空間兩點(diǎn)M1（-1,0,3）,M

18、2(0,4,-1)間的距離是 三計(jì)算題（共71分）16、（15分）已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點(diǎn)。（1）求AB邊所在的直線方程；（2）求中線AM的長（3）求AB邊的高所在直線方程。17、（12分）求與兩坐標(biāo)軸正向圍成面積為2平方單位的三角形，并且兩截距之差為3的直線的方程。18.（12分） 直線與直線沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值。19（16分）求經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且分別與直線（1）平行，（2）垂直的直線方程。20、（16分）過點(diǎn)（，）的直線被兩平行直線：與：所截線段的中點(diǎn)恰在直線上，求直線的方程2005-2006高中數(shù)學(xué)必修1第三章直線方程測試題答案1-5 BACAC 6-10 AADBA 11 A 12.y=2x或x+y-3=0 13.±6 14、 15.16、解：（1）由兩點(diǎn)式寫方程得 ，3分即 6x-y+11=04分或 直線AB的斜率為 1直線AB的方程為 3分 即 6x-y+11=04分（2）設(shè)M的坐標(biāo)為（），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公