小學(xué)奧數(shù)三年級(jí)金典講義資料全集

1、小學(xué)奧數(shù)（三年級(jí)金典講義資料全集）第一講 從數(shù)表中找規(guī)律在前面學(xué)習(xí)了數(shù)列找規(guī)律的基礎(chǔ)上，這一講將從數(shù)表的角度出發(fā)，繼續(xù)研究數(shù)列的規(guī)律性。例1 下圖是按一定的規(guī)律排列的數(shù)學(xué)三角形，請(qǐng)你按規(guī)律填上空缺的數(shù)字分析與解答 這個(gè)數(shù)字三角形的每一行都是等差數(shù)列（第一行除外），因此，第5行中的括號(hào)內(nèi)填20，第6行中的括號(hào)內(nèi)填 24。例2 用數(shù)字?jǐn)[成下面的三角形，請(qǐng)你仔細(xì)觀察后回答下面的問(wèn)題： 這個(gè)三角陣的排列有何規(guī)律？ 根據(jù)找出的規(guī)律寫出三角陣的第6行、第7行。 推斷第20行的各數(shù)之和是多少？分析與解答首先可以看出，這個(gè)三角陣的兩邊全由1組成；其次，這個(gè)三角陣中，第一行由1個(gè)數(shù)組成，第2行有兩個(gè)數(shù)第幾行就由

2、幾個(gè)數(shù)組成；最后，也是最重要的一點(diǎn)是：三角陣中的每一個(gè)數(shù)（兩邊上的數(shù)1除外），都等于上一行中與它相鄰的兩數(shù)之和.如：2=1+1，3=2+1，4=3+1，6=33。根據(jù)由得出的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)三角陣中第6行的數(shù)為1，5，10，10，5，1；第7行的數(shù)為1，6，15，20，15，6，1。要求第20行的各數(shù)之和，我們不妨先來(lái)看看開始的幾行數(shù)。至此，我們可以推斷，第20行各數(shù)之和為219。本題中的數(shù)表就是著名的楊輝三角，這個(gè)數(shù)表在組合論中將得到廣泛的應(yīng)用例3 將自然數(shù)中的偶數(shù)2，4，6，8，10按下表排成5列，問(wèn)2000出現(xiàn)在哪一列？分析與解答方法1：考慮到數(shù)表中的數(shù)呈S形排列，我們不妨把每?jī)尚蟹?/p>

3、為一組，每組8個(gè)數(shù)，則按照組中數(shù)字從小到大的順序，它們所在的列分別為B、C、D、E、D、C、B、A.因此，我們只要考察2000是第幾組中的第幾個(gè)數(shù)就可以了，因?yàn)?000是自然數(shù)中的第1000個(gè)偶數(shù)，而1000÷8125，即2000是第125組中的最后一個(gè)數(shù)，所以，2000位于數(shù)表中的第250行的A列。方法2：仔細(xì)觀察數(shù)表，可以發(fā)現(xiàn)：A列中的數(shù)都是16的倍數(shù)，B列中數(shù)除以16余2或者14，C列中的數(shù)除以16余4或12，D列的數(shù)除以16余6或10，E列中的數(shù)除以16余8.這就是說(shuō)，數(shù)表中數(shù)的排列與除以16所得的余數(shù)有關(guān)，我們只要考察2000除以16所得的余數(shù)就可以了，因?yàn)?000

4、7;16=125，所以 2000位于A列。學(xué)習(xí)的目的不僅僅是為了會(huì)做一道題，而是要學(xué)會(huì)思考問(wèn)題的方法.一道題做完了，我們還應(yīng)該仔細(xì)思考一下，哪種方法更簡(jiǎn)潔，題目主要考察的問(wèn)題是什么這樣學(xué)習(xí)才能舉一反三，不斷進(jìn)步。就例 3而言，如果把偶數(shù)改為奇數(shù)， 2000改為 1993，其他條件不變，你能很快得到結(jié)果嗎？例4 按圖所示的順序數(shù)數(shù)，問(wèn)當(dāng)數(shù)到1500時(shí)，應(yīng)數(shù)到第幾列？ 1993呢？分析與解答方法1：同例3的考慮，把數(shù)表中的每?jī)尚蟹譃橐唤M，則第一組有9個(gè)數(shù)，其余各組都只有8個(gè)數(shù)。（1500-9）÷81863（19939）÷8248所以，1500位于第188組的第3個(gè)數(shù)，1993位

5、于第249組的最后一個(gè)數(shù)，即1500位于第列，1993位于第列。列除以8余1，第列除以8余2或是8的倍數(shù)，第列除以8余3或7，第列除以8余4或6，第列除以8余5；而1500÷8=1874，1993÷8=2491，則1993位于第列，1500位于第列。例5 從1開始的自然數(shù)按下圖所示的規(guī)則排列，并用一個(gè)平行四邊形框出九個(gè)數(shù)，能否使這九個(gè)數(shù)的和等于1993；1143；1989.若能辦到，請(qǐng)寫出平行四邊形框內(nèi)的最大數(shù)和最小數(shù)；若不能辦到，說(shuō)明理由.分析與解答我們先來(lái)看這九個(gè)數(shù)的和有什么規(guī)律.仔細(xì)觀察，容易發(fā)現(xiàn)：12+282×20，13+27=2×20，14+2

6、6=2×20，19+21 2 × 20，即： 20是框中九個(gè)數(shù)的平均數(shù).因此，框中九個(gè)數(shù)的和等于20與9的乘積.事實(shí)上，由于數(shù)表排列的規(guī)律性，對(duì)于任意由這樣的平行四邊形框出的九個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)，都有這樣的規(guī)律，即這九個(gè)數(shù)的和等于平行四邊形正中間的數(shù)乘以9。 因?yàn)?993不是9的倍數(shù)，所以不可能找到這樣的平行四邊形，使其中九個(gè)數(shù)的和等于1993。1143÷9127，127÷8157.這就是說(shuō)，如果1143是符合條件的九個(gè)數(shù)的和，則正中間的數(shù)一定是127，而127位于數(shù)表中從右邊數(shù)的第2列.但從題中的圖容易看出，平行四邊形正中間的數(shù)不能位于第1行，也不能位于從左數(shù)的

7、第1列、第2列、第7列和第8列，因此，不可能構(gòu)成以127為中心的平行四邊形。 1989÷9=221，221÷8=275，即1989是9的倍數(shù)，且數(shù)221位于數(shù)表中從左起的第5列，故可以找到九個(gè)數(shù)之和為1989的平行四邊形，如圖：其中最大的數(shù)是229，最小的數(shù)是213.習(xí)題一1.觀察下面已給出的數(shù)表，并按規(guī)律填空：2.下面一張數(shù)表里數(shù)的排列存在著某種規(guī)律，請(qǐng)你找出規(guī)律之后，按照規(guī)律填空。3.下圖是自然數(shù)列排成的數(shù)表，按照這個(gè)規(guī)律，1993在哪一列？4.從1開始的自然數(shù)如下排列，則第2行中的第7個(gè)數(shù)是多少？習(xí)題一解答1.第5行的括號(hào)中填25；第6行的括號(hào)中填37。2.這個(gè)數(shù)表的

8、規(guī)律是：第二行的數(shù)等于相應(yīng)的第三行的數(shù)與第一行的數(shù)的差的2倍.即：8=2×（62），102×（105），4=2×（97），18=2×（2011）.因此，括號(hào)內(nèi)填12。3.1993應(yīng)排在B列。4.參看下表：第2行的第7個(gè)數(shù)為30第四講 最短路線問(wèn)題在日常工作、生活和娛樂(lè)中，經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)行程路線的問(wèn)題.在這一講里，我們主要解決的問(wèn)題是如何確定從某處到另一處最短路線的條數(shù)。例1 下圖41中的線段表示的是汽車所能經(jīng)過(guò)的所有馬路，這輛汽車從A走到B處共有多少條最短路線？2.在這里，首先我們應(yīng)該明確從A到B的最短路線到底有多長(zhǎng)？從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，不論怎樣走，最短也要

9、走長(zhǎng)方形AHBD的一個(gè)長(zhǎng)與一個(gè)寬，即ADDB.因此，在水平方向上，所有線段的長(zhǎng)度和應(yīng)等于AD；在豎直方向上，所有線段的長(zhǎng)度和應(yīng)等于DB.這樣我們走的這條路線才是最短路線.為了保證這一點(diǎn)，我們就不應(yīng)該走“回頭路”，即在水平方向上不能向左走，在豎直方向上不能向上走.因此只能向右和向下走。有些同學(xué)很快找出了從A到B的所有最短路線，即：ACDGB ACFGBACFIB AEFGBAEFIB AEHIB通過(guò)驗(yàn)證，我們確信這六條路線都是從A到B的最短路線.如果按照上述方法找，它的缺點(diǎn)是不能保證找出所有的最短路線，即不能保證“不漏”.當(dāng)然如果圖形更復(fù)雜些，做到“不重”也是很困難的?，F(xiàn)在觀察這種題是否有規(guī)律可

10、循。1.看C點(diǎn)：由A、由F和由D都可以到達(dá)C，而由FC是由下向上走，由DC是由右向左走，這兩條路線不管以后怎樣走都不可能是最短路線.因此，從A到C只有一條路線。同樣道理：從A到D、從A到E、從A到H也都只有一條路線。我們把數(shù)字“1”分別標(biāo)在C、D、E、H這四個(gè)點(diǎn)上，如圖42。2.看F點(diǎn)：從上向下走是CF，從左向右走是EF，那么從A點(diǎn)出發(fā)到F，可以是ACF，也可以是AE2中的F點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字“2”“1”是從AC的一種走法；第二個(gè)“1”是從AE的一種走法。3.看G點(diǎn)：從上向下走是DG，從左向右走是FG，那么從AG我們?cè)贕點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字“3”.32+1，“2”是從AF的兩種走法，“1”是從AD的一種走法。4

11、.看I點(diǎn)：從上向下走是FI，從左向右走是HI，那么從出發(fā)點(diǎn)在I點(diǎn)標(biāo)上“3”.3=2+1.“2”是從AF的兩種走法；“1”是從AH的一種走法。5.看B點(diǎn)：從上向下走是GB，從左向右走是IB，那么從出發(fā)點(diǎn)AB可以這樣走：共有六種走法.6=33，第一個(gè)“3”是從AG共有三種走法，第二個(gè)“3”是從A“6”。我們觀察圖42發(fā)現(xiàn)每一個(gè)小格右下角上標(biāo)的數(shù)正好是這個(gè)小格右上角與左下角的數(shù)的和，這個(gè)和就是從出發(fā)點(diǎn)A到這點(diǎn)的所有最短路線的條數(shù).這樣，我們可以通過(guò)計(jì)算來(lái)確定從AB的最短路線的條數(shù)，而且能夠保證“不重”也“不漏”。解：由上面的分析可以得到如下的規(guī)律：每個(gè)格右上角與左下角所標(biāo)的數(shù)字和即為這格右下角應(yīng)標(biāo)的

12、數(shù)字.我們稱這種方法為對(duì)角線法，也叫標(biāo)號(hào)法。根據(jù)這種“對(duì)角線法”，B點(diǎn)標(biāo)6，那么從A到B就有6條不同的最短路線（見圖43）。答：從A到B共有6條不同的最短路線。例2 圖44是一個(gè)街道的平面圖，縱橫各有5條路， 某人從A到B處（只能從北向南及從西向東），共有多少種不同的走法？分析因?yàn)锽點(diǎn)在A點(diǎn)的東南方向，題目要求我們只能從北向南及從西向東，也就是要求我們走最短路線。解：如圖45所示。答：從A到B共有70種不同的走法。例3 如圖46，從甲地到乙地最近的道路有幾條？分析 要求從甲地到乙地最近的道路有幾條，也就是求從甲地到乙地的最短路線有幾條.把各交叉點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖47.這道題的圖形與例1、例2的圖

13、形又有所區(qū)別，因此，在解題時(shí)要格外注意是由哪兩點(diǎn)的數(shù)之和來(lái)確定另一點(diǎn)的。由甲A有1種走法，由甲F有1種走法，那么就可以確定從甲G共有112（種）走法。由甲B有1種走法，由甲D有1種走法，那么可以確定由甲E共有1+12（種）走法.由甲C有1種走法，由甲H有2種走法，那么可以確定由甲J共有1+2=3（種）走法。由甲G有2種走法，由甲M有1種走法，那么可以確定從甲N共有21=3（種）走法。從甲K有2種走法，從甲E有2種走法，那么從甲L共有22=4（種）走法。從甲N有3種走法，從甲L有4種走法，那么可以確定從甲P共有34=7（種）走法。從甲J有3種走法，從甲P有7種走法，那么從甲乙共有3+7=10（種

14、）走法。解：在圖47中各交叉點(diǎn)標(biāo)上數(shù)，乙處標(biāo)上10，則從甲到乙共有10條最近的道路。例4 某城市的街道非常整齊，如圖48所示，從西南角A處到東北角B處要求走最近的路，并且不能通過(guò)十字路口C（因正在修路）.問(wèn)共有多少種不同的走法？分析 因?yàn)锽點(diǎn)在A點(diǎn)的東北角，所以只能向東和向北走.為了敘述方便，在各交叉點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖49. 從AA1有1種走法，AA11有1種走法，那么可以確定從AA10共有11=2（種）走法。 從AA2有1種走法，AA10有2種走法，那么可以確定從AA9共有1+2=3（種）走法。 從AA3有1種走法，AA9有3種走法，那么可以確定從AA8共有1+3=4（種）走法.從AA4有1種

15、走法，AA8有4種走法，那么可以確定AA7，共有1+4=5（種）走法。 從AA5有1種走法，AA7有5種走法，那么可以確定AA6共有156（種）走法。 從AC1有1種走法，AA10有2種走法，那么可以確定從AC2共有1+2=3（種）走法。 從AC2有3種走法，AA9有3種走法，那么可以確定AC3共有3+3=6（種）走法。 從AC4可以是ACC4，也可以是AA7C4，因?yàn)镃處正在修路，所以ACC4行不通，只能由A7C4，由于AA7有5種走法，所以AC4也有5種走法，從AA6有6種走法，所以從AC5共有5+611（種）走法。從AB6有1種走法，AC2有3種走法，那么可以確定從AB7共有13=4（種

16、）走法。從AB7有4種走法，AC3有6種走法，那么可以確定從AB8共有46=10（種）走法。從AB9可以是AB8B9，也可以是ACB9，因?yàn)镃處正在修路，所以ACB9行不通，只能由B8B9，由于AB8有10種走法，所以AC4有5種走法，所以從AB10共有10+5=15（種）走法。 從AC5有11種走法，AB10有15種走法，那么從AB11共有15+11=26（種）走法。 從AB5有1種走法，AB7有4種走法，那么可以確定從AB4共有1+4=5（種）走法。 從AB4有5種走法，AB8有10種走法，那么可以確定從AB3共有5+10=15（種）走法.(15)從AB3有15種走法，AB9有10種走法，

17、那么可以確定從AB2共有1510=25（種）走法。(16)從AB2有25種走法，AB10有15種走法，那么可以確定從AB1共有25+15=40（種）走法。(17)從AB1有40種走法，AB11有26種走法，那么可以確定從AB共有40+26=66（種）走法。解：如圖4-10所示。答：從A到B共有66種不同的走法.習(xí)題四1.如果沿圖4-11中的線段，以最短的路程，從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)，共有多少種不同的走法？2.從學(xué)校到少年宮有4條東西向的馬路和3條南北向的馬路相通.如圖4-12，李楠從學(xué)校出發(fā)，步行到少年宮（只許向東和向南行進(jìn)），最多有多少種不同的行走路線？3.如圖 4-13，從P到Q共有多少種不同的

18、最短路線？4.如圖4-14所示為某城市的街道圖，若從A走到B（只能由北向南、由西向東），則共有多少種不同的走法？5.如圖4-15所示，從甲地到乙地，最近的道路有幾條？6.圖4-16為某城市的街道示意圖，C處正在挖下水道，不能通車，從A到B處的最短路線共有多少條？7.如圖4-17所示是一個(gè)街道的平面圖，在不走回頭路、不走重復(fù)路的條件下，可以有多少種不同的走法？8.圖4-18是某城市的主要公路示意圖，今在C、D、E、F、G、H路口修建立交橋，車輛不能通行，那么從A到B的最近路線共有幾條？習(xí)題四解答1.解：答：從A到B共有126種走法。2.解：答：從學(xué)校到少年宮最多有10種不同的行走路線。3.解：答

19、：從P到Q共有126條不同的最短路線.4.解：答：從A到B共有12種走法。5.解：答：從甲到乙最近的道路有11條。6.解：答：從A到B的最短路線有431條.7.解：答：從A到B有25種不同的走法。8.解：答：從A到B最短的路線有699條第五講 歸一問(wèn)題為什么把有的問(wèn)題叫歸一問(wèn)題？我國(guó)珠算除法中有一種方法，稱為歸除法.除數(shù)是幾，就稱幾歸；除數(shù)是8，就稱為8歸.而歸一的意思，就是用除法求出單一量，這大概就是歸一說(shuō)法的來(lái)歷吧！歸一問(wèn)題有兩種基本類型.一種是正歸一，也稱為直進(jìn)歸一.如：一輛汽車3小時(shí)行150千米，照這樣，7小時(shí)行駛多少千米？另一種是反歸一，也稱為返回歸一.如：修路隊(duì)6小時(shí)修路180千米

20、，照這樣，修路240千米需幾小時(shí)？正、反歸一問(wèn)題的相同點(diǎn)是：一般情況下第一步先求出單一量；不同點(diǎn)在第二步.正歸一問(wèn)題是求幾個(gè)單一量是多少，反歸一是求包含多少個(gè)單一量。例1 一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時(shí)爬行多少米？分析 為了求出蝸牛1小時(shí)爬多少米，必須先求出1分鐘爬多少分米，即蝸牛的速度，然后以這個(gè)數(shù)目為依據(jù)按要求算出結(jié)果。解：小蝸牛每分鐘爬行多少分米？ 12÷6=2（分米） 1小時(shí)爬幾米？1小時(shí)=60分。2×60=120（分米）=12（米）答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。還可以這樣想：先求出題目中的兩個(gè)同類量（如時(shí)間與時(shí)間）的倍數(shù)（即60分是6分的幾倍），然后

21、用1倍數(shù)（6分鐘爬行12分米）乘以倍數(shù)，使問(wèn)題得解。解：1小時(shí)=60分鐘12×（60÷6）12×10120（分米）12（米）或 12÷（6÷60）12÷0.1=120（分米）=12（米）答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。例2 一個(gè)糧食加工廠要磨面粉20000千克.3小時(shí)磨了6000千克.照這樣計(jì)算，磨完剩下的面粉還要幾小時(shí)？方法1：分析 通過(guò)3小時(shí)磨6000千克，可以求出1小時(shí)磨粉數(shù)量.問(wèn)題求磨完剩下的要幾小時(shí)，所以剩下的量除以1小時(shí)磨的數(shù)量，得到問(wèn)題所求。解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小時(shí)）答：磨

22、完剩下的面粉還要7小時(shí)。方法2：用比例關(guān)系解。解：設(shè)磨剩下的面粉還要x小時(shí)。6000x3×14000x=7（小時(shí)）答：磨完剩下的面粉還要7小時(shí)。例3 學(xué)校買來(lái)一些足球和籃球.已知買3個(gè)足球和5個(gè)籃球共花了281元；買3個(gè)足球和7個(gè)籃球共花了355元.現(xiàn)在要買5個(gè)足球、4個(gè)籃球共花多少元？分析 要求5個(gè)足球和4個(gè)籃球共花多少元，關(guān)鍵在于先求出每個(gè)足球和每個(gè)籃球各多少元.根據(jù)已知條件分析出第一次和第二次買的足球個(gè)數(shù)相等，而籃球相差7-52（個(gè)），總價(jià)差355-28174（元）.74元正好是兩個(gè)籃球的價(jià)錢，從而可以求出一個(gè)籃球的價(jià)錢，一個(gè)足球的價(jià)錢也可以隨之求出，使問(wèn)題得解。解：一個(gè)籃球的

23、價(jià)錢：（355-281）÷（7-5）=37元一個(gè)足球的價(jià)錢：（281-37×5）÷332（元）共花多少元？ 32×537×4=308（元）答：買5個(gè)足球，4個(gè)籃球共花308元。例4 一個(gè)長(zhǎng)方體的水槽可容水480噸.水槽裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管.單開進(jìn)水管8小時(shí)可以把空池注滿；單開排水管6小時(shí)可把滿池水排空.兩管齊開需多少小時(shí)把滿池水排空？分析 要求兩管齊開需要多少小時(shí)把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進(jìn)水速度和排水速度.當(dāng)兩管齊開時(shí)要把滿池水排空，排水速度必須大于進(jìn)水速度，即單位時(shí)間內(nèi)排出的水等于進(jìn)水與排水速度差.解決了這個(gè)問(wèn)題，又知道總水量，就可

24、以求出排空滿池水所需時(shí)間。解：進(jìn)水速度：480÷8=60（噸/小時(shí)）排水速度：480÷6=80（噸/小時(shí)）排空全池水所需的時(shí)間：480÷（80-60）=24（小時(shí)）列綜合算式：480÷（480÷6-480÷8）=24（小時(shí)）答：兩管齊開需24小時(shí)把滿池水排空。例5 7輛“黃河牌”卡車6趟運(yùn)走336噸沙土.現(xiàn)有沙土560噸，要求5趟運(yùn)完，求需要增加同樣的卡車多少輛？方法1：分析 要想求增加同樣卡車多少輛，先要求出一共需要卡車多少輛；要求5趟運(yùn)完560噸沙土，每趟需多少輛卡車，應(yīng)該知道一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土。解：一輛卡車一次能運(yùn)多少噸

25、沙土？336÷6÷7=56÷7=8（噸）560噸沙土，5趟運(yùn)完，每趟必須運(yùn)走幾噸？560÷5112（噸）需要增加同樣的卡車多少輛？112÷8-77（輛）列綜合算式：560÷5÷（336÷6÷7）-77（輛）答：需增加同樣的卡車7輛。方法2：在求一輛卡車一次能運(yùn)沙土的噸數(shù)時(shí)，可以列出兩種不同情況的算式：336÷6÷7，336÷7÷先除以6，先求出7輛卡車1次運(yùn)的噸數(shù)，再除以7求出每輛卡車的載重量；算式，先除以7，求出一輛卡車6次運(yùn)的噸數(shù)，再除以6，求出每輛卡車的載重量

26、。在求560噸沙土5次運(yùn)完需要多少輛卡車時(shí)，有以下幾種不同的計(jì)算方法：求出一共用車14輛后，再求增加的輛數(shù)就容易了。例6 某車間要加工一批零件，原計(jì)劃由18人，每天工作8小時(shí)，7.5天完成任務(wù).由于縮短工期，要求4天完成任務(wù)，可是又要增加6人.求每天加班工作幾小時(shí)？分析 我們把1個(gè)工人工作1小時(shí)，作為1個(gè)工時(shí).根據(jù)已知條件，加工這批零件，原計(jì)劃需要多少“工時(shí)”呢？求出“工時(shí)”數(shù)，使我們知道了工作總量.有了工作總量，以它為標(biāo)準(zhǔn)，不管人數(shù)增加或減少，工期延長(zhǎng)或縮短，仍然按照原來(lái)的工作效率，只要能夠達(dá)到加工零件所需“工時(shí)”總數(shù)，再求出要加班的工時(shí)數(shù)，問(wèn)題就解決了。解：原計(jì)劃加工這批零件需要的“工時(shí)”

27、：8×18×7.5=1080（工時(shí)）增加6人后每天工作幾小時(shí)？1080÷（18+6）÷4=11.25（小時(shí)）每天加班工作幾小時(shí)？ 11.25-8=3.25（小時(shí)）答：每天要加班工作3.25小時(shí)。例7 甲、乙兩個(gè)打字員4小時(shí)共打字3600個(gè).現(xiàn)在二人同時(shí)工作，在相同時(shí)間內(nèi)，甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).求甲、乙二人每小時(shí)各打字多少個(gè)？分析 已知條件告訴我們：“在相同時(shí)間內(nèi)甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).”既然知道了“時(shí)間相同”，問(wèn)題就容易解決了.題目里還告訴我們：“甲、乙二人4小時(shí)共打字3600個(gè).”這樣可以先求出“甲乙二人每小時(shí)打字個(gè)數(shù)之和”，

28、就可求出所用時(shí)間了.解：甲、乙二人每小時(shí)共打字多少個(gè)？3600÷4900（個(gè)）“相同時(shí)間”是幾小時(shí)？（24502050）÷9005（小時(shí)）甲打字員每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)： 2450÷5=490（個(gè)）乙打字員每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)：2050÷5=410（個(gè)）答：甲打字員每小時(shí)打字490個(gè)，乙打字員每小時(shí)打字410個(gè)。還可以這樣想：這道題的已知條件可以分兩層.第一層，甲乙二人4小時(shí)共打字3600個(gè)；第二層，在相同時(shí)間內(nèi)甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).由這兩個(gè)條件可以求出在相同的時(shí)間內(nèi)，甲乙二人共打字 2450+2050=4500（個(gè)）；打字 3600個(gè)用4小時(shí)，打字

29、4500個(gè)用幾小時(shí)呢？先求出4500是3600的幾倍，也一定是4小時(shí)的幾倍，即“相同時(shí)間”。解：“相同時(shí)間”是幾小時(shí)？4×（24502050）÷36005（小時(shí)）甲每小時(shí)打字多少個(gè)？2450÷5=490（個(gè)）乙每小時(shí)打字多少個(gè)？2050÷5=410（個(gè)）答：甲每小時(shí)打字490個(gè)，乙每小時(shí)打字410個(gè).習(xí)題五1.花果山上桃樹多，6只小猴分180棵.現(xiàn)有小猴72只，如數(shù)分后還余90棵，請(qǐng)算出桃樹有幾棵？2.5箱蜜蜂一年可以釀75千克蜂蜜，照這樣計(jì)算，釀300千克蜂蜜要增加幾箱蜜蜂？3.4輛汽車行駛300千米需要汽油240公升.現(xiàn)有5輛汽車同時(shí)運(yùn)貨到相距800

30、千米的地方，汽油只有1000公升，問(wèn)是否夠用？4.5臺(tái)拖拉機(jī)24天耕地12000公畝.要18天耕完54000公畝土地，需要增加同樣拖拉機(jī)多少臺(tái)？習(xí)題五解答÷6×72+90=2250（棵）或：180×（72÷6）+90=2250（棵）答：桃樹共有2250棵。÷（75÷5）-5=15（箱）或 5×（300-75）÷75=5×3=15（箱）答：要增加 15箱蜜蜂。3.提示：要想得知1000公升汽油是否夠用，先算一算行800千米需要的汽油，然后進(jìn)行比較.如果大于1000公升，說(shuō)明不夠用；小于或等于 1000公升，

31、說(shuō)明夠用。240÷4÷300×5×800=800（公升）800公升1000公升，說(shuō)明夠用.答：1000公升汽油夠用。4.提示：先求出1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地公畝數(shù)，然后求出18天耕54000公畝需要拖拉機(jī)臺(tái)數(shù)，再求增加臺(tái)數(shù)。答：需要增加 25臺(tái)拖拉機(jī)第六講 平均數(shù)問(wèn)題求平均數(shù)問(wèn)題是小學(xué)學(xué)習(xí)階段經(jīng)常接觸的一類典型應(yīng)用題，如“求一個(gè)班級(jí)學(xué)生的平均年齡、平均身高、平均分?jǐn)?shù)”。平均數(shù)問(wèn)題包括算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、連續(xù)數(shù)和求平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)求平均數(shù)。解答這類應(yīng)用題時(shí)，主要是弄清楚總數(shù)、份數(shù)、一份數(shù)三量之間的關(guān)系，根據(jù)總數(shù)除以它相對(duì)應(yīng)的份數(shù)，求出一份數(shù)，即平均

32、數(shù)。一、算術(shù)平均數(shù)例1 用4個(gè)同樣的杯子裝水，水面高度分別是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，這4個(gè)杯子水面平均高度是多少厘米？分析 求4個(gè)杯子水面的平均高度，就相當(dāng)于把4個(gè)杯子里的水合在一起，再平均倒入4個(gè)杯子里，看每個(gè)杯子里水面的高度。解：（45+7+8）÷4=6（厘米）答：這4個(gè)杯子水面平均高度是6厘米。例2 蔡琛在期末考試中，政治、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、生物五科的平均分是 89分.政治、數(shù)學(xué)兩科的平均分是91.5分.語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科的平均分是84分.政治、英語(yǔ)兩科的平均分是86分，而且英語(yǔ)比語(yǔ)文多10分.問(wèn)蔡琛這次考試的各科成績(jī)應(yīng)是多少分？分析 解題關(guān)鍵是根據(jù)語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科平均分是8

33、4分求出兩科的總分，又知道兩科的分?jǐn)?shù)差是10分，用和差問(wèn)題的解法求出語(yǔ)文、英語(yǔ)各得多少分后，就可以求出其他各科成績(jī)。解：英語(yǔ)：（84×2+10）÷2=89（分）語(yǔ)文： 89-10=79（分）政治：86×2-8983（分）×2-83100（分）生物： 89×5-（897983100）94（分）答：蔡琛這次考試英語(yǔ)、語(yǔ)文、政治、數(shù)學(xué)、生物的成績(jī)分別是89分、79分、83分、100分、94分。二、加權(quán)平均數(shù)例3 果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什錦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.問(wèn)：什錦糖

34、每千克多少元？分析 要求混合后的什錦糖每千克的價(jià)錢，必須知道混合后的總錢數(shù)和與總錢數(shù)相對(duì)應(yīng)的總千克數(shù)。解：×××557.4（元）什錦糖的總千克數(shù)： 23510（千克）÷10=5.74（元）答：混合后的什錦糖每千克5.74元。我們把上述這種平均數(shù)問(wèn)題叫做“加權(quán)平均數(shù)”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加權(quán)平均數(shù).2千克、3千克、5千克這三個(gè)數(shù)很重要，對(duì)什錦糖的單價(jià)產(chǎn)生不同影響，有權(quán)衡輕重的作用，所以這樣的數(shù)叫做“權(quán)數(shù)”。例4 甲乙兩塊棉田，平均畝產(chǎn)籽棉185斤.甲棉田有5畝，平均畝產(chǎn)籽棉203斤；乙棉田平均畝產(chǎn)籽棉170斤，乙棉田

35、有多少畝？分析 此題是已知兩個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)、兩個(gè)數(shù)和其中一個(gè)數(shù)的權(quán)數(shù)，求另一個(gè)數(shù)的權(quán)數(shù)的問(wèn)題.甲棉田平均畝產(chǎn)籽棉203斤比甲乙棉田平均畝產(chǎn)多18斤，5畝共多出90斤.乙棉田平均畝產(chǎn)比甲乙棉田平均畝產(chǎn)少15斤，乙少的部分用甲多的部分補(bǔ)足，也就是看90斤里面包含幾個(gè)15斤，從而求出的是乙棉田的畝數(shù)，即“權(quán)數(shù)”。解：甲棉田5畝比甲乙平均畝產(chǎn)多多少斤？（203-185）×5=90（斤）乙棉田有幾畝？90÷（185-170）=6（畝）答：乙棉田有6畝。三、連續(xù)數(shù)平均問(wèn)題我們學(xué)過(guò)的連續(xù)數(shù)有“連續(xù)自然數(shù)”、“連續(xù)奇數(shù)”、“連續(xù)偶數(shù)”.已知幾個(gè)連續(xù)數(shù)的和求出這幾個(gè)數(shù)，也叫平均問(wèn)題。例5

36、已知八個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是144，求這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)。分析 已知偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是144.連續(xù)數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，它的特點(diǎn)是首項(xiàng)與末項(xiàng)之和等于第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)之和，等于第三項(xiàng)與倒數(shù)第三項(xiàng)之和即每?jī)蓚€(gè)數(shù)分為一組，八個(gè)數(shù)分成4組，每一組兩個(gè)數(shù)的和是144÷436.這樣可以確定出中間的兩個(gè)數(shù)，再依次求出其他各數(shù)。解：每組數(shù)之和：144÷4=36中間兩個(gè)數(shù)中較大的一個(gè)：（362）÷219中間兩個(gè)數(shù)中較小的一個(gè)：19-2=17這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)為11、13、15、17、19、21、23和25。答：這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為：11、13、15、17、19、21、23和25。四、調(diào)和平均數(shù)例6

37、一個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行爬山訓(xùn)練.從A地出發(fā)，上山路長(zhǎng)11千米，每小時(shí)行4.4千米.爬到山頂后，沿原路下山，下山每小時(shí)行5.5千米.求這位運(yùn)動(dòng)員上山、下山的平均速度。分析 這道題目是行程問(wèn)題中關(guān)于求上、下山平均速度的問(wèn)題.解題時(shí)應(yīng)區(qū)分平均速度和速度的平均數(shù)這兩個(gè)不同的概念.速度的平均數(shù)=（上山速度+下山速度）÷2，而平均速度=上、下山的總路程÷上、下山所用的時(shí)間和。解：上山時(shí)間： 11÷4.4=2.5（小時(shí)）下山時(shí)間：11÷5.5=2（小時(shí)）五、基準(zhǔn)數(shù)平均數(shù)例7 中關(guān)村三小有15名同學(xué)參加跳繩比賽，他們每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)分別為93、94、85、92、86、88、94

38、、91、88、89、92、86、93、90、89，求每個(gè)人平均每分鐘跳繩多少個(gè)？分析 從他們每人跳繩的個(gè)數(shù)可以看出，每人跳繩的個(gè)數(shù)很接近，所以可以選擇其中一個(gè)數(shù)90做為基準(zhǔn)數(shù)，再找出每個(gè)加數(shù)與這個(gè)基準(zhǔn)數(shù)的差.大于基準(zhǔn)數(shù)的差作為加數(shù)，如9390+3，3作為加數(shù)；小于基準(zhǔn)數(shù)的差作為減數(shù)，如 87=90-3，3作為減數(shù).把這些差累計(jì)起來(lái)，用和數(shù)的項(xiàng)數(shù)乘以基準(zhǔn)數(shù)，加上累計(jì)差，再除以和數(shù)的個(gè)數(shù)就可以算出結(jié)果。解：跳繩總個(gè)數(shù)。93+94+85+92+86+88+94+91+88+89+92+86+93+90+89=90×15+（3+4+2+4+1+2+3）-（5+4+2+2+1+4+1）=135

39、0+19-19=1350（個(gè)）每人平均每分鐘跳多少個(gè)？1350÷15=90（個(gè)）答：每人平均每分鐘跳90個(gè).習(xí)題六1.某次數(shù)學(xué)考試，甲乙的成績(jī)和是184分，乙丙的成績(jī)和是187分，丙丁的成績(jī)和是188分，甲比丁多1分，問(wèn)甲、乙、丙、丁各多少分？2.求1962、1973、1981、1994、2005的平均數(shù)。3.縫紉機(jī)廠第一季度平均每月生產(chǎn)縫紉機(jī)750臺(tái)，第二季度生產(chǎn)的是第一季度生產(chǎn)的2倍多66臺(tái)，下半年平均月生產(chǎn)1200臺(tái)，求這個(gè)廠一年的平均月產(chǎn)量。4.甲種糖每千克8.8元，乙種糖每千克7.2元，用甲種糖5千克和多少乙種糖混合，才能使每千克糖的價(jià)錢為8.2元？5.7個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是1

40、988，求這7個(gè)連續(xù)偶數(shù)。6.6個(gè)學(xué)生的年齡正好是連續(xù)自然數(shù)，他們的年齡和與小明爸爸的年齡相同，7個(gè)人年齡一共是126歲，求這6個(gè)學(xué)生各幾歲？7.食堂買來(lái)5只羊，每次取出兩只合稱一次重量，得到十種不同的重量（千克）：47、50、51、52、53、54、55、57、58、59.問(wèn)這五只羊各重多少千克？習(xí)題六解答1.甲+乙=184 （1）乙+丙=187 （2）丙+丁=188 （3）（2）-（1）丙-甲=3 （4）（3）-（4）丁+甲=185甲=（185+1）÷2=93（分）丁=93-1=92（分）乙=184-93=91（分）丙=187-91=96（分）答：甲、乙、丙、丁的成績(jī)分別為93分

41、、91分、96分、和92分。2.1962+19731981+1994+2005=1981×5+（13+24）-（819）=9915。9915÷51983。3.上半年總產(chǎn)量：750×3+750×3×266=6816（臺(tái)）下半年總產(chǎn)量：1200×6=7200（臺(tái)）平均月產(chǎn)量：（68167200）÷12=1168（臺(tái)）答：平均月產(chǎn)量是1168臺(tái)。4.（8.8-8.2）×5÷（8.2-7.2）=3（千克）答：與乙種糖3千克混合。5.分析 已知奇數(shù)個(gè)偶數(shù)的和，可以用和除以個(gè)數(shù)求出中間數(shù)，再求出其他各偶數(shù)。中間數(shù)：1

42、988÷7=284其他六個(gè)數(shù)分別為278、280、282、284、286、288、290。答：這7個(gè)偶數(shù)分別為：278、280、282、284、286、288、290。6.分析 6個(gè)孩子年齡和與小明爸爸年齡相同，說(shuō)明小明爸爸年齡是126歲的一半，是63歲.其他6個(gè)學(xué)生的年齡和也是63歲. 63÷321（歲）， 21=1011為中間兩個(gè)數(shù)，所以其他四人年齡依次為8、9、12、13歲。答：這六個(gè)學(xué)生的年齡分別為：8、9、10、11、12、13歲。7.解：設(shè)5只羊的重量從輕到重依次為A1、A2、A3、A4、A5.A1+A2=47，A1+A3=50A3+A5=58，A4+A5=59

43、.10次稱重5只羊各稱過(guò)4次，所以它們的重量和應(yīng)是：A1A2A3A4A5=（47+50+515253+54+55+57+58+59）÷4=134A3=134-（A1+A2）-（A4+A5）=28 A150-2822 A247-2225A558-28=30 A4=59-30=29答：這5只羊的重量分別為22千克、25千克、28千克、29千克、30千克.第七講 和倍問(wèn)題和倍問(wèn)題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題.為了幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線段圖的方法來(lái)表示兩種量間的這種關(guān)系，以便于找到解題的途徑。例1 甲班和乙班共有圖書160本.甲班的

44、圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？分析 設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的4倍.還可以理解為4份的數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù).用下圖表示它們的關(guān)系：解：乙班：160÷（3+1）=40（本）甲班：40×3=120（本）或 160-40=120（本）答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。這道應(yīng)用題解答完了，怎樣驗(yàn)算呢？可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是160本；再把甲班的本數(shù)除以乙班本數(shù)，看是不是等于3倍.如果與條件相符，表明這題作對(duì)了.注

45、意驗(yàn)算決不是把原式再算一遍。驗(yàn)算：12040=160（本）120÷40=3（倍）。例2 甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？分析 解這題的關(guān)鍵是找出哪個(gè)量是變量，哪個(gè)量是不變量.從已知條件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書的2倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當(dāng)于乙班現(xiàn)有圖書的3倍.依據(jù)解和倍問(wèn)題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數(shù)相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（見上圖）。解：甲、乙兩班共有圖書的本數(shù)是：30120=150（本）甲班給乙班若干本

46、圖書后，甲、乙兩班共有的倍數(shù)是：213（倍）乙班現(xiàn)有的圖書本數(shù)是：150÷3=50（本）甲班給乙班圖書本數(shù)是：50-30=20（本）綜合算式：（30120）÷（2+1）=50（本）50-30=20（本）答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。驗(yàn)算：（120-20）÷（30+20）2（倍）120-20）+（30+20）150 （本）。例3 光明小學(xué)有學(xué)生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？分析 把女生人數(shù)看作一份，由于男生人數(shù)比女生人數(shù)的3倍還少40人，如果用男、女生人數(shù)總和760人再加上40人，就等于女生人數(shù)的4倍（見下圖）。

47、解：女生人數(shù)：（76040）÷（31）=200（人）男生人數(shù)：200×3-40=560（人）或 760-200=560（人）答：男生有560人，女生有200人。驗(yàn)算：560200=760（人）（560+40）÷200=3（倍）。例4 果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵.桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？分析 下圖可以看出桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，都是同梨樹相比較、以梨樹的棵數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)、作為1份數(shù)容易解答.又知三種樹的總數(shù)是552棵.如果給蘋果樹增加20棵，那么就和梨樹同樣多了；再?gòu)奶覙淅餃p少12棵

48、，那么就相當(dāng)于梨樹的2倍了，而總棵樹則變?yōu)?52+20-12=560（棵），相當(dāng)于梨樹棵數(shù)的4倍。解：梨樹的棵數(shù)：（55220-12）÷（112）=560÷4=140（棵）桃樹的棵數(shù)：140×212=292（棵）蘋果樹的棵數(shù)： 140-20=120（棵）答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是292棵、140棵和120棵。例5 549是甲、乙、丙、丁4個(gè)數(shù)的和.如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)乘以2，丁數(shù)除以2以后，則4個(gè)數(shù)相等.求4個(gè)數(shù)各是多少？分析 上圖可以看出，丙數(shù)最小.由于丙數(shù)乘以2和丁數(shù)除以2相等，也就是丙數(shù)的2倍和丁數(shù)的一半相等，即丁數(shù)相當(dāng)于丙數(shù)的4倍.乙減2之后

49、是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根據(jù)這些倍數(shù)關(guān)系，可以先求出丙數(shù)，再分別求出其他各數(shù)。解：丙數(shù)是：（5492-2）÷（2214）=549÷9=61甲數(shù)是：61×2-2=120乙數(shù)是：61×22=124丁數(shù)是：61×4=244驗(yàn)算：120+12461+244=5491202=122 124-2=12261×2122 244÷2122答：甲、乙、丙、丁分別是120、124、61、244.第八講 差倍問(wèn)題前面講了應(yīng)用線段圖分析“和倍”“和倍”問(wèn)題有相似之處的“差倍”應(yīng)用題。“差倍問(wèn)題”就是已知兩個(gè)數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求這

50、兩個(gè)數(shù)。差倍問(wèn)題的解題思路與和倍問(wèn)題一樣，先要在題目中找到1倍量，再畫圖確定解題方法.被除數(shù)的數(shù)量和除數(shù)的倍數(shù)關(guān)系要相對(duì)應(yīng)，相除后得到的結(jié)果是一倍量，然后求出另一個(gè)數(shù)，最后再寫出驗(yàn)算和答題。例1 甲班的圖書本數(shù)比乙班多80本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？“甲班的圖書比乙班多80本”，即2倍與80本相對(duì)應(yīng)，可以理解為2倍是80本，這樣可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有圖書多少本。解：乙班的本數(shù)： 80÷（3-1）=40（本）甲班的本數(shù)： 40×3=120（本）或4080=120（本）。驗(yàn)算：120-4080（本）120÷40=

51、3（倍） 答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。例2 菜站運(yùn)來(lái)的白菜是蘿卜的3倍，賣出白菜1800千克，蘿卜300千克，剩下的兩種蔬菜的重量相等，菜站運(yùn)來(lái)的白菜和蘿卜各是多少千克？分析 這樣想：根據(jù)“菜站運(yùn)來(lái)的白萊是蘿卜的3倍”應(yīng)把運(yùn)來(lái)的蘿卜的重量看作1倍；“賣出白菜1800千克，蘿卜300千克后，剩下兩種蔬菜的重量正好相等”，說(shuō)明運(yùn)來(lái)的白菜比蘿卜多1800-300=1500（千克）.從上圖中清楚地看到這個(gè)重量相當(dāng)于蘿卜重量的3-1=2（倍），這樣就可以先求出運(yùn)來(lái)的蘿卜是多少千克，再求運(yùn)來(lái)的白菜是多少千克。解：運(yùn)來(lái)蘿卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）運(yùn)來(lái)白菜：

52、750×3=2250（千克）驗(yàn)算：2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）750-300=450（千克）（蘿卜剩下部分）答：菜站運(yùn)來(lái)白菜2250千克，蘿卜750千克。例3 有兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時(shí)第二根長(zhǎng)度是第一根長(zhǎng)的3倍，兩根繩子原來(lái)各長(zhǎng)多少米？分析 上圖，兩根繩子原來(lái)的長(zhǎng)度一樣長(zhǎng)，但是從第一根截去12米，第二根繩子又接上14米后，第二根的長(zhǎng)度是第一根的3倍.應(yīng)該把變化后的第一根長(zhǎng)度看作1倍，而12+14=26（米），正好相當(dāng)于第一根繩子剩下的長(zhǎng)度的2倍.所以，當(dāng)從第一根截去12米后剩下的長(zhǎng)度可以求出來(lái)了，那么第一根、第二根原有長(zhǎng)度也就

53、可以求出來(lái)了。解：第一根截去12米剩下的長(zhǎng)度：（12+14）÷（3-1）13（米）兩根繩子原來(lái)的長(zhǎng)度：131225（米）答：兩根繩子原來(lái)各長(zhǎng)25米。自己進(jìn)行驗(yàn)算，看答案是否正確.另外還可以想想，有無(wú)其他方法求兩根繩子原來(lái)各有多長(zhǎng).小結(jié)：解答這類題的關(guān)鍵是要找出兩個(gè)數(shù)量的差與兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)的差的對(duì)應(yīng)關(guān)系.用除法求出1倍數(shù)，也就是較小的數(shù)，再求幾倍數(shù)。解題規(guī)律：差÷倍數(shù)的差=1倍數(shù)（較小數(shù)） 1倍數(shù)×幾倍=幾倍的數(shù)（較大的數(shù)）或：較小的數(shù)+差=較大的數(shù)。例4 三（1）班與三（2）班原有圖書數(shù)一樣多.后來(lái)，三（1）班又買來(lái)新書74本，三（2）班從本班原書中拿出96本送給

54、一年級(jí)小同學(xué)，這時(shí)，三（1）班圖書是三（2）班的3倍，求兩班原有圖書各多少本？分析 兩個(gè)班原有圖書一樣多.后來(lái)三（1）班又買新書74本，即增加了74本；三（2）班從本班原有圖書中取出96本送給一年級(jí)同學(xué)，則圖書減少了96本.結(jié)果是一個(gè)班增加，另一個(gè)班減少，這樣兩個(gè)班圖書就相差96+74170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本圖書.又知三（1）班現(xiàn)有圖書是三（2）班圖書的3倍，可見這170本圖書就相當(dāng)于三（2）班所剩圖書的3-1=2倍，三（2）班所剩圖書本數(shù)就可以求出來(lái)了，隨之原有圖書本數(shù)也就求出來(lái)了（見上圖）。解：后來(lái)三（1）班比三（2）班圖書多多少本？7496=170（本）三（

55、2）班剩下的圖書是多少本？170÷（3-1）=85（本）三（2）班原有圖書多少本？8596=181（本）（兩個(gè)班原有圖書一樣多）綜合算式：（7496）÷（3-1）96170÷2+968596=181（本）驗(yàn)算：181+74=255（本）181-96=85（本）255÷85=3（倍）答：兩班原來(lái)各有圖書181本。例5 兩塊同樣長(zhǎng)的花布，第一塊賣出31米，第二塊賣出19米后，第二塊是第一塊的4倍，求每塊花布原有多少米？分析 已知兩塊花布同樣長(zhǎng)，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊剩下的少，第二塊剩下的多.所剩的布第二塊比第一塊多31-19=12（米

56、）.又知第二塊所剩下的布是第一塊的4倍，那么第二塊比第一塊多出的12米正好相當(dāng)于所剩布的（4-1）倍，這樣，第一塊所剩布的長(zhǎng)度即可求出（見上圖）。解：第二塊布比第一塊布多剩多少米？31-1912（米）第一塊布剩下多少米？12÷（4-1）=4（米）第一塊布原有多少米？4+31=35（米）（兩塊布原有長(zhǎng)度相等）綜合列式：（31-19）÷（4-1）+31=12÷3+31=431=35（米）驗(yàn)算：35-31=4（米）35-1916（米）16÷44（倍）答：每塊布原有35米長(zhǎng)。習(xí)題八1.一只大象的體重比一頭牛重4500千克，又知大象的重量是一頭牛的10倍，一只大象

57、和一頭牛的重量各是多少千克？2.果園里的桃樹比杏樹多90棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，桃樹和杏樹各有多少棵？3.有兩塊布，第一塊長(zhǎng)74米，第二塊長(zhǎng)50米，兩塊布各剪去同樣長(zhǎng)的一塊布后，剩下的第一塊米數(shù)是第二塊的3倍，問(wèn)每塊布各剪去多少米？4.甲、乙兩校教師的人數(shù)相等，由于工作需要，從甲校調(diào)30人到乙校去，這時(shí)乙校教師人數(shù)正好是甲校教師人數(shù)的3倍，求甲、乙兩校原有教師各多少人？5.兩筐重量相同的蘋果，從甲筐取出7千克，乙筐加入19千克，這時(shí)乙筐是甲筐蘋果的3倍，問(wèn)兩筐原有蘋果多少千克？6.甲、乙兩個(gè)數(shù)，如果甲數(shù)加上320就等于乙數(shù)了.如果乙數(shù)加上460就等于甲數(shù)的3倍，兩個(gè)數(shù)各是多少？7.有兩塊同

58、樣長(zhǎng)的布，第一塊賣出25米，第二塊賣出14米，剩下的布第二塊是第一塊的2倍，求每塊布原有多少米？習(xí)題八解答1.一頭牛重量是：4500÷（10-1）=500（千克）一只大象重量：500×10=5000（千克）。2.杏樹棵數(shù)：90÷（3-1）=45（棵）桃樹棵數(shù)：45×3=135（棵）。3.把第二塊布剩下的米數(shù)看作1倍數(shù)：（74-50）÷（3-1）12（米）剪去的米數(shù)： 50-12=38（米）。4.把甲校調(diào)走30人后的甲校人數(shù)看作1倍：（30×2）÷（3-1）=30（人）甲、乙兩校原有教師各 30+30=60（人）。5.甲筐重量：（197）÷（3-1）13（千克）乙筐重量：13×3=39原有重量：137=20（千克）。6.甲數(shù)：（320+460）÷2390乙數(shù)：390+320=710。7.（25-14）÷（2-1）+25=11÷1+25=11+25=36（米）.第九講 和差問(wèn)題和差問(wèn)題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差，求大小兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個(gè)數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個(gè)數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個(gè)數(shù)的差“暗藏”起來(lái)，我們管暗藏的差叫“暗差”。例：“把姐姐的鉛筆拿出3支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多.”這