小學(xué)奧數(shù)專(zhuān)題黑白染色問(wèn)題

1、專(zhuān)題:黑白染色問(wèn)題1. 下圖是一套房子的平面圖,圖中的方格代表房間,每個(gè)房間都有通向任何一個(gè)鄰室的門(mén).有人想從某個(gè)房間開(kāi)始,依次不重復(fù)地走遍每一個(gè)房間,他的想法能實(shí)現(xiàn)嗎?進(jìn)去,不重復(fù)地參觀完全部展室后,從出口出來(lái)呢?2. 圖中的16個(gè)點(diǎn)表示16個(gè)城市,兩個(gè)點(diǎn)之間的連線表示這兩個(gè)城市有公路?hhhhhhhhhhhhhhhh3. 下圖是由4個(gè)小方格組成的“L”形硬紙片,用若干個(gè)這種紙片無(wú)重疊地拼成一個(gè)4´n的長(zhǎng)方形,試證明:n一定是偶數(shù).“吃”(“馬”走“日”字,另不考慮“別馬腿”的情況).´1矩形覆蓋8´8棋盤(pán)?T字紙片,拼成一個(gè)8´8的正方形棋盤(pán)?

2、80;8棋盤(pán)上,馬能否從左下角的方格出發(fā),不重地走遍棋盤(pán),最后回到起點(diǎn)?若能請(qǐng)找出一條路,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.´4的正方形分別剪去兩個(gè)1´1的小方格得到的,問(wèn)可否把它們分別剪成1´2的七個(gè)小矩形? (1) (2) (3) 10.把三行七列的21個(gè)小格組成的矩形染色,每個(gè)小格染上紅、藍(lán)兩種色中的一種.求證:總可以找到4個(gè)同色小方格,處于某個(gè)矩形的4個(gè)角上(如圖)123紅紅紅紅11.17個(gè)科學(xué)家互相通信,在他們的通信中共討論3個(gè)問(wèn)題,而任意兩個(gè)科學(xué)家之間僅討論1個(gè)問(wèn)題.證明:至少有3個(gè)科學(xué)家,他們彼此通信討論的是同一個(gè)問(wèn)題.´2´4的長(zhǎng)方體木塊,能

3、不能把一個(gè)容積為6´6´6的正方體木箱充塞填滿?說(shuō)明理由.´27的方格棋盤(pán),在棋盤(pán)的正中間擺好81枚棋子,它們被罷成一個(gè)9´9的正方形.按下面的規(guī)則進(jìn)行游戲:每一枚棋子都可沿水平方向或豎直方向越過(guò)相鄰的棋子,放進(jìn)緊挨著這枚棋子的空格中,并把越過(guò)的這格棋子取出來(lái).問(wèn):是否存在一種走法,使棋盤(pán)上最后恰好剩下一枚棋子?´12的超極棋盤(pán)上,一匹超級(jí)馬每步跳至3´4矩形的另一角(如圖).問(wèn)能否從任一點(diǎn)出發(fā)遍歷每一格恰一次,再回到出發(fā)點(diǎn)(這種情況又稱(chēng)馬有“回路”)?OO答 案 1. 不能.對(duì)房間染色,使最下面的兩個(gè)房間染成黑色,與黑色相鄰的房染成

4、白色,則圖中有7個(gè)黑色房間和5個(gè)白色房間.如果要想不重復(fù)地走過(guò)每一個(gè)房間,黑色與白色房間數(shù)應(yīng)該相等.故題中的想法是不能實(shí)現(xiàn)的. 2. 不能.對(duì)展室進(jìn)行染色,使相鄰兩房間分別是黑色和白色的.此時(shí)入口處展室的顏色與出口處展室的顏色是相同的,而不重復(fù)參觀完36個(gè)展室,入口與出口展室的顏色應(yīng)該不相同. 3. 不能.對(duì)這16個(gè)城市進(jìn)行黑白相間的染色,一種顏色有9個(gè),另一種顏色有7個(gè).而要不重復(fù)地走遍這16個(gè)城市,黑色與白色的個(gè)數(shù)應(yīng)該相等. 4. 如圖,對(duì)4´nL形紙片所占的方格只有兩類(lèi):第一類(lèi)占3黑1白,第二類(lèi)占3白1黑.n個(gè)設(shè)第一類(lèi)有a個(gè),第二類(lèi)有b個(gè),因?yàn)橥坑袃煞N顏色的方格數(shù)相等,故有3b

5、+a=3a+b,即a=b,也就是說(shuō)第一類(lèi)與第二類(lèi)相等,因此各種顏色的方格數(shù)都是4的倍數(shù),總數(shù)是8的倍數(shù),從而n是偶然.5. 將棋盤(pán)黑白相間染色,由“馬”的走法可知,放在黑點(diǎn)上的“馬”,只能吃放在某些白點(diǎn)上的馬.整個(gè)棋盤(pán)上黑、白點(diǎn)的個(gè)數(shù)均為45,故可在45個(gè)黑點(diǎn)放上馬,它們是不能互吃的.6. 如圖的方式對(duì)棋盤(pán)染色.那么一個(gè)田字形蓋住1個(gè)或3個(gè)白格,而一個(gè)4´´1的矩形能蓋住的白格數(shù)是一個(gè)奇數(shù),但上圖中的白格數(shù)是一個(gè)偶數(shù),因此一個(gè)田字形和15個(gè)4´1的矩形不能復(fù)蓋8´8的棋盤(pán).7. 將棋盤(pán)里黑白相間涂色.一個(gè)田字形蓋住2個(gè)白格,一個(gè)TTT字形不能蓋住8

6、80;8的棋盤(pán).8. 將棋盤(pán)黑白相間地染色后,馬的走法是從一種顏色的格子跳到另一種顏色.棋盤(pán)上有32個(gè)白格與32個(gè)黑格,故馬可能跳遍整個(gè)棋盤(pán).圖中給出了一種走法.564158355039603347445540593451384257464936533261454843543162375220530632211161329642141714251061922782312151287183269249. 先對(duì)4´4的棋盤(pán)黑白相間的涂色(如圖),這道題的實(shí)際問(wèn)題是問(wèn)7個(gè)1´2矩形能否分別復(fù)蓋剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D´2矩形可以復(fù)蓋剪殘的棋盤(pán),因?yàn)槊總€(gè)1

7、80;A格和C格的棋盤(pán)(2)有5個(gè)白格8個(gè)黑格,剪去A、D的棋盤(pán)(3)有5個(gè)白格8個(gè)黑格,因此這兩個(gè)剪損的棋盤(pán)均不能被7個(gè)1´2矩形復(fù)蓋,也就不能剪成7個(gè)1´2的矩形.ABCD棋盤(pán)(1)可以被7個(gè)1´2的矩形所復(fù)蓋.下面給出一種剪法:A11277B26543654310. 在第一行的7格中必有4格同色,不妨設(shè)這4格位于前4個(gè)位置,且均為紅色.然后考慮前4列構(gòu)成的3´4矩形.若第二行和第3行中出現(xiàn)2個(gè)或2個(gè)以上的紅色格子.則該行的兩個(gè)紅色格子與第一行的紅色格子就組成一個(gè)4角同為紅色格子的矩形.若不然,則第2、3行中都至少有3個(gè)藍(lán)格在前4列中,不妨設(shè)第2行前

8、3格為藍(lán)色,顯然第三行中的前3格中至少有2個(gè)藍(lán)格，故在二、三行的前4列中必存在四角都是藍(lán)色的矩形.11.將17個(gè)科學(xué)家用17個(gè)點(diǎn)代表,兩點(diǎn)之間連結(jié)的線段表示兩個(gè)科學(xué)家之間討論的問(wèn)題.用三種顏色給這些線段染色,表示三個(gè)問(wèn)題,于是問(wèn)題就變成:給17個(gè)點(diǎn)之間的所有連結(jié)線段用三種顏色染色,必有同色三角形.從任意一點(diǎn),不妨設(shè)從A向其他16點(diǎn)A1,A2,A16AA1,AA2,AA6且同為紅色.考慮A1,A2,A3,A4,A5,A6這六點(diǎn)之間的連線,若有一條為紅色,(如A1A2為紅色) ,則三角形AA1A2為紅色的同色三角形.AA1A2A3A4A5A6A1A2A3A4A1引出的五條線段A1A2 A1A3 A

9、1A4 A1A5 A1A6A1A2 A1A3 A1A4A2A3A4的三邊中有一條為藍(lán)色的,則有一個(gè)藍(lán)色的三角形存在;若三角形A2A3A4三邊都不是藍(lán)色的,則它的三邊是同為第三色的同色三角形.12. 把正方體木箱分成27個(gè)小正方體,每個(gè)小正方體的體積為2´2´´2´2的正方體有14個(gè),白色2´2´´1´1的小正方體.將1´2´´6´6=216個(gè)單位正方體,26個(gè)長(zhǎng)方體木塊共蓋住8´´2´4長(zhǎng)方體木塊不管怎樣放,也無(wú)法蓋住這8個(gè)黑色單位正方體.13.

10、 如圖,將整個(gè)棋盤(pán)的每一格都分別染上紅、白、黑三種顏色,這種染色方式將棋盤(pán)分成了三個(gè)部分.按照游戲規(guī)則,每走一步,有兩種顏色方格中的棋子數(shù)分別減少了1個(gè),而第三種顏色的棋子數(shù)增加了一個(gè).這表明每走一步,每個(gè)部分的棋子的奇偶性要發(fā)生改變.因?yàn)橐婚_(kāi)始時(shí),81枚棋子擺成一個(gè)9´9的正方形,顯然三個(gè)部分的棋子數(shù)是相同的,從而每走一步,三部分中的棋子數(shù)的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盤(pán)上恰好剩下一枚棋子,則兩部分上的棋子數(shù)為偶數(shù),而另一部分上的棋子數(shù)為奇數(shù).這種結(jié)果是不可能出現(xiàn)的.14. 用兩種方法對(duì)超級(jí)棋盤(pán)染色.首先,將棋盤(pán)黑白相間染色,則馬每跳一步,它所在的方格就要改變一次顏色.不妨設(shè)第奇數(shù)步跳入白格.其次,將棋盤(pán)的第3,4,5及8,9,10