第2章-隨機過程與噪聲(共25頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第2章 隨機過程與噪聲在通信系統(tǒng)中，信源發(fā)送的信號具有一定的不可預測性，或者說隨機性。信號在傳輸過程中會不可避免地遇到各種噪聲和干擾，這些噪聲也是不可預測的或隨機變化的。電磁波的傳播受大氣層的變化、地面地形的影響，也使接收的信號隨機變化。因此，通信中的信號和噪聲都具有一定的隨機性，需要借助隨機過程的數(shù)學方法來描述。本章介紹隨機過程的基本概念、數(shù)字特征及噪聲的表示方法，重點分析通信系統(tǒng)中幾種重要隨機過程的統(tǒng)計特性，以及隨機過程通過線性系統(tǒng)的情況，這些內(nèi)容對后面章節(jié)中分析通信系統(tǒng)的性能很有用。2.1隨機過程描述2.1.1 隨機過程概念隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程，

2、它不能用確切的時間函數(shù)描述。通信系統(tǒng)中的信號和噪聲是具有隨機性的，通常稱為隨機信號，它們均可看作隨時間參數(shù)t變化的隨機過程。隨機過程是時間t 的實函數(shù)，但是在某一時刻上觀察到的值卻是一個隨機變量。也就是說，隨機過程可以看成是對應不同隨機試驗結果的時間過程的集合。例如：設有n部性能完全相同的通信機，它們的工作條件相同，如果用n臺相同的記錄儀同時記錄通信機輸出熱噪聲電壓波形，結果將發(fā)現(xiàn)，盡管測試設備和測試條件都相同，但是紀錄的是n條隨時間起伏且各不相同的波形，如圖2-1所示。這就是說，接收機輸出的噪聲電壓隨時間變化是不可預測的。測試結果的每一個記錄，即圖2-1中的一個波形，都是一個確定的時間函數(shù)x

3、i(t),它稱之為樣本函數(shù)或隨機過程的一個實現(xiàn)。全部樣本函數(shù)構成的總體x1(t),x2(t),xn(t)就是一個隨機過程，記作。簡言之，隨機過程是所有樣本函數(shù)的集合。顯然，把對接收機輸出噪聲波形的觀察可看作是進行一次隨機試驗，每次試驗之后，取圖2-1所示的所有可能樣本中的某一樣本函數(shù)，至于是哪一個樣本，在進行觀測之前是無法預測的，這正是隨機過程隨機性的表現(xiàn)。隨機過程的這種不可預測性或隨機性還可以從另一個角度來理解，在任一觀測時刻t1上，不同樣本的取值是一個隨機變量，記作。換句話說，隨機過程在任意時刻的值是一個隨機變量。因此，又可以把隨機過程看作是在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合。 隨機

4、過程具有兩個屬性： (1) 是時間的函數(shù)。 (2) 給定任一時刻，是不含t 的隨機變量。2.1.2隨機過程的統(tǒng)計特性隨機過程的統(tǒng)計特性是通過它的概率分布和數(shù)字特征來表述的。設是一個隨機過程，其在任意給定時刻t1,的取值用表示，隨機變量的統(tǒng)計特性可用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。把隨機變量小于或等于某一數(shù)值的概率記作，即 （2.1-1）則稱為隨機過程的一維分布函數(shù)。如果對x1的偏導數(shù)存在，有 （2.1-2）則稱為的一維概率密度。顯然，隨機過程的一維分布函數(shù)和一維概率密度僅僅描述了隨機過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性，沒有反映隨機過程在各個時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，還需在足夠多的時刻上考慮隨機過程的多維

5、分布函數(shù)。對于任意給定的兩個時刻t1,t2,把 和同時成立的概率 （2.1-3）稱為隨機過程的二維分布函數(shù)，如果 （2.1-4）存在，則稱為的二維概率密度函數(shù)。 同理，任意給定，則的n維分布函數(shù)被定義為 （2.1-5）如果存在 （2.1-6）則稱為的n維概率密度函數(shù)。顯然，n越大，對隨機過程統(tǒng)計特性的描述越充分，但問題的復雜度也隨之增加。2.1.3隨機過程的數(shù)字特征上述隨機過程的概率分布函數(shù)和密度函數(shù)雖然能較完整的描述其統(tǒng)計特性，但在實際工作中，用數(shù)字特征來描述更為簡單和直觀。隨機過程的數(shù)字特征是由隨機變量的數(shù)字特征推廣得到的，其中最常用的是均值、方差和相關函數(shù)。1、均值（數(shù)學期望）隨機過程在

6、任意給定時刻t1的取值是一個隨機變量，其一維概率密度函數(shù)為，則的均值定義為 （2.1-7）因為t1是任取的，所以可以把t1直接寫為t，x1也改為x ,這時上式就變?yōu)殡S機過程在任意時刻的均值（也稱數(shù)學期望），記為a(t) （2.1-8） 顯然，隨機過程的均值a(t)是時間t的函數(shù)，它表示隨機過程的所有樣本函數(shù)曲線的擺動中心。2、方差 隨機過程的方差定義為 (2.1-9)可見，方差等于均方值與數(shù)學期望平方之差，它表示隨機過程在時刻t相對于均值a(t)的偏離程度。3、協(xié)方差和相關函數(shù)衡量隨機過程在任意兩個時刻上獲得的隨機變量之間的關聯(lián)程度時，常用協(xié)方差函數(shù)B(t 1, t 2)和相關函數(shù)R（t1,

7、t 2）來表示。協(xié)方差函數(shù)定義為 (2.1-10)式中，t 1與t 2是任取的兩個時刻，a(t1)與a(t2)是t1,t2時刻的均值，為二維概率密度函數(shù)。相關函數(shù)定義為： (2.1-11)式中，和分別是在t1,t2時刻觀測得到的隨機變量?？梢钥闯觯琑（t1，t2）是兩個變量t1和t2的確定函數(shù)。R(t1，t2)與B(t1，t2)之間的關系為 （2.1-12）若則B(t1，t2)=R(t1，t2)。由于B(t1，t2)和R(t1，t2) 是衡量同一過程相關程度的，因此，它們又分別稱為自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)，本書中只采用R(t1，t2)。如果把相關函數(shù)的概念引申到兩個或多個隨機過程，也可以定義互

8、相關函數(shù)。設和分別表示兩個隨機過程，則互相關函數(shù)為 （2.1-13）若,并令，則相關函數(shù)R(t1，t2)可以表示為。這說明，相關函數(shù)依賴于起始時刻及與之間的時間間隔，即相關函數(shù)是和的函數(shù)。2.2 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程是一種特殊類型的隨機過程，在通信領域中應用很廣泛。2.2.1 嚴平穩(wěn)過程與廣義平穩(wěn)過程 嚴平穩(wěn)隨機過程的全稱是隨機過程在嚴格意義下的平穩(wěn)過程，是指它的任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時間起點無關。也就是說，對于任意的正整數(shù)n和所有實數(shù)，隨機過程的n維概率密度函數(shù)滿足 （2.2-1）該定義表明，嚴平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而改變。由此推論出，它的一維分布函數(shù)與時間t 無

9、關，即 （2.2-2）而它的二維分布函數(shù)只與時間間隔有關，即 （2.2-3）顯然，隨著概率密度函數(shù)的簡化，平穩(wěn)隨機過程的一些數(shù)字特征也可以相應地簡化，其均值為 （2.2-4）為一常數(shù)，它表示平穩(wěn)隨機過程的各樣本函數(shù)圍繞著一水平線起伏。自相關函數(shù)為 （2.2-5）可見，嚴平穩(wěn)隨機過程具有顯明的數(shù)字特征：均值與t無關，為常數(shù)a；自相關函數(shù)只與時間間隔有關，即。實際中常用這兩個條件來直接判斷隨機過程的平穩(wěn)性，把同時滿足和的隨機過程定義為廣義平穩(wěn)隨機過程。嚴平穩(wěn)隨機過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)均可視為廣義平穩(wěn)隨機過程，將廣義平穩(wěn)隨機過程簡稱為平穩(wěn)過程。本

10、書此后的討論都假定是平穩(wěn)過程。2.2.2平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性 平穩(wěn)隨機過程在滿足一定條件下有一個非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”。是指隨機過程的數(shù)字特征（統(tǒng)計平均）可由隨機過程中任一實現(xiàn)的數(shù)學特征（時間平均）來代替。大量實際觀測和理論分析表明，許多平穩(wěn)隨機過程都具有這樣的特性。 假設x(t)是平穩(wěn)隨機過程的任意一個實現(xiàn)，它的時間均值和時間相關函數(shù)分別定義為 （2.2-6）如果平穩(wěn)隨機過程使下式成立 （2.2-7）即平穩(wěn)過程的統(tǒng)計平均值等于它的任意一次實現(xiàn)的時間平均值，則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性?！案鲬B(tài)歷經(jīng)性”的含義是：隨機過程的任一實現(xiàn)都好象經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。因此，無需獲得大量

11、用來計算統(tǒng)計平均的樣本函數(shù)，而只需作一次考察，用一次實現(xiàn)的“時間平均”值代替過程的“統(tǒng)計平均”值即可，這使實際測量和計算過程大為簡化。注意，具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程必定是平穩(wěn)隨機過程，但平穩(wěn)隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號及噪聲，一般均可滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。2.2.3平穩(wěn)過程自相關函數(shù)與功率譜密度在平穩(wěn)過程中，均值、方差、自相關函數(shù)和互相關函數(shù)這四個數(shù)字特征中，自相關函數(shù)最為重要。其一，平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性可通過自相關函數(shù)來描述；其二，自相關函數(shù)與平穩(wěn)隨機過程的譜特性有著內(nèi)在的聯(lián)系。1、自相關函數(shù)設為實平穩(wěn)隨機過程，則自相關函數(shù) （2.2-8）具有以下主要性質： (2.

12、2-9)即的自相關函數(shù)等于信號的平均功率。 （2.2-10）即是關于的偶函數(shù)。這一性質可直接由定義式（2.2-8）證。 （2.2-11）即自相關函數(shù)在有最大值。考慮一個非負式可以證明此關系。 （2.2-12）即等于的直流功率，證明如下。 上式利用了當時，與不存在依賴關系，即統(tǒng)計獨立，且中不含周期分量。 （2.2-13）即左端表達式代表的是的交流功率，證明如下。 當均值為0時，有。 由上述性質可知，用自相關函數(shù)幾乎可表述所有的數(shù)字特征，因而具有實用意義。2、功率譜密度隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。由于隨機過程的任意一個實現(xiàn)是一個確定的功率信號，設為，它的功率譜密度定義為 （2.2

13、-14）式中，是的截短函數(shù)所對應的頻譜函數(shù)，見圖2-2。可以把看成是平穩(wěn)過程的任一樣本，因而每個樣本的功率譜密度也可以用式（2.2-14）來表示。一般而言，不同樣本函數(shù)具有不同的譜密度，因此，某一樣本的功率譜密度不能作為隨機過程的功率譜密度，而應看作是對所有樣本功率譜的統(tǒng)計平均，即 （2.2-15）上式給出了平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度定義，盡管該定義非常直觀，但卻很難直接用它來計算功率譜。由確知信號理論可知，非周期的功率型確知信號的自相關函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換的關系。這種關系對平穩(wěn)隨機過程同樣成立，也就是說，平穩(wěn)過程的功率譜密度與其自相關函數(shù)也是一對傅里葉變換關系，即 （2.2-16

14、）簡記為 關系式（2.2-16）稱為維納-辛欽關系，它在平穩(wěn)隨機過程的理論和應用中是一個非常重要的工具。它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關系式。在維納-辛欽關系的基礎上，可以得到以下結論：（1）對功率譜密度進行積分，可以得到平穩(wěn)過程的總功率 （2.2-17）這正是維納-辛欽關系的意義所在，它不僅指出了用自相關函數(shù)來表示功率譜密度的方法，同時還從頻域的角度給出了平穩(wěn)隨機過程平均功率的計算法，而式是時域計算法。這一點進一步驗證了與功率譜密度的關系。（2）功率譜密度具有非負性和實偶性，即有 （2.2-18）和 （2.2-19）【例2-1】 某隨機相位余弦波，其中A和均為常數(shù)；是在內(nèi)均勻分布的隨機

15、變量。（1）求的自相關函數(shù)與功率譜密度；（2）討論是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。【解】（1）先觀測是否廣義平穩(wěn)的數(shù)學期望為的自相關函數(shù)為令 ，得 可見，的數(shù)學期望為常數(shù)，而自相關函數(shù)只與時間間隔有關，故為廣義平穩(wěn)隨機過程。根據(jù)平穩(wěn)隨機過程相關函數(shù)與功率譜密度的關系，即，由于 所以，功率譜密度為 而平均功率為 （2）再來求的時間平均。根據(jù)式（2.2-6）可得 比較統(tǒng)計平均與時間平均，可得，因此，隨機相位余弦波具有各態(tài)歷經(jīng)性。2.3 平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)通信過程主要是信號通過系統(tǒng)傳輸?shù)倪^程。通信系統(tǒng)中所遇到的信號或噪聲一般都是隨機的，這些隨機過程通過線性系統(tǒng)后，輸出將是什么樣的過程？隨機過程通過線性系統(tǒng)

16、的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析基礎之上的。這里只考慮平穩(wěn)隨機過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況。對于線性時不變系統(tǒng)，輸出響應等于輸入信號與系統(tǒng)的沖擊響應的卷積，即 （2.3-1）或 （2.3-2）對應的傅里葉變換關系為 （2.3-3）如果把看作是輸入隨機過程的一個樣本,則可看作是輸出隨機過程的一個樣本。顯然,輸入隨機過程為的每個樣本與輸出過程的相應樣本之間都滿足式（2.3-2）的關系。因此，輸入與輸出隨機過程也應滿足式（2.3-2）,即有 (2.3-4)現(xiàn)假定輸入過程是平穩(wěn)隨機過程，可根據(jù)上述關系求系統(tǒng)輸出過程的統(tǒng)計特性。1、輸出過程的均值對式(2.3-4)兩邊取統(tǒng)計平均，則輸出過程

17、的均值為 輸入過程是平穩(wěn)的，則有常數(shù)），所以 （2.3-5）可見，輸出過程的均值等于輸入過程的均值與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且與t無關。2、輸出過程的自相關函數(shù)根據(jù)自相關函數(shù)的定義，輸出過程的自相關函數(shù)為 根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有 于是 (2.3-6)可見，的自相關函數(shù)只與時間間隔有關，與時間起點無關。式（2.3-5）和式（2.3-6）表明，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。3、輸出過程的功率譜密度 對式(2.3-6)進行傅里葉變換，輸出過程的功率譜密度為 令，則有 即 (2.3-7)可見，線性系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度與系統(tǒng)功率傳遞函數(shù)的乘積。這是一個很重要的

18、公式，若想得到輸出過程的自相關函數(shù)，比較簡單的方法是先計算出功率譜密度，然后求其反變換，這比直接計算要簡便得多。2.4 高斯過程 高斯過程也稱為正態(tài)隨機過程，在實踐中觀測到的大多數(shù)噪聲都屬于高斯過程，在信道的建模中經(jīng)常用到高斯模型。2.4.1高斯過程定義若隨機過程的任意n 維（n=1,2,）分布都服從正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程。其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下： (2.4-1)式中，為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式 為行列式中元素的代數(shù)余因子；為歸一化協(xié)方差函數(shù)，且 (2.4-2)2.4.2 高斯過程主要特性(1)高斯過程的n維分布只依賴各個隨機變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于

19、高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。(2)廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴平穩(wěn)的。因為若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值與時間無關，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關，而與時間起點無關，因此它的n維分布也與時間起點無關。(3)如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關的，即對所有，有，這時式(2.4-1)變?yōu)?(2.4-3)這表明，如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關的，那么它們也是統(tǒng)計獨立的。(4)高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后的過程仍然是高斯過程。2.4.3 高斯過程一維分布 高斯過程在任一時刻上的取值是一個正態(tài)分布的隨機變量，也稱高斯隨機變量，其一維概率密度函數(shù)表示為 (2.4-4)式中，a為高斯隨機變量的數(shù)學

20、期望，為方差。f(x)曲線如圖2-3所示。 f(x)具有以下特性： (1)對稱于這條直線，在處為最大，等于。(2) (2.4-5)及 （2.4-6）(3)。f(x)圖形將隨著的減小而變高和變窄。當時，稱為標準化的正態(tài)分布，即有 (2.4-7)當要求計算高斯隨機變量小于或等于任意取值x 的概率時，可由下式得到 (2.4-8)這個積分無法用閉合形式計算，但可以通過查表得到數(shù)值解。(2.4-8)常用以下幾種特殊函數(shù)來表示：(1)誤差函數(shù)和互補誤差函數(shù)誤差函數(shù)定義為 (2.4-9)它是自變量的遞增函數(shù)，且有稱為互補誤差函數(shù)，記為erfc(x)，即 （2.4-10）互補誤差函數(shù)是自變量的遞減函數(shù)，且有當

21、時，近似有 （2.4-11）實際應用中只要x2就可滿足要求。(2)概率積分函數(shù)和Q(x)函數(shù)概率積分函數(shù)定義為 （2.4-12）這是又一個在數(shù)學手冊上有數(shù)值和曲線可查的特殊函數(shù)，且有。Q(x)函數(shù)是一種經(jīng)常用于表示高斯尾部曲線下的面積的函數(shù)，其定義為 （2.4-13）借助該函數(shù)可以計算概率。 比較式（2.4-10）和式（2.4-13），可得 （2.4-14） （2.4-15） （2.4-16）現(xiàn)在利用以上特殊函數(shù)與式（2.4-8）進行聯(lián)系，以表示正態(tài)分布函數(shù)F(x）。若對式（2.4-8）進行變量代換，令新積分變量，并與式（2.4-12）聯(lián)系，則有 （2.4-17）若對式（2.4-8）進行變量代

22、換，令新積分變量并利用式（2.4-6），則還可得到 （2.4-18）在分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能時常用誤差函數(shù)或互補誤差函數(shù)表示F(x)。2.4.4 高斯白噪聲1、白噪聲在通信系統(tǒng)中，常會遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即 (2.4-19)或 (2.4-20)這類噪聲被稱為白噪聲，用n(t)表示。式中為一常數(shù)，單位是W/HZ。式(2.4-19)表示雙邊功率譜密度，如圖2-4（a）所示，而式(2.4-20)為單邊功率譜密度。將式(2.4-19)取傅里葉反變換，可得到白噪聲的自相關函數(shù)，即 (2.4-21)如圖2-4（b）所示，這表明，白噪聲僅在才相關，而在任意兩個時刻上的

23、隨機變量都是互不相關的。如果白噪聲是高斯分布的，就稱之為高斯白噪聲。由式(2.4-21)和高斯過程的性質可知，高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間，不僅是互不相關的，而且還是統(tǒng)計獨立的。應當指出，真正“白”的噪聲是不存在的，它只是構造的一種理想化的噪聲形式，目的是為了使問題的分析大大簡化。在實際中，只要噪聲的功率譜是均勻分布的，頻率范圍遠遠大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，就可以把它視為白噪聲。例如，在第3章中將要討論的熱噪聲和散粒噪聲均是近似白噪聲的例子。2、低通白噪聲 如果白噪聲通過理想矩形的低通濾波器或理想低通信道，則輸出的噪聲稱為低通白噪聲。假設白噪聲的雙邊功率譜密度為，理想低通濾波器的傳輸

24、特性為 則可得輸出的功率譜密度為 (2.4-22)其自相關函數(shù)為 (2.4-23) 對應的曲線如圖2-5所示。式中，。由圖2-5（a）可見，輸出噪聲的功率譜密度被限制在內(nèi)，在此范圍外則為零，通常把這樣的噪聲也稱為帶限白噪聲。由圖2-5（b）可見，這種帶限白噪聲僅在上得到的隨機變量才互不相關。也就是說，如果對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不相關的隨機變量，這個概念很重要。3、帶通白噪聲如果白噪聲通過理想矩形的帶通濾波器或理想帶通信道，則輸出的噪聲稱為帶通白噪聲。設理想帶通濾波器的傳輸特性為 (2.4-24)式中，為中心頻率，B為帶通寬度。則其輸出的噪聲的功率譜密度為 (2.4-25

25、)利用，則得輸出噪聲的自相關函數(shù)為 (2.4-26)其平均功率為 （2.4-27）理想帶通白噪聲的功率譜和自相關函數(shù)對應曲線如圖2-6所示。圖2-6 理想帶通白噪聲的功率譜和自相關函數(shù)通常，帶通濾波器的，因此也稱窄帶濾波器，相應的把帶通白噪聲稱為窄帶高斯白噪聲。因此，它的表達式和統(tǒng)計特性與一般窄帶隨機過程相同。2.5 窄帶高斯噪聲所謂窄帶隨機過程，是指它的頻譜密度集中在中心頻率附近相對窄的頻帶范圍內(nèi)，即滿足條件，且遠離零頻率。實際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶帶通型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必然是窄帶隨機過程。如果用示波器觀測某一次實現(xiàn)的波形，則它是一個頻率近似為，包絡和相位隨機緩慢變化的正弦波

26、，如圖2-7所示。 因此，窄帶隨機過程可用下式表示 （2.5-1）式中，分別為的隨機包絡和隨機相位，也是隨機過程。上式利用三角函數(shù)和角公式，可寫成 （2.5-2）式中 （2.5-3） （2.5-4）分別稱為的同相分量和正交分量，也是隨機過程。顯然，它們的變化相對于載波的變化要緩慢得多。 由式（2.5-1）（2.5-4）可看出，的統(tǒng)計特性可由或的統(tǒng)計特性確定。反之，如果已知窄帶過程的統(tǒng)計特性，可確定以及的統(tǒng)計特性。如果的概率密度函數(shù)為高斯分布，則稱為窄帶高斯過程或窄帶高斯噪聲。2.5.1窄帶高斯噪聲統(tǒng)計特性設窄帶隨機過程是平穩(wěn)高斯窄帶過程，且均值為零，方差為?，F(xiàn)在分析，或，的統(tǒng)計特性。1、和的統(tǒng)

27、計特性對式（2.5-2）求數(shù)學期望，有 （2.5-5）因為平穩(wěn)且均值為零，那么對于任意的時間t都有，所以由式（2.5-5）可得 （2.5-6）的自相關函數(shù) （2.5-7）其中 因為是平穩(wěn)的，故有 這就要求式（2.5-7）的右邊也應該與t無關，而僅與時間間隔有關。因此，若令t=0,則式（2.5-7）仍應成立，即有 （2.5-8）這時，應有 故式（2.5-8）變?yōu)?（2.5-9）再令，同理可得 （2.5-10）其中有 由以上數(shù)學期望和自相關函數(shù)分析可知，如果窄帶高斯過程是平穩(wěn)的，則它的與也是平穩(wěn)的。進一步分析，式（2.5-9）和（2.5-10）應同時成立，故有 （2.5-11） （2.5-12）可

28、見，同相分量和正交分量具有相同的自相關函數(shù)，而且根據(jù)互相關函數(shù)的性質，應有 將上式代入（2.5-12），可得 （2.5-13）同理可得 （2.5-14）式（2.5-13）和式（2.5-14）說明，和的互相關函數(shù)的奇函數(shù)，在時，有 （2.5-15）于是，由式（2.5-9）及（2.5-10）可得 （2.5-16）即 （2.5-17）這表明，和具有相同的平均功率和方差（因為均值為0）。另外，根據(jù)是平穩(wěn)高斯型的，故在任意時刻的取值都是服從高斯分布的隨機變量，則由式（2.5-2）可得 取時， 取時， 所以，是高斯隨機變量，從而和也是高斯隨機過程。又根據(jù)式（2.5-15）可知，與在互不相關，因此它們也是統(tǒng)

29、計獨立的。綜上所述，可以得到一個重要結論：一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程，它的同相分量和正交分量也是平穩(wěn)高斯過程，而且均值都為零，方差也相同。此外，在同一時刻得到的是互不相關的或統(tǒng)計獨立的。2、 的統(tǒng)計特性以上分析可知，的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 （2.5-18）設的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則根據(jù)概率論知識，有 （2.5-19）根據(jù)式（2.5-3）和式（2.5-4）隨機變量之間的關系 可得 于是 （2.5-20）注意，這里內(nèi)取值。再利用概率論中邊際分布知識，將積分可求得包絡的一維概率密度函數(shù)為 ， （2.5-21）可見，服從瑞利分布。 同理，將積分可求得相位的一維概率密度函數(shù)為 （2.5-22）可見，隨

30、機相位服從均勻分布。綜上所述，得到又一個重要結論：一個均值為零，方差為的窄帶平穩(wěn)高斯過程，其包絡的一維分布是瑞利分布，相位的一維分布是均勻分布。并且就一維分布而言，是統(tǒng)計獨立的，即有下式成立 （2.5-23）2.5.2 正弦波加窄帶高斯噪聲在通信系統(tǒng)中，傳輸?shù)男盘柺怯靡粋€正弦波作為載波的已調信號，信號經(jīng)過信道傳輸時總會受到加性噪聲的影響。為了減小噪聲的影響，通常在接收機前端加一個帶通濾波器，以濾除信號頻帶以外的噪聲。因此，帶通濾波器的輸出是正弦波已調信號與窄帶高斯噪聲的混合波形，這是通信系統(tǒng)中常會遇到的一種情形。所以有必要了解合成信號的包絡和相位的統(tǒng)計特性。設正弦波加窄帶高斯噪聲的混合信號為

31、（2.5-24）式中，為窄帶高斯噪聲，其均值為零，方差為；正弦信號的A，均為常數(shù)，上均勻分布的隨機變量。于是有 （2.5-25）式中： （2.5-26） （2.5-27）合成信號 r(t)的包絡和相位為 （2.5-28） （2.5-29）由上面討論可知，如果值已給定，則是相互獨立的高斯隨機變量，且有 所以，在給定相位的條件下的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 利用與以上分析相似的方法，根據(jù)式（2.5-26）、式（2.5-27）可以求得在給定相位的條件下的z和的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 求條件邊際分布，有 由于 （2.5-30）故有 式中，為零階修正貝塞爾函數(shù)。當是單調上升函數(shù)，且有。故有 由上式可知，無關，故合成

32、信號r(t)的包絡z 的概率密度函數(shù)為： （2.5-31）該概率密度函數(shù)稱為廣義瑞利分布，也稱萊斯（Rice）分布。式（2.5-31）存在兩種極限情況：（1）當信號很小時，A，即信號功率與噪聲功率之比時，相對于x 值很小，于是有，這時合成波r(t)中只存在窄帶高斯噪聲，式（2.5-31）近似為式（2.5-21），即由萊斯分布退化為瑞利分布。（2）當信噪比很大時，有，這時在附近，f(z)近似于高斯分布，即 由此可見，信號加噪聲的合成包絡的分布與信噪比有關。小信噪比時，它接近瑞利分布；大信噪比時，它接近于高斯分布；在一般情況下才是萊斯分布。圖2-8（a）給出不同的r值時f(z)的曲線。 關于信號加

33、噪聲的合成波相位分布，由于比較復雜，這里就不再推導了。不難想象，也與信噪比有關。小信噪比時，接近均勻分布，它反映這時窄帶高斯噪聲為主的情況；大信噪比時，主要集中在有用信號相位附近。圖2-8（b）給出不同的值時的曲線。2.6 matlab仿真舉例高斯噪聲對調幅信號的影響。設調制信號是一個幅度為2v,頻率為1000Hz的余弦波，調制度為0.5，載波信號是一個幅度為5v，頻率為10kHz的余弦波，所有余弦波的初相位為0.若信道中沒有噪聲干擾，則接收機的天線接收到的調幅波形如圖2-9（a）所示.若信道中存在加性噪聲n(t)，則接收機所收到的調幅信號r(t)=y(t)+n(t)是疊加噪聲的調幅信號，如圖

34、2-9（b）所示。n(t)是利用randn命令產(chǎn)生的高斯噪聲。實現(xiàn)調幅信號的程序源代碼如下：dt=1e-6; %仿真采樣間隔T=3*1e-3; %仿真終止時間t=0:dt:T;input=2*cos(2*pi*1000*t); %輸入調制信號carrier=5*cos(2*pi*1e4*t); %載波output=(2+0.5*input).*carrier; %調制輸出subplot(2,1,1);plot(t,output);xlabel(t/s);ylabel(調幅輸出);%作圖調幅輸出波形noise=randn(size(t); %噪聲r=output+noise; %調制信號加性噪聲

35、信道%作圖輸出調幅信號subplot(2,1,2);plot(t,r);xlabel(t/s);ylabel(調幅輸出); 對于平穩(wěn)隨機過程和噪聲信號X(t),在頻域范圍內(nèi)可用功率譜來表征，而是隨機過程或噪聲的自相關函數(shù)傅氏變換。利用Matlab提供的專用高斯噪聲函數(shù)wgn( )，可以方便的對高斯噪聲信號進行相關操作和功率譜分析。程序源代碼如下：N=1024;noise=wgn(1,N,10); %產(chǎn)生高斯噪聲1noise1=wgn(1,N,10); %產(chǎn)生高斯噪聲2 psd=spectrum(noise,N); %噪聲功率譜密度y1=xcorr(noise,noise1); %兩個噪聲的互相

36、關y=xcorr(noise,noise); %一個噪聲的自相關subplot(2,2,1);plot(1:N,noise); %繪圖輸出如圖2-10所示title(The Noise Signal);xlabel(Time);grid;subplot(2,2,2);specplot(psd,1);grid;subplot(2,2,3);plot(y);grid;title(The self-correlation of one noise);subplot(2,2,4);plot(y1);grid;title(The across-correlation of two noise); 2.7

37、 本章小結通信中的信號和噪聲都可看作是隨時間變化的隨機過程。因此，本章是分析通信系統(tǒng)必需的數(shù)學基礎和工具。隨機過程具有隨機變量和時間的特點，可以從兩個既不相同又緊密聯(lián)系的角度來描述：隨機過程是無窮多個樣本函數(shù)的集合；隨機過程是一簇隨機變量的集合。隨機過程的統(tǒng)計特性由分布函數(shù)或概率密度函數(shù)描述。若一個隨機過程的統(tǒng)計特性與時間起點無關，則稱其為嚴平穩(wěn)過程。數(shù)字特征是另一種描述隨機過程的簡便手段。若過程的均值是常數(shù)，且自相關函數(shù)，則稱該過程為廣義平穩(wěn)過程。若一個過程是嚴平穩(wěn)的，則它必是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。若一個過程的時間平均等于對應的統(tǒng)計平均，則該過程是各態(tài)歷經(jīng)性的。廣義平穩(wěn)過程的自相關函數(shù)

38、是時間的偶函數(shù)，且等于總平均功率。功率譜密度與自相關函數(shù)是傅里葉變換及反變換關系，即。高斯過程的概率分布服從正態(tài)分布，它的統(tǒng)計特性可用數(shù)字特征來描述。一維概率分布只取決于均值和方差，二維概率分布主要取決于相關函數(shù)。高斯隨機過程通過線性系統(tǒng)后，輸出的仍為高斯過程。正態(tài)分布函數(shù)與Q(x)或erfc(x)函數(shù)的關系在分析數(shù)字通信系統(tǒng)的抗噪聲性能時很有用。平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)后，其輸出過程也是平穩(wěn)的。高斯白噪聲是分析信道加性噪聲的理想模型，它在任意兩個不同時刻上的取值之間互不相關，且統(tǒng)計獨立的。白噪聲通過帶限系統(tǒng)后，其輸出的是帶限噪聲。分析中常見的有低通白噪聲和帶通白噪聲。瑞利分布、萊斯分布、正態(tài)分布是通信中常見的三種分布。正弦載波信號加窄帶高斯噪聲的包絡一般為萊斯分布。當信號幅度大時，趨近于正態(tài)分布；幅度小時，近似于瑞利分布。 思 考 題2-1 何謂隨機過程？它具有什么特點？2-2 隨機過程的數(shù)字特征主要有哪些？分別表征隨機過程的什么特性？2-3 何謂平穩(wěn)隨機過程？廣義平穩(wěn)隨機過程與嚴平穩(wěn)隨機過程有何區(qū)別？2-4 何謂統(tǒng)計平均？何謂時間平均？兩者有何區(qū)別？2-5 平穩(wěn)過程的自相關函數(shù)有哪些性質？說明維納-欣欽定理的含義和用途。2-6 什么是高斯過程？其主要性質有哪些？2-7 試說明隨機過程通過線性系統(tǒng)時的特性。2-8 什么是白噪聲？白噪聲通過理