1-4標(biāo)量場的梯度

1、1-4標(biāo)量場的梯度1.4.1等值面（線）由所有場值相等的點所構(gòu)成的面（線），即為等值面（線）。即 若標(biāo)量函數(shù)為u = y. z）,則等值面方程為：II +血y.z） = c = constn /旬1.4.2標(biāo)量場的梯度U 卩商表示為7 du 1 du , du 1du dx Hdy Hdzdx dy dz下面由函數(shù)定義梯度。設(shè)有一標(biāo)量場U（兀 Z）,若從場中某一 點位移到晃一點，標(biāo)量函數(shù)弘將變化到u + du，在直角坐標(biāo)系內(nèi)， 增量又線兀矢量dl =exdx+eydy + ezclz于是 血可以表示為+ e. + edudx y dy z 比矢量VU 稱為標(biāo)量場的梯度，也可用gradu表示7-

2、 du 一 du - dugradu - vu -ex + ev + e7 梯度的性質(zhì)嘩標(biāo)量場的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)*標(biāo)量場的梯度表征空間某點處場的變化規(guī)律：方向為標(biāo) 量場增加最快的方向（垂直于等值面），幅度表示標(biāo)量場的 最大增加率.du = Vw dl例:= J(兀#)2 + (y _ 旳2 + (z _ zY ,其中11試證明() = )RR22丄1 -1 證:v(-D)=心-)2+(j-/)2+u-)2R 刁=耳三-(兀一V)2 + G yf)2 + (z zf)2 ox(兀疋)2 + G _ y，)2 + (z _ 才)22一 a+勇?(兀一NF + (y MF + (z

3、zf)2oz ex(x- xf) -h ey(y - yf) + ez (z - Zf),33 (x-y)2 +(y y)2 +(z z)22 v(-)=-4R R32221JVX-) = vi(x-y)2+(yy)2+(z)2=耳亍(乂 - KT + (y y)2 + (z NF OX+ey (x - V)2 + (y y)2 + (z NF oy- 一江(兀_ 疋)2+(y_”)2+(z_N)2 2耳(兀一兀)+ 耳(y y) + 爲(wèi)(z z)3(x - V)2 +(y y)2 +(z N)22 W丄),3R R31. 4. 3標(biāo)量場的方向?qū)?shù) u”苻為U沿d/方向的變化率，稱為標(biāo)量場沿I

4、方向 的務(wù)向?qū)?shù)。dl dl dl= Vu-el 其中 c 1也就是說，u沿某個方向的方向?qū)?shù)等于u的梯度在這個方 向的投影。例15已知標(biāo)量場乙心,兒2)=(妒+b+才 求空間一4(1,0,1)的梯度和沿方向Z=ev2 + evl + 2 的方向?qū)?shù)。解由梯度公式(128)有Vw(1,0,1)_ du _ du _ du 葉刖二乞杰+勺喬+乞喬_ .%-y-z一乞(x2+/+z2p +(x2+/+z2)1/2 + J p77+?p一 1 一 17厲7厲7方向的單位矢量為IE 2 + 瓦 1 + 叵 2 1E廠尹2 +和+礬)故沿I方向的方向?qū)?shù)為dudl=V m ez(1,0,1)r 1 一 1 (1,0,1)邁丿.耗2 +和+ 2)=竽1.4.4矢量場的重要性質(zhì)（兩個重要公式）淡度的散度恒等于零。證明： divrotA） = V V x A）dxdz鳳如）二0。旦_生）+匕（dys dz dx dz dx dy_ d d _ 8、L 況-