有限元法對懸臂梁分析--MATLAB

1、用有限元法對懸臂梁分析的算例算例:如下圖所示的懸臂梁， 受均布載荷q = 1N/mm2作用。E= 2. 1 x 105N/mm2,科=0.3厚度h=10mm。 現(xiàn)用有限元法分析其位移及應(yīng)力。ly梁可視為平面應(yīng)力狀態(tài)，先按圖示尺寸劃分為均勻的三角形網(wǎng)格，共有 8X10= 80個單元，5X11 = 55 個節(jié)點，坐標(biāo)軸以及單元與節(jié)點的編號如圖。將均布載荷分配到各相應(yīng)節(jié)點上，把有約束的節(jié)點51、52、53、54、55視作固定較鏈，建立如圖所示的離散化計算模型。程序計算框圖：I （續(xù)左）處理根部約束，修改Ki LQ程序中的函數(shù)功能介紹及源代碼1. LinearTriangleElementStiffn

2、ess(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym)該函數(shù)用于計算平面應(yīng)力情況下彈性模量為E、泊松比為NU厚度為t、第一個節(jié)點坐標(biāo)為(xi,yi)、第二個節(jié)點坐標(biāo)為(xj,yj)、第三個節(jié) 點坐標(biāo)為(xm, ym)時的線性三角形元的單元剛度矩陣.該函數(shù)返回6X6的單位剛度矩陣k.2. LinearTriangleAssemble(K,k,i,j,m) 該函數(shù)將連接節(jié)點 i,j,m 的線性三角形元的單元剛度矩陣k 集成到整體剛度矩陣K。每集成一個單元，t函數(shù)都將返回2NX 2N的整體剛度矩陣K.3. LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xi,yi,xj

3、,yj,xm,ym,u)-該函數(shù)計算在平面應(yīng)力情況下彈性模量為E、泊松比為NU厚度為t、第一個節(jié)點坐標(biāo)為(xi,yi)第二個節(jié)點坐標(biāo)為(xj,yj)、第三個節(jié)點坐標(biāo)為(xm, ym)以及單元位移矢量為u時的單元應(yīng)力。該函數(shù)返回單元應(yīng)力矢量。函數(shù)源代碼：function y = LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym)A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj)/2;%三角形單元面積，單元節(jié)點應(yīng)該按逆時針排序，保證每個三角形單元的面積都為正值(也可作為一個小函數(shù)：LinearTriang

4、leElementArea )betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi;B = betai 0 betaj 0 betam 0 ;0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;gammai betai gammaj betaj gammam betam/(2*A);%的應(yīng)變矩B其中 betai=yi-ym,betaj=ym-yi,betam=yi-yj.gammai=xm-xj, gammaj=xi-xm, gammam=xj-xi.D = (E/(1-

5、NU*NU)*1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2;%時彈性矩陣，分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題對于平面應(yīng)力問題D = (E/(1-NU*NU)*1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2;對于平面應(yīng)變問題E1=E/( 1-NU*NU)，NU1=NU(/ 1-NU)y = t*A*B'*D*B;%單元剛度矩陣function y = LinearTriangleAssemble(K,k,i,j,m)K(2*i-1,2*i-1) = K(2*i-1,2*i-1) + k(1,1); K(2*i-1,2*i) = K(2*i-1,2*i) + k(

6、1,2);K(2*i-1,2*j-1) = K(2*i-1,2*j-1) + k(1,3); K(2*i-1,2*j) = K(2*i-1,2*j) + k(1,4);K(2*i-1,2*m-1) = K(2*i-1,2*m-1) + k(1,5); K(2*i-1,2*m) = K(2*i-1,2*m) + k(1,6);K(2*i,2*i-1) = K(2*i,2*i-1) + k(2,1);K(2*i,2*i) = K(2*i,2*i) + k(2,2);K(2*i,2*j-1) = K(2*i,2*j-1) + k(2,3);K(2*i,2*j) = K(2*i,2*j) + k(2,

7、4);K(2*i,2*m-1) = K(2*i,2*m-1) + k(2,5);K(2*i,2*m) = K(2*i,2*m) + k(2,6);K(2*j-1,2*i-1) = K(2*j-1,2*i-1) + k(3,1); K(2*j-1,2*i) = K(2*j-1,2*i) + k(3,2);K(2*j-1,2*j-1) = K(2*j-1,2*j-1) + k(3,3); K(2*j-1,2*j) = K(2*j-1,2*j) + k(3,4);K(2*j-1,2*m-1) = K(2*j-1,2*m-1) + k(3,5); K(2*j-1,2*m) = K(2*j-1,2*m)

8、 + k(3,6);K(2*j,2*i-1) = K(2*j,2*i-1) + k(4,1);K(2*j,2*i) = K(2*j,2*i) + k(4,2);K(2*j,2*j-1) = K(2*j,2*j-1) + k(4,3);K(2*j,2*j) = K(2*j,2*j) + k(4,4);K(2*j,2*m-1) = K(2*j,2*m-1) + k(4,5);K(2*j,2*m) = K(2*j,2*m) + k(4,6);K(2*m-1,2*i-1) = K(2*m-1,2*i-1) + k(5,1); K(2*m-1,2*i) = K(2*m-1,2*i) + k(5,2);K

9、(2*m-1,2*j-1) = K(2*m-1,2*j-1) + k(5,3); K(2*m-1,2*j) = K(2*m-1,2*j) + k(5,4);K(2*m-1,2*m-1) = K(2*m-1,2*m-1) + k(5,5); K(2*m-1,2*m) = K(2*m-1,2*m) + k(5,6);K(2*m,2*i-1) = K(2*m,2*i-1) + k(6,1);K(2*m,2*i) = K(2*m,2*i) + k(6,2);K(2*m,2*j-1) = K(2*m,2*j-1) + k(6,3);K(2*m,2*j) = K(2*m,2*j) + k(6,4);K(2

10、*m,2*m-1) = K(2*m,2*m-1) + k(6,5);K(2*m,2*m) = K(2*m,2*m) + k(6,6);y = K; %寸號入座，如前所述，每集成一次都將返回2NX 2N的整體剛度矩陣 K.此題為110 X 110function y = LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u)A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj)/2;betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammaj

11、= xi-xm;gammam = xj-xi;B = betai 0 betaj 0 betam 0 ;0 gammai 0 gammaj 0 gammam ;gammai betai gammaj betaj gammam betam/(2*A);D = (E/(1-NU*NU)*1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2;%平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題兩種情況y = D*B*u; %單元應(yīng)力計算主程序源代碼E=21e7;NU=0.3;t=0.01;stifflike5=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.4,0.08,0.36,0.0

12、8,0.36,0.06,1)%選取2個基本單元，調(diào)用M文件stifflike1=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.4,0.08,0.36,0.06,0.4,0.06,1)K=sparse(110,110); %creat a xishu matrix for total stiff創(chuàng)建一個稀疏矩陣for i=1:49if rem(i,5)%模取余，bool 型變量，非零即為真j=i;K=LinearTriangleAssemble(K,stifflike5,j,j+5,j+6);%節(jié)點編號K=LinearTriangleAssemble(K,sti

13、fflike1,j,j+6,j+1);endend%等每個單元剛度矩陣集成到總剛中K=full(K);%轉(zhuǎn)化稀疏矩陣k=K(1:100,1:100);k=K,zeros(100,10);zeros(10,100),eye(10);k=sparse(k);%利用邊界條件簡化基本方程Q=sparse(2:10:92,1,-200,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,110,1);%外部荷載，此處不包括約束條件，通過形函數(shù)確定，是不是可以理解為梁的兩端為中間的一半呢？d=kQ; %高斯消元法，比克萊姆法則在計算速度上有絕對的優(yōu)勢！x=0:0.04

14、:0.4;plot(x,d(106:-10:6)%基本繪圖命令grid %帶網(wǎng)格y=zeros(80,3);q=0;for i=1:49switch rem(i,5)case 1j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2);u=u'xl=0.4;yl=0.08;xm=0.36;ym=0.06;xn=0.4;yn=0.06;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;cas

15、e 2j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2);u=u'xl=0.4;yl=0.06;xm=0.36;ym=0.04;xn=0.4;yn=0.04;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 3j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2);u=u'xl=0.4;yl=0.04;xm=0.36;ym

16、=0.02;xn=0.4;yn=0.02;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 4j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2);u=u'xl=0.4;yl=0.02;xm=0.36;ym=0;xn=0.4;yn=0;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'

17、xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;otherwiseq=q+3;endendq=4;for i=1:49switch rem(i,5)case 1j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12);u=u'xl=0.4;yl=0.08;xm=0.36;ym=0.08;xn=0.36;yn=0.06;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;c

18、ase 2j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12);u=u'xl=0.4;yl=0.06;xm=0.36;ym=0.06;xn=0.36;yn=0.04;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 3j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12);u=u'xl=0.4;yl=0.04;xm=0.

19、36;ym=0.04;xn=0.36;yn=0.02;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 4j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12);u=u'xl=0.4;yl=0.02;xm=0.36;ym=0.02;xn=0.36;yn=0;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u)'xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;otherwiseq=q+3;endend