極限與連續(xù)基礎(chǔ)練習(xí)題含解答

1、第二章 極限與連續(xù) 基礎(chǔ)練習(xí)題(作業(yè))§2.1 數(shù)列的極限、觀察并寫出下列數(shù)列的極限:1.2.2,4,6,8川極限為13 5 711 J L I4，5，111極限為01 ex3. an2n 12n2n 12nn為奇數(shù)極限為1n為偶數(shù)§2.2 函數(shù)的極限一、畫出函數(shù)圖形，并根據(jù)函數(shù)圖形寫出下列函數(shù)極限:1. lim ex X極限為零2. lim tan x x 2無極限3. lim arctanx x3) 3； lim f (x) lim(2 xx 1x 123 ；嗎 f (x)網(wǎng)(x x極限為 一 24. lim ln x x 0無極限，趨于2x 1,二、設(shè) f(x)x”2

2、I lim f(x) lim( x 1) x 3,x2 1,2(lim f(x) lim( x x2時，f(x)的極限是否存在?1) 33) 5 3pm2 f (x)不存在。1,-、，一 _、設(shè)f x求x 0時的左、右極限，并說明 x0時極限是否存在.lim f(x)不存在。x 0四、試討論下列函數(shù)在 x0時極限是否存在.1 .絕對值函數(shù)f x |x|,存在極限為零2 .取整函數(shù)f x x 不存在3 .符號函數(shù)f x sgnx不存在S.3無窮小量與無窮大量、判斷對錯并說明理由:錯,1 1x sin 一 是無否小重.x無窮小量需相對極限過程而言，在某個極限過程中的無窮小量在其它極限過程中可能不再

3、是無窮小量。當(dāng). 1 八， 一 .10時，xsin -0；當(dāng)x 1時，xsin sin1不是無劣小量。xx2 .同一極限過程中兩個無窮小量的商，未必是該極限過程中的無窮小量.對，兩個無窮小量的商是“ 0/0”型未定式，即可能是無窮小量，也可能是無窮大量或其它有極限但極限不為零 的變量。3 .無窮大量一定是無界變量，而無界變量未必是無窮大量.對，無窮大量絕對值無限增大因此一定是無界變量, 任意給定的正數(shù)。但無界變量可能是個別點無限增大，變量并不能一致地大于卜列變量在哪些極限過程中是無窮大量，在哪些極限過程中是無窮小量:2.x 27，x 12時，或x1時，或x,kln tan x時，為無窮小量;1

4、時，為無窮大量。(k)時，tanx,貝 Uln tanx,從而一1 ln tan x0+為無窮小量;時，tanx 0 ,則 Intanx一時，tanx 1,則 Intanx 0 ,從而 4ln tan x10為無窮小量;ln tan x為無窮大量;0時，x2, Jx和次都是無窮小量，它們是否為同階無窮小量，如果不是它們之間最高階和最低階的無窮小量分別是誰?x2Jim、,xlimx 0xx 0,所以當(dāng)x 0時，x2是Jx的高階無窮小量。1Ix2I lim 3x 0 * xlimx 0x(3 x)223 一x)- 0,所以當(dāng)x 0時，x是3x的高階無窮小量。12通過比較可知，當(dāng)x 0時，x；xim

5、% 網(wǎng)半),所以當(dāng)x。時，百是次的高階無窮小量。jx和雙不是同階無窮小量，其中x2是jx和3/x的高階無窮小量，因此x23/x是三者中最低階的無窮小量。是三者中最高階的無窮小量。x2和G都是W的高階無窮小量，因此四、利用無窮小量與極限的關(guān)系證明:lim f(x)g(x) lim f(x)limx x)x x°x x)g(x) .證明：設(shè) lim f (x) A, lim g(x)X x0X x0B,則由無窮小量與極限的關(guān)系,f(x) A,g(x) B ，其中Xo時的無窮小量。則limx /f(x)g(x) Hnx( A)(B)如(AB B A )ABS.4極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則、如果

6、lim f (x) A 0 , x x則存在Xo的空心鄰域，使得(1) (2) (4)成立.(1) f (X)有界；(2) f(x)非負(fù);(3) f(x)落入其中;(4) |f(x) A| ,二、求下列函數(shù)的極限limHn3n1 ( 2)n 12. lim n 1 23.2, . x lim x 13x 4x 14. lim x 1 1 x5.lim xx4x2 1 2x6.lim x 31 x3x原式 lim x14x2 1原式三、求a,b ,使得 lim x2xlimx1x2x3.1=x3L(3,1=x3)2必有a1(否則原式四、若32x axlim x 1 x 1x2 1 axx 1);

7、同時有0.0(否則原式0);x 4.八x b為有限值，求a,b.25極限存在性定理與兩個重要極限、判斷題:lxm12.limx 1sin x d _1錯 xsin(x 1)1 對3.limxx 1 sin x4.limx5.lxm0x1xsin 一 x1xsin 一6.lim(1x 1)x x7.0時,xsin x,arcsin x,tan x,arctan x,ln(1 x), e 1 都是 x 的等價無否小.對二、求下列函數(shù)極限:sin 2x1. lim x 0 tan 3x2. ， 2、sin(x 4)3. x limx 0 arctan x4. limx5.limx 11x1 x1)1

8、 x6.limx2xx2 1xlimx7.limx 01 ln(1x8.sin(sin x) lim x 0 ln(1 x)、求極限lim(n由兩面夾法則III0-1可使f x在x 0處連續(xù).1.設(shè)函數(shù)f xx四、設(shè)Un1321不，證明數(shù)列Un的極限存在. n由單調(diào)有界定理，數(shù)列un的極限存在.五、設(shè)a0,2(xn2) J"xn1,2, |),證明數(shù)列的極限存在,并求極限.由單調(diào)有界定理,數(shù)列xn的極限存在S.6函數(shù)的連續(xù)性、填空題ln 1 x,若補(bǔ)充f2. x 1是函數(shù)yx 1 一,、，的第1類間斷點，且為可去 間斷點.x2 3x 2 一3. x 0是函數(shù)y x的第1類間斷點，且為

9、 可去 間斷點. tan xxx k k 1, 2 是函數(shù)y 的第 2 類間斷點,且為 無否間斷點.tanxxx k 一 k 1, 2是函數(shù)y 的第 1 類間斷點,且為 可去 間斷點.2tan x一一 x a 一，、一, 一、，4. x a是函數(shù)y 的第 1類間斷點,且為 跳躍 間斷點.x a口 一2 1,5. x 0是函數(shù)y cos2的第2類間斷黑x、研究下列各函數(shù)的連續(xù)性，找出其間斷點，并判斷其類型:1. f (x)1 cosx2xx2 1,11 1.1 cosx1, 2 八，八lim 一 一； lim( x1) 1, x 0為第一類跳躍間斷點。I x 0 x22 x 012. f(x)

10、e，1tL1,lim e 0為第一類跳躍間斷點。x 1為第一類可去間斷點。x 1為第二類無窮間斷點 0; lim ex, x 0為第二類無窮間斷點。I x 0x 03.f(x)2|x|(x2 1)x(x 1)|x|(x 1)(x 1)四、f (x)sin xxa,x 0x 0 ，確定a,b使b xsin1,x1. f (x)在x 0處有極限2. f (x)在x 0處連續(xù)sinx1、lim lim( b xsin-),x 0 x x °xlimx 0sin xlim( b xsin-) a .x 0b 1.a 1.五、f (x)(x a)(x 1),確定a,b使同時滿足(1) x 0是f (x)的無窮間斷點，即(x a)(x 1) a0.(2) x 1是f(x)的可去間斷點，即六、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，且f (a)lim f(x)存在，則必有 lim ex b=0, b e. x 1x 1a, f(b) b,證明在區(qū)間a, b上至少存在一點使得f() 證明：設(shè)F(x) f (x) x,則F(x