高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)數(shù)列專題復(fù)習(xí)

1、高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)數(shù)列專題復(fù)習(xí)第一課時1、 設(shè)數(shù)列 a n 是公差不為零的等差數(shù)列, S n 是數(shù)列 a n 的前 n 項和,且 23S =9S 2, S 4=4S 2,求數(shù)列的通項公式.2、已知數(shù)列 n a 的前 n 項和 n S 滿足 1, 1(2-+=n a S n n n.(1 寫出數(shù)列n a 的前三項 321, , a a a ;(2 求證數(shù)列 -+n n a 1(32為等比數(shù)列,并求出 n a 的通項公式.3、 已知公差大于零的等差數(shù)列 n a 的前 n 項和為 n S ,且滿足:. 22, 1175243=+=a a a a(求通項na ;(若數(shù)列n b 是等差數(shù)列,且c n S b

2、 nn +=,求非零常數(shù) c ;4、數(shù)列 a n 的前 n 項和記為 S n ,已知 a 1=1,a n +1=n n 2+S n (n =1,2,3, .證明:(i數(shù)列 n S n是等比數(shù)列; (iiS n +1=4a n .答案: 1、設(shè)數(shù)列n a 的公差為 d由題意得:+=+=+ 2(464 2(9 33(11121d a d a d a d a =001d a 或 =98941d a 因為 0d 所以98, 941=d a 9498-=n a n2、 (1在1, 1(2-+=n a S nn n 中分別令 3, 2, 1=n 得: -=+=+-=121212332122111a a a

3、 a a a a a a 解得:=201321a a a(2由 1, 1(2-+=n a S n n n 得:2, 1(2111-+=-n a S n n n 兩式相減得:2, 1(2 1(211-+=-n a a a n n n n n 即:2, 1(221-=-n a a nn n nn n n n n n a a a 1(321(342 1(32 1(342111-+=-=-2( 1(32(2 1(3211-+=-+-n a a n n n n故數(shù)列 -+n n a 1(32是以 31321=-a 為首項,公比為 2的等比數(shù)列. 所以 1231 1(32-=-+n n n a nn n

4、a 1(322311-=-3、 (1設(shè)數(shù)列n a 的公差為 d由題意得:=+=+22521173(2(111d a d a d a =411d a 或 -=4211d a (舍去所以:34-=n a n(2nn n n S n -=-+=222341(由于 c n S n + 是一等差數(shù)列 故 ban c n S n+=+對一切自然數(shù) n 都成立即:bc n b ac an b an c n n n +=+=- ( (222 =-=+=012bc b ac a -=2102c b a 或 =-=012c b a (舍去所以21-=c 4、 (1由n n S n n a 21+=+ 得:n n

5、n S n n S S 21+=-+ 即 n n S n n S 221+=+所以n S n S nn =+11 所以數(shù)列 n S n 是以 1為首項 , 公比為 2的等比數(shù)列.(2由(1得 12-=n nn S 12-=n n n S n n n S 2 1(1+=+所以 22121( 2(2 1( 1(1 2( 1(1-+=+=-=n n n n n n n n n n S S n a所以n n a S 41=+第二課時1、 已知等差數(shù)列 a n , 公差大于 0, 且 a 2、 a 5是方程 x 2 12x +27=0的兩個根, 數(shù)列 b n 的前 n 項和為 T n ,且 T n =1

6、 nb 21.(1求數(shù)列a n 、 b n 的通項公式; (2記 c n = a n ·b n ,求證:nn c c +1.2、設(shè)n a 是由正數(shù)組成的無窮數(shù)列, S n 是它的前 n 項之和,對任意自然數(shù)na n , 與 2的等差中項等于 S n 與 2的等比中項 . (1寫出 321, , a a a ;(2求數(shù)列的通項公式(要有推論過程 ;2、 已知數(shù)列 n a 成等差數(shù)列,nS 表示它的前 n 項和,且6531=+a a a , 124=S .求數(shù)列 n a 的通項公式na ;數(shù)列 n n S a 中,從第幾項開始 (含此項 以后各項均為負(fù)數(shù)?4、設(shè)數(shù)列 a n 和 b n

7、滿足 a 1=b 1=6, a 2=b 2=4, a 3=b 3=3, 且數(shù)列 a n +1-a n (n N *是等差數(shù)列, 數(shù)列 b n -2(n N *是等比數(shù)列 . (求數(shù)列 a n 和 b n 的通項公式;(是否存在 k N *,使 a k -b k (0, 21?若存在,求出 k ;若不存在,說明理由 .答案: 1、 (1設(shè)n a 的公差為 d由題意得:>=+027125252d a a a a 即:>=+=+0274(1252111d d a d a d a 解得:=211d a所以:12-=n a n由 n n b T 211-= 得:11211-=n n b T兩

8、式相減: 211( 211(1-=n n n b b b 即:131-=n n b b 所以 n b 是 31以為公比 b 為首項的等比數(shù)列.在n n b T 211-=中令 1=n 得:11211b b -= 所以 321=b 所以13132- =n n b(2 131(32 12(-=n n n n n b a c所以:1( 31(98 31(32 12( 31(32 12(111-=-+=-+n n n c c n n n n n因為了 1n 所以nn c c +12、 (1由題意得:>=+0222n n n a S a 令 3, 2, 1=n 得:>>>+=+=

9、+=+0, 0, 0 (222(22222321321321211a a a a a a a a a a a a解得:10, 6, 2321=a a a(2將 n n S a 222=+兩邊平方得:n nS a 8 2(2=+ 用 1-n 代替 n 得:1218 2(-=+n n S a 兩式相減得:n n n a a a 8 2( 2(212=+-+-即:0 2( 2(212=+-n n a a 即:0 4(11=-+-n n n n a a a a 由于 0>n a 所以 41+=-n n a a所以 n a 是以 2為首項公差為 4的等差數(shù)列所以24-=n a n3、 (1設(shè)數(shù)列n

10、 a 的公差為 d ,由題意得:=+=+126466311d a d a 解得:-=261d a所以:82+-=n a n 7(2286(n n n n S n -=-+=(2令 nn n S a b = 所以nn n b n 7(82(-+-=解不等式 0 7(82(<-+-n n n 得:47<>n n 或 所以數(shù)列從第 8項開始(含此項以后各項均為負(fù)數(shù). 4、 (1由題意得:( ( 1( (1223121a a a a n a a a a n n -+-=-+=3 1(2-=-+-n n 所以=-+-+=-+=- 4( 5( 4(21n n a n a a n n n9

11、27212 4( 2( 1(64( 5(0 1( 2(64( 5(0 1( 2(21+-=-+-+=-+-+-+-+=-+-+-+-+=n n n n n n n n a (2n 上式對 n = 1 也成立 所以 an = 1 2 7 n n+9 2 2 bn 2 = (b1 2( b2 2 n 1 2 1 = 4 × ( n1 = ( n 3 b1 2 4 2 1 bn = 2 + ( n 3 2 所以 c k = a k bk = （2） 當(dāng) k = 1,2,3 時 1 2 7 1 k k +92 2 2 2 k 3 = 1 1 2 7 k k + 7 ( k 3 2 2 2 c

12、k = 0 1 7 7 1 1 7 7 1 1 ( k 2 + ( k 3 ( 4 2 + ( 4 3 = 2 2 4 2 2 2 4 2 2 當(dāng)k 4時 ck = 1 a k bk 0, 2 故不存在正整數(shù) k 使 第三課時 S2 n Sn a S a = 4 ，問 S3n 是否可能為一與n無關(guān)的常數(shù)？ 1、設(shè)等差數(shù)列 n 的前n項和為 n ；設(shè) 1 若不存在，說明理由若存在，求出所有這樣的數(shù)列的通項公式 2、已知等比數(shù)列 a n 及等差數(shù)列 bn ，其中 b1 = 0 ，公差 d 0 ，將這兩個數(shù)列對應(yīng)項相加 得到一個新的數(shù)列1,1,2,求這個新數(shù)列的前10項之和 3、設(shè)Sn為等差數(shù)列an

13、的前n項和.(nN （）若數(shù)列an單調(diào)遞增，且a2是a1、a5的等比中項，證明： * S n + S n + 2 = 2 S n +1 . （）設(shè)an的首項為a1，公差為d，且 a1 = 3 d (d > 0 2 ，問是否存在正常數(shù)c，使 117 號編輯 用心 愛心 專心 6 S n + c + S n + 2 + c = 2 S n +1 + c 說明理由. 對任意自然數(shù)n都成立，若存在，求出c(用d表示；若不存在， 4、已知數(shù)列 設(shè) cn ，其中 cn = 2 n + 3n ，且數(shù)列 cn+1 pc n 為等比數(shù)列，求常數(shù) p = a n + bn ，證明數(shù)列 a n ，bn 是公比

14、不相等的兩個等比數(shù)列，cn cn 不是等比數(shù)列 答案： S 2n S n a S 3n 是與 n 無關(guān)的常數(shù) k 1、設(shè)等差數(shù)列 n 的公差為 d ，并假設(shè)存在 d 使 S 2n S n =k S 3n 令 2n(2n 1 n(n 1 3n(3n 1 d na1 + d = k 3na1 + d 2na1 + 2 2 2 恒成立 所以 9 3 1 1 ( kd n 2 + 3k (a1 d a1 + d n = 0 2 2 2 化簡得： 2 對一切自然數(shù) n 恒成立 所以 3 9 2 kd 2 = 0 3k (4 1 d 4 + 1 d = 0 2 2 1 kd = 3 24k + d = 1

15、8 即 解得： d = 9 ± 73 故存在等差數(shù)列 k= 解得： 1 3(9 ± 73 a n 使是一與 n 無關(guān)的常數(shù) a n = 4 + (9 ± 73 (n 1 2、設(shè)等比數(shù)列 a n 的公比為 q 用心 愛心 專心 117 號編輯 7 b1 = 0 b1 = 0 b1 = 0 a + b = 1 a = 1 a = 1 1 1 1 (舍去或 1 a 1 q + (b1 + d = 1 d = 1 q = 2 a q 2 + (b + 2d = 2 q = 0 d = 1 1 由題意得： 1 解得： 所以 a n = 2 n 1 , bn = n + 1

16、210 1 10(0 9 S10 = + = 978 2 1 2 所以新數(shù)列的前10項的和為 3、 （1）設(shè)等差數(shù)列 a n 的公差為 d (a1 + d 2 = a1 (a1 + 4d d >0 即： 解得： d = 2a1 a 2 2 = a1 a 5 d >0 由題意得： 所以 所以 a n = a1 + (n 1d = 2na1 a1 S n = n 2 a1 ( S n + S n+ 2 2 (2 S n +1 2 = (n a1 + (n + 2 a1 2 4(n + 1 2 a1 = 4(n + 1 2 a1 4(n + 1 2 a1 = 0 所以 S n + S n

17、 + 2 = 2 S n +1 S n + c + S n + 2 + c = 2 S n +1 + c 恒成立 （2）假設(shè)存在正常數(shù) c 使得 S n = na1 + n(n 1 3 n(n 1 1 d = nd + d = dn 2 + dn 2 2 2 2 S3 + c = 2 S 2 + c 恒成立 S1 + c + 令 n = 1 ，則有 ( 即： 3 15 d +c + d + c 2 2 4d + c 2 2 7d + 2c = 2 3 15 d +c d +c 2 2 1 d 2 ( 2 =0 化簡得： 兩邊平方化簡得： c= 以下證明當(dāng) c= 1 d 2 時， S n + c

18、 + S n+ 2 + c = 2 S n+1 + c 恒成立 用心 愛心 專心 117 號編輯 8 S n + c + S n + 2 + c 2 S n +1 + c 1 1 2 1 1 1 1 2 2 dn + dn + d + d (n + 2 + d (n + 2 + d 2 d (n + 1 + d (n + 1 + d 2 2 2 2 2 2 = (n + 1 d d d + (n + 3 2(n + 2 =0 2 2 2 c= 1 d 2 使 S n + c + S n+ 2 + c = 2 S n+1 + c 恒成立 故存在 正常數(shù) c n +1 pc n =q c n pc n 1 4、 （1）由題意得： 恒成立對一切正整數(shù) n 恒成立（ q 為常數(shù)） 即： 2 n +1 + 3 n +1 p (2 n + 3 n = q 2 n + 3 n p 2 n 1 + 3 n 1 n 1 ( 化簡得： 2 (4 2 p 2q + pq + 3 n1 (9 3 p 3q + pq = 0 對一切正整數(shù)恒成立 p = 2 q=3 解得： p = 3 q=2 或 4 2 p 2q + pq = 0 9 3 p 3q + pq = 0 所以： 所以： p = 2 或 p = 3 （2）設(shè)數(shù)列 并假設(shè)數(shù)列 則有： a n , bn 的公比分別為 q1