實(shí)際問題及二元一次方程組經(jīng)典例題

1、實(shí)際問題與二元一次方程組經(jīng)典例題目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1 .能夠借助二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，再次體會(huì)二元一次方程組與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系和作用2 .進(jìn)一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系，體會(huì)代數(shù)方法的優(yōu)越性3 .體會(huì)列方程組比列一元一次方程容易4 .進(jìn)一步培養(yǎng)化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題，解決問題的能力5 .掌握列方程組解應(yīng)用題的一般步驟； 重點(diǎn)：1 .經(jīng)歷和體驗(yàn)用二元一次方程組解決實(shí)際問題的過程。2 .進(jìn)一步體會(huì)方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型。難點(diǎn)：正確找出問題中的兩個(gè)等量關(guān)系知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題是把 “未知”轉(zhuǎn)化為“已知

2、”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系.一般來說，有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：（1）方程兩邊表示的是同類量；（2）同類量的單位要統(tǒng)一；（3）方程兩邊的數(shù)值要相等.知識(shí)點(diǎn)二：列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系3 .行程問題：（1）追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段，用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是：兩者的行程差=開始時(shí)兩者相距的路程；（2）相遇問題：相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程

3、之和=總路程。（3）航行問題：船在靜水中的速度+水速=船的順?biāo)俣?；船在靜水中的速度-水速=船的逆水速度；順?biāo)俣饶嫠俣?2 X水速。注意：飛機(jī)航行問題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫?、逆水航行問題類似。4 .工程問題：工作效率X工作時(shí)間 =工作量.5 .商品銷售利潤(rùn)問題：（1）利潤(rùn)=售價(jià)成本（進(jìn)彳）; （2） ; （3）利潤(rùn)=成本（進(jìn)價(jià)）X利潤(rùn)率；（4）標(biāo)價(jià)=成本（進(jìn)價(jià)）X （1 +利潤(rùn)率）；（5）實(shí)際售價(jià)=標(biāo)價(jià)X打折率；注意：“商品利潤(rùn)=售價(jià)一成本”中的右邊為正時(shí)，是盈利；為負(fù)時(shí)，就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標(biāo)價(jià)的十分之八即五分

4、之四或者百分之八十）6 .儲(chǔ)蓄問題：（1）基本概念本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。本息和：本金與利息的和叫做本息和。期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)。利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。利息稅：利息的稅款叫做利息稅。(2) 基本關(guān)系式利息=本金X利率X期數(shù)本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期數(shù)=本金X(1 +利率X期數(shù))利息稅=利息X利息稅率=本金X利率X期數(shù)X利息稅率。稅后利息=利息X (1 利息稅率)年利率=月利率x 12。注意： 免稅利息=利息5配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。6增長(zhǎng)率問題：解這類

5、問題的基本等量關(guān)系式是：原量X (1 +增長(zhǎng)率)=增長(zhǎng)后的量；原量X (1 減少率)=減少后的量.7和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量=較小量十多余量，總量=倍數(shù)X倍量8數(shù)字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n 為整數(shù)時(shí)，奇數(shù)可表示為2n+1( 或 2n-1) ，偶數(shù)可表示為2n 等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字9 .濃度問題：溶液質(zhì)量X濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.10 幾何問題：解決這類問題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式11 年齡問題：解決這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長(zhǎng)數(shù)是相等，兩人的

6、年齡差是永遠(yuǎn)不會(huì)變的12 優(yōu)化方案問題：在解決問題時(shí)，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購(gòu)票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。注意： 方案選擇題的題目較長(zhǎng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn), 比較幾種方案得出最佳方案。知識(shí)點(diǎn)三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟利用二元一次方程組探究實(shí)際問題時(shí)，一般可分為以下六個(gè)步驟：1 審題 : 弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系；2設(shè)未知數(shù): 可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元；3找出題目中的等量關(guān)系；4列出方程組: 根據(jù)題目中能表示全部含義的等量關(guān)系列出方程，并組成方程組；5解所列的方程組，并檢驗(yàn)解的正確性；6寫出答案.要點(diǎn)

7、詮釋：(1) 解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；(2) “設(shè)”、 “答”兩步，都要寫清單位名稱；(3) 一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.解答步驟簡(jiǎn)記為：?jiǎn)栴}方程組解答(4) 列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問題弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系；審題時(shí)，注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息;注意用方程組解應(yīng)用題的過程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位，列方程組與解方程組時(shí)，不要帶單位；正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆；在尋找等量關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意挖掘隱含的條件；列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗(yàn)。經(jīng)典例題透析

8、類型一：列二元一次方程組解決行程問題1 甲、 乙兩地相距160 千米， 一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時(shí)由甲、乙兩地相向而行，1 小時(shí) 20 分相遇 .相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1 小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時(shí)后追上了拖拉機(jī). 這時(shí)，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米思路點(diǎn)撥：畫直線型示意圖理解題意：(1)這里有兩個(gè)未知數(shù)：汽車的行程；拖拉機(jī)的行程(2) 有兩個(gè)等量關(guān)系：相向而行：汽車行駛小時(shí)的路程+拖拉機(jī)行駛小時(shí)的路程=160千米；同向而行：汽車行駛小時(shí)的路程=拖拉機(jī)行駛小時(shí)的路程解： 設(shè)汽車的速度為每小時(shí)行千米，拖拉機(jī)的速度為每小時(shí)千米.根據(jù)題意，列方程組解這個(gè)方程組，得

9、:.答：汽車行駛了165 千米，拖拉機(jī)行駛了85 千米 .總結(jié)升華：根據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)路程、時(shí)間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問題的常用的解決策略。舉一反三：【 變式1】甲、乙兩人相距36 千米，相向而行，如果甲比乙先走2 小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走2 小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)3 小時(shí)后相遇，甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米解： 設(shè)甲、乙兩人每小時(shí)分別行走千米、千米。根據(jù)題意可得：解得：答：甲每小時(shí)走6 千米，乙每小時(shí)走千米?！?變式2】?jī)傻叵嗑?80 千米，一艘船在其間航行，順流用14 小時(shí)，逆流用20 小時(shí)，求船在靜水中的速度和水流速度。分析：船順流速度=靜水中的

10、速度+水速船逆流速度=靜水中的速度水速解 ：設(shè)船在靜水中的速度為x 千米 / 時(shí)，水速為y 千米/ 時(shí)，則 ，解得：答：船在靜水中的速度為17 千米 / 時(shí)，水速3 千米 / 時(shí)。類型二：列二元一次方程組解決工程問題2 一家商店要進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8 天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520 元；若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6 天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12 天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480 元，問：(1) 甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元(2) 已知甲組單獨(dú)做需12 天完成，乙組單獨(dú)做需24 天完成，單獨(dú)請(qǐng)哪組，商店所付費(fèi)用最少思路點(diǎn)撥：本題有兩層含義，各自隱含兩個(gè)等式，第一層含義：若請(qǐng)甲、

11、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520 元；第二層含義：若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6 天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12 天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480 元。設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x 元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y 元，由第一層含義可得方程8( x+y) =3520, 由第二層含義可得方程6x+12y=3480.解 ： (1) 設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x 元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y 元，依題意得：解得答：甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付300 元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付140 元。(2)單獨(dú)請(qǐng)甲組做，需付款300X 12= 3600元，單獨(dú)請(qǐng)乙組做，需付款24X 140 = 3360元，故請(qǐng)乙組單獨(dú)做

12、費(fèi)用最少。答：請(qǐng)乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少?？偨Y(jié)升華：工作效率是單位時(shí)間里完成的工作量，同一題目中時(shí)間單位必須統(tǒng)一，一般地，將工作總量設(shè)為1,也可設(shè)為a,需根據(jù)題目的特點(diǎn)合理選用；工程問題也經(jīng)常利用線段圖或列表法進(jìn)行分析。舉一反三：【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6 周完成需工錢萬元；若甲公司單獨(dú)做 4 周后，剩下的由乙公司來做，還需9 周完成，需工錢萬元. 若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司請(qǐng)你說明理由.解： 設(shè)甲、乙兩公司每周完成總工程的和，由題意得：， 解得：所以甲、乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程分別需要10 周、 15 周。設(shè)需要付甲、乙每周

13、的工錢分別是萬元，萬元，根據(jù)題意得：，解得：故甲公司單獨(dú)完成需工錢：(萬元)；乙公司單獨(dú)完成需工錢：(萬元)。答：甲公司單獨(dú)完成需6 萬元，乙公司單獨(dú)完成需4 萬元，故從節(jié)約的角度考慮，應(yīng)選乙公司單獨(dú)完成.類型三：列二元一次方程組解決商品銷售利潤(rùn)問題3有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤(rùn)率為5%,乙商品的利潤(rùn)率為4%,共可獲利46 元。價(jià)格調(diào)整后，甲商品的利潤(rùn)率為4%，乙商品的利潤(rùn)率為5%，共可獲利44 元，則兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)X利潤(rùn)率解：甲商品的進(jìn)價(jià)為x元，乙商品的進(jìn)價(jià)為 y元，由題意得：，解得：答：兩件商品的進(jìn)價(jià)分別為600 元和 400 元。舉一

14、反三：【變式1】（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利 18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利 2000元，乙種蔬菜每畝獲利 1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝解：設(shè)李大叔去年甲種蔬菜種植了畝，乙種蔬菜種植了畝，則：,解得答：李大叔去年甲種蔬菜種植了6畝，乙種蔬菜種植了 4畝.【變式2】某商場(chǎng)用36萬元購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表:AB進(jìn)價(jià)（元/件）12001000售價(jià)（元/件）13801200（注：獲利=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A B兩種商品各多少件；解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A種商品件，B種商品件，根據(jù)題意得：化簡(jiǎn)得：解得：答：該

15、商場(chǎng)購(gòu)進(jìn) A、B兩種商品分別為200件和120件。 類型四：列二元一次方程組解決一一銀行儲(chǔ)蓄問題4.小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為的教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為的一年定期存款，一年后可取出元，問這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢（利息所得稅=利息金額X20%教育儲(chǔ)蓄沒有利息所得稅）思路點(diǎn)撥：設(shè)教育儲(chǔ)蓄存了 x元，一年定期存了 y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格：解：設(shè)存一年教育儲(chǔ)蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為 y元，則列方程：,解得：答：存教育儲(chǔ)蓄的錢為 1500元，存一年定期的錢為 500元.總結(jié)升華：我們?cè)诮庖恍┥婕暗叫谐?、收入、支出?/p>

16、增長(zhǎng)率等的實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)候不容易找出其等 量關(guān)系，這時(shí)候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來.舉一反三：【變式1】李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息元.已知兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為 %問這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾（注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額X 20%思路點(diǎn)撥：扣稅的情況：本金X年利率X（1-20%） X年數(shù)=利息（其中，利息所得稅 =利息金額 X20% .不扣稅時(shí)：利息=本金X年利率X年數(shù).解：設(shè)第一種儲(chǔ)蓄的年利率為x,第二種儲(chǔ)蓄的年利率為 V,根據(jù)題意得：,解得：答：第一種儲(chǔ)蓄的年利率為 第二

17、種儲(chǔ)蓄的年利率為 %.【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時(shí)用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3 次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為%.三年后同時(shí)取出共得利息元（不計(jì)利息稅）， 問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元解：設(shè)第一種存款數(shù)為X元，則第二種存款數(shù)為 y元，根據(jù)題意得：，解得：答：第一種存款數(shù)為1500 元，第二種存款數(shù)為2500 元。類型五：列二元一次方程組解決生產(chǎn)中的配套問題5某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2 米的某種布料可做上衣的衣身3 個(gè)或衣袖5 只 . 現(xiàn)計(jì)劃用 13

18、2 米這種布料生產(chǎn)這批秋裝（ 不考慮布料的損耗）， 應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套思路點(diǎn)撥：本題的第一個(gè)相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132 米；第二個(gè)相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2 倍 （ 注意：別把2 倍的關(guān)系寫反了）.解： 設(shè)用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得：答：用 60 米布料做衣身，用72 米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等. 各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)

19、，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式 1】 現(xiàn)有 190 張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8 個(gè)盒身或22 個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問用多少?gòu)堣F皮制盒身，多少?gòu)堣F皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子思路點(diǎn)撥：兩個(gè)未知數(shù)是制盒身、盒底的鐵皮張數(shù)，兩個(gè)相等關(guān)系是：制盒身鐵皮張數(shù)+制盒底鐵皮張數(shù)=190;制盒身個(gè)數(shù)的 2倍=制盒底個(gè)數(shù).解：設(shè) x 張鐵皮制盒身，y 張鐵皮制盒底，由題意得：答：用 110 張制盒身，80 張制盒底，正好制成一批完整的盒子.【 變式 2】某工廠有工人60 人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套

20、兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20 個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。解：由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，可設(shè)生產(chǎn)螺栓的有x 人，生產(chǎn)螺母的有y 人，則：，解得：答：生產(chǎn)螺栓的有25 人，生產(chǎn)螺母的有35 人?！?變式3】一張方桌由1 個(gè)桌面、4 條桌腿組成，如果1 立方米木料可以做桌面50 個(gè)，或做桌腿300條。 現(xiàn)有 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌能配多少?gòu)埛阶澜猓涸O(shè)用x 立方米的木料做桌面，用y 立方米的木料做桌腿，根據(jù)題意，得：， 解得：，可做50X 3=

21、150張方桌。答：用3立方米的木料做桌面，用 2立方米的木料做桌腿，可做成150張方桌。類型六：列二元一次方程組解決一一增長(zhǎng)率問題6.某工廠去年的利潤(rùn)（總產(chǎn)值一總支出）為 200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%總支出比去年減少了 10%今年的利潤(rùn)為 780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元思路點(diǎn)撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為 x萬元，總支出為y萬元，則有總產(chǎn)值（萬元）總支出（萬元）利潤(rùn)（力兀）去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤(rùn)和今年的利潤(rùn)，由利潤(rùn)=總產(chǎn)值一總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個(gè)等式。解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為 x萬元，總支出為y萬元，根據(jù)題意得：,解之

22、得：答：去年的總產(chǎn)值為 2000萬元，總支出為1800萬元總結(jié)升華：當(dāng)題的條件較多時(shí)，可以借助圖表或圖形進(jìn)行分析。舉一反三：【變式1】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元解：設(shè)今年的總產(chǎn)值為 x萬元，總支出為y萬元，由題意得：,解得：答：今年的總產(chǎn)值為 2000萬元，總支出為1800萬元思考：本問題還有沒有其它的設(shè)法【變式2】某城市現(xiàn)有人口 42萬，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加 %農(nóng)村人口增加 %這樣全市人口增加 1%求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。思路點(diǎn)撥：由題意得兩個(gè)等式關(guān)系，兩個(gè)相等關(guān)系為：（1）城鎮(zhèn)人口 +農(nóng)村人口 =42萬；（2）城鎮(zhèn)人口 X （1+%）+農(nóng)村人口 X （ 1+%

23、）=42X （1+1%解：設(shè)現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口為 x萬，農(nóng)村人口為y萬，由題意得：解得答：現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口 14萬人，農(nóng)村人口為 28萬人 類型七：列二元一次方程組解決一一和差倍分問題7 . （2011年北京豐臺(tái)區(qū)中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計(jì)劃每周生產(chǎn)帳篷共千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷.為此，全體職工加班加點(diǎn)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來的倍、倍，恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù).求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂思路點(diǎn)撥：找出已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個(gè)，所以列兩個(gè)方程，根據(jù)

24、計(jì)劃前后，倍數(shù)關(guān)系由已知量和未知量列出兩個(gè)等式，即是兩個(gè)方程組成的方程組。解：設(shè)原計(jì)劃“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千頂，“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷 y千頂，由題意得：,解得：所以：=8, =6答：“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷8千頂，“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷 6千頂.舉一反三：【 變式1】 （2011 年北京門頭溝區(qū)中考一模試題） “地球一小時(shí)”是世界自然基金會(huì)在 2007 年提出的一項(xiàng)倡議號(hào)召個(gè)人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3 月最后一個(gè)星期六20 時(shí) 30 分 21 時(shí) 30 分熄燈一小時(shí)，旨在通過一個(gè)人人可為的活動(dòng)，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活中國(guó)內(nèi)地去年和今年共有119 個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)

25、，且今年參加活動(dòng)的城市個(gè)數(shù)比去年的3 倍少 13 個(gè)，問中國(guó)內(nèi)地去年、今年分別有多少個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)解：設(shè)中國(guó)內(nèi)地去年有x 個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，今年有y 個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)依題意得， 解得：答：去年有33 個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，今年有86 個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)【 變式 2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1 倍， 你知道男孩與女孩各有多少人嗎思路點(diǎn)撥：本題關(guān)鍵之一是：小孩子看游泳帽時(shí)只看到別人的，沒看到自己的帽子。關(guān)鍵之二是：兩個(gè)等式，列等式要看到重點(diǎn)語句，第一句：每位男孩看到藍(lán)色

26、與紅色的游泳帽一樣多；第二句：每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1 倍。找到已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個(gè)方程。解：設(shè)男孩x 人，女孩y 人，根據(jù)題意得：，解得：答：男孩4 人和女孩有3 人。類型八：列二元一次方程組解決數(shù)字問題8 . 兩個(gè)兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)，已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，求這兩個(gè)兩位數(shù)。思路點(diǎn)撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為 X,較小的兩位數(shù)為 y。問題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100x y問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的

27、數(shù)可表示為：100y X解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x,較小的兩位數(shù)為 y。依題意可得：，解得：答：這兩個(gè)兩位數(shù)分別為45， 23.舉一反三：【 變式 1】一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3 倍，結(jié)果是23；這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1 ，這個(gè)兩位數(shù)是多少解：設(shè)十位數(shù)為x,個(gè)位數(shù)為y,則：，解得：答：這兩位數(shù)為56【 變式2】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個(gè)兩位數(shù)解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x,十位數(shù)字為y,根據(jù)題意得：，解得：答：這個(gè)兩位數(shù)為72.【 變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0，其

28、余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是9，如果百位數(shù)字減1，個(gè)位數(shù)字加1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。解：設(shè)原三位數(shù)的百位數(shù)字為x,個(gè)位數(shù)字為y,由題意得：答：所求三位數(shù)是504。類型九：列二元一次方程組解決濃度問題9 .現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3 : 7,乙種酒精溶液的酒精與水的比是4 ： 1,今要得到酒精與水的比為3 ： 2的酒精溶液50kg,問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少思路點(diǎn)撥：本題欲求兩個(gè)未知量，可直接設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個(gè)相等關(guān)系：（1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之和=50; （2）混合前兩種溶液所含純

29、酒精質(zhì)量之和=混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量；（3）混合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和=混合后溶液所含水的質(zhì)量；（4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比=混合后溶液所含純酒精與水的比。解：法一：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取x kg , y kg. 依題意得：，答：甲取20kg,乙取30kg法二：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取10x kg 和 5y kg ，則甲種酒精溶液含水7x kg ，乙種酒精溶液含水y kg ，根據(jù)題意得：，所以 10x=20,5y=30.答：甲取20kg,乙取30kg總結(jié)升華：此題的第（1 ）個(gè)相等關(guān)系比較明顯，關(guān)鍵是正確找到另外一個(gè)相等關(guān)系，解這類問題常用的相等關(guān)系是：混合前

30、后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等。用它們來聯(lián)系各量之間的關(guān)系，列方程組時(shí)就顯得容易多了。列方程組解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知數(shù)，多數(shù)題目可以直接設(shè)未知數(shù)，但并不是千篇一律的，問什么就設(shè)什么。有時(shí)候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時(shí)候需要設(shè)輔助未知數(shù)。舉一反三：【 變式 1】要配濃度是45%的鹽水12 千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵是找到配制溶液前后保持不變的量，即相等的量。本題主要有兩個(gè)等量關(guān)系，等量關(guān)系一：配制鹽水前后鹽的含量相等；等量關(guān)系二：配制鹽水前后鹽水的總重量相等。解：設(shè)含鹽10%勺鹽水有x千克，含鹽85%勺鹽水有y千克，依題中的兩個(gè)相等關(guān)系得：，解

31、之得：答：需要10%的鹽水千克與85%的鹽水千克【變式2】 一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到%時(shí)，治蟲最有效。用多少千克濃度為 35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成%的農(nóng)藥800 千克解： 設(shè)需要用x 千克濃度為35%的農(nóng)藥加水y 千克，根據(jù)題意得：，解之得：答：需要用40 千克濃度為35%的農(nóng)藥加水760 千克。類型十：列二元一次方程組解決幾何問題10 如圖，用8 塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是多少思路點(diǎn)撥： 初看這道題目中沒有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長(zhǎng)相等，我們?cè)O(shè)每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x,寬為y,就可以列出關(guān)于 x、y的二元一次方

32、程組。解：設(shè)長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng) xcm,寬ycm,由題意得：，答：每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為 45cn 寬為15cm3總結(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類問題時(shí)應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點(diǎn)，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解。舉一反三：【變式1】用長(zhǎng)48 厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長(zhǎng)邊剪掉3 厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個(gè)正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少思路點(diǎn)撥：此題隱含兩個(gè)可用的等量關(guān)系，其一長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為鐵絲的長(zhǎng)48 厘米，第二個(gè)等量關(guān)系是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)剪掉3 厘米補(bǔ)到短邊去，得到正方形，即長(zhǎng)邊截掉3 厘米等于短邊加上3 厘米。解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為 x厘

33、米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：所以正方形的邊長(zhǎng)為：9+3=12厘米正方形的面積為：=144 厘米長(zhǎng)方形的面積為：159=135 厘米答：正方形的面積比矩形面積大144-135=9 厘米總結(jié)升華： 解題的關(guān)鍵找兩個(gè)等量關(guān)系，最關(guān)鍵的是本題設(shè)的未知數(shù)不是該題要求的，本題要是設(shè)正方形的面積比矩形面積大多少，問題就復(fù)雜了。設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，本題就簡(jiǎn)單多了，所以列方程解應(yīng)用題設(shè)未知數(shù)是關(guān)鍵?！咀兪?】一塊矩形草坪的長(zhǎng)比寬的2倍多10ml它的周長(zhǎng)是132ml則長(zhǎng)和寬分別為多少解：設(shè)草坪的長(zhǎng)為y m 寬為 x m ，依題意得：，解得：答：草坪的長(zhǎng)為m,寬為m類型十一：列二元一次方程組解決年齡問題11今年父親的

34、年齡是兒子的5 倍， 6 年后父親的年齡是兒子的3 倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少思路點(diǎn)撥：解本題的關(guān)鍵是理解“6 年后”這幾個(gè)字的含義，即 6 年后父子倆都長(zhǎng)了6 歲。今年父親的年齡是兒子的5 倍， 6 年后父親的年齡是兒子的3 倍，根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列方程。解：設(shè)現(xiàn)在父親x 歲，兒子y 歲，根據(jù)題意得：，答：父親現(xiàn)在30 歲，兒子6 歲?？偨Y(jié)升華：解決年齡問題，要注意一點(diǎn)：一個(gè)人的年齡變化（增大、減?。┝?，其他人也一樣增大或減小，并且增大（或減?。┑臍q數(shù)是相同的（相同的時(shí)間內(nèi)）。舉一反三：【變式1】 今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种? 小李發(fā)現(xiàn)，12 年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?/p>

35、一 . 試求出今年小李的年齡.思路點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵是兩句話，第一句：小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?；第二句：他的年齡變成爺爺?shù)娜种?。把未知?shù)設(shè)出來，已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個(gè)方程。解：設(shè)今年小李的年齡為x 歲，則爺爺?shù)哪挲g為y 歲。根據(jù)題意得：，解得：答：今年小李的年齡為12 歲。類型十二：列二元一次方程組解決優(yōu)化方案問題：12 某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場(chǎng)上直接銷售，每噸利潤(rùn)為1000 元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤(rùn)可達(dá) 4500 元； 經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤(rùn)漲至7500 元 . 當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140 噸， 該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對(duì)蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工16 噸；如果進(jìn)行細(xì)加工，每天可加工6 噸 . 但兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行. 受季節(jié)條件的限制，公司必須在15 天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案方案一：將蔬菜全部進(jìn)行粗加工；方案二：盡可能多的對(duì)蔬菜進(jìn)行精加工，沒來得及加工的蔬菜在市場(chǎng)上直接銷售；方案三：將部分蔬菜進(jìn)行精加工，其余蔬菜進(jìn)行粗加工，并恰好在15 天完成你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多為什么思路點(diǎn)撥：如何對(duì)蔬菜進(jìn)行加工，獲利最大，是生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)者一直思