平面直角坐標(biāo)變換

1、§ 5.7平面直角坐標(biāo)變換我們首先需要建立同一個(gè)點(diǎn)在 因?yàn)槲覀冄芯康膱D形是點(diǎn)的軌為了考慮同一圖形在不同的坐標(biāo)系下的方程之間的關(guān)系， 不同的坐標(biāo)系下的坐標(biāo)之間的關(guān)系，這就是坐標(biāo)變換的問(wèn)題，跡.我們僅考慮平面直角坐標(biāo)變換.設(shè)在平面上給出了由兩個(gè)標(biāo)架 0; i, j 和O' i', j'所決定的右手直角坐標(biāo)系, 這里i和j以及i'和j'是兩組坐標(biāo)基向量， 它們是平面上的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，我們依次稱這 兩個(gè)坐標(biāo)系為舊坐標(biāo)系和新坐標(biāo)系.所以新坐標(biāo)系與舊坐標(biāo)系之間的關(guān)i'和j'在O; i, j 中的分量所決定.（也叫坐標(biāo)平移）和轉(zhuǎn)軸 （也叫坐

2、標(biāo)旋轉(zhuǎn)）兩個(gè)步由于坐標(biāo)系的位置完全由原點(diǎn)和坐標(biāo)基向量所決定，系，就由0'在0; i, j 中的坐標(biāo)以及任一直角坐標(biāo)變換總可以分解成移軸 驟.1.移軸j' 的原點(diǎn)0與0'不同，0'在0; i, j 中的坐 即有i' = i,那么標(biāo)架O' i', j'可以看成是由標(biāo)架0 ;5.7.1）.這種坐標(biāo)變換叫做 移軸（坐標(biāo)平移）.設(shè)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它對(duì)標(biāo)架（X： y'）,則有0P =00 卄OPOP =xi + yj ,O P =xi + yj ,如果兩個(gè)標(biāo)架O; i, j 和O' i, 標(biāo)為（Xo, yo），但兩標(biāo)架的坐

3、標(biāo)基向量相同,i, j 將原點(diǎn)平移到 O'點(diǎn)而得來(lái)的（圖0;j和O' i', j'的坐標(biāo)分別為（X, y）與y'于是有OO =Xoi + yo j(x)' y0)X i + y j =(x，+Xo)i + (y，+ yo) j X, y = Xo, yo + X', y' 根據(jù)向量相等的定義得移軸公式為圖 5.7.1從中解出X'和y',就得逆變換公式為2.轉(zhuǎn)軸ly =y+ Xo + yo(5.7- 1)(X =X -Xo iy' = yyo(5.7-2)若兩個(gè)標(biāo)架O; i, j 和O'且有/ （i,

4、 i' ） = a,則標(biāo)架O' i', j'可以看成是由標(biāo)架i', j'的原點(diǎn)相同,o = O',但坐標(biāo)基向量不同，O; i, j 繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)a角而得來(lái)的（圖5.7.2）.這種由標(biāo)架O; i, j 至悔架O' i', j'的坐標(biāo)變換叫做 轉(zhuǎn)軸（坐標(biāo)旋 轉(zhuǎn)）.下面推導(dǎo)轉(zhuǎn)軸公式.設(shè)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它對(duì) O; i,j 和O' i', j'的坐標(biāo)分別為(X, y)與 (x：y')，即有OP =xi + y jOP =x宀y j，因?yàn)? （i, i' ） = a,新舊坐標(biāo)基本向量之

5、間有關(guān)系i =i cosa + jsin a/I '/V I I I 丿ni=i cos a + i + j sin a + | = -i sina +j cosaI 2丿J I 2丿J于是有O P = x'(i cosa + j sina) +y'( isina + j cosa) =(x'cosa -y'sina)i + (x sina +y'cosa) j因?yàn)镺和O'是同一點(diǎn)，OP，故可直接得到轉(zhuǎn)軸公式：F =x，cosa -y sin ot(y =x'si na +y'cosa從(5.7-3)中解出x'和y

6、',就得到用舊坐標(biāo)表示新坐標(biāo)的逆變換公式: f =xcosa + ysin a(y = x si n a + y cosa(5.7-3)(5.7-4)式中的a為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角.（5.7- 4）式也可看成是由標(biāo)架O ; i', j'繞式.O旋轉(zhuǎn)-a角變到O;i, j的轉(zhuǎn)軸公*根據(jù)線性代數(shù)的理論，（5.7 - 3 ）可寫(xiě)為炸這里的坐標(biāo)變換的矩陣fcosa -si nalQQT，逆變換公式可以直接由Q=爲(wèi)cosa j是一個(gè)正交矩陣，因而其逆矩陣忤Q闿寫(xiě)出3.般坐標(biāo)變換公式在一般情況下，由舊坐標(biāo)系 O xy變成新坐標(biāo)系O' - x'y'，總可以分兩步來(lái)完

7、成.即先 移軸使坐標(biāo)原點(diǎn)與新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O'重合，變成坐標(biāo)系 O'- xy"，然后再由輔助坐標(biāo)系O'- x"y"轉(zhuǎn)軸而成新坐標(biāo)系 O' -x'y'（圖5.7.3）.設(shè)平面上任一點(diǎn)P的舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)分別為（x, y）與（X', y'）,而在輔助坐標(biāo)系 O' -x"y"中的坐標(biāo)為（X", y"），那么由（5.7 - 1）與（5.7-4）分別得-89-X =x" +x'y =y"+xofx" =x'cosa -y&

8、#39;sina 'y =xMina + y 'cosot由上兩式得一般坐標(biāo)變換公式為|x =x cosa - y'sin a +x0A =x sina 中ycosa +y0由(5.7-5)解出x', y'便得逆變換公式|x' =xcosa + ysina (x。cosa +y0Sin a) y' = FSin a +ycosa -(xosina+y0 cosa)(5.7-5)(5.7-6)平面直角坐標(biāo)變換公式(5.7- 5)是由新坐標(biāo)系原點(diǎn)的坐標(biāo)(Xo, yo)與坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角a決定的.4 .由給定的新坐標(biāo)軸確定的坐標(biāo)變換確定坐標(biāo)變換公

9、式，除了坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)外，還可以有其它方法. 假定已給出了新坐標(biāo)系的兩坐標(biāo)軸在舊坐標(biāo)系中的方程， 可以確定又一種坐標(biāo)變換公式.設(shè)在直角坐標(biāo)系xOy里給定了兩條相互垂直的直線 li： Ax + Biy +Ci =0 ,|2：+B2y + C2 =0其中AA2 +B1B2 =0 .如果取直線|1為新 坐標(biāo)系中的橫軸O'x'，而直線l2為縱軸O'y'，并設(shè)平面上任意點(diǎn) M的舊坐標(biāo)與新 坐標(biāo)分別是（x, 丫）與（x', y'）.因?yàn)閨x' |是點(diǎn)M （x, y）到O'y'軸的距離，也就 是M點(diǎn)到12的距離（圖5.7.4）,所以有并

10、規(guī)定了一個(gè)軸的正方向,|A2x+B2y+C21小同理可得,|Ax +Biy+Ci|1 y 丨一 （22 Ja2 +Bi2于是在去掉絕對(duì)值符號(hào)以后，便得到一個(gè)坐標(biāo)變換公式_ I Aq_ X + B2 y + C2x =工 1=(5.7-7)* ZAT* ,_*Ax + Biy+G y JAi2 +B12為了使新坐標(biāo)系仍然是右手坐標(biāo)系，可將（5.7- 7）式與公式（5.7-4）比較來(lái)決定（5.790中的符號(hào).因±B2” = =cosa,= =si notJA'+b；Ja2 +b；±A.±B1,c c = -sing, c c = cosaJ A +B1Ja +

11、B1(5.7 7)中的第一式右端的X的系數(shù)應(yīng)與第二式的右端的y的系數(shù)相等，所以(5.7的符號(hào)選取要使得這兩項(xiàng)的系數(shù)是同號(hào)的.這種坐標(biāo)變換的方法常用來(lái)在求得一般中心二次曲線的主直徑的情況下，作為新坐標(biāo)軸，把二次曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.以上給出的坐標(biāo)變換的公式(5.7 5)、( 5.7 6)和(5.7 7)實(shí)質(zhì)上都是一樣的.因此7)用兩條主直徑91 y =±53x 4y +6根據(jù)上面的符號(hào)選取法則得變換公式為x-4235,3x4y+6y =x，= 4x +3y -17或 5|y,3x-4y+6y 5若選第一個(gè)坐標(biāo)變換公式，則點(diǎn)A (0, 1)關(guān)于新坐標(biāo)系的坐標(biāo)是(-14/5, - 2/5

12、);若選第二個(gè)，則點(diǎn) A (0, 1)關(guān)于新坐標(biāo)系的坐標(biāo)是(14/5, 2/5).(±1Z,±§，而是移到了點(diǎn)(2, 3). 2和3是V 55/注若用前一公式，絕非將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到由( 5.7 6)確定的嚴(yán)+3y0日7的解.l-3Xo +幼0 =6因sina=3 >0，旋轉(zhuǎn)角為小于 兀的正角；若用后5*5 .坐標(biāo)變換下代數(shù)曲線及其次數(shù)的不變性在直角坐標(biāo)系下，如果我們所討論的平面曲線的方程能寫(xiě)成F(X, y) = 0的形式，其中F(X, y)是關(guān)于X和y的多項(xiàng)式，那么這種方程就叫做代數(shù)方程，它所表示的平面曲線叫做代數(shù)曲線不是代數(shù)曲線的曲線叫做 超越曲線代數(shù)方程的次數(shù)叫做 代數(shù)曲線的次數(shù).由于上面給出的幾個(gè)坐標(biāo)變換公式都是一次式(線性的)，而任何代數(shù)方程經(jīng)過(guò)一次式的變換之后必然還是代數(shù)方程，任何超越方程經(jīng)過(guò)一次式的變換之后也必然還是超越方 程因此有命題5.7.1曲線的代數(shù)性和超越性在線性坐標(biāo)變換下保持不變.另一方面，代數(shù)方程的次數(shù)在一次式的變換之下也是保持不變的，因此還有命題5.7.2代數(shù)曲線的次數(shù)在線性坐標(biāo)變換下保持不變.例1已知