有關(guān)定積分問題的常見題型解析(全題型)

1、有關(guān)定積分問題的常見題型解析題型一利用微積分基本定理求積分例1、求下列定積分：(1)；3x3x 1 dx(2)：Tx1Txdx(3)：J4利用微積分基本公分析：根據(jù)求導(dǎo)數(shù)與求原函數(shù)互為逆運(yùn)算，找到被積函數(shù)得一個(gè)原函數(shù),式代入求值。評(píng)注：利用微積分基本定理求定積分bf (x)dx的關(guān)鍵是找出Fx) af(X)的函數(shù)F(x)。圖像為圓或者三角形則直接求如果原函數(shù)不好找，則可以嘗試找出畫出函數(shù)的圖像, 其面積。題型二利用定積分求平面圖形的面積 例2如圖，求直線y=2x+3與拋物線y=x2所圍成的圖形面積。分析：從圖形可以看出，所求圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)梯形與一個(gè)曲邊梯形面積的差，進(jìn)而可以用定積分求

2、出面積。為了確定出被積函數(shù)和積分和上、下限，我們需要求出兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。評(píng)注：求平面圖形的面積的一般步驟：畫圖，并將圖形分割成若干曲邊梯形；對(duì)每個(gè)曲 邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分上、下限；確定被積函數(shù)；求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值之和。關(guān)鍵環(huán)節(jié)：認(rèn)定曲邊梯形，選定積分變量；確定被積函數(shù)和積分上下限。知識(shí)小結(jié)：幾種典型的曲邊梯形面積的計(jì)算方法：(1)由三條直線 x=a、x=b (av b)、x軸，一條曲線y= f圍成的曲邊梯形的面積：bS=f x dx，如圖 1。a(2)由三條直線x=a、x=b (av b)、x 軸，一條曲線y=f圍成的曲邊梯形的面積：bf x dx

3、as=bf x dx，如圖 2。a(3)由兩條直線x=a、x=b (av b)、兩條曲線 y= fy= g xg x )圍成的平面圖形的面積:bS= f x g x dx，如圖 3。a題型三解決綜合性問題例3、在曲線y2x (x > 0 )上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍的面積為 。12試求：（1）切點(diǎn)分析：設(shè)出切點(diǎn) 圍成平面圖形的面積，從而確定切點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過切點(diǎn)A的切線方程。A的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，寫出切線方程，然后利用定積分求出所A的坐標(biāo)，使問題解決。評(píng)注：本題將導(dǎo)數(shù)與定積分聯(lián)系起來，解題的關(guān)鍵是求出曲線三角形AOC的面積。定積分的兩種非常規(guī)用法定積分是新課標(biāo)

4、的新增內(nèi)容，它不僅為傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)注入了新鮮血液，還給學(xué)生提供了數(shù)學(xué)建模的新思路、“用數(shù)學(xué)”的新意識(shí)，通常利用定積分可以求平面圖形的面積、 平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體體積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程及變力作功等。另外，利用定積分也能求物體所受的力、證明不等式。一、求物體所受的力例1.矩形閘門寬a米，高h(yuǎn)米垂直放在水中,F等于（）其中水的密度為kg/m3,上沿與水面平齊，則該閘門所受水的壓力g單位是m/s2.hA. 0 gahdhaB. 0 gahdha 1C. 0 2 gahdhD.a0 2 gahdh二、利用積分證明不等式80 1例 3.求證 16 < < 17.k 1例析定積分的解題功能.

5、在此過程、“以均勻代定積分是通過無限分割、近似替代、借助求和再利用極限來達(dá)到計(jì)算的目的中，因?yàn)闊o限分割，所以求和時(shí)可以近似替代即“以直代曲”、“以勻速代變速”非均勻”這就是定積分處理問題的基本思想，下面通過具體例子來展示這種思想在解題中的具體體現(xiàn)。一、求由一條曲線y=f（x）直線所圍成平面圖形的面積例1.求由曲線y= sin x與x軸在區(qū)間0,2 n 上所圍成圖形的面積 S.分析 因?yàn)閥= sin x在0, n 上的積分為正值，在n ,2 n 上的積分為負(fù)值，其面積應(yīng)取 絕對(duì)值.二、求由兩條曲線和直線所圍成圖形的面積例2.求曲線y=ex ,y=e-x及x=1所圍成的圖形面積.分析 根據(jù)條件作出

6、圖形，由曲線方程解出積分上、下限，利用圖形確定被積函數(shù)，利 用定積分求出面積.-3-三、求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程例3 一點(diǎn)在直線上從時(shí)刻 t=O(s)開始以速度v=t2-4t+3(m/s)運(yùn)動(dòng)，求：在t=4 s的位置；在t=4 s運(yùn)動(dòng)的路程.四、變力作功1 N的力例4.由胡克定律知，把彈簧拉長(zhǎng)所需要的力與彈簧的伸長(zhǎng)量成正比.現(xiàn)已知 能使一個(gè)彈簧伸長(zhǎng) 0.01 m,求把彈簧拉長(zhǎng)0.1 m所作的功.五、定積分的綜合應(yīng)用4例5.已知拋物線y=x2-2x及直線x=0,x=a,y=0圍成的平面圖形的面積為一，求a的值.3分析：根據(jù)a的取值的不同分類討論，通過解方程求解.略談定積分的應(yīng)用物理、力學(xué)等都有十 由

7、于我們目前的基礎(chǔ)知識(shí)有限，我們可以本文在課本的基礎(chǔ)上再向同學(xué)們介紹一點(diǎn)另外的應(yīng)用，供學(xué)習(xí)時(shí)參考。數(shù)學(xué)在生活中誕生，在應(yīng)用中發(fā)展；定積分也是如此，它從計(jì)算曲邊梯形的面積開始 到計(jì)算曲線的弧長(zhǎng)， 再求變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的位移，到后來在幾何、 分廣泛的應(yīng)用，充分展現(xiàn)了定積分的威力。當(dāng)然， 掌握的應(yīng)用是有限的，1、求面積2、求體積例2、將拋物線例1、求由y2求所得旋轉(zhuǎn)體的體積。3、物體的作功例3、一彈簧在彈性限度內(nèi)，拉伸彈簧所用的力與彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度成正比，如果20N的力能使彈簧伸長(zhǎng)3cm，求把彈簧從平衡位置拉長(zhǎng) 13cm （在彈性限度內(nèi)）時(shí)所做的功。一道定積分問題的多種解法計(jì)算定積分xdx o0解法一

8、：（利用定積分的定義）1）分割：把區(qū)間0,1等份成n個(gè)小區(qū)間J,丄（i1,2,3,.,n），其長(zhǎng)n n其面積記為度為x 1 ,把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，nSi (iI2,3,，n) o（2）近似代替:S f（）xn用小矩形面積代替小曲邊梯形面積,i 1n1),(i1,2,3,.,n) o（3）作和:Si1)4r12n(n 1)（4）求極限：Slim 弓(in i 1 n1)lim皿n 2 n所以；3xdx 3 o解法二：（利用定積分的幾何意義）所求定積分為由y 3x,x 0, x 1, y 0圍成的圖形的面積。如圖所示，所求定積分即為陰影部分的面積，且面積為3。3o2（利用微積分基本定理）

9、21021203 o2解法三:所以3xdx133xdx x 02用定積分求面積的技巧求平面圖形的面積是定積分在幾何中的重要應(yīng)用.把求平面圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求定積分問題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.求解此類題常常用到以下技巧 .一、巧選積分變量求平面圖形面積時(shí)，要注意選擇積分變量，以使計(jì)算簡(jiǎn)便 .例1求拋物線y22x與直線y x 4圍成的平面圖形的面積.二、巧用對(duì)稱性在求平面圖形面積時(shí), 算過程的常用手段.注意利用函數(shù)的奇偶性等所對(duì)應(yīng)曲線的對(duì)稱性解題,也是簡(jiǎn)化計(jì)例2求由三條曲線x2,4y X2, y 1所圍圖形的面積.三、分割計(jì)算例3求由拋物線x2 4x 3及其在點(diǎn)M(0, 3)和點(diǎn)N(3,

10、0)處兩條切線所圍成的圖形的面積.用定積分求面積的兩個(gè)常用公式求平面圖形圍成的面積是定積分重要應(yīng)用之一,F面介紹求面積的兩個(gè)常用公式及其應(yīng)x用.、兩個(gè)常用公式公式一：由連續(xù)曲線y= f(x)，直線x= a, x= b與y= 0所圍成的曲邊梯形的面積A為bA=| f (x) | dx ab特別地，當(dāng)f(x)> 0時(shí)(如圖1), A= f(x)dx;f(x)dx;b當(dāng)f(x) w 0時(shí)(如圖2), A =a當(dāng)f(x)有正有負(fù)時(shí)(如圖3), A=cf (x)dxabf(x)dx cffli¥3SS¥?Sh?Ss?yaII Si IKglSSSSS'yc f(x) b

11、公式二：由連續(xù)曲線y = f(x), y = g(x), f(x) > g(x)y g(x)及直線x = a, x= b所圍成的圖形(如圖4)的面積A為bA= a f(x) g(x)dx a走出定積分運(yùn)用的誤區(qū)通過定積分與微積分基本定理部分知識(shí)的學(xué)習(xí), 初步了解定積分的概念, 為以后進(jìn)一步 學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ) 同時(shí)體會(huì)微積分的產(chǎn)生對(duì)人類文化發(fā)展的意義和價(jià)值, 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng) 新意識(shí)和創(chuàng)新精神 在實(shí)際解題中, 由于這部分知識(shí)的特殊性, 經(jīng)常會(huì)由于種種原因出現(xiàn)一 些錯(cuò)誤,下面結(jié)合實(shí)際加以剖析1公式應(yīng)用出錯(cuò)微積分基本定理為：一般地，如果f (x)是區(qū)間a, b上的連續(xù)函數(shù)，并且F (x)= f(x)，b那么 f(x)dx=F(b) F(a)a2幾何意義出錯(cuò)bbf (x)dx的幾何意義是介于 x a我們知道，當(dāng)函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上恒為正時(shí)，定積分af(x)d