類比探究專題

1、類比探究專題例1點(diǎn)，易證(1)如圖1,在等腰直角 ABC和等腰直角 CDE中，CD>BC點(diǎn)C，B, MDL MB MD=MB如圖2，將圖1中的 CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，使CDE的斜邊D在同一直線上， M是AE的中CE恰好與 ABC的邊BC垂直,題干中的其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？(2)將圖2中的 ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)大于0°且小于45°的角，如圖3所示，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.圖1D例2如圖1,在 ABC 中，AC BCCF，DF7o120,D在BC邊上。 BDE為等邊三角形，連接 AE ,F為AE中點(diǎn)，連請(qǐng)直接寫出CF、DF的關(guān)系，不必說明理

2、由；若將圖1中的 DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 必說明理由。將圖中的 DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 論是否成立？并說明理由。，其它條件不變，請(qǐng)作出相應(yīng)圖形，并直接給出結(jié)論，不(0°v <60°)，其它條件不變，如圖 2,試回答中的結(jié)A例3 (1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1,在矩形ABCD中, E是BC的中點(diǎn)，將 ABE沿AE折疊后得到 AFE點(diǎn)F 在矩形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng) AF交CD于點(diǎn)G猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.(2)類比探究：ABCD改為平行四邊形，其它條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明如圖2,將(1)中的矩形理由.DG圖1例4已知：如圖所示，直線M

3、A / NB, MAB與NBA的平分線交于點(diǎn)C ,過點(diǎn)C作一條直線I與 兩條直線MA NB分別相交于點(diǎn)D、（1）如圖1所示，當(dāng)直線I與直線 結(jié)論，不用證明；（2）如圖2所示，當(dāng)直線I與直線MA垂直時(shí)，猜想線段 AD、BE、AB之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出MA不垂直且交點(diǎn)D、E都在AB的同側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成 立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)直線I與直線MA不垂直且交點(diǎn) D、立，請(qǐng)說明理由；如果不成立，那么線段 寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系.AD、E在AB的異側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成BE、AB之間還存在某種數(shù)量關(guān)系嗎？如果存在，請(qǐng)直接丄BC上,/ EDB= 2

4、 / C,BEL DE垂足為E, DE與AB相交于例5在 ABC中,/ A= 90°，點(diǎn)D在線段點(diǎn)F.（1 ）當(dāng)AB= AC時(shí)（如圖1）, / EBF=° ； 探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；BE（2）當(dāng)AB= kAC時(shí)（如圖2）,求FD的值（用含k的式子表示）.例6 如圖1，在Rt ABC中，/ ACB=90 , CD! AB,垂足為 D,點(diǎn)E在AC上, BE交CD于點(diǎn)G, EF丄 BE交AB于點(diǎn)(1)(2)(3)如圖如圖如圖F, AC=mBC CE=nEA( m n為實(shí)數(shù)).試探究線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系.2,3,1,m=1, n=1時(shí)，求EF與EG的數(shù)量關(guān)系

5、.m=1, n為任意實(shí)數(shù)時(shí)，求 m n均為任意實(shí)數(shù)時(shí)，求EF與EG的數(shù)量關(guān)系.EF與EG的數(shù)量關(guān)系.圖1BAB例7在等腰直角三角形作 Rt BDE / BDE=90 ,DE與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)(1) 在圖2中, 請(qǐng)說明理由.(2) 在圖3中,ABC中，/ BAC=90 , AB=AC 直線 MN過點(diǎn)且點(diǎn)D在直線MN上 (不與點(diǎn)A重合).如圖則BD=DP是否成立？如果成立,DE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E圖1P,A且MN/ BC.以點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)1, DE與AC交于點(diǎn)P,易證：BD=DP請(qǐng)給予證明；如果不成立，BD與DP是否相等？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，無需證明.P,EAD丄BC于點(diǎn)D,點(diǎn)O是AC邊上一

6、點(diǎn)，連接 BQ交AD于點(diǎn)F,例 8 如圖 1，在 Rt ABC中，/ BAC=90 , OE丄OB交BC于點(diǎn)E(1)求證： ABF COE ；(2)如圖2,0為AC邊中點(diǎn),ACAB2時(shí),0為AC邊中點(diǎn),ACABn時(shí),OF求OE的值；OF請(qǐng)直接寫出0E的值.如圖3,當(dāng)圖1圖2圖3/ ABC玄ADC=90，可以證明:例9如圖1，已知/ MAN=120 , AC平分/ MAN DC=BC AC = AB+AD.(1) 如圖2,把題干中的條件“/ ABC玄ADC=90 ”改為/ ABC+Z ADC=180，其他條件不變，證明結(jié) 論和結(jié)論仍然成立.(2) 如圖3,如果D在AM的反向延長(zhǎng)線上，把題干中的條

7、件“/ ABC玄ADC=90 ”改為/ ABC玄ADC其他條件不變，結(jié)論和是否仍然成立？成立，請(qǐng)證明； 不成立，請(qǐng)說明理由.例10如圖，在等邊三角形 點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF/ AB交直線(1) 當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上， 線AB于點(diǎn)M)(2) 當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，/ NDB為銳角時(shí)，如圖 鈍角時(shí)，如圖3,ABC中，點(diǎn)D在直線BC上，連接 AD,作/ ADN=60，直線 DN交射線 AB于 DN于點(diǎn)F./ NDB為銳角時(shí)，如圖1，求證：CF+BE=CD (提示：過點(diǎn) F作FM/ BC交射請(qǐng)分別寫出線段 CF, BE的條件下，若/ADC=30，CD之間的數(shù)量關(guān)系，ABC 4J3，貝y bE=2;當(dāng)點(diǎn)

8、D在線段CB的延長(zhǎng)線上，/ NDB為 不需要證明.(3)在(2)C例11已知， ABC為等邊三角形，點(diǎn) D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)ADEF 使/ DAF=60,連接 CF.(1) 如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)， 求證：/ ADB=/ AFC; 請(qǐng)直接判斷結(jié)論/ AFC=/ ACB+/ DAC是否成立；(2) 如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，結(jié)論/ 出/AFC / ACB / DAC之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；(3) 如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn) A、F分別在直線 圖形，并直接寫出/ AFC / ACB / DAC之間存在的等量關(guān)系.D不與B C重合).以AD為

9、邊作菱形AFC=Z ACBb/ DAC是否成立？請(qǐng)寫B(tài)C的異側(cè)，其他條件不變，請(qǐng)補(bǔ)全圖2圖3圖1例12 (1)閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1,A ABC中，若AB=5, AC=3求BC邊上的中線 AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E,使得DE=AD再連接BE (或?qū)?ACD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到 EBD，把AB AC、2AD集中在 ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2<AE< 81< AD< 4.感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，把分

10、散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.(2) 問題解決：受到(1)的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖2,在 ABC中, D是BC邊上的中點(diǎn)，DE1 DE DE交AB于點(diǎn)E, DF交AC于點(diǎn)F,連接EF. 求證：BE+CF> EF; 若/ A=90°,探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明.(3) 問題拓展：如圖3,在四邊形 ABDC中,/ B+/ C=180° , DB=DC/ BDC=120，以D為頂點(diǎn)作一個(gè) 60°角，角的兩 邊分別交AB AC于E、BEEF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.F兩點(diǎn)，連接EF,探索線段圖1圖2CF、C圖3例13

11、如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分， 條面積等分線.例如，平行四邊形的一條對(duì)角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線.(1) 三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有;(2) 如圖1，梯形ABCD中, AB/ DC如果延長(zhǎng) DC到 E,使CE= AB,連接AE,那么有S梯形abcx Smde.請(qǐng)你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由，并過點(diǎn)A作出梯形ABCD勺面積等分線(不寫作法，保留作圖痕跡)；(3) 如圖2,四邊形ABCD中, AB與CD不平行，SA ADC> SA ABC過點(diǎn)A能否作出四邊形 ABCD勺面積 等分線？若能，請(qǐng)畫出面積等分線，并給出證

12、明；若不能，說明理由.我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一圖1圖2閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形 ABCD中，M是BC邊的中點(diǎn)，且 AMD 小關(guān)系。小雪同學(xué)的思路是：作 B點(diǎn)關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE、ME、 得到解決。請(qǐng)你參考小雪同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：寫出上面問題中 AB + CD與AD之間的大小關(guān)系；90DE，試判斷AB + CD與AD之間的大構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題如圖2，若將 AMD的度數(shù)改為1證明：AB -BC CD > AD ;2120°，原問題中的其他條件不變,如圖3，若 AMD 135，AB1, BC 2/2，求AD的最大值。1.若屬于類比

13、探究常見的結(jié)構(gòu)類型, 類比探究常見結(jié)構(gòu)：解決類比探究問題的處理思路 調(diào)用結(jié)構(gòu)類比解決.2.若不屬于常見結(jié)構(gòu)類型:中點(diǎn)結(jié)構(gòu)?？紤]平行夾中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)特征：等線段共點(diǎn)平行結(jié)構(gòu)作平行，造相似直角結(jié)構(gòu)“斜直角放正”根據(jù)題干條件，結(jié)合分支條件先解決第一問. 類比解決下一問.如果不能，分析條件變化，尋找 不變特征.結(jié)合所求目標(biāo)，依據(jù)不變特征，大膽猜測(cè)、嘗試、驗(yàn)證.借助上面填寫的內(nèi)容，做下面的小題【試題1】如圖1，在等腰直角 ABC和等腰直角 CDE中, CD>BC點(diǎn)C, B, D在同一直線上，M是AE的 中點(diǎn)，易證 MDL MB MDMB45°，使 CDE勺斜邊CE恰好與 ABC的邊BC垂直

14、，題(1) 如圖2,將圖1中的 CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)干中的其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？且小于451中的結(jié)論.首先需要證明圖的角，如圖3所示，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論.(2) 將圖2中的 ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)大于0°DACNE由M是AE的中點(diǎn)，AB/ DE發(fā)現(xiàn)有 平行夾中點(diǎn) 結(jié)構(gòu),延長(zhǎng)BM交DE于點(diǎn)N,可以得到 ABM2AENM 進(jìn)而得至y BM=MNAB=BC=EN DN=DB DBN是等腰直角三角形， MD_ MB MD=MBD(1)圖1和圖2中沒有發(fā)生變化的是 M是AE的中點(diǎn)，AB/ DE.分析AB/CE補(bǔ)全“平行夾中點(diǎn)”的結(jié)構(gòu)，照搬圖1中的證明思 路.延長(zhǎng)BM交CE于點(diǎn)

15、N,連接 BD DN能夠得到 ABM2 ENM ,進(jìn)而得到BM=MN進(jìn)一步證明 BCD2A NED可以得 到 DBN是等腰直角三角形，得到結(jié)論 MD_ MB MD=MB(2)圖2和圖3兩個(gè)等腰直角三角形沒有變化，M是AE的中點(diǎn)也沒有發(fā)生變化，所以可以照搬(1)中的證明思路.第一步構(gòu)造“平行夾中點(diǎn)”的輔助線，過點(diǎn) E作AB的平行線，交BM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接BD DN第二步證明 ABM2A ENM;第三步證明_ DBN是等腰直角三角形_，過程中需要證明/ BCD= / NED請(qǐng)?jiān)趫D中給出簡(jiǎn)要證明；第四步根據(jù) DBN是等腰直角三角形，得到結(jié)論 MDLMB MD=MB【試題2】如圖1,已知/ MAN

16、 120°, AC平分/ MAN / ABC/ ADC90°,可以證明DOBQAC= A&AD(1) 如圖2,把題干中的條件“/ ABC/ ADC90° ”改為/ ABC/ ADC18O°,其他條件不變，證明結(jié)論 和結(jié)論仍然成立.(2) 如圖3,如果D在AM的反向延長(zhǎng)線上，把題干中的條件“/ ABC/ ADC90°” 改為/ 立，請(qǐng)說明理由.AB(=/ ADC其他條件不變，結(jié)論和是否仍然成立？成立，請(qǐng)證明；不成1.2.3.角平分線的性質(zhì)得到 DCBC結(jié)論成立，利用含 30°角的直角三角形中AB-AC , AD - AC 證2

17、2明結(jié)論成立.第二問與第一問相比，垂直、直角三角形特征已經(jīng)變化，但化，屬于不變特征，考慮角平分線的性質(zhì)，構(gòu)造與圖1 一致的三角形，添加輔助線證明的路線圖為第一步：第二步：第三步：CD=CB第四步：不變特征/ MAN120°,AC平分/ MAN沒有發(fā)生變輔助線.由題干可知AC和AE, AF的關(guān)系是 CE笑(條件是),得到 ED=FBAC=AE+AF=FB+AD+AF=AD+a論均成立._，沒有發(fā)生變化，照搬上一問的證明思路.第一步：輔助線，第二步：第三步：第四步：由題干可知ac=ae+af結(jié)論成立，結(jié)論變?yōu)椤驹囶}11】在等腰直角三角形 ABC中,/ BAC90°, ABmAC直線MN過點(diǎn)A且MN/ BC以點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作 Rt BDE/ BDE9O°, 且點(diǎn)D在直線MN上(不與點(diǎn) A重合)如圖1, de與AC交于點(diǎn)P,易證：B&DP(1) 在圖2中，請(qǐng)說明理由.(2) 在圖3中，de與 CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)de與 AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E圖1P,P,則BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立,BD與 DP是否相等？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，無需證明.方法一：首先梳理易證的思路,CFD發(fā)現(xiàn)等線段共點(diǎn)，考慮“旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)”，可得DFBA dap所以B=DP梳理路線圖：過D作