立體幾何中用傳統(tǒng)法求空間角

1、1知識點：一. 異面直線所成角：平移法二. 線面角1. 定義法：此法中最難的是找到平面的垂線.1.)求證面垂線，2).圖形中是否有 面面垂直的結構，找到交線，作交線的垂線即可。2. 用等體積法求出點到面的距離sinA=d/PA三.求二面角的方法1、直接用定義找，暫不做任何輔助線;2、三垂線法找二面角的平面角 .C1AiNDk-'- 事M/I、例一：如圖，在正方體 ABCD ABiCiDi中，M、N分別是90CD、CCi的中點,則異面直線 AM與DN所成的角的大小是 考向二線面角 例二、 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，AD 丄 PD, BC=1, PC=3 , P

2、D=CD=2.(I )求異面直線PA與BC所成角的正切值；(II )證明平面 PDC丄平面ABCD(III )求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值。解：如圖，在四棱錐PADCD中， 面ABCD是矩形，所以ADBC且 又因為AD丄故ZPAD為異面直纟戔尢4與5C所成的角，在Rt PDA中5tan ZPAD = 竺 =2.所以，異面直線AD與BC所成的角的正切值為2(“)證明：由于底面貝療CD為矩形，故AD丄CD,又由于AD丄PD.1=1CDrPD=卩因此4D丄平面PDC,而川D C平面所以平面FQC丄平面ABCZZ (川)解：在平面PDC中，過點戸作PE丄CD交直線CD于點E連接EB由于平 面

3、PDC丄平面而直線CD是平面PDC 與平面ADCD所成的角，在 PDC中，由于 PD=CD-2, PC = 2血問得ZFCD= 30P 在 Rt A PEC 中，PE = PC畀訕30P =由AD/BaAD 丄平面FDC得i/C丄平面PDU因此BC丄PC 在 Rt 中，PB = Jpb +血=向，在所13以直線腳與平面ABCD所成角的正弦值為IT練習Ri PEB 中 sinZPBE = 如圖，在三棱錐 P ABC 中PASc底面PBABC, PA AB, ABC 60, BCA 90 , 點D , E分別在棱PB, PC上，且DE/BC(I)求證：BC 平面PAC ;(n)當D為PB的中點時，

4、求 AD與平面PAC所成的角的正 弦值；(I)T PA 丄底面 ABC , PA 丄 BC.又 BCA 90 AC 丄 BC. BC丄平面PAC.(n)v D 為 PB 的中點，DE/BC ,- DE -BC ,2又由（I）知，BC丄平面PAC, DE丄平面PAC,垂足為點E. / DAE是AD與平面PAC所成的角，/ PA 丄底面 ABC , PA丄 AB，又 PA=A B,考向三: ABP為等腰直角三角形，在 Rt ABC在 Rt ADE二面角問題AD中，ABC 60中，sin DAEDEADBC 1 AB.2BC2AD在圖中做出下面例題中二面角例三：.定義法（2011廣東理 如圖5.在椎

5、體 P-ABCD中,18）ABCD是邊長為1的棱形,且/ DAB=60 , PA PD 近,PB=2,E,F分別是BC,PC的中點.（1） 證明：AD 平面DEF;(2) 求二面角 P-AD-B的余弦值.PBG法一：（1）證明：取PA=PD，有 PGAD PB, ADPB/EF，得 ADAD 中點 G,連接 PG, BG, BD。AD，在 ABD 中，AB因此 BG AD, BGGB.EF，而 DE/GB 得 ADADPGDE,1,DAB又 fe de60 ，有ABD為以 AD 平面E ,所以AD平面DEF。c（2）Q PG AD, BG ADPGB為二面角pad B的平面角,2 2Rt PA

6、G 中，PG PA 在AG2Rt ABG 中,BG=AB sin60 在cos PGB PGlPB22PG BG3 -442住2 2法二：（1）取AD中點為G,因為PAPD,PGAD.又AB AD, DAB 60 , ABD為等邊三角形，因此，BG AD，從而AD平面 PBG。延長BG到O且使得PO OB，又PO 平面PBG，PO AD， AD OB G,所以P0 平面ABCD。以O為坐標原點，菱形的邊長為單位長度，直線OB，OP分別為x軸，z軸，平行于AD的直線為y軸，建立如圖所示空間直角坐標系。1 1設P（o,o，m），G（n，o,o）,則A（n，2,0），D（nG0）.uuuQ|GB |

7、uur| AB |sin60B(n件,0), C(n2件,0), E(n2當,1,0),f(2 42224uuuruurAD (0,1,0), DE 由于Luur得AD(弓QO),uuuFE(n 少 m)ADQ(2)uuurDE平面Luur0,ADDEF。uuuPA (n,n2uuuFE0, ADuuu2, m), PB (n2爲2 n 3)DE,AD FE,DE¥,0' m)m22,解之得mFE1,nn2取ABD的法向量PAD的法向量n20,得巧2証、取平面n2設平面a2b2uuuPA 由ni(0,0, 1),(a,b, c)uurc 0,由 PDn20,得一a2c 0,c

8、osni, rbL2第19題®19.（本小«分12分）如圖所示，在三棱柱-5C-中.四邊形A嗎B'B是邊長為2的正方形，四邊形Bgc是以ZSAQ = 60*的菱鄉(xiāng)，平面AAByB丄平面BB,CyC , AG=2邁.（1）求證：BQ 丄.qq：（2）求平ffij-ffjCi與平面所成二面兔的正切爼2、三垂線定理法例四.(廣東省惠州市 2013屆高三第三次調(diào)研理)(本小題滿分14分)如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1 中 ADAA1，AB 2，點E在棱AB上移動.(1)證明：AD ；(2)當E點為AB的中點時,求點E到平面ACD1的距離;EC D的大小為4 ?Cl

9、18.(本小題滿分14分)D1(3) AE等于何值時，二面角(1)證明：如圖，連接dB，依題意有:在長方形AADD1中，AD AAi四邊形A1ADD1 又AB 平面A1ADD1A1D AD1AB ADADI AB AAD 平面AD1BD1E 平面 AD1BADD1E(2)解=且c = 4屈;-AC =逛,DB! ECB=> =72&分G-忑二 r 1工二E 蟲片訝凡f 十 Dr = J5 DC =5SJ=?in 一 D卜 4C =丄2 3710?5101,311設蠱E到平面g的葩離為/ J II z廠嚴了蔦點E到平面ACD1的距離為3 .(3)解：過D作DF EC交EC于F，連接

10、D1F.由三垂線定理可知,DFD1為二面角 D1 ECD的平面角.DFD1DQFD1D 1DF10分sin DCFDFDCDCFBCF12分tan 3BEBCBEAEAB BE故AE 2丘時，二面角D1 ECD的平面角為4 . ”14分練習.如圖，在四面體 A BCD中，AB AD BD 2,DC 1,且BD DC，二面角A BD C大小為60° 求證：平面ABC 平面BCD ；求直線CD與平面ABC所成角的正弦值.(1)(2)17解：(1)在四面體A BCD中，取BD、BC中點分別為，連接MN ,DC ,則 MNM、NQ BD則 MN /DC BD又ADAB72 則 AMBDAMN 中,AM 1,MN60°,可知 ANM90°又 BD 面 AMN ,則 BD ANAN和兩相交直線 BD及MN均垂直，