工程力學(xué)11章

1、p穩(wěn)定性失效概念穩(wěn)定性失效概念p細長壓桿、屈曲失效、臨界載荷細長壓桿、屈曲失效、臨界載荷p歐拉公式、長細比、臨界應(yīng)力總圖歐拉公式、長細比、臨界應(yīng)力總圖p穩(wěn)定性計算，提高穩(wěn)定性的措施穩(wěn)定性計算，提高穩(wěn)定性的措施壓桿壓桿壓桿壓桿桁架中的壓桿桁架中的壓桿 細長桿件承受軸向壓縮細長桿件承受軸向壓縮載荷作用時，將會由于平載荷作用時，將會由于平衡的不穩(wěn)定性而發(fā)生失效，衡的不穩(wěn)定性而發(fā)生失效，這種失效稱為穩(wěn)定性失效，這種失效稱為穩(wěn)定性失效，又稱為屈曲失效。又稱為屈曲失效。 什么是受壓桿件的穩(wěn)定性，什么是屈曲失效，按什么是受壓桿件的穩(wěn)定性，什么是屈曲失效，按照什么準(zhǔn)則進行設(shè)計，才能保證壓桿安全可靠地工作，照什

2、么準(zhǔn)則進行設(shè)計，才能保證壓桿安全可靠地工作，這是工程常規(guī)設(shè)計的重要任務(wù)之一。這是工程常規(guī)設(shè)計的重要任務(wù)之一。 本章首先介紹關(guān)于彈性體平衡構(gòu)形穩(wěn)定性的基本本章首先介紹關(guān)于彈性體平衡構(gòu)形穩(wěn)定性的基本概念，包括：平衡構(gòu)形、平衡構(gòu)形穩(wěn)定與不穩(wěn)定的概念概念，包括：平衡構(gòu)形、平衡構(gòu)形穩(wěn)定與不穩(wěn)定的概念以及彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)判別準(zhǔn)則。然后根據(jù)微彎以及彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)判別準(zhǔn)則。然后根據(jù)微彎的屈曲平衡構(gòu)形，由平衡條件和小撓度微分方程以及端的屈曲平衡構(gòu)形，由平衡條件和小撓度微分方程以及端部約束條件，確定不同剛性支承條件下彈性壓桿的臨界部約束條件，確定不同剛性支承條件下彈性壓桿的臨界力。最后，本章還將介紹

3、工程中常用的壓桿穩(wěn)定設(shè)計方力。最后，本章還將介紹工程中常用的壓桿穩(wěn)定設(shè)計方法法安全因數(shù)法。安全因數(shù)法。 11.1 彈性平衡穩(wěn)定性的基本概念彈性平衡穩(wěn)定性的基本概念 結(jié)構(gòu)構(gòu)件或機器零件在壓縮載荷或其它特定載荷結(jié)構(gòu)構(gòu)件或機器零件在壓縮載荷或其它特定載荷作用下發(fā)生變形，最終在某一位置保持平衡，這一作用下發(fā)生變形，最終在某一位置保持平衡，這一位置稱為平衡位置，又稱為位置稱為平衡位置，又稱為平衡構(gòu)形。平衡構(gòu)形。 11.1.1 11.1.1 平衡位置的穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性平衡位置的穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性FFFF 承受軸向壓縮載荷的細長壓桿，有承受軸向壓縮載荷的細長壓桿，有可能存在兩種平衡構(gòu)形可能存在兩種平衡構(gòu)形直線

4、的平直線的平衡構(gòu)形、彎曲的平衡構(gòu)形。衡構(gòu)形、彎曲的平衡構(gòu)形。 FFFF壓桿的兩種平衡構(gòu)形穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡給一干擾力給一干擾力Q Q使桿微彎使桿微彎受力后桿仍然維持平衡構(gòu)形受力后桿仍然維持平衡構(gòu)形 當(dāng)干擾力當(dāng)干擾力Q Q解除后，若桿件能夠恢解除后，若桿件能夠恢復(fù)到原有平衡構(gòu)形復(fù)到原有平衡構(gòu)形穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡。若。若不能夠恢復(fù)到原有構(gòu)形（仍保持平不能夠恢復(fù)到原有構(gòu)形（仍保持平衡）衡）不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡。FFQ判別判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準(zhǔn)則 不穩(wěn)定的平衡構(gòu)形在任意微小的外界擾動下，將不穩(wěn)定的平衡構(gòu)形在任意微小的外界擾動下，將轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌胶鈽?gòu)形。

5、轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌胶鈽?gòu)形。 例如，不穩(wěn)定的細長壓桿的直線平衡構(gòu)形，在外例如，不穩(wěn)定的細長壓桿的直線平衡構(gòu)形，在外界的微小擾動下，將轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢钠胶鈽?gòu)形。這一過界的微小擾動下，將轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢钠胶鈽?gòu)形。這一過程稱為屈曲或失穩(wěn)。程稱為屈曲或失穩(wěn)。 通常，屈曲將使構(gòu)件失效通常，屈曲將使構(gòu)件失效, ,并導(dǎo)致相關(guān)的結(jié)構(gòu)發(fā)并導(dǎo)致相關(guān)的結(jié)構(gòu)發(fā)生坍塌。由于這種失效具有突發(fā)性，常常帶來災(zāi)難性生坍塌。由于這種失效具有突發(fā)性，常常帶來災(zāi)難性后果。后果。 11.1.2 11.1.2 臨界狀態(tài)與臨界載荷臨界狀態(tài)與臨界載荷 穩(wěn)定平衡構(gòu)形到屈曲（不穩(wěn)定平衡構(gòu)形）是一個穩(wěn)定平衡構(gòu)形到屈曲（不穩(wěn)定平衡構(gòu)形）是一個過程。過程。 介于這個

6、過程之間的平衡構(gòu)形介于這個過程之間的平衡構(gòu)形臨界平衡構(gòu)形臨界平衡構(gòu)形 處于臨界狀態(tài)時，桿件所受的施壓載荷處于臨界狀態(tài)時，桿件所受的施壓載荷稱稱臨界載臨界載荷荷，記：，記：F FPcrPcr或稱：或稱：“臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)”11.1.3 11.1.3 三種類型壓桿的臨界狀態(tài)三種類型壓桿的臨界狀態(tài)壓桿的分類：壓桿的分類：細長桿細長桿中長桿中長桿粗短桿粗短桿當(dāng)當(dāng)FpFpcr時不發(fā)生屈曲時不發(fā)生屈曲 當(dāng)當(dāng)Fp Fpcr時容易發(fā)生彈性屈曲時容易發(fā)生彈性屈曲當(dāng)當(dāng)FpFpcr時發(fā)生屈曲，但不再是彈性的時發(fā)生屈曲，但不再是彈性的不會發(fā)生屈曲，失效屬于強度破壞不會發(fā)生屈曲，失效屬于強度破壞三種壓桿的失效形式不同，

7、臨界載荷當(dāng)然也各不相同。三種壓桿的失效形式不同，臨界載荷當(dāng)然也各不相同。 FPOFPcr臨界點臨界點FPFPcrFPFPcr時，時， 0 0，這表明當(dāng)無限接近臨界載荷這表明當(dāng)無限接近臨界載荷時，在直線平衡構(gòu)形附近無時，在直線平衡構(gòu)形附近無窮小的鄰域內(nèi)存在微彎的屈窮小的鄰域內(nèi)存在微彎的屈曲平衡構(gòu)形。曲平衡構(gòu)形。 根據(jù)這一平衡構(gòu)形，由根據(jù)這一平衡構(gòu)形，由平衡條件和小撓度微分方程，平衡條件和小撓度微分方程，以及端部約束條件，即可確以及端部約束條件，即可確定臨界載荷。定臨界載荷。 11.2 細長壓桿的臨界載荷歐拉臨界力細長壓桿的臨界載荷歐拉臨界力11.2.1 11.2.1 兩端鉸支的細長壓桿兩端鉸支的

8、細長壓桿 假設(shè)壓力假設(shè)壓力F FP P無限接近臨界力無限接近臨界力F FPcrPcr，在外界擾動下壓，在外界擾動下壓桿處于微彎狀態(tài)?？疾煳潬顟B(tài)下局部壓桿的平衡桿處于微彎狀態(tài)?？疾煳潬顟B(tài)下局部壓桿的平衡M (x) = FP w (x)22dd-)(xwEIxM0dd222wkxwEIFkP2微分方程的解微分方程的解w =Asinkx + Bcoskx邊界條件邊界條件w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 00dd222wkxwEIFkP200sincos0ABklAklB1010sincosklklsin0kl 根據(jù)根據(jù)“線性代數(shù)線性代數(shù)”知識，上述方程中知識，上述方程中A A、B B

9、的系數(shù)不的系數(shù)不全為零的條件是方程組系數(shù)行列式等于零：全為零的條件是方程組系數(shù)行列式等于零：最小臨界載荷最小臨界載荷22PcrlEIF22Pcr2 n EIFlsin0kl ,1 2klnn, ,EIFkP2由此得由此得兩端鉸支細長桿臨界力計算公式兩端鉸支細長桿臨界力計算公式得到得到屈曲位移函數(shù)屈曲位移函數(shù) sinn xw xAl00sincos0ABklAklB1w =Asinkx + Bcoskx 其中其中A為未定常數(shù)。這表明為未定常數(shù)。這表明屈曲位移是不確定的屈曲位移是不確定的量。這與開始推導(dǎo)公式時假設(shè)壓桿處于任意微彎狀態(tài)量。這與開始推導(dǎo)公式時假設(shè)壓桿處于任意微彎狀態(tài)是一致的。是一致的。

10、 sin0kl 0B 11.2.2 11.2.2 其他剛性支承細長桿臨界載荷的通用公式其他剛性支承細長桿臨界載荷的通用公式壓桿的通用式壓桿的通用式歐拉公式歐拉公式Fcr =p p2EI(m ml)2(11-2)式中：式中：m ml有效長度（相當(dāng)長度）有效長度（相當(dāng)長度）m m長度系數(shù)（支座影響系數(shù)）長度系數(shù)（支座影響系數(shù)）EI最小抗彎剛度最小抗彎剛度約束條件約束條件 兩端鉸支兩端鉸支 一端固定一端固定一端自由一端自由 一端固定一端固定一端鉸支一端鉸支 兩端固定兩端固定 撓撓曲曲線線形形狀狀 長度因數(shù)長度因數(shù)m m 1.020.70.5FcrlFcr2llFcrl0.7ll0.5lFcr 問題的

11、提出：問題的提出：4根材料和直徑相同，但是長度不根材料和直徑相同，但是長度不同、支承不同的壓桿同、支承不同的壓桿 能不能應(yīng)用歐拉公式計能不能應(yīng)用歐拉公式計算四根壓桿的臨界載荷？算四根壓桿的臨界載荷？ 四根壓桿是不是都會發(fā)生四根壓桿是不是都會發(fā)生彈性屈曲？彈性屈曲？11.3 長細比概念長細比概念 三類不同壓桿判斷三類不同壓桿判斷11.3.1 11.3.1 長細比的定義與概念長細比的定義與概念歐拉公式只有在彈性范圍內(nèi)才是適用的。這就要求在歐拉公式只有在彈性范圍內(nèi)才是適用的。這就要求在臨界載荷作用下，壓桿在直線平衡構(gòu)形時，其橫截面臨界載荷作用下，壓桿在直線平衡構(gòu)形時，其橫截面上的正應(yīng)力小于或等于材料

12、的比例極限上的正應(yīng)力小于或等于材料的比例極限 PcrcrpFA其中稱為其中稱為cr臨界應(yīng)力；臨界應(yīng)力； p為材料的比例極限。為材料的比例極限。 能否在計算臨界載荷之前，預(yù)先判斷哪一類壓桿將發(fā)能否在計算臨界載荷之前，預(yù)先判斷哪一類壓桿將發(fā)生彈性屈曲？哪一類壓桿將發(fā)生超過比例極限的非彈性生彈性屈曲？哪一類壓桿將發(fā)生超過比例極限的非彈性屈曲？哪一類不發(fā)生屈曲而只有強度問題？回答當(dāng)然是屈曲？哪一類不發(fā)生屈曲而只有強度問題？回答當(dāng)然是肯定的。為了說明這一問題，需要引進長細比的概念?？隙ǖ摹榱苏f明這一問題，需要引進長細比的概念。 長細比長細比令：令：m mlil l = l l桿件的桿件的柔度柔度，又稱

13、，又稱長細比長細比。無量綱。無量綱性質(zhì)：性質(zhì)：與約束、長度、截面尺寸及形狀相關(guān)。與約束、長度、截面尺寸及形狀相關(guān)。IiA2222PcrcrlmEAlEIAF用柔度表示的細長桿臨界應(yīng)力公式用柔度表示的細長桿臨界應(yīng)力公式 11.3.2 11.3.2 三類不同壓桿的區(qū)分三類不同壓桿的區(qū)分因，屈曲在彈性范圍內(nèi)導(dǎo)出因，屈曲在彈性范圍內(nèi)導(dǎo)出故有：故有：在比例極限內(nèi)有效在比例極限內(nèi)有效令：當(dāng)材料達到比例極限時的長細比為令：當(dāng)材料達到比例極限時的長細比為“l(fā) lp” 當(dāng)材料屈服極限時的長細比為當(dāng)材料屈服極限時的長細比為“l(fā) ls” 大柔度桿大柔度桿當(dāng)當(dāng)l ll lp時，壓桿將發(fā)生彈性屈曲。這時，壓桿將發(fā)生彈性

14、屈曲。這時，壓桿在直線平衡構(gòu)形下橫截面上的正應(yīng)力不超過時，壓桿在直線平衡構(gòu)形下橫截面上的正應(yīng)力不超過材料的比例極限，這類壓桿稱為大柔度桿或材料的比例極限，這類壓桿稱為大柔度桿或細長桿細長桿。 2Pcrcrp2FEAl 小柔度桿小柔度桿當(dāng)當(dāng)l ll ls時，壓桿不會發(fā)生屈曲，但將時，壓桿不會發(fā)生屈曲，但將會發(fā)生屈服。這類壓桿稱為小柔度桿或會發(fā)生屈服。這類壓桿稱為小柔度桿或粗短桿粗短桿。 中柔度桿中柔度桿當(dāng)當(dāng)l lsl ll l l ls l l l l l ls l l 2.2m規(guī)定值規(guī)定值1.7m;1.7m; 地面未夯實，局部桿受力大；地面未夯實，局部桿受力大； 與墻體連接點太少；與墻體連接點

15、太少； 安全因數(shù)太低：安全因數(shù)太低：1.11-1.751.11-1.75 一固一鉸一固一鉸0.7兩鉸兩鉸1.0自由自由2.0 合理選擇截面形狀合理選擇截面形狀 當(dāng)壓桿兩端在各個方向上都具有相同的約束條件當(dāng)壓桿兩端在各個方向上都具有相同的約束條件時，壓桿將在剛度最小的主軸平面內(nèi)屈曲。時，壓桿將在剛度最小的主軸平面內(nèi)屈曲。這時如果這時如果只增加截面某個方向的慣性矩，并不能提高壓桿的承只增加截面某個方向的慣性矩，并不能提高壓桿的承載能力。載能力。 對于一定的橫截面面積，正方形截面或圓截面比矩對于一定的橫截面面積，正方形截面或圓截面比矩形截面好；空心正方形或圓環(huán)形截面比實心截面好。形截面好；空心正方形

16、或圓環(huán)形截面比實心截面好。 A實=A空，I實I空 當(dāng)壓桿端部在不同的方向上具有不同的約束條件時，當(dāng)壓桿端部在不同的方向上具有不同的約束條件時，應(yīng)采用最大與最小主慣性矩不等的截面（例如矩形截應(yīng)采用最大與最小主慣性矩不等的截面（例如矩形截面），并使壓桿在慣性矩較小的方向具有較剛性的約束，面），并使壓桿在慣性矩較小的方向具有較剛性的約束，盡量使壓桿在兩個主慣性矩方向的柔度相互接近。盡量使壓桿在兩個主慣性矩方向的柔度相互接近。 合理選用材料合理選用材料 在其他條件均相同的情形下，選用彈性模量在其他條件均相同的情形下，選用彈性模量E數(shù)值數(shù)值大的材料，可以提高大柔度壓桿的承載能力。大的材料，可以提高大柔度

17、壓桿的承載能力。 對于細長鋼制壓桿，若選用高強度鋼，對壓桿臨對于細長鋼制壓桿，若選用高強度鋼，對壓桿臨界載荷的影響甚微，意義不大，反而造成材料的浪費。界載荷的影響甚微，意義不大，反而造成材料的浪費。但是，對于粗短桿或中長桿。其臨界載荷與材料的比但是，對于粗短桿或中長桿。其臨界載荷與材料的比例極限和屈服強度有關(guān)，這時選用高強度鋼會使臨界例極限和屈服強度有關(guān)，這時選用高強度鋼會使臨界載荷有所提高。載荷有所提高。 u正確地進行受力分析，準(zhǔn)確地判斷結(jié)構(gòu)中哪些桿正確地進行受力分析，準(zhǔn)確地判斷結(jié)構(gòu)中哪些桿件承受壓縮載荷，對于這些桿件必須按穩(wěn)定性設(shè)計件承受壓縮載荷，對于這些桿件必須按穩(wěn)定性設(shè)計準(zhǔn)則進行穩(wěn)定性

18、計算或穩(wěn)定性設(shè)計。準(zhǔn)則進行穩(wěn)定性計算或穩(wěn)定性設(shè)計。 微型鋼制圓軸，在室溫下安裝，這時軸既不沿軸向微型鋼制圓軸，在室溫下安裝，這時軸既不沿軸向移動，也不承受軸向載荷，當(dāng)溫度升高時，軸和機架將移動，也不承受軸向載荷，當(dāng)溫度升高時，軸和機架將同時因熱膨脹而伸長，但二者材料的線膨脹系數(shù)不同，同時因熱膨脹而伸長，但二者材料的線膨脹系數(shù)不同，而且軸的線膨脹系數(shù)而且軸的線膨脹系數(shù)大于大于機架的線膨脹系數(shù)。請機架的線膨脹系數(shù)。請大家大家分分析，當(dāng)溫度升高時，軸有沒有穩(wěn)定問題？析，當(dāng)溫度升高時，軸有沒有穩(wěn)定問題？ 11.6.4 11.6.4 穩(wěn)定性計算中的幾個重要問題穩(wěn)定性計算中的幾個重要問題u要根據(jù)壓桿端部約

19、束條件以及截面的幾何形狀，正要根據(jù)壓桿端部約束條件以及截面的幾何形狀，正確判斷可能在哪一個平面內(nèi)發(fā)生屈曲，從而確定歐拉確判斷可能在哪一個平面內(nèi)發(fā)生屈曲，從而確定歐拉公式中的截面慣性矩，或壓桿的柔度。公式中的截面慣性矩，或壓桿的柔度。 兩端球鉸約束細長桿的各種可能截面形狀，請讀者兩端球鉸約束細長桿的各種可能截面形狀，請讀者自行分析，壓桿屈曲時橫截面將繞哪一根軸轉(zhuǎn)動？自行分析，壓桿屈曲時橫截面將繞哪一根軸轉(zhuǎn)動？u確定壓桿的柔度，判斷屬于哪一類壓桿，采用合確定壓桿的柔度，判斷屬于哪一類壓桿，采用合適的臨界應(yīng)力公式計算臨界載荷。適的臨界應(yīng)力公式計算臨界載荷。 根圓軸截面壓桿，若材料和根圓軸截面壓桿，若材料和圓截面尺寸都相同，請圓截面尺寸都相同