（推薦）全國高中數(shù)學(xué)備戰(zhàn)必讀

1、2010全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽須知一、2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽將執(zhí)行新方案一試考試時間為8：009：20，共80分鐘，包括8道填空題（每題7分）和3道解答題（分別為14分、15分、15分），滿分100分。二試考試時間為9：4012：10，共150分鐘，包括4道解答題，涉及平面幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四個方面。每題50分，滿分200分。二、2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽將在分值上做一些調(diào)整據(jù)相關(guān)消息，2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽將在分值上做一些調(diào)整。 題型、題量和時間都沒有變化。具體分值變化見下表。題型調(diào)整前調(diào)整后一試填空7*88*8一試（一）1416一試（二）1520一試（三）1520一試總100120二

2、試（一）5040二試（二）5040二試（三）5050二試（四）5050二試總200180由此可見，聯(lián)賽對一試的重視程度進一步增加，聯(lián)賽有“高考化”的趨勢。各位數(shù)學(xué)競賽選手應(yīng)對這個變化保持高度重視，并適當加強一試訓(xùn)練，保證簡單題速度和正確率。三、近幾年全國聯(lián)賽試題情況分析近幾年全國聯(lián)賽試題的產(chǎn)生是由各地征題，組委會統(tǒng)籌，多次篩選而編成的。題目的難易程度各年的波動很大，隨機性較強，頗有股市難料之感。盡管如此，從2001年至2008年的聯(lián)賽試題分布情況來看，也能在宏觀上了解個大概。只要“網(wǎng)”張大一點兒，還是能捕到大魚的。1、首先談?wù)勑☆}即選擇題和填空題。小題中函數(shù)、不等式、立體幾何、解析幾何、向量、

3、概率、排列組合幾乎年年考。函數(shù)中的奇偶性、二次函數(shù)、簡單的函數(shù)方程是熱點。不等式中的解不等式、均值不等式、柯西不等式是熱點。立體幾何中的傳統(tǒng)方法和空間向量相結(jié)合是熱點。解析幾何中的問題幾乎是高考試題再現(xiàn)。向量中的熱點是常與平面幾何相結(jié)合，重點是理解定義和表達式。概率屬新增題型，基本上是古典概型，實質(zhì)上是計數(shù)問題。排列組合花樣較多，熱衷于新定義新背景。小題中有新的趨向。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；三次函數(shù)（同樣也可能了現(xiàn)在大題中）；幾何概型（同樣也可能了現(xiàn)在大題中）；簡單數(shù)論；極坐標。這些題型在近幾年的聯(lián)賽中頻頻出現(xiàn)。2、其次談?wù)劥箢}即一試的解答題。有關(guān)不等式的問題幾乎每年都出現(xiàn)?？疾榈膫?cè)面各有不同，須具備完整

4、的不等式解題知識和技巧，才能勝出。最近幾年均出現(xiàn)離散類的問題，好像都有兩小問，第一問較簡單，第二問則較難，多涉及反證法、局部調(diào)整法、歸納法、函數(shù)構(gòu)造、賦值法等常用手段。函數(shù)問題都不單獨出現(xiàn)，多與不等式、方程或數(shù)學(xué)歸納法相結(jié)合。數(shù)列問題幾乎是熱點，清一色的是遞推數(shù)列；其與簡單數(shù)論相結(jié)合進行考查好像是未來發(fā)展的方向。解析幾何問題呈現(xiàn)兩個發(fā)展的方向：討論型；與平面幾何的重要結(jié)論相結(jié)合；但總是有很大的難度，都要“探挖”才能找到解決的方法。大題有爆冷門的可能。如：立體幾何；復(fù)數(shù)。3、最后談?wù)劶釉囶}。要想聯(lián)賽復(fù)賽獲獎，加試題至少要完整地做出一題。第一題慣例是平面幾何題。常見的手段是四點共圓、三角形的性質(zhì)、

5、等式變形、著名定理等相結(jié)合。近幾年難度有些降低，06年有回升且與圓錐曲線和三角相結(jié)合，賦予新的方向，但仍會是以線段的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系，邊角關(guān)系等為主體。第二、第三題題型不定，多與函數(shù)、不等式、數(shù)列有關(guān)，也常與專業(yè)競賽理論如：組合、圖論、數(shù)論等有了解。思路奇巧，沒有經(jīng)過專門訓(xùn)練的學(xué)生是很難做出的。 訓(xùn)練工作的最終目標需要明確。定位于聯(lián)賽一等獎的訓(xùn)練和定位于CMO的訓(xùn)練力度是不一樣的。定位于聯(lián)賽一等獎的訓(xùn)練，重心放在一試和加試的平面幾何題上。定位于CMO的訓(xùn)練，重心還須向?qū)I(yè)理論方向靠攏；訓(xùn)練的題目除了通常的模擬訓(xùn)練題外，還要經(jīng)?！肮忸櫋盜MO的試題和預(yù)選題，有時還應(yīng)請專家教授來作指點或講座。取

6、法乎上，往往能取勝。三、研究近幾年的聯(lián)賽試題 明確聯(lián)賽幾何的命題規(guī)律 01年：根軸 02年 托勒密定理 03年 塞瓦定理 04年 圖形的基本計算 05年 三角形的“五心” 06年 平面圖形與圓錐曲線的結(jié)合 07年 三角形的垂線的充要條件 08年 托勒密定理 和圖形的簡單計算我們可以看到聯(lián)賽試題比較基礎(chǔ)，難度不太高。但做題方法比較靈活。大家可以有針對性的研究考題。注重近幾年試題的特征。同時看一看中等數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的另解，很有好處。關(guān)注幾何專著 陜西師大的羅增儒教授多次為聯(lián)賽命制幾何題，他也出了幾何書，研究研究有好處。另外，安慶黃全福老師也多次命了聯(lián)賽試題。比如：2000年是改編而來的。廣州的吳偉朝

7、老師也是比較有名的命題專家?？匆豢次蚁雽忸}的思維有幫助。四、數(shù)學(xué)競賽的體系簡介數(shù)學(xué)競賽的知識主要是4個方面代數(shù)，幾何，數(shù)論和組合。雖然這四個方面在內(nèi)容上相差很大，但是在實際應(yīng)用中是互相了解的，畢竟純粹的某一方面的題目要么就是太簡單，要么就是太難，故而這兩種題目出現(xiàn)的幾率都不大。 代數(shù)代數(shù)的基礎(chǔ)是計算，需要有扎實的算功和細密的思維，這個可以通過做一定數(shù)量的函數(shù)、數(shù)列和復(fù)數(shù)的題目練習(xí)。當有了比較好的代數(shù)功底后，在處理各種繁難的問題時也會感到游刃有余。參考華南師大附中習(xí)題集代數(shù)部分 函數(shù)在基礎(chǔ)部分函數(shù)主要起鋪墊作用，這部分的題目一般不難，主要就是基本的代數(shù)變形和討論。入門競賽書上的這部分內(nèi)容都差不

8、多，參考奧數(shù)教程高一分冊。函數(shù)部分的難點是函數(shù)方程和高斯函數(shù)。 函數(shù)方程這個部分的題目在大賽中經(jīng)常出現(xiàn)，Cauchy方法是解決此類問題最一般也是最為重要的方法，同時要注意考察0點，不動點和特殊值，并注意常用的代換。在函數(shù)方程的學(xué)習(xí)過程中可以適當參考微分方程的解法，對于一些很難看出原函數(shù)的題目往往可以先假定函數(shù)可微，利用微分方程求出原函數(shù)，再根據(jù)原函數(shù)的特點給出初等方法的證明。參考函數(shù)方程，題典代數(shù)卷 高斯函數(shù)重要的數(shù)論函數(shù)，在數(shù)論中用處很多，數(shù)量掌握其變形技巧對于簡化解題過程有很大的幫助。同時注意，在處理高斯函數(shù)的時候的代換技巧。參考奧林匹克數(shù)學(xué)研究教程中高斯函數(shù)部分，2005年國家隊選拔賽試

9、題 數(shù)列數(shù)列是高中學(xué)習(xí)的一個重點部分，它的題目可以和代數(shù)中任何部分了解起來，因而備受命題者青睞。這部分的學(xué)習(xí)需要熟練掌握各種常見數(shù)列的通項求法和不動點的相關(guān)理論，注意計算能力的培養(yǎng)。參考奧數(shù)教程高一分冊，奧林匹克數(shù)學(xué)研究教程中數(shù)列部分 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)部分主要是注意數(shù)形結(jié)合，習(xí)慣復(fù)數(shù)問題幾何化，代數(shù)問題幾何化的思想。注意經(jīng)典題目的思想，這部分的題目涉及到數(shù)學(xué)中很多重要的方法，簡單題目要仔細研究。參考奧林匹克數(shù)學(xué)研究教程中復(fù)數(shù)部分 不等式不等式是數(shù)學(xué)競賽中必考題型，而且每次出現(xiàn)新題能夠解出的人都寥寥無幾。此部分的題目方法很多，代數(shù)技巧非常強，但是大部分都只是A-G不等式和Cauchy不等式的變形使用。因

10、而在解題的時候思維一定要清晰，不要陷入式子的海洋而迷失了方向，千萬不要胡亂套用高等不等式。當然，對于Jensen不等式等高等數(shù)學(xué)中的不等式也必須了解。在解題的時候要充分利用取等號的條件尋求解題的線索，書寫時也要主要寫出取等號的條件。參考奧林匹克數(shù)學(xué)研究教程中不等式部分，題典代數(shù)卷，歷屆大賽題目 多項式多項式是數(shù)學(xué)競賽中 思想方法偏向于高等數(shù)學(xué)的一個部分，解題時主要考察一個式子的兩種表示形式即 并且注意特殊值的考察。注意到這里的一般是復(fù)數(shù)，故而會涉及到復(fù)數(shù)的處理技巧，特別是Chebyshev多項式。同時熟練掌握Lagrange和Newton兩個插值公式。參考奧林匹克數(shù)學(xué)研究教程中多項式部分，題典

11、代數(shù)卷，數(shù)學(xué)奧賽叢書中不等式和柯西不等式兩冊，歷屆大賽題目 幾何高中部分的幾何包括平面幾何，解析幾何和立體幾何。一般來說后兩種只會在一試中出現(xiàn)，而且難度不大，主要考察基本知識點的掌握和計算的熟練程度；而平面幾何則是競賽必考題型之一，考察選手對于圖形的把握和思維的活躍程度。 平面幾何基礎(chǔ)知識在每一本競賽書中都會提到，要熟練掌握Menelaus定理，Ceva定理，Simson定理，Euler定理和Ptolemy定理。對于幾何中的常見結(jié)論要非常熟悉，并且熟悉各種幾何變換，包括平移，旋轉(zhuǎn)，位似，配極和反演。這部分的知識點不多，主要就是選手對于圖形結(jié)構(gòu)的把握。在處理題目的時候要注意靈活選取多種方法，不要

12、以為追求純平幾證明，適當引入三角，解析幾何，向量和復(fù)數(shù)對于證明題目是相當有益的。參考近代歐氏幾何學(xué)，湖南幾何卷，華南師大附中習(xí)題集幾何部分 幾何不等式這個部分題目難度很大，比常規(guī)平幾題目難與下手，參加高層次競賽的選手需要加強訓(xùn)練。參考幾何不等式 解析幾何這部分的題目一般都會涉及到大量的計算，重點就是對于計算能力的訓(xùn)練。在剛開始的時候不要追求最簡做法，只要保證計算正確性就可以。在達到了一定的水品后，對于做法的簡潔性的思考會自然顯現(xiàn)，要注意思維的自然性和方法的對稱性。參考奧數(shù)教程高二分冊，解析幾何的技巧單尊著 立體幾何這部分是對空間想象能力的訓(xùn)練，一般題目都很簡單，故而即使空間想象能力不強的人也可

13、以通過解析幾何求解大部分的題目。注意作圖的美觀和計算的準確性。參考奧數(shù)教程高一分冊，奧林匹克數(shù)學(xué)研究教程中立體幾何部分 數(shù)論數(shù)論是競賽中非常優(yōu)美的部分，其中涉及到初等數(shù)論中很多古典的技巧。通過這部分的學(xué)習(xí)，可以掌握定義一個新的體系的過程和方法，故而一定要注意這部分內(nèi)容是一個體系，是密不可分的。學(xué)習(xí)數(shù)論一定要仔細研讀初等數(shù)論，部分講述不詳細的可以參考華羅庚教授的數(shù)論導(dǎo)引，熟練掌握基本的思想和方法，很多難題都是以很簡單的題目的方法編制而成。參考初等數(shù)論，數(shù)論導(dǎo)引，華南師大附中習(xí)題集數(shù)論部分，題典數(shù)論卷 經(jīng)典不定方程這個部分是經(jīng)典部分，基本的技巧就是不停地取模，因式分解和代數(shù)變形，題目一般不會很難，

14、只要注意特殊情況就行了。 Pell方程這個部分是近幾年命題的熱點，它的多種形式的通解公式和推導(dǎo)都需要掌握。掌握這部分知識需要學(xué)習(xí)Legendre符號，Gauss二次互反律，Jacobi符號，連分數(shù)，無理數(shù)的有理逼近等知識。 指數(shù)和原根這個部分在競賽中雖然不會明確被提出，但是很多思想其實就是使用的這部分知識，因此熟練掌握非常有益。 組合這個部分是真正的大雜燴，在前面提到的三個方面的知識在這里都會得到應(yīng)用，同時它還有自己的一些方法。每道題都會有不同的方法，因而思維需要高度的發(fā)散。一般來說，除了經(jīng)典類型的題目可以用一些萬能方法求解外，剩下的題目求解完全是一種數(shù)學(xué)直覺的體現(xiàn)，需要大量的訓(xùn)練和不斷的總結(jié)

15、，修正自己思維在解題時的偏差。參考題典組合卷，華南師大附中習(xí)題集組合部分，奧林匹克數(shù)學(xué)研究教程組合部分 五、全國高中數(shù)學(xué)競賽經(jīng)驗1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽判卷以檔次分為主如果不會要盡可能多寫以贏得步驟分 2、可以關(guān)注以下幾點：（1）注意審題。把題目多讀幾遍，弄清這個題目求什么，已知什么，求、知之間有什么關(guān)系，把題目搞清楚了再動手答題。 （2）答題順序不一定按題號進行?？上葟淖约菏煜さ念}目答起，從有把握的題目入手，使自己盡快進入到解題狀態(tài)，產(chǎn)生解題的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的題目。若有時間，再去拼那些把握不大或無從下手的題。這樣也許能超水平發(fā)揮。（3）數(shù)學(xué)聯(lián)賽題大約有70%的題目都是直接法，要

16、注意對符號、概念、公式、定理及性質(zhì)等的理解和使用，例如函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的性質(zhì)就是常見題目。（4）挖掘隱含條件，注意易錯易混點，例如集合中的空集、函數(shù)的定義域、應(yīng)用性問題的限制條件等。 （5）方法多樣，不擇手段。高中聯(lián)賽試題凸現(xiàn)能力，小題要小做，注意巧解，善于使用數(shù)形結(jié)合、特值（含特殊值、特殊位置、特殊圖形）、排除、驗證、轉(zhuǎn)化、分析、估算、極限等方法，一旦思路清晰，就迅速作答。不要在一兩個小題上糾纏，杜絕小題大做，如果確實沒有思路，也要堅定信心，“題可以不會，但是要做對”，即使是“蒙”也有25%的勝率。（6）控制時間。一般不要超過40分鐘，最好是25分鐘左右完成選擇題，爭取又快又準，為后面的解答

17、題留下充裕的時間，一試只有80分鐘要分配好時間 ，其形態(tài)短小精悍，考查目標集中，答案簡短、明確、具體，不必填寫解答過程，評分客觀、公正、準確填空題的考點少，目標集中。否則，試題的區(qū)分度差，其考試的信度和效度都難以得到保證。這是因為：填空題要是考點多，解答過程長，影響結(jié)論的因素多，那么對于答錯的考生便難以知道其出錯的真正原因，有的可能是一竅不通，入手就錯了；有的可能只是到了最后一步才出錯，但他們在答卷上表現(xiàn)出來的情況一樣，得相同的成績，盡管他們的水平存在很大的差異。解題策略： ，只針對不同的特征給幾條建議： 一是填空題絕大多數(shù)是計算型（尤其是推理計算型）和概念（或性質(zhì)）判斷性的試題，應(yīng)答時必須按

18、規(guī)則進行切實的計算或合乎邏輯的推演和判斷； 二是作答的結(jié)果必須是數(shù)值準確，形式規(guī)范，例如集合形式的表示、函數(shù)表達式的完整等，結(jié)果稍有毛病便是零分； 用特殊值法.換元法.執(zhí)果索因.先猜后證.（1）常見失分因素：對題意缺乏正確的理解，應(yīng)做到慢審題快做題；公式記憶不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性質(zhì)等；思維不嚴謹，不要忽視易錯點；解題步驟不規(guī)范，一定要按課本要求，否則會因不規(guī)范答題失分，避免“對而不全”如解概率題，要給出適當?shù)奈淖终f明，不能只列幾個式子或單純的結(jié)論，表達不規(guī)范、字跡不工整等非智力因素會影響閱卷老師的“感情分”；計算能力差失分多，會做的一定不能放過，不能一味求快，例如平面解析中的圓錐曲

19、線問題就要求較強的運算能力；輕易放棄試題，難題不會做，可分解成小問題，分步解決，如最起碼能將文字語言翻譯成符號語言、設(shè)應(yīng)用題未知數(shù)、設(shè)軌跡的動點坐標等，都能拿分。也許隨著這些小步驟的羅列，還能悟出解題的靈感。（2）何為“分段得分”：對于同一道題目，有的人理解的深，有的人理解的淺；有的人解決的多，有的人解決的少。為了區(qū)分這種情況，高考的閱卷評分辦法是懂多少知識就給多少分。這種方法我們叫它“分段評分”，或者“踩點給分”踩上知識點就得分，踩得多就多得分。與之對應(yīng)的“分段得分”的基本精神是，會做的題目力求不失分，部分理解的題目力爭多得分。對于會做的題目，要解決“會而不對，對而不全”這個老大難問題。有的

20、考生拿到題目，明明會做，但最終答案卻是錯的會而不對。有的考生答案雖然對，但中間有邏輯缺陷或概念錯誤，或缺少關(guān)鍵步驟對而不全。因此，會做的題目要特別注意表達的準確、考慮的周密、書寫的規(guī)范、語言的科學(xué)，防止被“分段扣分”。經(jīng)驗表明，對于考生會做的題目，閱卷老師則更注意找其中的合理成分，分段給點分，所以“做不出來的題目得一二分易，做得出來的題目得滿分難”。對絕大多數(shù)考生來說，更為重要的是如何從拿不下來的題目中分段得點分。我們說，有什么樣的解題策略，就有什么樣的得分策略。把你解題的真實過程原原本本寫出來，就是“分段得分”的全部秘密。缺步解答：如果遇到一個很困難的問題，確實啃不動，一個聰明的解題策略是，

21、將它們分解為一系列的步驟，或者是一個個小問題，先解決問題的一部分，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步，尚未成功不等于失敗。特別是那些解題層次明顯的題目，或者是已經(jīng)程序化了的方法，每一步得分點的演算都可以得分，最后結(jié)論雖然未得出，但分數(shù)卻已過半，這叫“大題拿小分”。跳步答題：解題過程卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的。這時，我們可以先承認中間結(jié)論，往后推，看能否得到結(jié)論。如果不能，說明這個途徑不對，立即改變方向；如果能得出預(yù)期結(jié)論，就回過頭來，集中力量攻克這一“卡殼處”。由于考試時間的限制，“卡殼處”的攻克如果來不及了，就可以把前面的寫下來，再寫出“證實某步之后，繼續(xù)有”一直做到底。也許，后來中間

22、步驟又想出來，這時不要亂七八糟插上去，可補在后面。若題目有兩問，第一問想不出來，可把第一問作“已知”，先做第二問，這也是跳步解答。退步解答：“以退求進”是一個重要的解題策略。如果你不能解決所提出的問題，那么，你可以從一般退到特殊，從抽象退到具體，從復(fù)雜退到簡單，從整體退到部分，從較強的結(jié)論退到較弱的結(jié)論?？傊?，退到一個你能夠解決的問題。為了不產(chǎn)生“以偏概全”的誤解，應(yīng)開門見山寫上“本題分幾種情況”。這樣，還會為尋找正確的、一般性的解法提供有意義的啟發(fā)。輔助解答：一道題目的完整解答，既有主要的實質(zhì)性的步驟，也有次要的輔助性的步驟。實質(zhì)性的步驟未找到之前，找輔助性的步驟是明智之舉。如：準確作圖，把

23、題目中的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達式，設(shè)應(yīng)用題的未知數(shù)等。答卷中要做到穩(wěn)扎穩(wěn)打，字字有據(jù)，步步準確，盡量一次成功，提高成功率。試題做完后要認真做好解后檢查，看是否有空題，答卷是否準確，所寫字母與題中圖形上的是否一致，格式是否規(guī)范，尤其是要審查字母、符號是否抄錯，在確信萬無一失后方可交卷。（3）能力不同，要求有變： 由于考生的層次不同，面對同一張數(shù)學(xué)卷，要盡可能發(fā)揮自己的水平，考試策略也有所不同。針對基礎(chǔ)較差、以二類本科為最高目標的考生而言要“以穩(wěn)取勝”這類考生除了知識方面的缺陷外，“會而不對，對而不全”是這類考生的致命傷。丟分的主要原因在于審題失誤和計算失誤?？荚嚂r要克服急躁心態(tài)，如果發(fā)現(xiàn)做不下去，就

24、盡早放棄，把時間用于檢查已做的題，或回頭再做前面沒做的題。記住，只要把你會做的題都做對，你就是最成功的人！針對二本及部分一本的同學(xué)而言要“以準取勝”他們基礎(chǔ)比較扎實，但也會犯低級錯誤，所以，考試時要做到準確無誤（指會做的題目），除了最后兩題的第三問不一定能做出，其他題目大都在“火力范圍”內(nèi)。但前面可能遇到“攔路虎”，要敢于放棄，把會做的題做得準確無誤，再回來“打虎”。針對第一志愿為名牌大學(xué)的考試而言要“以新取勝”這些考生的主攻方向是能力型試題，在快速、正確做好常規(guī)試題的前提下，集中精力做好能力題。這些試題往往思考強度大，運算要求高，解題需要新的思想和方法，要靈活把握，見機行事。如果遇到不順手的試題，也不必恐慌，可能是試題較難，大家都一樣，此時，使會做的題不丟分就是上策。（文字中針對高考展開，但原理是一