（推薦）十年高考立體幾何

1、立體幾何1.（江蘇2004年5分）一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個平面的距離是4cm，則該球的體積是【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】C?！究键c】球的體積?！痉治觥坷脳l件：球心到這個平面的距離是4cm、截面圓的半徑、球的半徑、求出球的半徑，然后求出球的體積：一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，就是小圓的直徑為6，又球心到這個平面的距離是4cm，球的半徑是：5cm。球的體積是：（cm3）。故選C。2.（江蘇2005年5分）在正三棱柱中，若AB=2，則點A到平面的距離為【 】A B C D【答案】B?！究键c】棱柱的結構特征，點到平面的距離。【分析】過點A作ADBC于點D

2、，連接A1D，過點A作AD面A1BC于點E，則點E在A1D上，AE即為點A到平面的距離。 在RtACD中，AC=2，CD=1，AD=。 在RtA1DA中，AD=，tanA1DA=。A1DA=300。 在RtADE中，AE=AD·sin300=。故選B。3.（江蘇2005年5分）設為兩兩不重合的平面，為兩兩不重合的直線，給出下列四個命題：若，則；若，則；若，則；若，則其中真命題的個數是 【 】A1 B2 C3 D4【答案】B。【考點】平面與平面之間的位置關系，空中間直線與直線之間的位置關系，空間中直線與平面之間的位置關系?！痉治觥坑煽臻g中面面平面關系的判定方法，線面平等的判定方法及線面

3、平行的性質定理，逐一對四個答案進行分析，即可得到答案：若，則與可能平行也可能相交，故錯誤；由于m，n不一定相交，故不一定成立，故錯誤；由面面平行的性質定理，易得正確；由線面平行的性質定理，我們易得正確。故選B。4.（江蘇2006年5分）兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有【 】（A）1個（B）2個（C）3個（D）無窮多個【答案】D?！究键c】正四棱錐的體積?！痉治觥坑捎趦蓚€正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD中心，由對稱性知正四棱錐的高為正

4、方體棱長的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積.問題轉化為邊長為1的正方形的內接正方形有多少種，易知無窮多個。故選D。5.（江蘇2007年5分）正三棱錐PABC高為2，側棱與底面所成角為，則點A到側面PBC的距離是.【答案】?！究键c】點、線、面間的距離計算；直線與平面所成的角。【分析】在立體幾何中，求點到平面的距離是一個常見的題型，同時求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉化為求點到平面的距離。本題采用的是“找垂面法”：即找（作）出一個過該點的平面與已知平面垂直，然后過該點作其交線的垂線，則得點到平面的垂線段。如圖所示：設P在底面ABC上的射影為O，則

5、PO平面ABC，PO=2，且O是三角形ABC的中心。BCAM，BCPO，POAM=O。BC平面APM。又BC平面ABC，平面ABC平面APM。又平面ABC平面APM=PM，A到側面PBC的距離即為APM中PM邊上的高。設底面邊長為，則AM=，由側棱與底面所成角為和PO=2，得，。設側棱為，則等腰直角三角形的性質，得。則在RtPBC中，BM=，PB=，由勾股定理，得PM=。由面積法得A到側面PBC的距離 。6.（江蘇2009年5分）在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為 .【答案】1：8?！究键c】類

6、比的方法。【分析】在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：22，類似地，在空間內，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為1：23。7.（江蘇2009年5分）設和為不重合的兩個平面，給出下列命題：（1）若內的兩條相交直線分別平行于內的兩條直線，則平行于；（2）若外一條直線與內的一條直線平行，則和平行；（3）設和相交于直線，若內有一條直線垂直于，則和垂直；（4）直線與垂直的充分必要條件是與內的兩條直線垂直。上面命題中，真命題的序號 （寫出所有真命題的序號）.【答案】(1)(2)。【考點】立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關定理?！痉治觥坑擅婷嫫叫械呐卸ǘ?/p>

7、理可知，（1）正確；由線面平行的判定定理可知，（2）正確；對于（3）來說，內直線只垂直于和的交線，得不到其是的垂線，故也得不出；對于（4）來說，只有和內的兩條相交直線垂直，才能得到，也就是說當垂直于內的兩條平行直線的話，不一定垂直于。8. （2012年江蘇省5分）如圖，在長方體中，則四棱錐的體積為 cm3【答案】6?！究键c】正方形的性質，棱錐的體積?！窘馕觥块L方體底面是正方形，中 cm，邊上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱錐的體積為。9、（2013江蘇卷8）8如圖，在三棱柱中，分別是的中點，設三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則 。答案： 8 1.（江蘇2004年12分）在棱長為4的正方體A

8、BCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大?。ńY果用反三角函數值表示）；·B1PACDA1C1D1BOH·()設O點在平面D1AP上的射影是H，求證：D1HAP；()求點P到平面ABD1的距離.【答案】解：（I）連接BP。AB平面BCC1B1，AP與平面BCC1B1所成的角就是APB。CC1=4CP，CC1=4，CP=1。在RtPBC中，PCB為直角，BC=4，CP=1，BP=。在RtAPB中，ABP為直角，tanAPB=，APB=。()證明：由已知OH面APD1，OHAP。

9、連接B1D1，由于O是上底面的中心，故OB1D1。由正方體的性質知B1D1面AA1C1C，又AP面AA1C1C，B1D1AP。又B1D1OH=O，AP面D1OH。D1HAP。() 點P到平面ABD1的距離，即點P到平面ABC1D1的距離，連接BC1，過點P作PQBC1于點Q， 則PQ即為點P到平面ABD1的距離。C1P=3，BC=4，BC1=，由C1PQC1BC，得，即。，即點P到面ABD1的距離為?！究键c】直線與平面所成的角，點、線、面間的距離計算?！痉治觥浚ǎ┯深}設條件，連接BP，即可得出AP與平面BCC1B1所成的角為PAC，由勾股定理求出BP，即可求出tanAPB，從而求得APB。（）

10、要證D1HAP，只要證AP垂直于D1H所在的平面D1OH。一方面OHAP，另一方面B1D1AP。從而得證。（）連接BC1，過點P作PQBC1于點Q， 則PQ即為點P到平面ABD1的距離。由勾股定理和相似三角形的判定和性質即可求出PQ，即點P到平面ABD1的距離。2.（江蘇2005年14分）如圖，在五棱錐SABCDE中，SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，求異面直線CD與SB所成的角（用反三角函數值表示）；（4分）證明：BC平面SAB；（4分）用反三角函數值表示二面角BSCD的大?。ū拘柌槐貙懗鼋獯疬^程）（4分）【答案】解：連接BE，延長BC、ED交于點F，則DCF=CDF=600，CD

11、F為正三角形，CF=DF。又BC=DE，BF=EF。BFE為正三角形。FBE=FCD=600。BE/CD。SBE（或其補角）就是異面直線CD與SB所成的角。SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，SB=。同理SE=。又BAE=1200，BE=。cosSBE=。SBE=arccos。異面直線CD與SB所成的角是arccos。由題意，ABE為等腰三角形，BAE=1200，ABE=300。又FBE =600，ABC=900。BCBA。SA底面ABCDE，BC底面ABCDE，SABC，又SABA=A。BC平面SAB。二面角B-SC-D的大小?！究键c】空間中直線與平面之間的位置關系【分析】（1）連接B

12、E，延長BC、ED交于點F，根據線面所成角的定義可知SBE（或其補角）就是異面直線CD與SB所成的角，然后在三角形SBE中求出此角即可。（2）欲證BC平面SAB，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面SAB內兩相交直線垂直，而BCBA，SABC，又SABA=A，滿足定理所需條件。（3）二面角，可利用空間向量法求解更方便。3.（江蘇2006年14分）在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如圖1）。將AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，連結A1B、A1P（如圖2）（）求證：A1E平面BEP；（4分）（）

13、求直線A1E與平面A1BP所成角的大小；（5分）（）求二面角BA1PF的大小（用反三角函數表示）（5分）圖1圖2【答案】解：不妨設正三角形ABC的邊長為3。 （）證：在圖1中，取BE中點D，連結DF，則AE：EB=CF：FA=1：2。AF=AD=2。而A=600 ，ADF是正三角形。又AE=DE=1，EFAD。在圖2中，A1EEF，BEEF, A1EB為二面角A1EFB的平面角。由題設條件知此二面角為直二面角，A1EBE，又，A1E平面BEF，即A1E平面BEP。（）在圖2中，A1E不垂直A1B，A1E是平面A1BP的垂線。又A1E平面BEP，A1EBE。從而BP垂直于A1E在平面A1BP內的

14、射影（三垂線定理的逆定理）。設A1E在平面A1BP內的射影為A1Q，且A1Q交BP于點Q。則E1AQ就是A1E與平面A1BP所成的角，且BPA1Q。在EBP中，BE=EP=2而EBP=600 ，EBP是等邊三角形。又 A1E平面BEP ，A1B=A1P,，Q為BP的中點，且。又A1E=1，在RtA1EQ中，EA1Q=60o。直線A1E與平面A1BP所成的角為600。（）在圖3中，過F作FM A1P于M，連結QM，QF。CP=CF=1，C=600,FCP是正三角形。PF=1。有，PF=PQ。A1E平面BEP， ，A1E=A1Q。A1FPA1QPA1PF=A1PQ。 由及MP為公共邊知FMPQMP

15、，QMP=FMP=90o，且MF=MQ。 FMQ為二面角BA1PF的平面角。 在RtA1QP中,A1Q=A1F=2，PQ=1，。又 MQA1P，。在FCQ中，FC=1，QC=2，C=600，由余弦定理得。在FMQ中，。 二面角BA1PF的大小為?！究键c】直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，與二面角有關的立體幾何綜合題。【分析】本題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎知識，以及空間線面位置關系的證明、角和距離的計算等，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力。4.（江蘇2007年12分）如圖，已知是棱長為3的正方體，點E在上，點F在上，且，（1）求證：E，B，F, 四點共面

16、；（4分）（2）若點G在上，點M在上，垂足為H，求證：面；（4分）（3）用表示截面和面所成銳二面角大小，求。（4分）【答案】解：（1）證明：在DD上取一點N使得DN=1，連接CN，EN，顯然四邊形CFDN是平行四邊形，DF/CN。同理四邊形DNEA是平行四邊形，EN/AD，且EN=AD。又BC/AD，且AD=BC，EN/BC，EN=BC，四邊形CNEB是平行四邊形。CN/BE。DF/BE。E，B，F, 四點共面。（2），BCFMBG。，即。MB=1。AE=1，四邊形ABME是矩形。EMBB。又平面ABBA平面BCCB，且EM在平面ABBA內，面。（3）面，BF，MH，。MHE就是截面和面所成銳

17、二面角的平面角。EMH=，ME=AB=3，BCFMHB。3：MH=BF：1。又BF=，MH=。=?！究键c】平面的基本性質及推論，直線與平面垂直的判定，與二面角有關的立體幾何綜合題?！痉治觥浚?）四點共面問題通常我們將它們變成兩條直線，然后證明這兩條直線平行或相交，根據公理3的推論2、3可知它們共面。（2）求出MB的長度。在正方體中，易知AB面BCC1B1，所以欲證EM面BCC1B1，可以先證ABEM；或者也可以從平面ABB1A1平面BCC1B1入手去證明。（3）由第二問的證明可知，利用三垂線定理，MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成銳二面角的平面角。6.（江蘇2008年14分）如圖，在

18、四面體ABCD中，CB=CD，ADBD，點E，F分別是AB，BD的中點ABCDEF求證：（1）直線EF面ACD；（2）平面EFC面BCD【答案】證： （1）E，F分別是AB，BD的中點EF是ABD的中位線，EFAD。EF面ACD，AD面ACD，直線EF面ACD。（2）ADBD，EFAD，EFBD。CB=CD，F是BD的中點，CFBD。又EFCF=F，BD面EFC。BD面BCD，面EFC面BCD?！究键c】直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定?！痉治觥浚?）根據線面平行關系的判定定理，在面ACD內找一條直線和直線EF平行即可，根據中位線可知EFAD，又EF面ACD，AD面ACD，滿足定理條件

19、。（2）需在其中一個平面內找一條直線和另一個面垂直，由線面垂直推出面面垂直，根據線面垂直的判定定理可知BD面EFC，而BD面BCD，滿足定理所需條件。8（江蘇2009年14分）如圖，在直三棱柱中，E，F分別是、的中點，點D在上，。求證：（1）EF平面ABC；（2）平面平面.【答案】證明：（1）E，F分別是A1B，A1C的中點，EFBC。又EF面ABC，BC面ABC，EF平面ABC。（2）直三棱柱，BB1面A1B1C1。BB1A1D。又A1DB1C，A1D面BB1C1C。又A1D面A1FD，平面A1FD平面BB1C1?！究键c】直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定?！痉治觥浚?）要證明EF平

20、面ABC，證明EFBC即可。（2）證明平面平面，證明A1D面即可。10.（江蘇2010年14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。(1) 求證：PCBC；(2) 求點A到平面PBC的距離。【答案】解：（1）證明：PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC。由BCD=900，得CDBC。又PDDC=D，PD、DC平面PCD，BC平面PCD。PC平面PCD，PCBC。（2）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：易證DECB，DE平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等。又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的

21、距離的2倍。由（1）知：BC平面PCD，平面PBC平面PCD于PC。PD=DC，PF=FC，DFPC。DF平面PBC于F。易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于。【考點】直線與平面、平面與平面的位置關系，幾何體的體積空間想象能力、推理論證能力和運算能力?！痉治觥浚?）要證明PCBC，可以轉化為證明BC垂直于PC所在的平面，由PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90°，容易證明BC平面PCD，從而得證。（2）注意到第一問證明的結論，取AB的中點E，容易證明DE平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等，而A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍，由第