（推薦）十年高考立體幾何

1、立體幾何1.（江蘇2004年5分）一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是4cm，則該球的體積是【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】C。【考點(diǎn)】球的體積?！痉治觥坷脳l件：球心到這個(gè)平面的距離是4cm、截面圓的半徑、球的半徑、求出球的半徑，然后求出球的體積：一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，就是小圓的直徑為6，又球心到這個(gè)平面的距離是4cm，球的半徑是：5cm。球的體積是：（cm3）。故選C。2.（江蘇2005年5分）在正三棱柱中，若AB=2，則點(diǎn)A到平面的距離為【 】A B C D【答案】B。【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征，點(diǎn)到平面的距離?！痉治觥窟^點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D

2、，連接A1D，過點(diǎn)A作AD面A1BC于點(diǎn)E，則點(diǎn)E在A1D上，AE即為點(diǎn)A到平面的距離。 在RtACD中，AC=2，CD=1，AD=。 在RtA1DA中，AD=，tanA1DA=。A1DA=300。 在RtADE中，AE=AD·sin300=。故選B。3.（江蘇2005年5分）設(shè)為兩兩不重合的平面，為兩兩不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：若，則；若，則；若，則；若，則其中真命題的個(gè)數(shù)是 【 】A1 B2 C3 D4【答案】B?！究键c(diǎn)】平面與平面之間的位置關(guān)系，空中間直線與直線之間的位置關(guān)系，空間中直線與平面之間的位置關(guān)系?！痉治觥坑煽臻g中面面平面關(guān)系的判定方法，線面平等的判定方法及線面

3、平行的性質(zhì)定理，逐一對(duì)四個(gè)答案進(jìn)行分析，即可得到答案：若，則與可能平行也可能相交，故錯(cuò)誤；由于m，n不一定相交，故不一定成立，故錯(cuò)誤；由面面平行的性質(zhì)定理，易得正確；由線面平行的性質(zhì)定理，我們易得正確。故選B。4.（江蘇2006年5分）兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個(gè)平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有【 】（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）無窮多個(gè)【答案】D?！究键c(diǎn)】正四棱錐的體積?！痉治觥坑捎趦蓚€(gè)正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD中心，由對(duì)稱性知正四棱錐的高為正

4、方體棱長的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積.問題轉(zhuǎn)化為邊長為1的正方形的內(nèi)接正方形有多少種，易知無窮多個(gè)。故選D。5.（江蘇2007年5分）正三棱錐PABC高為2，側(cè)棱與底面所成角為，則點(diǎn)A到側(cè)面PBC的距離是.【答案】?！究键c(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面所成的角?！痉治觥吭诹Ⅲw幾何中，求點(diǎn)到平面的距離是一個(gè)常見的題型，同時(shí)求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。本題采用的是“找垂面法”：即找（作）出一個(gè)過該點(diǎn)的平面與已知平面垂直，然后過該點(diǎn)作其交線的垂線，則得點(diǎn)到平面的垂線段。如圖所示：設(shè)P在底面ABC上的射影為O，則

5、PO平面ABC，PO=2，且O是三角形ABC的中心。BCAM，BCPO，POAM=O。BC平面APM。又BC平面ABC，平面ABC平面APM。又平面ABC平面APM=PM，A到側(cè)面PBC的距離即為APM中PM邊上的高。設(shè)底面邊長為，則AM=，由側(cè)棱與底面所成角為和PO=2，得，。設(shè)側(cè)棱為，則等腰直角三角形的性質(zhì)，得。則在RtPBC中，BM=，PB=，由勾股定理，得PM=。由面積法得A到側(cè)面PBC的距離 。6.（江蘇2009年5分）在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為 .【答案】1：8?！究键c(diǎn)】類

6、比的方法?！痉治觥吭谄矫嫔?，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：22，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為1：23。7.（江蘇2009年5分）設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：（1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于；（2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行；（3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直；（4）直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直。上面命題中，真命題的序號(hào) （寫出所有真命題的序號(hào)）.【答案】(1)(2)?！究键c(diǎn)】立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理?！痉治觥坑擅婷嫫叫械呐卸ǘ?/p>

7、理可知，（1）正確；由線面平行的判定定理可知，（2）正確；對(duì)于（3）來說，內(nèi)直線只垂直于和的交線，得不到其是的垂線，故也得不出；對(duì)于（4）來說，只有和內(nèi)的兩條相交直線垂直，才能得到，也就是說當(dāng)垂直于內(nèi)的兩條平行直線的話，不一定垂直于。8. （2012年江蘇省5分）如圖，在長方體中，則四棱錐的體積為 cm3【答案】6。【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，棱錐的體積?！窘馕觥块L方體底面是正方形，中 cm，邊上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱錐的體積為。9、（2013江蘇卷8）8如圖，在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則 。答案： 8 1.（江蘇2004年12分）在棱長為4的正方體A

8、BCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；·B1PACDA1C1D1BOH·()設(shè)O點(diǎn)在平面D1AP上的射影是H，求證：D1HAP；()求點(diǎn)P到平面ABD1的距離.【答案】解：（I）連接BP。AB平面BCC1B1，AP與平面BCC1B1所成的角就是APB。CC1=4CP，CC1=4，CP=1。在RtPBC中，PCB為直角，BC=4，CP=1，BP=。在RtAPB中，ABP為直角，tanAPB=，APB=。()證明：由已知OH面APD1，OHAP。

9、連接B1D1，由于O是上底面的中心，故OB1D1。由正方體的性質(zhì)知B1D1面AA1C1C，又AP面AA1C1C，B1D1AP。又B1D1OH=O，AP面D1OH。D1HAP。() 點(diǎn)P到平面ABD1的距離，即點(diǎn)P到平面ABC1D1的距離，連接BC1，過點(diǎn)P作PQBC1于點(diǎn)Q， 則PQ即為點(diǎn)P到平面ABD1的距離。C1P=3，BC=4，BC1=，由C1PQC1BC，得，即。，即點(diǎn)P到面ABD1的距離為?！究键c(diǎn)】直線與平面所成的角，點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算?！痉治觥浚ǎ┯深}設(shè)條件，連接BP，即可得出AP與平面BCC1B1所成的角為PAC，由勾股定理求出BP，即可求出tanAPB，從而求得APB。（）

10、要證D1HAP，只要證AP垂直于D1H所在的平面D1OH。一方面OHAP，另一方面B1D1AP。從而得證。（）連接BC1，過點(diǎn)P作PQBC1于點(diǎn)Q， 則PQ即為點(diǎn)P到平面ABD1的距離。由勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)即可求出PQ，即點(diǎn)P到平面ABD1的距離。2.（江蘇2005年14分）如圖，在五棱錐SABCDE中，SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，求異面直線CD與SB所成的角（用反三角函數(shù)值表示）；（4分）證明：BC平面SAB；（4分）用反三角函數(shù)值表示二面角BSCD的大?。ū拘柌槐貙懗鼋獯疬^程）（4分）【答案】解：連接BE，延長BC、ED交于點(diǎn)F，則DCF=CDF=600，CD

11、F為正三角形，CF=DF。又BC=DE，BF=EF。BFE為正三角形。FBE=FCD=600。BE/CD。SBE（或其補(bǔ)角）就是異面直線CD與SB所成的角。SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，SB=。同理SE=。又BAE=1200，BE=。cosSBE=。SBE=arccos。異面直線CD與SB所成的角是arccos。由題意，ABE為等腰三角形，BAE=1200，ABE=300。又FBE =600，ABC=900。BCBA。SA底面ABCDE，BC底面ABCDE，SABC，又SABA=A。BC平面SAB。二面角B-SC-D的大小?！究键c(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【分析】（1）連接B

12、E，延長BC、ED交于點(diǎn)F，根據(jù)線面所成角的定義可知SBE（或其補(bǔ)角）就是異面直線CD與SB所成的角，然后在三角形SBE中求出此角即可。（2）欲證BC平面SAB，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面SAB內(nèi)兩相交直線垂直，而BCBA，SABC，又SABA=A，滿足定理所需條件。（3）二面角，可利用空間向量法求解更方便。3.（江蘇2006年14分）在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如圖1）。將AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖2）（）求證：A1E平面BEP；（4分）（）

13、求直線A1E與平面A1BP所成角的大?。唬?分）（）求二面角BA1PF的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）（5分）圖1圖2【答案】解：不妨設(shè)正三角形ABC的邊長為3。 （）證：在圖1中，取BE中點(diǎn)D，連結(jié)DF，則AE：EB=CF：FA=1：2。AF=AD=2。而A=600 ，ADF是正三角形。又AE=DE=1，EFAD。在圖2中，A1EEF，BEEF, A1EB為二面角A1EFB的平面角。由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，A1EBE，又，A1E平面BEF，即A1E平面BEP。（）在圖2中，A1E不垂直A1B，A1E是平面A1BP的垂線。又A1E平面BEP，A1EBE。從而BP垂直于A1E在平面A1BP內(nèi)的

14、射影（三垂線定理的逆定理）。設(shè)A1E在平面A1BP內(nèi)的射影為A1Q，且A1Q交BP于點(diǎn)Q。則E1AQ就是A1E與平面A1BP所成的角，且BPA1Q。在EBP中，BE=EP=2而EBP=600 ，EBP是等邊三角形。又 A1E平面BEP ，A1B=A1P,，Q為BP的中點(diǎn)，且。又A1E=1，在RtA1EQ中，EA1Q=60o。直線A1E與平面A1BP所成的角為600。（）在圖3中，過F作FM A1P于M，連結(jié)QM，QF。CP=CF=1，C=600,FCP是正三角形。PF=1。有，PF=PQ。A1E平面BEP， ，A1E=A1Q。A1FPA1QPA1PF=A1PQ。 由及MP為公共邊知FMPQMP

15、，QMP=FMP=90o，且MF=MQ。 FMQ為二面角BA1PF的平面角。 在RtA1QP中,A1Q=A1F=2，PQ=1，。又 MQA1P，。在FCQ中，F(xiàn)C=1，QC=2，C=600，由余弦定理得。在FMQ中，。 二面角BA1PF的大小為?！究键c(diǎn)】直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題?！痉治觥勘绢}主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間線面位置關(guān)系的證明、角和距離的計(jì)算等，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力。4.（江蘇2007年12分）如圖，已知是棱長為3的正方體，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，（1）求證：E，B，F(xiàn), 四點(diǎn)共面

16、；（4分）（2）若點(diǎn)G在上，點(diǎn)M在上，垂足為H，求證：面；（4分）（3）用表示截面和面所成銳二面角大小，求。（4分）【答案】解：（1）證明：在DD上取一點(diǎn)N使得DN=1，連接CN，EN，顯然四邊形CFDN是平行四邊形，DF/CN。同理四邊形DNEA是平行四邊形，EN/AD，且EN=AD。又BC/AD，且AD=BC，EN/BC，EN=BC，四邊形CNEB是平行四邊形。CN/BE。DF/BE。E，B，F(xiàn), 四點(diǎn)共面。（2），BCFMBG。，即。MB=1。AE=1，四邊形ABME是矩形。EMBB。又平面ABBA平面BCCB，且EM在平面ABBA內(nèi)，面。（3）面，BF，MH，。MHE就是截面和面所成銳

17、二面角的平面角。EMH=，ME=AB=3，BCFMHB。3：MH=BF：1。又BF=，MH=。=?！究键c(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論，直線與平面垂直的判定，與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題?！痉治觥浚?）四點(diǎn)共面問題通常我們將它們變成兩條直線，然后證明這兩條直線平行或相交，根據(jù)公理3的推論2、3可知它們共面。（2）求出MB的長度。在正方體中，易知AB面BCC1B1，所以欲證EM面BCC1B1，可以先證ABEM；或者也可以從平面ABB1A1平面BCC1B1入手去證明。（3）由第二問的證明可知，利用三垂線定理，MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成銳二面角的平面角。6.（江蘇2008年14分）如圖，在

18、四面體ABCD中，CB=CD，ADBD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)ABCDEF求證：（1）直線EF面ACD；（2）平面EFC面BCD【答案】證： （1）E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)EF是ABD的中位線，EFAD。EF面ACD，AD面ACD，直線EF面ACD。（2）ADBD，EFAD，EFBD。CB=CD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，CFBD。又EFCF=F，BD面EFC。BD面BCD，面EFC面BCD?！究键c(diǎn)】直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定?！痉治觥浚?）根據(jù)線面平行關(guān)系的判定定理，在面ACD內(nèi)找一條直線和直線EF平行即可，根據(jù)中位線可知EFAD，又EF面ACD，AD面ACD，滿足定理?xiàng)l件

19、。（2）需在其中一個(gè)平面內(nèi)找一條直線和另一個(gè)面垂直，由線面垂直推出面面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理可知BD面EFC，而BD面BCD，滿足定理所需條件。8（江蘇2009年14分）如圖，在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，。求證：（1）EF平面ABC；（2）平面平面.【答案】證明：（1）E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，EFBC。又EF面ABC，BC面ABC，EF平面ABC。（2）直三棱柱，BB1面A1B1C1。BB1A1D。又A1DB1C，A1D面BB1C1C。又A1D面A1FD，平面A1FD平面BB1C1?！究键c(diǎn)】直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定?！痉治觥浚?）要證明EF平

20、面ABC，證明EFBC即可。（2）證明平面平面，證明A1D面即可。10.（江蘇2010年14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。(1) 求證：PCBC；(2) 求點(diǎn)A到平面PBC的距離?！敬鸢浮拷猓海?）證明：PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC。由BCD=900，得CDBC。又PDDC=D，PD、DC平面PCD，BC平面PCD。PC平面PCD，PCBC。（2）分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F，連DE、DF，則：易證DECB，DE平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等。又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的

21、距離的2倍。由（1）知：BC平面PCD，平面PBC平面PCD于PC。PD=DC，PF=FC，DFPC。DF平面PBC于F。易知DF=，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于?！究键c(diǎn)】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，幾何體的體積空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力?！痉治觥浚?）要證明PCBC，可以轉(zhuǎn)化為證明BC垂直于PC所在的平面，由PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90°，容易證明BC平面PCD，從而得證。（2）注意到第一問證明的結(jié)論，取AB的中點(diǎn)E，容易證明DE平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等，而A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍，由第