七-八年級(jí)三角形的奧數(shù)題及其答案

1、三角形綜合例題1：AD，EF，BC相交于O點(diǎn)，且AOOD，BOOC，EOOF求證：AEBDFC例題2：P為正方形ABCD對(duì)角線BD上任一點(diǎn)，PFDC，PEBC求證：APEF例題3：ABC的高AD及BE相交于H，且BHAC求證：BCHABC例題4：在正方形ABCD中，P，Q分別為BC，CD邊上的點(diǎn)，PAQ45°求證：PQPBDQ例題5：過(guò)ABC的頂點(diǎn)A分別作兩底角B和C的角平分線的垂線，ADBD于D，AECE于E求證：EDBC例題6：如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，PA2，PB，PC4， 求ABC的邊長(zhǎng).例題7：如圖（ l ) ，凸四邊形 ABCD ，如果點(diǎn)P滿(mǎn)足APD APB

2、=。且B P C CPD ，則稱(chēng)點(diǎn)P為四邊形 ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn) ( l ）在圖（ 3 ）正方形 ABCD 內(nèi)畫(huà)一個(gè)半等角點(diǎn)P，且滿(mǎn)足。( 2 ）在圖（ 4 ）四邊形 ABCD 中畫(huà)出一個(gè)半等角點(diǎn)P，保留畫(huà)圖痕跡（不需寫(xiě)出畫(huà)法） . ( 3 ）若四邊形 ABCD 有兩個(gè)半等角點(diǎn)P1 、P2（如圖（ 2 ) ) ，證明線段P1 P2上任一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn) 。例題8：已知：點(diǎn)O到ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OBOC。（1）如圖1，若點(diǎn)O在BC上，求證：ABAC；（2）如圖2，若點(diǎn)O在ABC的內(nèi)部，求證：ABAC；（3）若點(diǎn)O在ABC的外部，ABAC成立嗎？請(qǐng)畫(huà)圖表示。練習(xí)試題

3、：1如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，過(guò)點(diǎn)作于下列四個(gè)結(jié)論：以為圓心、為半徑的圓及以為圓心、為半徑的圓外切；設(shè)則；不能成為的中位線其中正確的結(jié)論是_（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）2如圖1，AB、CD是兩條線段，M是AB的中點(diǎn)，、和分別表示DNC、DAC、DBC的面積。當(dāng)AB CD時(shí)，有 (1)（1）如圖2，若圖1中AB及CD不平行時(shí)，(1)式是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）如圖3，若圖1中AB及CD相交于點(diǎn)O時(shí)，、和有何種相等關(guān)系？試證明你的結(jié)論。3如圖，設(shè)ABC和CDE都是正三角形，且EBD62o，則AEB的度數(shù)是【 】（A）124o（B）122o（C）120o（D）118o4

4、如圖，ABC是等邊三角形，BDC是頂角BDC120°的等腰三角形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且MDN60°.試探究MB、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.5如圖，在ABC中，ABC600，點(diǎn)P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，則PB_6如圖所示，在ABC中，ABAC，ADAE，則_7（1）如圖7，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC求AEB的大??；（2）如圖8，OAB固定不動(dòng)，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（OAB

5、和OCD不能重疊），求AEB的大小.8兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結(jié)（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：9如圖，AD是ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個(gè)就能推出ABC是等腰三角形的是_。（把所有正確答案的序號(hào)都填寫(xiě)在橫線上）BADACD BADCAD，ABBDACCD ABBDACCD參考答案例題1、證明：OAEODF，因?yàn)椋憾吋皧A角（對(duì)等角）相等，得：AE=DF。同理證得：OBEOCF，OABOCD，得：EB=CF，AB=CD。因?yàn)椋篈E=DF，EB=CF，A

6、B=CD三邊相等。所以：AEBDFC例2 F于點(diǎn)G 延長(zhǎng)EP交AB于M,延長(zhǎng)FP交AD于NP為正方形ABCD對(duì)角線BD上任一點(diǎn)PM=PF,PN=PE又AMPN為矩形. AN=PM=PFEPF=BAC=90°PEFANPNAP = PFE又NPA=FPG(對(duì)頂角) NAP +NPA=90°PFE+FPG=90°PGF=180°-(PFE+FPG)=90°APEF例3 BHAC，BDHADC90°，HBDCAD（這個(gè)知道的吧）BDHADCHDCD，BD=ADHDC及ABD是等腰直角三角形BCHABD=45°例4：在CB的延長(zhǎng)線上

7、取點(diǎn)G，使BGDQ，連接AG正方形ABCDABAD，BADABGD90BGDQABGADQ （SAS）AQAG，BAGDAQPAQ45BAP+DAQBAD-PAQ45PAGBAP+BAGBAP+DAQ45PAGPAQAPAPAPQAPG （SAS）PQPGPGPB+BGPB+DQPB+DQPQ例5、例6 例7（1） 根據(jù)題意可知，所畫(huà)的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn)因?yàn)樵趫D形內(nèi)部，所以不能是AC的端點(diǎn)，又由于，所以不是AC的中點(diǎn)（2）畫(huà)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，延長(zhǎng)DB交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求（因?yàn)閷?duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形完全重合）（3）先連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根據(jù)題

8、意AP1D=AP1B，DP1C=BP1CAP1B+BP1C=180度P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA證明DP1P2BP1P2而，那么P1DP2和P1BP2關(guān)于P1P2對(duì)稱(chēng)，P是對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，所以DPA=BPA，DPC=BPC即點(diǎn)P是四邊形的半等角點(diǎn)解答：解：（1）所畫(huà)的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn)，即給（4分）（2）畫(huà)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，延長(zhǎng)DB交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求（不寫(xiě)文字說(shuō)明不扣分）給（3分）（說(shuō)明：畫(huà)出的點(diǎn)P大約是四邊形ABCD的半等角點(diǎn)，而無(wú)對(duì)稱(chēng)的畫(huà)圖痕跡，給1分）（3）連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根據(jù)題意，AP1D=AP1B，

9、DP1C=BP1C，AP1B+BP1C=180度P1在AC上，同理，P2也在AC上（9分）在DP1P2和BP1P2中，DP2P1=BP2P1，DP1P2=BP1P2，P1P2公共，DP1P2BP1P2（11分）所以DP1=BP1，DP2=BP1，DP2=BP2，于是B、D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)設(shè)P是P1P2上任一點(diǎn)，連接PD、PB，由對(duì)稱(chēng)性，得DPA=BPA，DPC=BPC，所以點(diǎn)P是四邊形的半等角點(diǎn)例8證明：（1）過(guò)點(diǎn)O分別作OEAB，OFAC，E、F分別是垂足，由題意知，OE=OF，OB=OC，RtOEBRtOFCB=C，從而AB=AC。（2）過(guò)點(diǎn)O分別作OEAB，OFAC，EF分別是垂足，由題意知

10、，OE=OF。在RtOEB和RtOFC中，OE=OF，OB=OC，RtOEBRtOFE。 OBE=OCF， B=OC知OBC=OCB，ABC=ACD， AB=AC。（3）解：不一定成立。注：當(dāng)A的平分線所在直線及邊BC的垂直平分線重合時(shí)，有AB=AC；否則，ABAC，如示例圖練習(xí)13解：等邊ABC、等邊CDE AC=BC，CE=CD，BACABCACB=ECD=60ACE=ACB-BCE，BCD=ECD-BCEBCD=ACEACEBCD （SAS）CBD=CAEEBD62CBDEBD-CBD62-CBECAE62-CBEBAEBAC-CAE60-62+CBE-2+CBEABE+BAE60-CB

11、E-2+CBE58AEB180-（ABE+BAE）1224 CNBM MN證明：延長(zhǎng)AC至M1，使CM1BM，連結(jié)DM1 由已知條件知：ABCACB60°，DBCDCB30°ABDACD90° BDCD RtBDMRtCDM1 MDBM1DC，而 DMDM1 MDM1（120°MDB）M1DC120° 又MDN60M1DNMDN60°MDNM1DN MNNM1NCCM1CNBM即CNBM MN5（1）證明：APB=BPC=CPA，三角之和是360ºAPB=BPC=120ºPAB+PBA=180º-120&

12、#186;=60º ABC=PBC+PBA=60ºPAB=PBCPABPBC【APB=BPC，PAB=PBC】（2）解：PABPBCPA/PB =PB/PC推出PB²=PA·PC=6×8=48PB=48=436設(shè)EDC=x, B=C=yAED=EDC+C=x+y又因?yàn)锳D=AE, 所以ADE=AED=x+y則ADC=ADE+EDC=2x+y又因?yàn)锳DC=B+BAD所以 2x+y=y+30解得x=15所以EDC的度數(shù)是15度71）如圖3，OCD和ABO都是等邊三角形，且點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，OD=OC=OB=OA，1=2=60°，4=5又4+5=2=60°，4=30°同理6=30°AEB=4+6，AEB=60°（2）如圖4，OCD和ABO都是等邊三角形，OD=OC，OB=OA，1=2=60°又OD=OA，OD=OB，OA=OC，4=5，6=7DOB=1+3，AOC=2+3，DOB=AOC4+5+DOB=180°，6+7+AOC=180°，25=26，5=6又AEB=8-5，8=2+6，AEB=2+5-5=2，AEB=60°8可以找出BAECAD，條件是AB=AC，DA=EA，BAE=DAC=90