小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)思想的滲透

1、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)思想的滲透一、源起在北京市進(jìn)行的一次說課比賽中，當(dāng)一位選手進(jìn)行了“正比例的意義”的說課后，評(píng)委向他提出了這樣一個(gè)問題：“你在說課中幾次提到了要在正比例一課的教學(xué)中滲透函數(shù)的思想，請(qǐng)問你認(rèn)為正比例是函數(shù)嗎？”說課者答道：“正比例是一種特殊的函數(shù)。”評(píng)委又問：“你說課中出現(xiàn)的一些圖表能反映出一定的函數(shù)關(guān)系嗎？”說課者卻不敢斷言?？梢钥闯觯@位教師對(duì)于什么是函數(shù)及函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解不夠準(zhǔn)確和全面，那么其對(duì)什么是函數(shù)思想以及如何在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中進(jìn)行有效滲透更可見一斑。目前，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中非常重視數(shù)學(xué)思想方法的有效滲透。然而，教師們對(duì)一些數(shù)學(xué)思想方法的理解和把握又是怎樣的呢

2、？是不是能在教學(xué)中進(jìn)行有效的滲透呢？帶著這樣的問題，我們決定從眾多的數(shù)學(xué)思想方法之中選擇函數(shù)思想作為研究點(diǎn)。二、調(diào)研及分析（一）調(diào)研目的為了了解小學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)函數(shù)的理解、對(duì)函數(shù)思想的認(rèn)識(shí)以及對(duì)函數(shù)思想在課堂教學(xué)中滲透的情況，我們對(duì)東城區(qū)17名六年級(jí)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了問卷調(diào)查。（二）調(diào)研問卷（見附件一）（三）調(diào)研結(jié)果統(tǒng)計(jì)表1  對(duì)函數(shù)定義的掌握情況能準(zhǔn)確描述描述基本正確用某一特殊函數(shù)代表函數(shù)定義對(duì)函數(shù)的定義根本不知道5.941.217.635.3表2  對(duì)函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)知情況選項(xiàng)運(yùn)動(dòng)變化對(duì)應(yīng)思想集合思想數(shù)形結(jié)合極限思想符號(hào)化思想百分比94.194.128.558

3、.871.523.5表3  函數(shù)的表示法選項(xiàng)式圖表文字百分比94.147.111.85.9表4  判斷題目正確率5.95.994.194.15.994.141.2（四）調(diào)研分析1.通過對(duì)以上調(diào)研結(jié)果的分析，可以得到以下結(jié)論：（1）通過表1可以看出，絕大多數(shù)教師不能用準(zhǔn)確的語言描述函數(shù)的定義；（2）通過表2可以看出，教師對(duì)于函數(shù)的本質(zhì)有一定的認(rèn)識(shí)，部分教師還存在模棱兩可的認(rèn)識(shí)；（3）通過表3可以看出，大多數(shù)教師認(rèn)為能寫出表達(dá)式的才叫函數(shù)，而圖、表、文字等呈現(xiàn)方式他們認(rèn)為不是函數(shù)；（4）通過表4可以看出，大多數(shù)教師能用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)審視小學(xué)數(shù)學(xué)教材，知道哪些

4、知識(shí)的教學(xué)中可以滲透函數(shù)思想。2.基于以上的調(diào)研，我們認(rèn)為要做到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有效滲透函數(shù)思想，教師應(yīng)解決好以下三個(gè)方面的問題。（1）什么是函數(shù)？（函數(shù)的本質(zhì)）（2）什么是函數(shù)思想？（3）小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透函數(shù)思想？三、問題解決（一）什么是函數(shù)我們認(rèn)為，要想解決一線老師們的問題，首先就是要澄清他們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，建立正確的函數(shù)概念，這是一切的基礎(chǔ)所在。1.函數(shù)定義（1）初中定義：一般地，在一個(gè)變化過程中如果有兩個(gè)變量x、y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y為x的函數(shù)。1（2）高中定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于

5、集合A中的任一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：yf（x），xA。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合：f（x）xA叫作函數(shù)的值域。2（3）大學(xué)定義：設(shè)非空集合DR，則映射f：DR稱為D上的一個(gè)函數(shù)，記作yf（x），xD。3以上三種定義就反映了函數(shù)的發(fā)展史，依次叫做函數(shù)的“變量說”“對(duì)應(yīng)說”和“關(guān)系說”。 “變量說”建立在變量(數(shù))的基礎(chǔ)上，優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、自然，通俗易懂，但沒有突出函數(shù)的本質(zhì)對(duì)應(yīng)關(guān)系?！皩?duì)應(yīng)說”和“關(guān)系說”建立在集合論的基礎(chǔ)上，更接近現(xiàn)代

6、數(shù)學(xué)的語言，普適性強(qiáng)，更重要的是它們都抓住了函數(shù)的本質(zhì)對(duì)應(yīng)關(guān)系。42.函數(shù)的常用表示法數(shù)學(xué)中研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化特征（因?yàn)楹瘮?shù)的變化特征反映了它所刻畫的自然規(guī)律的特征），一般來說主要研究函數(shù)的性質(zhì)。為了研究函數(shù)的性質(zhì)人們往往借助解析式表示法、表格表示法和圖像表示法這三種表示方法。解析式表示法是最常用的方法，適用于表述連續(xù)函數(shù)或者分段函數(shù)。解析式有利于研究函數(shù)的性質(zhì)、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，對(duì)初學(xué)者來說也是最抽象的。表格表示法適用于表述變量取值是離散的情況。圖像表示法可以直觀地表述函數(shù)的形態(tài)，有利于分析函數(shù)的性質(zhì)。3.澄清幾個(gè)問題在調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)教師對(duì)于數(shù)列、圖像、表格等是否是函數(shù)認(rèn)識(shí)不清。（1

7、）數(shù)列是特殊的函數(shù)。它的定義域一般是指非負(fù)的正整數(shù)集，也可以為自然數(shù)集，或者自然數(shù)集的子集。自然數(shù)是離散的，因此，數(shù)列通常稱為離散函數(shù)。5（2）圖像是函數(shù)。（3）表格是函數(shù)。教師應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，雖然某些數(shù)列、圖像、表格雖然不能用解析式表達(dá)出內(nèi)在的規(guī)律，但是其中的變量仍舊存在著一定的關(guān)系，所以它們都是函數(shù)。（二）什么是函數(shù)思想函數(shù)的思想方法就是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、集合和對(duì)應(yīng)的思想去分析問題的數(shù)量關(guān)系,通過類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化合理地構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì),使問題獲得解決。函數(shù)的思想方法是最重要、最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一。九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在基本理念中指出：教師幫助學(xué)生在自主探索和

8、合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法6。這說明了數(shù)學(xué)思想方法對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著極其重要的作用。雖然在小學(xué)數(shù)學(xué)中沒有正式引入函數(shù)概念與函數(shù)關(guān)系式，但這不等于沒有函數(shù)的雛形、沒有函數(shù)思想的存在。在小學(xué)階段滲透函數(shù)思想方法，可以使學(xué)生懂得一切事物都是在不斷變化、而且是相互聯(lián)系與相互制約的，從而了解事物的變化趨勢(shì)及其運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)、培養(yǎng)他們分析和解決實(shí)際問題的能力都有極其重要的意義，而且可以為學(xué)生以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定良好的基礎(chǔ)。（三）在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透函數(shù)思想教師澄清了對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，知道了什么是函數(shù)思想及其教育價(jià)值，有利于教師站在函數(shù)

9、思想的高度審視教材、設(shè)計(jì)教學(xué)。我們認(rèn)為在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以從以下幾方面做起。       1.在探索“數(shù)與運(yùn)算”的規(guī)律中滲透函數(shù)思想在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第20頁中安排了以下練習(xí)。算一算，填一填。被除數(shù)15150除數(shù)550500商        有些老師讓學(xué)生計(jì)算完畢、答案正確就滿足了。如果我們以函數(shù)思想的高度來設(shè)計(jì)教學(xué)，則可以這樣做：先計(jì)算，后核對(duì)答案，接著讓學(xué)生觀察所填答案有什么特點(diǎn)（找規(guī)律）并思考這個(gè)特點(diǎn)是怎樣引起的，然后再出現(xiàn)教科書第

10、24頁的如下練習(xí)。雖然學(xué)生還沒有學(xué)過一個(gè)數(shù)除以小數(shù)的計(jì)算方法，但可以根據(jù)前一題得到的規(guī)律加以解決。這種整合不光是能解決一兩個(gè)練習(xí)的問題，而是讓學(xué)生從中體會(huì)到“當(dāng)一個(gè)數(shù)變化，另一個(gè)數(shù)不變時(shí)，得數(shù)變化是有規(guī)律的”這種樸素的函數(shù)思想，同時(shí)為六年級(jí)學(xué)習(xí)正、反比例做了很好的孕伏。這樣做可以把商不變的性質(zhì)、小數(shù)除法、正比例和反比例的相關(guān)知識(shí)串聯(lián)起來，使知識(shí)脈絡(luò)化，可以說是一舉多得，而這種“得”歸根到底是依賴于函數(shù)思想而實(shí)現(xiàn)的。2在“空間與圖形”領(lǐng)域的教學(xué)中滲透函數(shù)思想在學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形與正方形周長(zhǎng)和面積后我們可以設(shè)計(jì)“周長(zhǎng)和面積”的練習(xí)課。課上設(shè)計(jì)這樣的環(huán)節(jié)：用16根1厘米長(zhǎng)的小棒圍成長(zhǎng)方形或正方形，你能圍出

11、多少個(gè)？其中面積最大的是多少？并填寫如下表格。  序號(hào)長(zhǎng)（cm）寬（cm）周長(zhǎng)（cm）面積（cm2）示意圖1     2              學(xué)生經(jīng)過研究可以得到：長(zhǎng)7cm，寬1cm；長(zhǎng)6cm，寬2cm；長(zhǎng)5cm，寬3cm；長(zhǎng)4cm，寬4cm（正方形）這四種長(zhǎng)方形，其中正方形的面積最大。在研究過程中學(xué)生會(huì)漸漸地認(rèn)識(shí)到：要想得到最大的面積，就要把所有的長(zhǎng)方形一一例舉出來去比較；而要想

12、得到不同的長(zhǎng)方形，必須在保持周長(zhǎng)不變的情況下改變長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，由于長(zhǎng)逐漸地減小，在周長(zhǎng)不變的情況下，寬必須跟隨著不斷地增大。這樣就把“靜態(tài)”的學(xué)習(xí)變成了“動(dòng)態(tài)”的研究，而這種由“靜”到“動(dòng)”本身就是函數(shù)的本質(zhì)。因此說，是函數(shù)思想使學(xué)生學(xué)習(xí)的過程“動(dòng)”了起來，使學(xué)生的學(xué)習(xí)“主動(dòng)”起來，這樣也更有利于滲透函數(shù)域的概念和極值的概念。另外，我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到在小學(xué)的“空間與圖形“領(lǐng)域的教學(xué)中，許多公式都是一種函數(shù)關(guān)系，也可以滲透函數(shù)思想。3利用數(shù)量關(guān)系在解決實(shí)際問題中滲透函數(shù)思想學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)習(xí)和掌握了許多的數(shù)量關(guān)系，如：?jiǎn)蝺r(jià)、數(shù)量和總價(jià)之間的關(guān)系；路程、時(shí)間和速度的關(guān)系；工作量、工作效率和工作時(shí)間的

13、關(guān)系其實(shí)當(dāng)這些數(shù)量關(guān)系中的某一種量固定后，另外兩種量在變化時(shí)就構(gòu)成了函數(shù)。以簡(jiǎn)單的解決問題來說，我們可以把封閉的題目改編成開放的題，如讓學(xué)生根據(jù)所給的兩個(gè)條件補(bǔ)一個(gè)問題，或給一個(gè)條件和問題，讓學(xué)生補(bǔ)上另一個(gè)條件。例如，學(xué)校有120名學(xué)生排隊(duì)做操，                ，可以站幾排？這看起來是很簡(jiǎn)單的一點(diǎn)兒變化，當(dāng)把學(xué)生的各種補(bǔ)充條件匯集到一起時(shí)，學(xué)生就會(huì)認(rèn)識(shí)到：可以站幾排是隨著每排人數(shù)的變化而變化著的；而每排的人數(shù)也會(huì)有一定限

14、制，至少不會(huì)少于1人，至多不會(huì)超過120人。這個(gè)范圍所蘊(yùn)含的思想就是函數(shù)中的定義域和值域。我們看到這種開放不是簡(jiǎn)單形式上的開放，而是建立在函數(shù)思想上的有目的的開放。4在“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)中滲透函數(shù)思想“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容往往通過表格、圖像來描述數(shù)據(jù)，但大多數(shù)教師認(rèn)為其中不存在函數(shù)關(guān)系，只重視到了其對(duì)培養(yǎng)學(xué)生統(tǒng)計(jì)觀念的作用而忽視了對(duì)函數(shù)思想的滲透。下面是一位老師設(shè)計(jì)的“測(cè)量一個(gè)水龍頭不同時(shí)間內(nèi)滴水量”的活動(dòng)。環(huán)節(jié)一：邊測(cè)量邊填表。時(shí)間（分）102030405060滴水量（毫升）       環(huán)節(jié)二：根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)再制成折線統(tǒng)計(jì)

15、圖。環(huán)節(jié)三：結(jié)果分析：（1）說一說從圖中你發(fā)現(xiàn)了什么；（2）描述一下滴水量與時(shí)間之間的關(guān)系；（3）估計(jì)3小時(shí)將浪費(fèi)多少毫升水。這個(gè)活動(dòng)中, 學(xué)生不僅經(jīng)歷了統(tǒng)計(jì)的全過程，而且親歷了滴水量的變化隨著時(shí)間的變化而變化的過程，初步體驗(yàn)了函數(shù)的味道。與此同時(shí)，還對(duì)學(xué)生進(jìn)行了節(jié)水的德育教育，可見其功能是多方面的。以上是從課標(biāo)規(guī)定的四個(gè)教學(xué)領(lǐng)域談及的可滲透函數(shù)思想的教學(xué)點(diǎn)。然而眾多的數(shù)學(xué)思想方法也是有聯(lián)系的，函數(shù)思想與其他一些思想方法緊密相連。5.在與其他的數(shù)學(xué)思想方法的結(jié)合、相互勾連中滲透函數(shù)思想（1）結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想方法。解析幾何為幾何學(xué)的研究提供了新的方法，使許多幾何問題變得簡(jiǎn)單易解，它使

16、幾何從定性研究階段發(fā)展到定量分析階段，使人們對(duì)形的認(rèn)識(shí)由靜態(tài)發(fā)展到動(dòng)態(tài)，這才是“數(shù)形結(jié)合”思想的本質(zhì)所在7。數(shù)形結(jié)合的思想方法是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，它可以使代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化。而函數(shù)思想側(cè)重于研究代數(shù)問題，有時(shí)將函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合的思想結(jié)合，可以使抽象的函數(shù)關(guān)系更具體、直觀，便于學(xué)生理解。例如，在教學(xué)“正比例”時(shí)，教師不僅利用統(tǒng)計(jì)表（表5）來研究數(shù)量之間所體現(xiàn)的規(guī)律，還利用信息技術(shù)手段將函數(shù)圖像形成的過程展示出來，借助圖像（圖1）來研究正比例函數(shù)。圖1  單價(jià)與總價(jià)在函數(shù)圖像的形成過程中，學(xué)生不僅能感受一一對(duì)應(yīng)、連續(xù)性，而且將抽象的數(shù)據(jù)借助具體

17、的圖像展現(xiàn)出來，在動(dòng)態(tài)的過程中形成了對(duì)函數(shù)直觀的認(rèn)識(shí)，更好地幫助學(xué)生把握數(shù)量間的變化規(guī)律，使學(xué)生由具體形象的靜態(tài)認(rèn)識(shí)提高到在運(yùn)動(dòng)、變化中去概括，形成正確的表象信息。這樣有利于學(xué)生對(duì)正比例意義的理解。函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想的結(jié)合，使得抽象的學(xué)習(xí)內(nèi)容更直觀，能提高學(xué)習(xí)效果。因此，在教師的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分利用這一點(diǎn)。（2）結(jié)合極限的思想方法。極限的思想方法是用聯(lián)系變動(dòng)的觀點(diǎn)，把所考察的對(duì)象看作是某對(duì)象在無限變化過程中變化結(jié)果的思想方法。有時(shí)這兩個(gè)對(duì)象就是具備函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量。例如，在“圓的周長(zhǎng)”的教學(xué)中，教師為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)圓周率而介紹人類探索的過程，而劉徽的“割圓術(shù)”是不能不提的。用圓的內(nèi)接正多邊形

18、的周長(zhǎng)來近似地代替圓的周長(zhǎng)，當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)逐漸增多時(shí)，其周長(zhǎng)就越來越接近圓的周長(zhǎng)，正所謂“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” 8。具體如圖2。圖2  圓的內(nèi)接正多邊形在這個(gè)變化過程中，圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)與其周長(zhǎng)就是兩種相依變化的量，具備函數(shù)關(guān)系。同時(shí)，圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)的極限就是圓的周長(zhǎng)，又體現(xiàn)了極限的思想。所以在這個(gè)例子中，函數(shù)思想與極限思想是密不可分的。（3）結(jié)合對(duì)應(yīng)的思想方法。函數(shù)思想往往與對(duì)應(yīng)的思想密不可分，這是函數(shù)的本質(zhì)所決定的。例如，在人教版六年級(jí)上冊(cè)“位置”的教學(xué)中，以往的教學(xué)目標(biāo)只設(shè)定在學(xué)生能夠用數(shù)對(duì)表示出整數(shù)列與行交叉處點(diǎn)的位置，實(shí)際上可以依次選擇：在整數(shù)列但不在整數(shù)行的點(diǎn)、在整數(shù)行卻不在整數(shù)列的點(diǎn)和既不在整數(shù)列又不在整數(shù)行的點(diǎn)這幾種形式，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到無論點(diǎn)在哪里，都可以用數(shù)對(duì)表示點(diǎn)的位置。當(dāng)把點(diǎn)移至圖外時(shí)，學(xué)生自然能利用知識(shí)的遷移，認(rèn)識(shí)到 “圖外點(diǎn)”也能用數(shù)對(duì)表示位置。在為初中的直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)做好鋪墊的同時(shí)，突出了點(diǎn)與數(shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，滲透了對(duì)應(yīng)的思想。有的教師還在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了如下的練習(xí)。用數(shù)對(duì)表示三角形ABC各個(gè)頂點(diǎn)