數(shù)學(xué)分析(二)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（課堂PPT）

1、1 關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的6個(gè)基本定理個(gè)基本定理1. 確界原理（定理確界原理（定理1.1）；）； 2. 單調(diào)有界定理（定理單調(diào)有界定理（定理2.9）； 3. 區(qū)間套定理（定理區(qū)間套定理（定理7.1）；）；4. 有限覆蓋定理（定理有限覆蓋定理（定理7.3） 5. 聚點(diǎn)定理（定理聚點(diǎn)定理（定理7.2）6. 柯西收斂準(zhǔn)則（定理柯西收斂準(zhǔn)則（定理2.10）；）； 在實(shí)數(shù)系中這六個(gè)命題是相互等價(jià)的在實(shí)數(shù)系中這六個(gè)命題是相互等價(jià)的 。第七章第七章2在有理數(shù)系中這六個(gè)命題不成立在有理數(shù)系中這六個(gè)命題不成立 。1. 確界原理確界原理 在實(shí)數(shù)系中，任意非空有上（下）界的數(shù)集在實(shí)數(shù)系中，任意非空有上（下

2、）界的數(shù)集必有上（下）確界。必有上（下）確界。, 2| 2QxxxS ：反反例例, 2inf , 2sup SS成立。成立。確界原理在有理數(shù)域不確界原理在有理數(shù)域不在有理數(shù)集沒有確界。在有理數(shù)集沒有確界。即即S32. 單調(diào)有界定理單調(diào)有界定理； 在實(shí)數(shù)系中，單調(diào)有界數(shù)列必有極限。在實(shí)數(shù)系中，單調(diào)有界數(shù)列必有極限。是是單單調(diào)調(diào)有有界界有有理理數(shù)數(shù)列列，反反例例：)11( nn . e但但其其極極限限是是無無理理數(shù)數(shù)即數(shù)列的單調(diào)有界定理在有理數(shù)域不成立。即數(shù)列的單調(diào)有界定理在有理數(shù)域不成立。 43. 區(qū)間套定理區(qū)間套定理 若若 是一個(gè)區(qū)間套，則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的點(diǎn)是一個(gè)區(qū)間套，則在實(shí)數(shù)系中存在唯

3、一的點(diǎn) bann, 2 , 1, nbann 使使, 2, nnaa使使取單調(diào)遞增有理數(shù)列取單調(diào)遞增有理數(shù)列, 2, nnbb使使取單調(diào)遞減有理數(shù)列取單調(diào)遞減有理數(shù)列，套套有理數(shù)域內(nèi)構(gòu)成閉區(qū)間有理數(shù)域內(nèi)構(gòu)成閉區(qū)間則則Qnnba, .Q 2共點(diǎn)為共點(diǎn)為其在實(shí)數(shù)系內(nèi)唯一的公其在實(shí)數(shù)系內(nèi)唯一的公所以區(qū)間套定理在有理數(shù)系不成立。所以區(qū)間套定理在有理數(shù)系不成立。反例：反例：54. 有限覆蓋定理有限覆蓋定理在實(shí)數(shù)系中，閉區(qū)間在實(shí)數(shù)系中，閉區(qū)間a, b的任一開覆蓋的任一開覆蓋H，必，必可從可從H中選出有限個(gè)開區(qū)間覆蓋中選出有限個(gè)開區(qū)間覆蓋a, b。中所有有理數(shù)的集合，中所有有理數(shù)的集合，表示表示設(shè)設(shè)212

4、, 1Q),2,2 , 1xxxQrxrxrx （使使有有理理數(shù)數(shù),2 , 1| ),(QxxxrxrxH 令令的一個(gè)開覆蓋，的一個(gè)開覆蓋，是是則則QH2 , 1),(),(),(,22221111*nnnnrxrxrxrxrxrxHHH 合合的有限個(gè)元素，構(gòu)成集的有限個(gè)元素，構(gòu)成集任取任取, 2222*rnnH最靠近的數(shù)為最靠近的數(shù)為個(gè)有理數(shù)中與個(gè)有理數(shù)中與設(shè)這設(shè)這個(gè)端點(diǎn)都是有理數(shù)，個(gè)端點(diǎn)都是有理數(shù)，且，且中的開區(qū)間都不含中的開區(qū)間都不含由于由于反例：反例：個(gè)區(qū)間之外。個(gè)區(qū)間之外。述述之間所有有理數(shù)都在上之間所有有理數(shù)都在上與與則在則在nr2.2 , 1QH住住的的任任意意有有限限覆覆蓋蓋不

5、不能能蓋蓋即即65. 聚點(diǎn)定理聚點(diǎn)定理實(shí)數(shù)系中的任意有界無限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。實(shí)數(shù)系中的任意有界無限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。反例：反例： ,|)11(ZnnSn S是有界的無限有理點(diǎn)集，在實(shí)數(shù)域內(nèi)的聚點(diǎn)為是有界的無限有理點(diǎn)集，在實(shí)數(shù)域內(nèi)的聚點(diǎn)為e,因而在有理數(shù)域沒有聚點(diǎn)。因而在有理數(shù)域沒有聚點(diǎn)。5.1 致密性定理：致密性定理：在實(shí)數(shù)系中，有界數(shù)列必含有收斂子列。在實(shí)數(shù)系中，有界數(shù)列必含有收斂子列。反例：反例：,)11( 窮數(shù)列窮數(shù)列是有理數(shù)系中的有界無是有理數(shù)系中的有界無nnnx 其極限為無理數(shù)其極限為無理數(shù)e,從而任一子列均收斂于從而任一子列均收斂于e。故故xn在有理數(shù)域內(nèi)沒有收斂的子列。在有

6、理數(shù)域內(nèi)沒有收斂的子列。76. 柯西收斂準(zhǔn)則柯西收斂準(zhǔn)則., 0 mnnaaNnmNa有有收收斂斂在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)系系中中，反例：反例：條條件件的的有有理理數(shù)數(shù)列列，是是滿滿足足Cauchynn)11( . e但但其其極極限限是是無無理理數(shù)數(shù)即柯西收斂準(zhǔn)則在有理數(shù)域不成立。即柯西收斂準(zhǔn)則在有理數(shù)域不成立。8幾個(gè)概念：幾個(gè)概念：區(qū)間套（閉區(qū)間套），區(qū)間套（閉區(qū)間套），聚點(diǎn)聚點(diǎn)（3個(gè)等價(jià)定義及其等價(jià)性的證明），個(gè)等價(jià)定義及其等價(jià)性的證明），開覆蓋（有限開覆蓋）。開覆蓋（有限開覆蓋）。舉例說明閉區(qū)間套定理中將閉區(qū)間換成開區(qū)間舉例說明閉區(qū)間套定理中將閉區(qū)間換成開區(qū)間結(jié)論不成立。結(jié)論不成立。, 0)01(l

7、im10 nnn且且是是前前一一個(gè)個(gè)包包含含后后一一個(gè)個(gè)，），（如如 但不存在屬于所有開區(qū)間的公共點(diǎn)。但不存在屬于所有開區(qū)間的公共點(diǎn)。 9舉例說明有限覆蓋定理中將閉區(qū)間換成開區(qū)舉例說明有限覆蓋定理中將閉區(qū)間換成開區(qū)間結(jié)論不成立。間結(jié)論不成立。, 2 , 1)1 ,11( nn，如如開開區(qū)區(qū)間間集集合合但不能從中選出有限個(gè)開區(qū)間蓋?。ǖ荒軓闹羞x出有限個(gè)開區(qū)間蓋住（0， 1）。）。因?yàn)橛叶它c(diǎn)始終為因?yàn)橛叶它c(diǎn)始終為1，左端點(diǎn)有限個(gè)中必有一個(gè)最小者，左端點(diǎn)有限個(gè)中必有一個(gè)最小者，,11 N設(shè)為設(shè)為。）這部分將不能被蓋?。┻@部分將不能被蓋住，則（則（110 N構(gòu)成了開區(qū)間（構(gòu)成了開區(qū)間（0， 1）的一

8、個(gè)開覆蓋）的一個(gè)開覆蓋 ，10積分法積分法原原 函函 數(shù)數(shù)選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數(shù)的積分函數(shù)的積分第八章不定積分第八章不定積分11一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1、原函數(shù)與不定積分的概念。、原函數(shù)與不定積分的概念。2、不定積分、不定積分: (1)存在性存在性;(2)唯一性唯一性;(3)如何求？如何求？3、不定積分運(yùn)算與微分運(yùn)算的互逆關(guān)系。、不定積分運(yùn)算與微分運(yùn)算的互逆關(guān)系。4、積分表。、積分表。5、不定積分的計(jì)算：不定積分的計(jì)算：（1）基本思想

9、）基本思想化歸為積分表中的積分；化歸為積分表中的積分；（2）常用積分方法：）常用積分方法：12 1）恒等變形（）恒等變形（加一項(xiàng)減一項(xiàng)、乘一項(xiàng)除一項(xiàng)、加一項(xiàng)減一項(xiàng)、乘一項(xiàng)除一項(xiàng)、 三角恒等變形）；三角恒等變形）； 2）線性運(yùn)算；）線性運(yùn)算； 3）換元法：）換元法： 第一類（湊分法）第一類（湊分法）不需要變換式可逆；不需要變換式可逆； 第二類第二類變換式必須可逆變換式必須可逆； 4）分部積分法）分部積分法常可用于兩個(gè)不同類型函數(shù)乘積?？捎糜趦蓚€(gè)不同類型函數(shù)乘積的積分；的積分； “對(duì)反冪三指，前者設(shè)為對(duì)反冪三指，前者設(shè)為u” 5）三種特殊類型函數(shù)）三種特殊類型函數(shù) “程序化程序化”的積分法。的積分

10、法。 注：注：檢驗(yàn)積分結(jié)果正確與否的基本方法。檢驗(yàn)積分結(jié)果正確與否的基本方法。13（3）求積分比求微分困難）求積分比求微分困難 1）沒有萬能的積分法；）沒有萬能的積分法； 2）有的初等函數(shù)的積分不是初等函數(shù)，從而）有的初等函數(shù)的積分不是初等函數(shù)，從而“積積不出來不出來”，如，如，和和 ln xdxdxxe x積積分分對(duì)對(duì)數(shù)數(shù) ，、 cos sin dxx xdxx x積分余弦積分余弦積分正弦積分正弦 ，、及及更更一一般般的的形形式式 cos sin ln dxx xdxx xdxxxdxxennnnx 、還有還有 )(c )sin( 222dxxosdxxdxex 14dxx 另外：每一個(gè)含有

11、另外：每一個(gè)含有第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒有原函數(shù)的函數(shù)都沒有原函數(shù).146 6、基本積分表、基本積分表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù))1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot15 dxax)13(Caax ln Cxxdxcos

12、lntan)16( Cxxdxsinlncot)17( Cxxxdx)tanln(secsec)18( Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(2216;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx7、湊微分常見類型、湊微分常見類型:;sec)(tan. 72

13、xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 17湊微分時(shí)常用到：湊微分時(shí)常用到：;22dxxdx ; 1 , 11- nndxdxxnn ;xxdedxe ;21xddxx );ln(1cxddxcx ;sincosxdxdx ;arctan112xddxx ;tansec2xdxdx . 0 ),(1 abaxdadx湊微分法就是設(shè)法把湊微分法就是設(shè)法把, )()()( xdxgdxxf 湊湊成成 一般沒有規(guī)律可循，只有掌握典型例題，多做多總結(jié)。一般沒有規(guī)律可循，只有掌握典型例題，多做多總結(jié)。18三角代換三角代換去掉如下二次根式：去掉如下二次根式：22)1(xa 可令可令,sintax

14、 22)2(xa 可令可令,tantax 22)3(ax 可令可令,sectax tax22xa tax22ax tax22ax 8、常用代換、常用代換:19當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時(shí)，可采用令時(shí)，可采用令x=tn, （其中（其中n為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） lkxx,當(dāng)分母的階當(dāng)分母的階分子的階時(shí)分子的階時(shí), 可考慮試用可考慮試用倒代換倒代換：.1tx 20一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、定積分的定義、定積分的定義的的取取法法均均無無關(guān)關(guān)。及及該該極極限限與與iT iiiiTbaxxfdxxf)()(lim )(10| 第九章

15、第九章 定積分定積分定積分是個(gè)數(shù)，與被積函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的定義無關(guān)；定積分是個(gè)數(shù)，與被積函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的定義無關(guān)；與積分變量記號(hào)的選擇無關(guān)。與積分變量記號(hào)的選擇無關(guān)。 badxxf)( badttf)( baduuf)(21求出求出及特殊的點(diǎn)集及特殊的點(diǎn)集取特殊的分割取特殊的分割, )1(iT iiiTbaxfdxxf)(lim )(0| 取左端點(diǎn)或右端點(diǎn)。取左端點(diǎn)或右端點(diǎn)。等分，等分，通常對(duì)通常對(duì)inba ,（2） 利用牛頓利用牛頓-萊布尼茲公式。萊布尼茲公式。babaxFaFbFdxxf| )()()()(2 2、定積分的計(jì)算、定積分的計(jì)算在已知定積分存在的前提下，可用下面兩種方在已知定

16、積分存在的前提下，可用下面兩種方法求出其值：法求出其值：223 3、定積分的幾何意義、定積分的幾何意義面積的代數(shù)和。面積的代數(shù)和。4 4、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)線性、線性、 關(guān)于積分區(qū)間的可加性、關(guān)于積分區(qū)間的可加性、估值不等式、估值不等式、積分第一、第二中值定理。積分第一、第二中值定理。5 5、定積分與不定積分的聯(lián)系、定積分與不定積分的聯(lián)系（1 1）變上限積分的導(dǎo)數(shù)公式；）變上限積分的導(dǎo)數(shù)公式；保號(hào)性、保號(hào)性、),()(xfdttfdxdxa )()()()(xaxafxbxbf )()()(xbxadttfdxd23（2 2）牛）牛- -萊公式。萊公式。（3 3）可積函數(shù)不一定有原函數(shù)

17、，有原函）可積函數(shù)不一定有原函數(shù)，有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。數(shù)的函數(shù)不一定可積。因?yàn)橐驗(yàn)椤昂泻械谝活愰g斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)的函數(shù)”都沒有原函數(shù)，都沒有原函數(shù)，而而“含有有限個(gè)含有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)的函數(shù)”都可積。都可積。所以可積函數(shù)不一定有原函數(shù)。 0 , 01 , 10 ,1sin)(22xxxxxxf且且 0 , 01 , 10 ,1cos21sin2)(22xxxxxxxxf且且24無界，從而不可積，無界，從而不可積，在在11)( xf),(11)(xfxf的原函數(shù)是的原函數(shù)是，在在但但 即說明有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。256 6、可積條件、可積條件必要條件必要條

18、件 若函數(shù)若函數(shù)f在在a,b上可積，則上可積，則f在在a,b上必定有界。上必定有界。 充要條件（充要條件（1） 函數(shù)函數(shù)f在在a,b可積當(dāng)且僅當(dāng)：可積當(dāng)且僅當(dāng)： ，使，使分割分割T , 0 . Tiix, 0T分分割割、 使得屬于使得屬于T的所有小區(qū)間中，的所有小區(qū)間中， 充要條件（充要條件（2） 函數(shù)函數(shù)f在在a,b可積當(dāng)且僅當(dāng)：可積當(dāng)且僅當(dāng)： 對(duì)應(yīng)于振幅對(duì)應(yīng)于振幅 的那些小區(qū)間的那些小區(qū)間 的總長(zhǎng)的總長(zhǎng). kkx kk 267 7、可積函數(shù)類、可積函數(shù)類1、在、在a,b上連續(xù)的函數(shù)在上連續(xù)的函數(shù)在a,b可積?？煞e。2、在、在a,b上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)在上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)在

19、 a,b上可積。上可積。 3、在、在 a,b上單調(diào)的有界函數(shù)在上單調(diào)的有界函數(shù)在a,b上可積。上可積。 （允許有無限多個(gè)間斷點(diǎn)）（允許有無限多個(gè)間斷點(diǎn)） 但并非可積函數(shù)只有這但并非可積函數(shù)只有這3類。如：黎曼函數(shù)類。如：黎曼函數(shù)不屬于這不屬于這3類的任何一類，但它是可積的。類的任何一類，但它是可積的。 在在a,b上函數(shù)的間斷點(diǎn)形成收斂的數(shù)列，上函數(shù)的間斷點(diǎn)形成收斂的數(shù)列，則函數(shù)在則函數(shù)在a,b可積。可積。278 8、利用不定積分計(jì)算定積分、利用不定積分計(jì)算定積分（1 1）線性；）線性；恒等變形；恒等變形； 換元；換元； 分部積分；分部積分；一些特殊類型函數(shù)的積分。一些特殊類型函數(shù)的積分。（2

20、2）與不定積分法的差別）與不定積分法的差別 （3 3）利用對(duì)稱性、周期性及幾何意義。）利用對(duì)稱性、周期性及幾何意義。牛牛- -萊公式萊公式 積分限的確定，換元要換積分限，原函數(shù)積分限的確定，換元要換積分限，原函數(shù)求出后不需回代。求出后不需回代。（4） 開偶次方時(shí)，要帶絕對(duì)值。開偶次方時(shí)，要帶絕對(duì)值。289 9、雜記、雜記（1）定積分可用于計(jì)算某類特殊數(shù)列的極限。）定積分可用于計(jì)算某類特殊數(shù)列的極限。（2） 對(duì)對(duì)D(x)和和R(x) 的可積問題多一些關(guān)注。的可積問題多一些關(guān)注。291 1、微元法的理論依據(jù)、微元法的理論依據(jù).)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定定積積分分的的微微

21、分分的的分分就就是是這這表表明明連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的定定積積于于是是即即的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)是是則則它它的的變變上上限限積積分分上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 第第10章章302 2、名稱釋譯、名稱釋譯.)()(:)()(,)2(方法稱微元法方法稱微元法計(jì)算積分或原函數(shù)的計(jì)算積分或原函數(shù)的這種取微元這種取微元積分積分的無限積累的無限積累到到從從就是其微分就是其微分所求總量所求總量知知由理論依據(jù)由理論依據(jù)dxxfdxxfUbadxxfdUAba 31（1）U是是與與一一個(gè)個(gè)變變量量x的的變變化化區(qū)區(qū)間間 ba,有有關(guān)關(guān)的的量量；（3）部部

22、分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示為為iixf )( ；就就可可以以考考慮慮用用定定積積分分來來表表達(dá)達(dá)這這個(gè)個(gè)量量U.3 3、所求量的特點(diǎn)、所求量的特點(diǎn)32；）的的變變化化區(qū)區(qū)間間的的相相關(guān)關(guān)量量（記記為為確確定定）, 1baxU 2表表達(dá)達(dá)式式微微元元的的建建立立）U設(shè)想把區(qū)間設(shè)想把區(qū)間,ba分成分成n個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為并記為,dxxx ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量U 的近似值的近似值.如果如果U 能近似地表示為能近似地表示為,ba上的一個(gè)上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在連續(xù)函數(shù)在x處的值處的值)(xf與與dx的乘積，的乘積，

23、，即即dxxfxdUdU )()( ,C)(baxf 其其中中，即即)()( xoxxfU ）。（此此時(shí)時(shí)，以靜代動(dòng)以簡(jiǎn)代繁、以直代曲、。則則 badxxfU)( 4 4、解題步驟、解題步驟33是是非非常常困困難難的的。通通常常要要驗(yàn)驗(yàn)證證)()( xoxxfU 一一般般來來說說不不是是唯唯一一的的。中中的的且且)()()( xfxoxxfU 也也不不是是唯唯一一的的。中中的的所所以以)( )( xfdxxfUba 34平面圖形的面積平面圖形的面積直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)參數(shù)方程參數(shù)方程極坐標(biāo)極坐標(biāo)弧微分弧微分弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積?355 5、定積分應(yīng)用的常用公式、定積

24、分應(yīng)用的常用公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA| )(|xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形abab上曲線減下曲線對(duì)上曲線減下曲線對(duì)x積分。積分。36yxOcdAx=f(y)（圖（圖5）x=g(y) dcdyygyfA)()(右曲線減左曲線對(duì)右曲線減左曲線對(duì)y積分。積分。一般解題步驟：一般解題步驟：（1）畫草圖，定結(jié)構(gòu)；）畫草圖，定結(jié)構(gòu)；（2）解必要的交點(diǎn)，定積分限；）解必要的交點(diǎn)，定積分限；（3）選擇適當(dāng)公式，求出面積（定積分）。）選擇適當(dāng)公式，求出面積（定積分）。注意：答案永遠(yuǎn)為正。注意：答案永遠(yuǎn)

25、為正。37如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù)38 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形39(2) 體積體積xdxx xyodxxfVbax2)( dyyVdcy2)( xyo)(yx cddxxxfVbay)(2 dyyyV

26、dcx)(2 40 xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積)(xA.sin)(320 ),(03 drVrr 所所成成立立體體的的體體積積為為：繞繞極極軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)由由)( rr ） ） 41(3) 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)xoyabxdxx dy弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)dxysba 21A曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線弧為22dydxds 42C曲線弧為曲線弧為)( )( rr 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng) drrs )()(22(4

27、) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22側(cè)側(cè)ydsdS 2 43(5) 變力所作的功變力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(6) 液體壓力液體壓力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(為為比比重重 44(7) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(為引力系數(shù)為引力系數(shù)G(8) 函數(shù)的平均值函數(shù)的平均值 badxxfaby)(145第第11章章一、兩類反常積分的概念一、兩類反常積分的概念 adxxf)( uau

28、dxxf)(lim badxxf)( buaudxxf)(lim badxxf )(lim0 dxxf)( adxxf)( adxxf)(當(dāng)當(dāng) adxxf)(和和 adxxf)(都都收收斂斂時(shí)時(shí)， a為任意常數(shù)為任意常數(shù),就就稱稱 dxxf)(收收斂斂； 46如果如果a,b都是瑕點(diǎn)都是瑕點(diǎn)，則定義，則定義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(， c為為(a,b)內(nèi)任一實(shí)數(shù)。內(nèi)任一實(shí)數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)右端兩個(gè)積分都收斂時(shí)，才稱左端瑕積分收斂。當(dāng)且僅當(dāng)右端兩個(gè)積分都收斂時(shí)，才稱左端瑕積分收斂。二、計(jì)算方法二、計(jì)算方法求正常積分求正常積分+求極限；求極限；)0( axdxap 時(shí)時(shí)，發(fā)發(fā)散

29、散當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，收收斂斂；當(dāng)當(dāng)11pp bapaxdx)( 時(shí)時(shí)，發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，收收斂斂；當(dāng)當(dāng)110pp47三、兩類反常積分的判斂方法三、兩類反常積分的判斂方法1、Cauchy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 收收斂斂 )(adxxf有有, 021GuuaG .)(21 uudxxf有有),(, 0, 021 aauu.)(21 uudxxf 是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)）收收斂斂（adxxfba )(482、比較法則、比較法則 baadxxfdxxf的的斂斂散散性性，和和用用于于判判別別| )(| )(|通常取通常取p-積分為比較對(duì)象，且常用極限形式。積分為比較對(duì)象，且常用極限形式。3、Dirichelet判別法和判別法和Abel

30、判別法判別法 用于判別兩個(gè)函數(shù)相乘時(shí)的反常積分的斂散性。用于判別兩個(gè)函數(shù)相乘時(shí)的反常積分的斂散性。:)0(cos sin adxxxdxxxapap的斂散性的斂散性和和時(shí)，發(fā)散。時(shí)，發(fā)散。時(shí)，條件收斂；時(shí)，條件收斂；時(shí)，絕對(duì)收斂；時(shí)，絕對(duì)收斂；0101 ppp49四、絕對(duì)收斂與條件收斂四、絕對(duì)收斂與條件收斂定積分：定積分：可積，可積，在在可積可積在在,|,bafbaf無窮積分：無窮積分：. )( | )(|收收斂斂收收斂斂 aadxxfdxxf瑕積分：瑕積分：. )( | )(|收斂收斂收斂收斂 babadxxfdxxf可可積積，在在可可積積在在,|,2bafbaf. )( | )(|2收斂收

31、斂收斂收斂 aadxxfdxxf. | )(| )(2收斂收斂收斂收斂 babadxxfdxxf. )( )(2收收斂斂收收斂斂 aadxxfdxxf50第第12章章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)51 nnnuuuuu3211nns lim存在存在. . niinnuuuus121收斂收斂 1nnu有有, 0, 0 pNmN .|21 pmmmuuu收收斂斂正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu有有界界。ns 52 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂于收斂于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),11,1 0qqaqaqnn 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1,1 11ppnnp 時(shí)時(shí)，發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng)條條件件

32、收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0,10,1 1)1(1pppnnpn53 11cos , sinnpnpnnxnnx時(shí)，絕對(duì)收斂；時(shí)，絕對(duì)收斂；當(dāng)當(dāng)1 p,0時(shí)，發(fā)散時(shí)，發(fā)散 p.,10條條件件收收斂斂時(shí)時(shí)，收收斂斂當(dāng)當(dāng) p相同。相同。斂散性與斂散性與dxnnxp 1sin54收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)：收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)：. 0lim . 11 nnnnuu 收收斂斂.0lim 1發(fā)發(fā)散散 nnnnuu,)(, . 2 dcsdvcuvsunnnn 3. 級(jí)數(shù)的斂散性與級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)無關(guān)，但收斂的級(jí)數(shù)的斂散性與級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)無關(guān)，但收斂的和一般會(huì)有影響。和一般會(huì)有影響。4 . 收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后

33、仍收斂，且和不變（即有結(jié)收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后仍收斂，且和不變（即有結(jié)合律）；合律）；5. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的任意重排級(jí)數(shù)仍絕對(duì)收斂，且絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的任意重排級(jí)數(shù)仍絕對(duì)收斂，且和不變（即有交換律）。和不變（即有交換律）。6.6. 收斂收斂級(jí)數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)的的和必為發(fā)散級(jí)數(shù)。和必為發(fā)散級(jí)數(shù)。55正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1、比較法（、比較法（un為有理表達(dá)式時(shí)）；為有理表達(dá)式時(shí)）；2、比式法（、比式法（un含含n!時(shí)）；時(shí)）；3、根式法（、根式法（un含含n次方時(shí)）；次方時(shí)）；4、積分法、積分法 ( ）；）；斂散性易判別時(shí)斂散性易判別時(shí)當(dāng)當(dāng) adxxf)(5、拉貝法（、拉貝法（ ）；）；時(shí)時(shí)

34、當(dāng)當(dāng)1lim1 nnnuu56 )1()1(111nnnnnnuu 或或)0( nu其其中中交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法這是這是Dirichelet判別法的特殊情形。判別法的特殊情形。57一般項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法一般項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1、Abel判別法，判別法，2、Dirichelet判別法。判別法。斂。斂。則，再考慮是否條件收則，再考慮是否條件收收斂則為絕對(duì)收斂，否收斂則為絕對(duì)收斂，否斂），斂），的斂散性（正項(xiàng)級(jí)數(shù)判的斂散性（正項(xiàng)級(jí)數(shù)判一般先考慮一般先考慮 | nu 用比值或根值判別法判定的非絕對(duì)收斂級(jí)用比值或根值判別法判定的非絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)一定發(fā)散。數(shù)一定發(fā)散。58, , . 2BvAunn絕絕對(duì)對(duì)收收斂

35、斂于于絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂于于若若 則它們的乘積按任意順序所得的級(jí)數(shù)也絕對(duì)則它們的乘積按任意順序所得的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂于收斂于AB. . 111svsunnnn也也絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂于于，則則其其重重排排級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂于于設(shè)設(shè) 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì) 條件收斂的級(jí)數(shù)，可以適當(dāng)重排，使其按任意預(yù)條件收斂的級(jí)數(shù)，可以適當(dāng)重排，使其按任意預(yù)定的方式收斂或發(fā)散。定的方式收斂或發(fā)散。59第第13章章,| )()(|, 0 )1( xfxfIxNnNn都都有有若若等價(jià)于下列等價(jià)于下列3條之一：條之一：. 0| )()(|suplim )3( xfxfnIxn好用！好用！.| )()(|,

36、0 )2( xfxfIxNnmNmn都都有有一致收斂。一致收斂。但在但在不一致收斂，不一致收斂，在在)1(, )1 , 1( aaaxn典型例題：典型例題：)( )(xfxfnI60)( )(xfxfnI的常用判定法：的常用判定法：. 0| )()(|suplim )1( xfxfnIxn,| )()(|, 0 )2(000000 xfxfIxNnNn有有上上不不連連續(xù)續(xù)。在在上上連連續(xù)續(xù)，但但在在IxfIxfnn)()(, )3( 61).()(1xsxukk一致收斂于一致收斂于 ,),( )( )1(Dxx sxsn 有有, 0, 0 )2(DxpNmN .| )()()(|21 xuxu

37、xupmmm. 0| )()(|suplim )3( xsxsnDxn等價(jià)于下列等價(jià)于下列3條之一條之一：典型例題：典型例題：一致收斂。一致收斂。但在但在不一致收斂，不一致收斂，在在)1(, )1 , 1( aaaxn62一一致致收收斂斂的的判判別別法法： 1)(kkxu（1）優(yōu)級(jí)數(shù)判別法）優(yōu)級(jí)數(shù)判別法（2）Abel判別法判別法（3）Dirichelet判別法判別法63)()(1xsxukk不不一一致致收收斂斂于于 的常用判定法：的常用判定法：, 0 )( 1xun）（D, )( )( 2xsxsn）（D上上不不連連續(xù)續(xù)。在在上上連連續(xù)續(xù)，但但在在IxsIxunn)( )(, )3( 64一致

38、收斂函數(shù)列的性質(zhì)：一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)：)(limlim)(limlim00 xfxfnxxnnnxx 則則（1）上上也也連連續(xù)續(xù)，且且也也在在則則其其極極限限函函數(shù)數(shù)Ixf)( （2）連續(xù)，連續(xù)，在在且且Ixfnn)(, )( )(xfxfnI)( )(xfxfnI（3）.)(lim)(limdxxfdxxfnbannnba 收斂，收斂，在在0)(xxfn連續(xù)，且連續(xù)，且在在Ixfnn)(, 上上一一致致收收斂斂，則則在在Ixfn)( (lim( )lim( ).nnnnfxfx65一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)則則上一致收斂上一致收斂在在,)(1Dxunn (1)(2),

39、 0 )(xunD,)(1一致收斂一致收斂在在baxunn 連續(xù)，連續(xù)，在在且且,)(,baxunn 且且連連續(xù)續(xù)在在則則,)()(1baxuxsnn .)()( babanndxxudxxu（3）收斂，收斂，在在0 )(xxun 連續(xù)，且連續(xù)，且在在 )(,Ixunn 上上一一致致收收斂斂，則則在在Ixun )( ( )( ).nnfxfx66第第14章章一、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域一、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域形形如如nnnxxa)(00 的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)稱稱為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xnnnxa 0定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) ) 說明冪

40、級(jí)數(shù)存在收斂半徑。說明冪級(jí)數(shù)存在收斂半徑。收斂半徑的求法：收斂半徑的求法： （1）根式法，）根式法，（2）比式法，）比式法，67定定理理 2 2 如如果果冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), 1R;(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), R;這個(gè)方法不適合求缺項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂半徑。這個(gè)方法不適合求缺項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂半徑。 冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn)的收斂情況，轉(zhuǎn)化成數(shù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn)的收斂情況，轉(zhuǎn)化成數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂問題。項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂問題。68二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)（1）在收斂區(qū)間內(nèi)閉一致

41、收斂，）在收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂，（2）和函數(shù)在收斂區(qū)間連續(xù)，）和函數(shù)在收斂區(qū)間連續(xù)，（3）在收斂區(qū)間可以逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積，）在收斂區(qū)間可以逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積，且所得冪級(jí)數(shù)收斂半徑不變。且所得冪級(jí)數(shù)收斂半徑不變。69三、冪級(jí)數(shù)的求和三、冪級(jí)數(shù)的求和通常采用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積，并利用一些已知通常采用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積，并利用一些已知級(jí)數(shù)的和函數(shù)。級(jí)數(shù)的和函數(shù)。. 1| ,11 0 xxxnn常常用用注意這個(gè)級(jí)數(shù)的各種變異。注意這個(gè)級(jí)數(shù)的各種變異。70記住下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：;11)1(0 xxnn ;11)1()4(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;11)()2(0 xxnn .

42、 1| x71四、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)四、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 如果如果)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo), ,則冪級(jí)數(shù)則冪級(jí)數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù). . 如果如果f(x) 能展成冪級(jí)數(shù)，則這個(gè)冪級(jí)數(shù)是唯一的，能展成冪級(jí)數(shù)，則這個(gè)冪級(jí)數(shù)是唯一的，就是就是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)。的泰勒級(jí)數(shù)。 0)(lim xRnn. . 如果如果)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo), ,則則 f( (x) )nnnxxnxf)(!)(000)( . . f( (x) )= =nnnxxnxf)(!)(000)( 721.1.直接法直接

43、法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) )步驟步驟:不不能能展展成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)；不不存存在在，說說明明，若若求求)()(!)()1(0)(0)(xfxfnxfaknn ).()(0)(limxfIxfxRn內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于區(qū)區(qū)間間的的泰泰勒勒級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在收收斂斂，則則若若 ,0)(lim(2)IxRnn的的范范圍圍考考察察 2.2.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分等方等方法法,求展開式求展開式.73記住幾個(gè)特殊函數(shù)的展開式：記住幾個(gè)特殊函數(shù)的展開式：),1ln(

44、 ,11 ,11 ,cos ,sin ,xxxxxex 注意收斂范圍。注意收斂范圍。74本章討論了下面三類問題：本章討論了下面三類問題：1、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。2、冪級(jí)數(shù)的一致收斂性，及和函數(shù)的性質(zhì)。、冪級(jí)數(shù)的一致收斂性，及和函數(shù)的性質(zhì)。3、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的條件及方法。、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的條件及方法。75請(qǐng)同學(xué)體會(huì)求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的方法，并注意在逐請(qǐng)同學(xué)體會(huì)求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的方法，并注意在逐項(xiàng)求積時(shí)，收斂域可能擴(kuò)大，只要冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)項(xiàng)求積時(shí)，收斂域可能擴(kuò)大，只要冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)收斂，而和函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)有定義，那么和函數(shù)成收斂，而和函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)有定義，那么和函數(shù)成立的區(qū)間就可以包含這個(gè)端點(diǎn)。（立的區(qū)間就可以包含這個(gè)端點(diǎn)。（這是這是P51.3的結(jié)的結(jié)果果）逐項(xiàng)求導(dǎo)時(shí)，一般收斂域會(huì)減少。逐項(xiàng)求導(dǎo)時(shí)，一般收斂域會(huì)減少。如如,)(12 nnnxxf,)(1