分式不等式的解法講義

1、不等式的解法1. 一元二次不等式的解法(1)含有未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的一元不等式叫做一元二次不等式.(2)元二次不等式的解法(如下表所示)設(shè) a 0,xA, x2是一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 的兩實根，且x2判別武厶=再蘭AO= 0二次函數(shù)y= tixT- + JHf a cn Xj圉歎-XL.vi-(TurKj=X2北二次方程cur1-= O,廠2 心|zH % R十扛勞十 0(avb)的解集為：x|xwa 或 x b; O(avb)的解集為：x|a 0(a 0)的解集是一元二次函數(shù) y= ax2+ bx +c(a 0)在 x 軸上方的點的橫坐標(biāo)的集合.3三個“二次”的關(guān)系常

2、說的三個“二次”即指二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式，這三者之間有著密切的聯(lián)系，這種聯(lián)系點可以成為高考中的命題點.處理其中某類問題時， 要善于產(chǎn)生對于另外兩個“二次”的聯(lián)想，或進(jìn)行轉(zhuǎn)化，或幫助分析.具體到解一元二次不等式時，就是要善于利用相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象進(jìn)行解題分析，要能抓住一元二次方程的根與一元二次不等式的解集區(qū)間的端點值的聯(lián)系.2. 解一元二次不等式的方法：(1) 圖象法：先求不等式對應(yīng)方程的根，再根據(jù)圖象寫出解集.(2) 公式法步驟：1先化成標(biāo)準(zhǔn)型：ax2+ bx+ c0(或v0),且 a0;2計算對應(yīng)方程的判別式;3求對應(yīng)方程的根；4利用口訣“大于零在兩邊，小于零在中間”寫出

3、解集.3. 解絕對值不等式的基本思想1) 解絕對值不等式的基本思想是去掉絕對值符號， 把帶有絕對值號的不等式等價轉(zhuǎn)化 為不含絕對值號的不等式求解，常采用的方法是討論符號和平方，例如：(1) 若a0,則|x| va?avxva?x2va2；(2) 若a0,U|x| a?xva,或xa?x2a2；(3) |f(x)|g(x)? g(x)f(x)g(x) ?f(x)g(x)或f(x)a(a0)?f(x)a或f(x)va;(2) |f(x)|va(a0)?avf(x)va；(3) |xa1| + |xa2| (v)b,用零點分區(qū)間法.4. 一般分式不等式的解法：(1) 整理成標(biāo)準(zhǔn)型區(qū) 0(或v0)或仏

4、 0(或w0).g(x)g(x)(2) 化成整式不等式來解：1 0? f(x) g(x) 0g x2電v0? f(x) g(x)v0g xfx)g(x 尸0gxgx豐0(3)再討論各因子的符號或按數(shù)軸標(biāo)根法寫出解集.熱點考點題型探析考點 1 一元二次不等式的解法 題型 1.解一元二次不等式例 1不等式xx的解集是()A .：,0B.0,1C.1, ：D. -:： ,0 U 1，二【解題思路】嚴(yán)格按解題步驟進(jìn)行解析由x2x得x(x -1)0,所以解集為 ：,0U1,7,故選 D；別解：抓住選擇題的特點,顯然當(dāng)* = 2時滿足不等式,故選 D.【名師指引】解一元二次不等式的關(guān)鍵在于求出相應(yīng)的一元二

5、次方程的根題型 2.已知一元二次不等式的解集求系數(shù).21 12例 2已知關(guān)于x的不等式ax 2x c 0的解集為(-一，),求-ex 2a 0的解集.【解題思路】由韋達(dá)定理求系數(shù)21 1 1 12解析由ax 2x e 0的解集為(-一，)知a：0,為方程ax 2x 0的兩gx電w0?g x豐0 fx gxw03 23 2個根，由韋達(dá)定理得 -=，-=,解得a = -12, e = 2,二-ex 2x - a 0即2x -2x -12：0,其解集為(-2,3).【名師指引】已知一元二次不等式的解集求系數(shù)的基本思路是，由不等式的解集求出根，再由韋達(dá)定理求系數(shù)x【新題導(dǎo)練】1不等式（a 2）x2+2

6、（a 2） -4v0,對一切x R R 恒成立，則 a 的取值范圍是（）解析：口可推知-2vav2,另 a=2 時，原式化為-4v0,恒成立， -2va2.選 BA 0,若此不等式的解集為xvxv2，則m的取值m范圍是A.m 0B.0v m v2C.m D.m v0火癮鳳 2解析：由不等式的解集形式知嗚 mv0.答案：Dj/f考點 2 含參數(shù)不等式的解法題型 1:解含參數(shù)有理不等式例 1:解關(guān)于x的一元二次不等式x2 （3-a）x 3a 0【解題思路】比較根的大小確定解集f 11 y V解析：x2-（3 a）x 3a 0 ,x-3 x-a 0倆訓(xùn)咽或粘目rt當(dāng)&3時/、*或XA3，不等式解集為

7、（xx3；當(dāng)a =3時，不等式為（x3）:0,解集為xR 且 x 式 3;當(dāng)a 3寸,x v3或x a，不等式解集為x x c3或xna【名師指引】解含參數(shù)的有理不等式時分以下幾種情況討論：根據(jù)二次項系數(shù)（大于 0,小于0,等于 0）;根據(jù)根的判別式討論（丄0門=0, ：0）.根據(jù)根的大小討論題型 2:解簡單的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式1例 2.解不等式 loga(1 ) 1(a 0, a = 1)x【解題思路】借助于單調(diào)性進(jìn)行分類討論A.(4 ,2B. (-2,2C. (-2,2)D.(-a,2)（為X2,xx2)x1:X2)解析（1）當(dāng) a 1 時，原不等式等價于不等式組1由此得 1 a1.因

8、為 1-av0，所以 xv0,1vxv0.x1 -a11 0(2)當(dāng) 0vav1 時，原不等式等價于不等式組：x1 1 1 或 xv0, 由得 0vxv,.1vxv11 - a1 - a綜上，當(dāng) a1 時，不等式的解集是x|丄vxv0,當(dāng) 0vav1 時，不等式的解集為1 -ax|1vxv.1 -a【名師指引】解指數(shù)不等式與對數(shù)不等式通常是由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般 的不等式(組)來求解，當(dāng)?shù)讛?shù)含參數(shù)時要進(jìn)行分類討論【新題導(dǎo)練】3. 關(guān)于x的不等式63x2-2mx - m2：0的解集為()mmmm、/m mA.(,)B.(,)C.(：，)(：)D.以上答案都不對9 77997解析：

9、原不等式可化為(x -m)(x-印)：0,需對m分三種情況討論，即不等式的解集與m有97關(guān).4. 解關(guān)于 x 的不等式：ax2-2(a1)x4：0解析：(ax _2)(x -2)：022_2(a-1)a a2 2、當(dāng)aA1=2A =x| x-21綜上，所求實數(shù)a的取值范圍為（丄，：）2a = 0【名師指引】不等式ax2bx c - 0對一切xR恒成立二b = 0或b2-4ac：01 a二0、2I、不等式ax bx c : 0對任意xR恒成立=b = 0或c：0題型 2.轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍【解題思路】先分離系數(shù)，再由二次函數(shù)最值確定取值范圍.2 2解析設(shè)f (x)二ax bx

10、c(a = 0).由f (0) = 1得c = 1,故f (x)二ax bx 1. f(x 1) _ f (x) =2xa(x 1) b(x 1) 1-(ax bx 1)=2x即2ax a b = 2x,所以2a =2,a b = 0,解得a =1,b = -1f (x) =x2_x 122(2)由(1)知x -x 1 2x m在-1,1恒成立，即m：x -3x1在-1,1恒成立.令g(x) =x2-3x 1 =(x -？)2的最大值為g(1)-1.所以m的取值范圍是(_：,_1).【名師指引】mzf(x)對一切R恒成立，則m_ f(x)min; m_f(x)對一切R恒成 立,則m _ f(X

11、)max；【新題導(dǎo)練】8.不等式ax24x aA -2x對一切xR恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是2 2解析:不等式ax 4x a 2x對一切R恒成立，2即(a - 2)x 4x a -10對一切 R R 恒成立若a 2=0,顯然不成立5故- 3.綜上，有尹故選a：0b2- 4ac：5，則g(x)在1,1上單調(diào)遞減.所以g(x)在-1,1上4若a20，則a 29.若不等式 x2+ ax+ 1_0 對于一切 x (0,)成立，則 a 的取值范圍是解析：設(shè) f(x)= x2+ ax+ 1 則對稱軸為x=1150,丨上是減函數(shù)，應(yīng)有 f ( )_0 :X 乞122若一a迎即 a 0 時，則 f (x

12、)在0,25-2a，若一空_丄，即 a_ 1 時，貝 U f (x)在2 2 25I2D. -311上是增函數(shù),2應(yīng)有 f (0)= 1 0 恒成立，故 a_0若 0 乞一a，即一 1 _a_0，則應(yīng)有2 222aa一+1=1 0恒成立,424a2搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.不等式一x2+5x+6 0的解集是_解析：將不等式轉(zhuǎn)化成X2-5x-6：0,即卩 x 1x-6: 0.2.若不等式x2- ax - b : 0的解集為x | 2：x：3,則不等式bx2- ax -1 0的解集為2 2.解析：先由方程x -ax-b=0的兩根為 2 和 3 求得a,b后再解不等式bx -ax-1 .0.得1 1I

13、 .-.233.(廣東省五校 2008 年高三上期末聯(lián)考)若關(guān)于x的不等式g(x) Ka2+a+1(x R)的解 集為空集，則實數(shù)a的取值范圍是 _.解析：g(x) _a2 a1(xR)的解集為空集，就是 仁g(x)max2二命題 P 為真命題=a a 21 -a 0, 2 1).x - 2原不等式即(1一k)xk-20,x - 21 。若 k=0,原不等式的解集為空集；2 _ k2若 1-k0,即 0k0,1-k 1-k2 _ k若 0k1，由原不等式的解集為x|2x;1 k2 k3若 1-k1 時，原不等式等價于(x-仝)(x-2) 0,1 -k2 k2 _ k此時恒有 2- ，所以原不等

14、式的解集為x|x2.1 k1 k綜合拔高訓(xùn)練6.已知a0,且a工1，解關(guān)于x的不等式:1log2(ax1) _ log4(4 ax).2解：原不等式等價于1x1xxX-log2(a一1)乞一Iog2(4a ),1 2log2(a一1)乞log2(4 - a )22Iog2【(ax1)22 Iog2(4ax)”aX_10(1)原不等式同解于4 -axa 0(2)7 分2(ax1)2蘭 4-ax(3)1J由得1Vax4,1由得2(ax)2-3ax2 _ 0,- _ax_ 22從而 11 時，原不等式解為x|0 xloga2 /2當(dāng)0a1時，原不等式解為x|loga2x 0)萬人進(jìn)企業(yè)工作，那么剩下

15、從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均收入有望提高2x%,而進(jìn)入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均收入為3000a 元(a 0)。(I) 在建立加工企業(yè)后， 要使從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的年總收入不低于加工企業(yè)建立前的農(nóng)民的年總收入，試求 x 的取值范圍；(II)在(I)的條件下，當(dāng)?shù)卣畱?yīng)該如何引導(dǎo)農(nóng)民(即x 多大時)，能使這 100 萬農(nóng)民 的人均年收入達(dá)到最大。解：(I)由題意得(100-x)3000 ( 1+2x% ) 100X300,即 x250 x0解得 0 x0/ 0 x3000 1+2x%)+3000ax100322=5【x 25(a+1) +3000+475(a+1)(0 x 50)(i) 當(dāng) 025(a+1

16、)50 即 0a 50,即a 1,函數(shù)y在(0,50單調(diào)遞增，.當(dāng) x=50 時，y 取最大值 答：在 0 a1 時安排 50 萬人進(jìn)入企業(yè)工作, 才能使這 100 萬人的人均年收入最大60X2+3000(a+1)x+300000100則 y=7.已知二次函數(shù)f(xHax2bx c,(a,b, R)滿足：對任意實數(shù) x,都有f (x) x,且12當(dāng)(1, 3)時，有f (x) (x 2)成立。822(1)證明：f (2) =2;(2)若f(_2) =0, f (x)的表達(dá)式;m1(3)設(shè)g(x)二f (x)x,0, ：J， 若g(x)圖上的點都位于直線y的上方，求24實數(shù) m 的取值范圍。解析：(1)由條件知f(2) =4a 2b c _2恒成立又取 x=2時，f(2)=4a 2b c/(22)_2與恒成立,f(2) =2.(2)T4a+2b+C=2 4a+c=2b=1, bJ, c = 1 4a.4a2b+c=02又f (x) _ x恒成立，即a