函數(shù)與變量知識(shí)點(diǎn)與練習(xí)(復(fù)習(xí)用)

1、第一講變量與函數(shù)知識(shí)點(diǎn) 1 常量與變量 常量(或常數(shù))：數(shù)值保持不變的量 變量：可以取不同數(shù)值且變化的量注：常量和變量是相對(duì)而言的，它由問(wèn)題的條件確定。如 s= vt 中，若 s 一定時(shí)，則 s 是常量，V、t 是變量 若 V 一定時(shí)，則 V 是常量，s、t 是變量 若 t 一定時(shí)，則t 是常量，S、V 是變量例 1 分別指出下列關(guān)系式中的變量與常量：(1)一個(gè)物體從高處自由落下，該物體下落的距離h m與它下落的時(shí)間12 2t s的關(guān)系式為h gt(其中g(shù) 9.8m s)；2(2)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和 A 與邊數(shù)n(n 3,且n為整數(shù))存在關(guān)系A(chǔ) n 2 ?180;(3)長(zhǎng)方體的體積V cm3與

2、長(zhǎng)a cm，寬b cm，高h(yuǎn) cm之間的關(guān)系式為V abh。知識(shí)點(diǎn) 2:函數(shù)的概念及函數(shù)思想(難點(diǎn))一般地，設(shè)在一個(gè)變化的過(guò)程中有兩個(gè)變量 x、y,如果對(duì)于 x 在它允許取值 范圍內(nèi)的每一個(gè)值，y 都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō) x 是自變量，y 是 x 的函數(shù).對(duì)函數(shù)概念的理解，主要抓住以下三點(diǎn)：1有兩個(gè)變量；一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量的數(shù)值的變化而變化； 對(duì)于自變量每一個(gè)確定的值，函數(shù)有且只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)。例如：y= X，當(dāng) x=1 時(shí)，y 有兩個(gè)對(duì)應(yīng)值，所以 y= x 不是函數(shù)關(guān)系。對(duì)于不同的自變量 x 的取值，y的值可以相同，例如，函數(shù)：y=|x|，當(dāng) x= 1 時(shí)，y 的對(duì)應(yīng)

3、值都是 1。注：(1)函數(shù)體現(xiàn)的是一個(gè)變化的過(guò)程：一個(gè)變量的變化對(duì)另一個(gè)變量的影響。(2)在變化的過(guò)程中有且只有兩個(gè)變量：自變量(一般在等號(hào)的右邊)和因變量(一般在等號(hào)的左邊)。(3)函數(shù)的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：自變量x 每取一個(gè)值，因變量有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)。(4)含有一個(gè)變量的代數(shù)式可以看作這個(gè)變量的函數(shù)。例 1判斷下列變量之間是不是存在函數(shù)關(guān)系并說(shuō)明理由(1)長(zhǎng)方形的寬一定時(shí)，其長(zhǎng)與面積；(2)等腰三角形的底邊長(zhǎng)與面積(3)某人的身高與年齡(4)彈簧的總長(zhǎng)度 y (cm)與所掛物體質(zhì)量 x ( kg)例 2 下列變量 x、y 的關(guān)系中，y 是 x 的函數(shù)的（）x 是 y 的函數(shù)

4、的（）3x y= 5y=| x |2x y210知識(shí)點(diǎn) 3:函數(shù)的自變量的取值范圍（重點(diǎn)、?？键c(diǎn)）（1） 若函數(shù)關(guān)系式是整式，則自變量的取值范圍是：全體實(shí)數(shù)。（2） 若函數(shù)關(guān)系式是分式，則自變量的取值范圍是：使分母不為0 的實(shí)數(shù)。（3） 若函數(shù)關(guān)系式是二次根式時(shí)，則自變量的取值范圍是：使被開(kāi)方數(shù)大于或 等于 0的實(shí)數(shù)。（4） 若自變量出現(xiàn)在 0 次幕的底數(shù)中時(shí)，則自變量的取值范圍是：使底數(shù)不為 0 的實(shí)數(shù)。（5） 若函數(shù)關(guān)系式表示實(shí)際問(wèn)題時(shí)，則自變量的取值范圍還必須使實(shí)際問(wèn)題有 意義。注：求自變量的取值范圍就是根據(jù)以上5 點(diǎn)列出不等式（組），取這些“范圍”公共部分。例 2 今有 400 本圖書(shū)

5、借給學(xué)生閱讀，每人 8 本，求余下的書(shū)數(shù) y（本）與學(xué)生 x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量的 x 的取量范圍33例 3 一個(gè)游泳池內(nèi)有水 300m，現(xiàn)打開(kāi)排水管以每小時(shí) 25m的排水量排水。例 1求下列函數(shù)中自變量的取量范圍。(i)yx27x 3(2)y12x 2(5)yix 2x 1(6)y、2x(3)y、門(mén)(4)y (x 3)01x 3例 3 下列各曲線(xiàn)中,x3(1)寫(xiě)出游泳池內(nèi)剩余水量 Qm與排水時(shí)間 t h 間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變 量 t 的取值范圍。(2)開(kāi)始排水后的第 5 h 末，游泳池中還有多少水？3(3)當(dāng)游泳池中還剩 150m時(shí)，已經(jīng)排水多少小時(shí)？知識(shí)點(diǎn) 4:函數(shù)的表

6、示方法(1) 圖象法：用圖象來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法(2) 列表法：用表格來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法(3) 解析法：用圖象來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法知識(shí)點(diǎn) 5:函數(shù)值(1) 函數(shù)值：在函數(shù)解析式中，以自變量的值代入求得的值叫做函數(shù)值.(2) 注意點(diǎn)：運(yùn)算順序 應(yīng)說(shuō)明自變量取什么值時(shí)的函數(shù)值一般用“當(dāng)時(shí)”格式，或“把代入”格式例 1 當(dāng) x = 2 及 x 二一 3 時(shí)，分別求出下列函數(shù)的函數(shù)值：(1) y 二(X + 1)(x- 2)；(2) y = 2x2 3x + 2 ;if -(3) 二知識(shí)點(diǎn) 6:列函數(shù)關(guān)系式(函數(shù)解析式)(重點(diǎn)、難點(diǎn)、?？键c(diǎn))(1) 解析法：用數(shù)學(xué)式子來(lái)表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系的方

7、法叫解析法。 其中的等式叫做函數(shù)的解析式。(2) 初中階段主要學(xué)習(xí)四種函數(shù)關(guān)系式1常函數(shù)一般形式：y= b (b 為常數(shù))它的圖像是一條平行于 x 軸的直線(xiàn)2一次函數(shù) 一般形式：y = kx + b (k、b 為常數(shù)，其中 0)它的圖像是一條 直線(xiàn)若 b= 0,則為特殊的一次函數(shù)，即正比例函數(shù) y = kx3二次函數(shù)一般形式：y ax2bx c (a、b、c 為常數(shù)且 a 0)k反比例函數(shù) 一般形式：y (k 0且k為常數(shù))分段函數(shù)：在自變量的不同取值范圍內(nèi)表示函數(shù)關(guān)系的解析式有不同的形式，這樣的函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù).初二階段分段函數(shù)的一般組合：常函數(shù)與常函數(shù)2常函數(shù)與一次函數(shù)3一次函數(shù)與一次函數(shù)

8、列函數(shù)關(guān)系式時(shí)一定要寫(xiě)出自變量的取值范圍.(5) 表示同一個(gè)函數(shù)必須同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件函數(shù)解析式化簡(jiǎn)后相同自變量的取值范圍相同(6) 列函數(shù)關(guān)系式的三種途徑：1根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，找等量關(guān)系,列函數(shù)關(guān)系式2根據(jù)表格,列函數(shù)關(guān)系式3根據(jù)圖象，列函數(shù)關(guān)系式.通常運(yùn)用待定系數(shù)法例 1 小明去商店為美術(shù)小組買(mǎi)宣紙和手筆，宣紙每張3 元，毛筆每支 5 元，商店正搞優(yōu)惠活動(dòng)：買(mǎi)一支毛筆贈(zèng)一張宣紙，小明買(mǎi)了10 支毛筆和x(x10)張宣紙，那么小明用的總錢(qián)數(shù)y(元)與宣紙張數(shù)x(張)之間的函數(shù)關(guān)系式是什么？例 2 某下崗職工購(gòu)進(jìn)一批貨物，到集貿(mào)市場(chǎng)零售，已知賣(mài)出去的貨物數(shù)量x 與售價(jià) y 的關(guān)系如下表:數(shù)堡孟(千克

9、)I23斗5 |售價(jià)y(X)3-0 16-0.21312-0415+0.5寫(xiě)出用 x 表示 y 的公式是知識(shí)點(diǎn) 7:函數(shù)的圖象(重點(diǎn))1、畫(huà)函數(shù)圖象的一般步驟(1)函數(shù)的圖象：一般地，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量 x 與函數(shù) y 的每對(duì)對(duì)應(yīng) 值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)，這些點(diǎn)所組成的 圖形，就叫做這個(gè)函數(shù)的圖象。(2) 由函數(shù)解析式畫(huà)函數(shù)圖象一般步驟：列表描點(diǎn)連線(xiàn)例 3如圖，在 RtABC 中，/ C=90，AC=1cm，BC=2cm，點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，以 1cm/s 的速度沿折線(xiàn) AS CM BA 運(yùn)動(dòng)，最終回到點(diǎn) A，設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 x (s)，線(xiàn)段

10、 AP 的長(zhǎng)度為 y (cm )，則能夠反映 y 與 x 之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是()(3) 注意點(diǎn)：列表前一定要考慮自變量的取值范圍2描點(diǎn)的個(gè)數(shù)一般取 5 個(gè)到 9 個(gè)3橫軸一格表示的單位長(zhǎng)度可以與縱軸一格表示的單位長(zhǎng)度不一樣4把自變量作為橫坐標(biāo)，把因變量作為縱坐標(biāo)5一定要標(biāo)注原點(diǎn) 0 及自變量與因變量的字母分別標(biāo)在橫軸與縱軸上。對(duì)于實(shí) 際問(wèn)題，在橫軸與縱軸上還要標(biāo)注單位。6當(dāng)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)時(shí)，左右兩邊要多畫(huà)一些。(4) 數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)與形結(jié)合，分析、研究、解決問(wèn)題的一種思想方法， 數(shù)形結(jié)合思想在解決與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，能起到事半功倍的作用.2、函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與其解析

11、式之間的關(guān)系(1) 通常判斷點(diǎn)是否在函數(shù)圖象上的方法是將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式， 若滿(mǎn)足涵數(shù)解析式，則這個(gè)點(diǎn)就在其函數(shù)的圖象上；反之也成立。(2) 兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是這兩個(gè)函數(shù)解析式所組成的方程組的解。例 1 已知點(diǎn) B (4, 2)在函數(shù) y=2x+b 的圖象上，試判斷點(diǎn) C (- 2, 3)是否在該 函數(shù)的圖象上.例 2 若直線(xiàn) y=- 2x- 4 與直線(xiàn) y=4x+b 的交點(diǎn)在第三象限，則 b 的取值范圍是()A4b8 B 4b0 C.b8 D.-468例 3 點(diǎn) A, B, C, D 的坐標(biāo)如圖，求直線(xiàn) AB 與直線(xiàn) CD 的交點(diǎn)坐標(biāo)。作業(yè)題:一、選擇題1某人要在規(guī)定的時(shí)

12、間內(nèi)加工100 個(gè)零件，則工作效率與時(shí)間t之間的關(guān)系中，下列說(shuō)法正確的是().(A )數(shù) 100 和，t都是變量(B )數(shù) 100 和 都是常量（C） 和t是變量（D ）數(shù) 100 和t都是常量2. 汽車(chē)離開(kāi)甲站 10 千米后，以 60 千米/時(shí)的速度勻速前進(jìn)了t小時(shí)，則汽車(chē)離開(kāi)甲站所走的路程S（千米）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的關(guān)系式是（）.（A）s 10 60t（ B）s 60t（ C）s 60t 10（ D）s 10 60t3. （課本 39 頁(yè)習(xí)題 1 變形）如圖，若輸入x的值為一 5,則輸出的結(jié)果（）.（A） 6（ B） 5（ C） 5（ D） 64下列圖表列出了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，表示將

13、皮球從高d處落下時(shí)，彈跳高度b與下落高度d的關(guān)系：輸兀1尸r+ld5080100150b25405075則能反映這種關(guān)系的式子是（）(A)bd2(B) b5下列函數(shù)中,1(A) y -自變量(B)ydb一 (D)b d2x不能為 1 的是().x 2(C)y 2x 1(D)2d(C)25x 16下列圖形中的曲線(xiàn)不表示y是x的函數(shù)的是（）y-JOx7.甲乙兩同學(xué)從駛到 B 地，他們離出發(fā)地的距離間 t（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象，如圖所示。根據(jù) 圖中提供的信息，有下列說(shuō)法：1他們都行駛了 18 千米。2甲車(chē)停留了 0.5 小時(shí)。3乙比甲晚出發(fā)了 0.5 小時(shí)。4相遇后甲的速度小于乙的速度。5甲、乙

14、兩人同時(shí)到達(dá)目的地。其中符合圖象描述的說(shuō)法有（）（A） 2 個(gè)（ B） 3 個(gè)（ C） 4 個(gè)（ D） 5 個(gè)8如圖，四幅圖象分別表示變量之間的關(guān)系，請(qǐng)按圖象地出發(fā)，騎自行車(chē)在同一條路上行s （千米）和行駛時(shí)的順序，將下面的四種情境與之對(duì)應(yīng)(A)(B)y(C)18o OS 1藝甲排序.a.運(yùn)動(dòng)員推出去的鉛球（鉛球的高度與時(shí)間的關(guān)系）b.靜止的小車(chē)從光滑的斜面滑下（小車(chē)的速度與時(shí)間的關(guān)系）c.一個(gè)彈簧由不掛重物到所掛重物的質(zhì)量逐漸增加（彈簧的長(zhǎng)度與所掛重物的質(zhì)量的關(guān) 系）d.小明從 A 地到 B 地后，停留一段時(shí)間，然后按原速度原路返回（小明離A 地的距離與時(shí)間的關(guān)系）正確的順序是（）（A）ab

15、cd（ B）adbc（ C）acbd（ D）acdb二、填空題9._ 已知等式2x y 4， 貝U y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 _.10. 市場(chǎng)上一種豆子每千克售2 元，即單價(jià)是 2 元/千克，豆子總的售價(jià)y（元）與所售豆子的數(shù)量xkg 之間的關(guān)系為 _，當(dāng)售出豆子 5kg 時(shí)，豆子總售價(jià)為 _ 元；當(dāng)售出豆子 10kg 時(shí)，豆子總售價(jià)為 _ 元.11. 函數(shù)是表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量之間變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型，它的三種數(shù)學(xué)表示方法分別為_(kāi)、_、_.12._ 函數(shù)y Jx 2中自變量x的取值范圍是 _.1213.導(dǎo)彈飛行高度h（米）與飛行時(shí)間t（秒）之間存在著的數(shù)量關(guān)系為ht2300t,4當(dāng)t 15時(shí)，

16、h _.14. 如圖,表示一輛汽車(chē)行駛的速度和時(shí)間的圖象，你能用語(yǔ)言描述汽車(chē)的行駛情況嗎？15.用火柴棒按如圖的方式搭一行三角形，搭一個(gè)三角形需3 支火柴棒，搭 2 個(gè)三角形需 5支火柴棒，搭 3 個(gè)三角形需 7 支火柴棒，照這樣的規(guī)律搭下去，搭n個(gè)三角形需要S支火柴棒，那么S與n的關(guān)系可以用式子表示為（n為正整數(shù)）.16.假定甲、乙兩人在一次賽跑中（1）這是一次 _賽跑.（2）甲、乙兩人中先到達(dá)終點(diǎn)的是（3）乙在這次賽跑中的平均速度是 _m/s.1212,5 啊三、解答題17.長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為 20cm，它的長(zhǎng)為acm，寬為bcm.（1）上述的哪些是常量？哪些是變量？（2）寫(xiě)出a與b滿(mǎn)足的關(guān)系

17、式；（3）試求寬b的值分別為 2，3.5 時(shí)，相應(yīng)的長(zhǎng)a是多少?（4）寬為多少時(shí)，長(zhǎng)為 8cm ？18如圖所示，三角形的底邊長(zhǎng)為8cm，高為xcm.（1）寫(xiě)出三角形的面積y與高x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2 ）用表格表示高從 5cm 變到 10cm 時(shí)（每次增加 1cm）y的對(duì)應(yīng)值;（3）當(dāng)x每次增加 1cm 時(shí)，y如何變化？說(shuō)說(shuō)你的理由.19如圖，表示甲騎電動(dòng)自行車(chē)和乙駕駛汽車(chē)的均行駛90km 的過(guò)程中，行駛的路程y與經(jīng)，看圖填空：過(guò)的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)圖象填空：_出發(fā)的早，早了 _ 小時(shí)，_ 先到達(dá)，先到 _ 小時(shí)，電動(dòng)自行車(chē)的速度為km/h，汽車(chē)的速度為km/h.20填表并觀(guān)察下列兩

18、個(gè)函數(shù)的變化情況:x12345y110 2xy25x（1）在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，比較它們有什么不同（說(shuō)出一條不 同點(diǎn)即可）？（2） 預(yù)測(cè)哪一個(gè)函數(shù)值先到達(dá) 100.21.小明某天上午 9 時(shí)騎自行車(chē)離開(kāi)家，15 時(shí)回家, 情況（如圖所示）（1）圖象表示了哪兩個(gè)變量的關(guān)系？（2）10 時(shí)和 13 時(shí)，他分別離家多遠(yuǎn)？（3 ）他到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方是什么時(shí)間？離家多遠(yuǎn)？（4）11 時(shí)到 12 時(shí)他行駛了多少千米？（5）他可能在哪段時(shí)間內(nèi)休息，并吃午餐？（6）他由離家最遠(yuǎn)的地方返回時(shí)的平均速度是多少？參考答案:1. C ；2. A ；他有意描繪了離家的距離與時(shí)間的變化3. D;4. C;5. B;6. C;7. C;8. D;9.y 2x