選修2-2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用典型例題

1、第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1變化率與導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)歸納】1. 平均變化率：2. 瞬時(shí)速度：3. 導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的概念：4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：拓展知識(shí)：5. 平均變化率的幾何意義:6. 導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系：【典型例題】題型一求平均變化率：例1已知函數(shù)y f(x) 2x2 1的圖像上一點(diǎn)(1,1 )及其鄰近一點(diǎn)(1x,1 y)，則丄x變式訓(xùn)練：一 1 21.以v0(v0 0)速度豎直向上拋出一物體，t秒時(shí)的咼度為s(t) v0tgt ，求物體在t0到to t這段時(shí)間的平均速度 V.2.求正弦函數(shù)y sinx在x0和x 2附近的平均變化率，并比較他們的大小題型二實(shí)際冋題中的瞬時(shí)速度例2已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s 2t

2、2 3做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：cm，時(shí)間單位：s)(1 )當(dāng) t 2, t0.01時(shí)，求s-；(2 )當(dāng) t2, t0.001時(shí)，求(3)求質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度題型三求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的值1例3求函數(shù)y x 在x 1處的導(dǎo)數(shù).x題型四曲線的切線問(wèn)題例4（1 ）已知曲線y 2x2上一點(diǎn)A（ 1，2），求點(diǎn)A處的切線方程3（2） 求過(guò)點(diǎn)（-1，-2 ）且與曲線y 2x x想切的直線方程.132（3） 求曲線f （x） x x5在x=1處的切線的傾斜角.3（4）曲線y x在點(diǎn)P處的切線斜率為 3，求點(diǎn)P的坐標(biāo).1.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算【知識(shí)點(diǎn)歸納】1常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):2. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:3.

3、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:4. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):【典型例題】題型一基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式運(yùn)用例1給出下列結(jié)論：113（cos）sin；若 y 2，則 y 2x ；若 f （x） 3x，則f （1）3 ；662x若y Vx，則y丄坂3其中正確的是.題型二導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：152 3,x1.XX（1） y x x ； （ 2） y Ig x e ； （3）gcosx ； （ 4） y x sin gsos-.53Vx22變式訓(xùn)練：判斷下面的求導(dǎo)是否正確，如果不正確，加以改正(1 COSX(2 X22x(1 cosx) x sin x2x題型三復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的應(yīng)用例7求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1

4、) y (132 1cos2x) ； ( 2) y sinx變式訓(xùn)練：求函數(shù)y (2x23)-.1 x2的導(dǎo)數(shù)題型四切線方程及應(yīng)用例4曲線ysinx ex在點(diǎn)（0, 1）處的切線方程是?變式訓(xùn)練曲線y x3 x 2在P處的切線平行于直線y 4x 1，則點(diǎn) P的坐標(biāo)為題型五利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題3例5若曲線y xax在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線方程是2x y 0,則實(shí)數(shù)a=xe變式訓(xùn)練：若函數(shù)f（x） 在x=a處的導(dǎo)數(shù)值為函數(shù)值互為相反數(shù)，求a的值x題型六對(duì)數(shù)求導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（選講）例6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) y (x 1)(x 2)(x 3)(x3);(x 1)(x 2)(x 3)2x 1(xs （單位：m ）

5、關(guān)于時(shí)間t時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意題型七求導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例7有一把梯子貼靠在筆直的墻上，已知梯子上端下滑的距離（單位s）的函數(shù)為s s（t） 525 9t2 .求函數(shù)在t 15義.1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)歸納】1函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:3.導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值的大小與圖像的關(guān)系(選講)：【典型例題】題型一里用導(dǎo)數(shù)的信息確定函數(shù)大致圖像例1已知導(dǎo)函數(shù)f (x)的下列信息：當(dāng) 2x3時(shí)，f(x) 0 ；當(dāng) x 3或 x 2 時(shí)，f (x)0 ；當(dāng) x 3 或 x 2 時(shí)，f (x)0 ；試畫(huà)出函數(shù)f (x)圖像的大致形狀.題型 二 判斷或

6、者證明函數(shù)的單調(diào)性例2試判斷函數(shù)f(x) In x x在其定義域上的單調(diào)性變式訓(xùn)練：證明：函數(shù)f (x)In x在區(qū)間(0, 2)上是單調(diào)遞增函數(shù)x題型三求函數(shù)的單調(diào)性32例3確定函數(shù)f(x) 2x 6x 7的單調(diào)區(qū)間變式訓(xùn)練：求函數(shù)y x x3的單調(diào)性.題型 四 含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性2例4已知函數(shù)f(x) ln x ax (2 a)x，討論f (x)的單調(diào)性a的取值范圍ax i變式訓(xùn)練：已知函數(shù)f(x)齊在(2，)內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)導(dǎo)數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)歸納】1.導(dǎo)數(shù)的極值的概念:2.導(dǎo)數(shù)的極值的判斷和求法:【典型例題】題型一求函數(shù)的極值例1求下列函數(shù)的極值:(2) yx2ln x2(1

7、) y x 7x6 ；b，其中常數(shù)變式訓(xùn)練：設(shè)f(x) x3 ax2 bx 1的導(dǎo)數(shù)f (x)滿(mǎn)足f (1)2a, fa,b R.(1)求曲線y f (x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程(2 )設(shè)g(x) f (x)e x，求函數(shù)g(x)的極值.題型二判斷函數(shù)極值點(diǎn)的情況例2判斷下列函數(shù)有無(wú)極值，若有極值，請(qǐng)求出極值；如果沒(méi)有極值，請(qǐng)說(shuō)明理由.13132(1) f(x) x 4 ；( 2) f(x) x x 4x ；( 3) f(x) 1 (x 2)3 .332變式訓(xùn)練：設(shè)函數(shù)f(x) ax bln x，其中ab 0證明：當(dāng)ab 0時(shí)，函數(shù)f (x)沒(méi)有 極值點(diǎn)，當(dāng)ab 0時(shí)，函數(shù)f(x)有且

8、只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值題型三導(dǎo)函數(shù)的圖像與函數(shù)極值的關(guān)系例3函數(shù)f （x）的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間（a, b），導(dǎo)函數(shù)f'（）在（a,b）內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f （x）在開(kāi)區(qū)間（a, b）內(nèi)有極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A 1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè)D.4個(gè)題型四極值的逆向問(wèn)題例4已知函數(shù)f (x)ax4 In x bx4 c(x 0)在x=1處取得極值-3-c，其中a, b為常數(shù).(1) 試確定a，b的值.(2) 討論函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間.綜上：若說(shuō)明函數(shù)沒(méi)有極值，一般不討論有無(wú)導(dǎo)數(shù)，而是在區(qū)間上只有一個(gè)單調(diào)性，沒(méi)有“拐點(diǎn)”函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)歸納】1. 最大小值與極值的關(guān)系:2.

9、 求最大小值的步驟:3. 開(kāi)區(qū)間的最值問(wèn)題：【典型例題】題型 一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問(wèn)題543例1求函數(shù)f(x) x 5x 5x 1在區(qū)間1,4上的最大值和最小值3變式訓(xùn)練：設(shè)函數(shù)f(x) ax bx c(a 0)為奇函數(shù)，其圖像在(1,f(1)處的切線與直線 x 6y 70垂直，導(dǎo)數(shù)的最小值為-12.(1 )求a，b，c的值.(2)求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f (x)在-1,3上的最大小值.題型二含參數(shù)最值問(wèn)題例2設(shè)a為常數(shù)，求函數(shù)f (x)3x 3ax(0 x 1)的最大值.1 3變式訓(xùn)練：1.設(shè)f(x) x32(1 )若 f (x )在(，3-x2 2ax2）上存在單調(diào)遞增區(qū)

10、間，求a的取值范圍（2）當(dāng)0 a 2時(shí),f（x）在1,4上的最小值為16，求3f（ x）在該區(qū)間上的最大題型 三 由函數(shù)的最值求參數(shù)的值2例3設(shè)3 a 1，函數(shù)f(x).6332x 2axb( 1 x 1)的最大值為1，最小值為求a, b的值.1.4 生活中的優(yōu)化問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)歸納】利用求函數(shù)的最大小值的方法求實(shí)際應(yīng)用中的最優(yōu)化問(wèn)題函數(shù)的極值與端點(diǎn)值的比較【典型例題】題型一利潤(rùn)最大問(wèn)題例1某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣(mài)出432件，如果降低價(jià)格，銷(xiāo)售量可以增加，且每星期多賣(mài)出商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x （單位：元，0 x 21）的平方成正比，已知商品單價(jià)降低 2元時(shí)，一星期多賣(mài)出 2

11、4件.（1 ）將一星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)（2 ）如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大變式訓(xùn)練：某分公司經(jīng)銷(xiāo)某種品牌的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交m （3 <m <5）元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x （9 <x<11 ）元時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為（12-x） 2萬(wàn)件.(1 )求分公司一年的利潤(rùn) L (萬(wàn)元)與每件產(chǎn)品的售價(jià) x的函數(shù)關(guān)系式；(2 )當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn) L最大，并求出L的最大值Q(m ).題型二用料最省、費(fèi)用最低問(wèn)題例2如圖，某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長(zhǎng)分別為x, y (單位

12、：米)的矩形，上部是斜邊長(zhǎng)為 x的等腰直角三角形，要求框架?chē)傻目偯娣e為8平方米.(I)求x, y的關(guān)系式，并求x的取值范圍;(H)問(wèn)x, y分別為多少時(shí)用料最省？變式訓(xùn)練： 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左80右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且I 2r 假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平 方米建造費(fèi)用為c (c> 3)千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為 y千元.(I)寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域;(n)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.題型三面積、體積最值問(wèn)題2

13、例3如圖在二次函數(shù)f(x) 4x x的圖像與x軸所圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD ,求這個(gè)內(nèi)接矩形的最大面積 變式訓(xùn)練：請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷.它下部的形狀是高為 1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng) 為3m的正六棱錐（如圖所示）.試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn) 0到底面中心Oi的距離為多少時(shí)，帳 篷的體積最大？1.5定積分的概念【知識(shí)點(diǎn)歸納】定積分的概念:定積分的性質(zhì):【典型例題】 題型一利用定義計(jì)算積分2例1利用定積分定義，計(jì)算 1 (3x 2)dx題型二求曲邊梯形的面積x3圍成的圖形的面積例2利用定積分的定義求出直線x=1，x=2和y=0及曲線y1.6微積分基本定理【知識(shí)點(diǎn)歸納】1. 牛頓一萊布尼茨公式:

14、2. 定積分的取值：3. 定積分的一些性質(zhì)：【典型例題】題型一求簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分例1求下列函數(shù)的定積分：(1)21 2 2(x ) dx ；( 2)2 sin xdx ；1x 2(3)4、x(1. x)dx ；題型二求分段函數(shù)的定積分3x ,x0,12例2求函數(shù)f(X)x ,x1,2在區(qū)間0，3上的定積分2x,x2,3變式訓(xùn)練：求定積分：（1） 0 x2 1dx ；（2）Sin2xdX題型三定積分的實(shí)際應(yīng)用例3汽車(chē)以每小時(shí)36 km的速度行駛，到某處需要減速停車(chē)，設(shè)汽車(chē)的減速度為2a 1.8 m/s剎車(chē)，求從開(kāi)始停車(chē)到停車(chē)，汽車(chē)的走過(guò)的距離3變式訓(xùn)練：等比數(shù)列 an中，a3 6，前三項(xiàng)和S5° 4xdx，則公比q的值是多少?定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.7【知識(shí)點(diǎn)歸納】1常見(jiàn)的平面圖形的面積求法：2.定積分在物理公式中的應(yīng)用:【典型例題】題型 一用定積分求平面圖形的面積例1求曲線y x2與y x所圍成的圖形的面積2X2變式訓(xùn)練：求由拋物線 y 川 x 1所圍成的圖