《數(shù)理方程》全套教學(xué)課件

1、第一章 典型方程和 定解條件的推導(dǎo)1.0 預(yù)備知識基本概念課程內(nèi)容：研究數(shù)學(xué)物理方程的建立、求 解方法和解的物理意義的分析。 1.0 預(yù)備知識基本概念微分方程:含有自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程.偏微分方程: 未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程*1.0 預(yù)備知識基本概念例如都是偏微分方程,偏微分方程: 未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程1.0 預(yù)備知識基本概念偏微分方程的階: 方程中未知函數(shù)的偏導(dǎo)的最高階數(shù)是二階偏微分方程是三階偏微分方程.例:1.0 預(yù)備知識基本概念線性偏微分方程: 對于未知函數(shù)及其所有偏導(dǎo)數(shù)來說都是線性的，且方程中的系數(shù)都僅依賴于

2、自變量（或者為常數(shù)）非線性偏微分方程:不是線性的偏微分方程例是二階線性偏微分方程是非線性偏微分方程1.0 預(yù)備知識基本概念 n個自變量的二階線性偏微分方程,一般形式為這里 和 都是關(guān)于自變量 的函數(shù)。如果 ，則稱方程為齊次的；否則稱為非齊次的。本課程的主要研究對象：1.0 預(yù)備知識基本概念根據(jù)系統(tǒng)邊界所處的物理條件和初始狀態(tài)列出定解條件；主要內(nèi)容從不同的物理模型出發(fā)，建立三類典型方程；提出相應(yīng)的定解問題1.0 預(yù)備知識基本概念1.1 基本方程的建立導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程的一般方法： 確定所研究的物理量； 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； 劃出研究單元，根據(jù)物理定律和實驗資料寫出 該單元與鄰近單元的相互作用，分析這

3、種相互 作用在一個短時間內(nèi)對所研究物理量的影響， 表達為數(shù)學(xué)式； 簡化整理，得到方程。 1.1 基本方程的建立例 1. 弦的微小橫振動 設(shè)有一條拉緊的弦，長為l，平衡位置與x軸的正半軸重合，且一端與原點重合,確定當(dāng)弦受垂直外力作用后的運動狀態(tài)。假設(shè)與結(jié)論：（1）橫振動 坐標(biāo)系oxu，位移u(x,t) x1x2T(x1) T(x2)ux （2）微小振動1.1 基本方程的建立（3）弦柔軟、均勻. 張力 沿切線方向 , 密度 為常數(shù)；建立方程： 取微元 ，研究在水平方向和鉛垂方向 在不受外力的情況下的運動情況。uxT(x) Mxx+dx1.1 基本方程的建立牛頓運動定律： F = ma作用在弧段 上

4、的水平方向的力為 傾角很小，即 近似得 垂直方向的力為（1）于是等式（1）變成由微積分知識可知，在時刻t 有（2）等式（2）可以寫成uxT(x) MMxx+dx由于令 ，取極限得略去重力，可得方程其中(3)弦振動方程（3）中只含有兩個自變量 和 ，其中 表示時間， 表示位置。由于它們描述的是弦的振動或波動現(xiàn)象，因而又稱為一維波動方程。1.1 基本方程的建立注1：如果弦上還受到一個與振動方向相同的外力，且外力密度為F(x,t)，外力可以是壓力、重力、阻力，則弦的強迫振動方程為1.1 基本方程的建立例 2. 傳輸線方程 研究高頻傳輸線內(nèi)電流流動規(guī)律。待研究物理量: 電流強度 i (x,t),電壓

5、v (x,t)R 每一回路單位的串聯(lián)電阻,L 每一回路單位的串聯(lián)電感，C 每單位長度的分路電容，G 每單位長度的分路電導(dǎo)，1.1 基本方程的建立Kirchhoff 第一,二定律微分形式兩端對x微分兩端對t微分*C相減 傳輸線方程高頻傳輸，G=0, R=0高頻傳輸線方程與一維波動方 程 類 似1.1 基本方程的建立 例3. 聲學(xué)方程 Lapalce算子三維波動方程 1.1 基本方程的建立注2：類似的可導(dǎo)出二維波動方程（例如薄膜振動）,它的形式為1.1 基本方程的建立奧氏公式 例4 靜電場的勢方程 在區(qū)域 內(nèi), 靜電場強度為 , 介電常數(shù) , 電荷密度為 ,求靜電場的勢滿足的方程即故1.1 基本方

6、程的建立故即 Laplace方程 Poisson方程當(dāng)內(nèi)沒有電荷時靜電場是有勢場，故存在勢函數(shù)u,有1.1 基本方程的建立 如果空間某物體內(nèi)各點處的溫度不同，則熱量就從溫度較高點處到溫度較低點處流動，這種現(xiàn)象叫熱傳導(dǎo)。 考慮物體G 內(nèi)的熱傳導(dǎo)問題。函數(shù)u(x,y,z,t) 表示物體G 在位置 M(x,y,z) 以及時刻 t 的溫度。通過對任意一個小的體積元V內(nèi)的熱平衡問題的研究，建立方程。假設(shè)：假定物體內(nèi)部沒有熱源，物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)，即是各向同性的，物體的密度以及比熱是常數(shù)。熱場 例 5. 熱傳導(dǎo)方程1.1 基本方程的建立熱場傅立葉實驗定律:物體在無窮小時段dt內(nèi)沿法線方向n流過一個無窮

7、小面積dS的熱量dQ與時間dt,面積dS,物體溫度沿曲面dS法線方向的方向?qū)?shù)成正比.從時刻 到時刻 經(jīng)過曲面S 流入?yún)^(qū)域V 的熱量為高斯公式1.1 基本方程的建立流入熱量使物體內(nèi)溫度變化，在時間間隔 中物體溫度從 變化到 所需吸收熱量為比熱密度由于所考察的物體內(nèi)部沒有熱源, 根據(jù)能量守恒定律可得第一章 典型方程和定解條件的推導(dǎo)由于時間 , 和區(qū)域 V 都是任意選取的,并且被積函數(shù)連續(xù), 于是得(非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程)對于均勻的各向同性物體， k為常數(shù)，記則得齊次熱傳導(dǎo)方程:三維熱傳導(dǎo)方程*1.1 基本方程的建立若物體內(nèi)部有熱源 F(x,y,z,t), 則熱傳導(dǎo)方程為其中1.1 基本

8、方程的建立二維熱傳導(dǎo)方程 維熱傳導(dǎo)方程 三維熱傳導(dǎo)方程 1.1 基本方程的建立在上述熱傳導(dǎo)方程中, 描述空間坐標(biāo)的獨立變量為 , 所以它們又稱為三維熱傳導(dǎo)方程. 當(dāng)考察的物體是均勻細(xì)桿時, 如果它的側(cè)面絕熱且在同一截面上的溫度分布相同, 則可以得到一維熱傳導(dǎo)方程 類似, 如果考慮一個薄片的熱傳導(dǎo), 并且薄片的側(cè)面絕熱, 可以得到二維熱傳導(dǎo)方程1.1 基本方程的建立 當(dāng)我們考察氣體的擴散,液體的滲透, 半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)擴散等物理過程時, 若用 表示所擴散物質(zhì)的濃度, 則濃度所滿足的方程形式和熱傳導(dǎo)方程完全相同. 所以熱傳導(dǎo)方程也叫擴散方程.1.1 基本方程的建立波動方程 聲波、電磁波、桿的振動

9、；熱傳導(dǎo)方程 物質(zhì)擴散時的濃度變化規(guī)律, 長海峽中潮汐波的運動， 土壤力學(xué)中的滲透方程;Laplace方程 穩(wěn)定的濃度分布, 靜電場的 電位, 流體的勢.總 結(jié)：1.1 基本方程的建立一維齊次波方程：一維齊次熱方程：二維Laplace方程：1.1 基本方程的建立2.2 初始條件與邊界條件一 . 初始條件及Cauchy問題 描述某系統(tǒng)或某過程初始狀況的條件稱為初始條件， 初值條件與對應(yīng)方程加在一起構(gòu)成初值問題 (或稱Cauchy問題）。 % ; ;# &*2.2 初始條件與邊界條件 熱傳導(dǎo)方程初始位移、初始速度分別為 ,稱波動方程的初值條件. 弦振動問題稱為熱傳導(dǎo)方程的初值條件.2.2 初始條件

10、與邊界條件 不同類型的方程，相應(yīng)初值條件的個數(shù)不同。 初始條件給出的應(yīng)是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而非 系統(tǒng)中個別點的初始狀態(tài)。2.2 初始條件與邊界條件 例.長為 l 兩端固定的弦，初始時刻將弦的中點拉起 h( )( )xu0lh正確寫法2.2 初始條件與邊界條件（I）第一類邊界條件*（II）第二類邊界條件（III）第三類邊界條件二. 邊界條件描述某系統(tǒng)或過程邊界狀況的約束條件稱為邊界條件.2.2 初始條件與邊界條件例1.長為l的弦，一端固定，一端以 sint 規(guī)律運動 第一類邊界條件例2.長為l的桿，一端溫度為0，一端溫度為 (t )2.2 初始條件與邊界條件弦振動問題：弦的一端（如 x = l

11、）可以在垂直 x 軸的直線上自由的上下滑動，且不受垂直方向的外力，我們稱這種端點為“自由端”。第二類邊界條件在這一端點，邊界上的張力沿垂直于x軸的方向的分量為0，因此在方程的推導(dǎo)中知 , 即2.2 初始條件與邊界條件當(dāng)該點處的張力沿垂直x 軸的方向的分量是 t 的已知函數(shù) 時，有*2.2 初始條件與邊界條件熱傳導(dǎo)問題：如果物體和周圍介質(zhì)處于絕熱狀態(tài)，即在表面上熱量的流速始終為0，則由方程推導(dǎo)過程可知，有邊界條件當(dāng)物體與外界接觸的表面 S 上各單位面積在單位時間內(nèi)流過的熱量已知時，由傅立葉定律，在 S 上有 ，這表明溫度沿外法線方向的方向?qū)?shù)是已知的，故邊界條件可以表示為*2.2 初始條件與邊界

12、條件第三類邊界條件 例 (1) 弦的振動（端點彈性連結(jié)）彈性力張力2.2 初始條件與邊界條件(2) 熱傳導(dǎo)問題（端點自由冷卻）散失的熱量內(nèi)部流到邊界的熱量即2.2 初始條件與邊界條件2.3 定解問題弦振動的Cauchy問題只包含初值條件的定解問題稱為初邊值問題（Cauchy 問題）2.3 定解問題包含初值條件和邊界條件的定解問題稱為混合問題 (初邊值問題)熱傳導(dǎo)方程的混合問題2.3 定解問題波動方程的混合問題只附加邊界條件的定解問題稱為邊值問題. 初值條件、邊界條件統(tǒng)稱為定解條件 .初值問題、邊值問題、混合問題統(tǒng)稱為定解問題.2.3 定解問題一般線性二階偏微分方程（n個自變量）兩個自變量二階線

13、性偏微分方程的一般形式 2.3 定解問題 線性方程的疊加原理稱形如的符號為微分算子。2.3 定解問題如二階偏微分方程可簡寫為2.3 定解問題2.3 定解問題例 非齊次波動方程的Cauchy問題的解等于問題(I)和問題(II)的解之和2.3 定解問題疊加原理2 若iu滿足線性方程 iifuL=，, 2,1=i （或定解條件iiguB=, 若函數(shù)級數(shù)=1iiiuc在W內(nèi)收斂，并且L,B 可逐項作用, 則和函數(shù) 滿足方程 =1iiifcuL （或定解條件=1iiigcuB）。 2.3 定解問題第二章 分離變量法2.0 預(yù)備知識常微分方程二階常系數(shù)線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2.0 預(yù)備知識常微分方程特征根(1

14、) 有兩個不相等的實根兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為齊次方程特征方程2.0 預(yù)備知識常微分方程(2) 有兩個相等的實根齊次方程的通解為特解為(3) 有一對共軛復(fù)根齊次方程的通解為特征根為特解為2.0 預(yù)備知識常微分方程2.0 預(yù)備知識常微分方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)非齊次線性方程2.0 預(yù)備知識常微分方程2.1 有界弦的自由振動 分離變量法是求解偏微分方程最基本和常用的方法。理論依據(jù)：線性方程的疊加原理和Sturm-Liouville 理論。基本思想：將偏微分方程的求解化為對常微分方程的求解2. 1 有界弦的自由振動2.1 有界弦的自由振動 研究兩端固定均

15、勻的自由振動.定解問題為：特點: 方程齊次, 邊界齊次. (1) 沒有波形的傳播，即各點振動相位與位置無關(guān)，按同一方式隨時間振動，可統(tǒng)一表示為 ; (2) 各點振幅 隨點 而異，而與時間無關(guān)，用 X(x) 表示,所以駐波可用 表示。 駐波的特點： 端點會引起波的反射，弦有限長，波在兩端點之間往返反射。兩列反向行進的同頻率的波形成駐波。2.1 有界弦的自由振動2. 1 有界弦的自由振動 設(shè) 且 不恒為零，代入方程和邊界條件中得 由 不恒為零，有： 取參數(shù)這個式子的左端是x的函數(shù),右端是t的函數(shù)，何時恒等？ . 利用邊界條件2.1 有界弦的自由振動則 特征值問題 參數(shù)稱為特征值.分三種情形討論特征

16、值問題的求解函數(shù)X(x)稱為特征函數(shù)2.1 有界弦的自由振動2. 1 有界弦的自由振動由邊值條件 (i) 方程通解為 (ii) 時，通解 由邊值條件得C1 =C 2=0 從而 ， 無意義. 無意義2.1 有界弦的自由振動 由邊值條件從而 即(iii） 時，通解 故而得2.1 有界弦的自由振動再求解T： 其解為 所以 兩端固定弦本的征振動疊加 . 2. 1 有界弦的自由振動將 展開為Fourier級數(shù)，比較系數(shù)得 代入初始條件得： 定解問題的解是Fourier正弦級數(shù)，這是在 x0 和 x=l 處的第一類齊次邊界條件決定的。 再求解T： 其解為 所以 兩端固定弦本的征振動疊加 . 2.1 有界弦

17、的自由振動將 展開為Fourier級數(shù)，比較系數(shù)得 代入初始條件得： 2. 1 有界弦的自由振動 定解問題的解是Fourier正弦級數(shù)，這是在 x0 和 x=l 處的第一類齊次邊界條件決定的。 （特征值問題）齊次邊界條件（特征函數(shù)） 分離變量法圖解 2.1 有界弦的自由振動則無窮級數(shù)解為如下混合問題的解上， ，且 定理：若在區(qū)間2.1 有界弦的自由振動弦上各點的頻率 和初位相 都相同，因而沒有波形的傳播現(xiàn)象。 弦上各點振幅 因點而異 在 處，振幅永遠為0 二、解的物理意義 節(jié)點腹點特點最大振幅頻率初位相在 處，振幅最大,為 nNu(x,t )是由無窮多個振幅、頻率、初位相各不相同的駐波疊加而成

18、。 n1的駐波稱為基波, n1的駐波叫做n次諧波. 2.1 有界弦的自由振動例1 設(shè)有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為 ，求弦做微小橫向振動時的位移，其中 與弦的材料和張力有關(guān) .解 設(shè)位移函數(shù)為 ，則需要求解下列定解問題2.1 有界弦的自由振動因此，所求的解為： = 2.1 有界弦的自由振動解：令 , 得 化簡: 例2：研究兩端自由棒的自由縱振動問題.第二類邊界條件引入?yún)?shù) 得 2.1 有界弦的自由振動2.1 有界弦的自由振動得C1 =C 2=0 從而 ，無意義 分離變量： 時， 由邊值條件(ii) 時, , (iii) 時, 則 而 由邊值條件由邊值條件從而2.1 有界

19、弦的自由振動本征值 本征函數(shù) 2.1 有界弦的自由振動T 的方程其解為 所以 故代入初始條件: 將 展開為傅立葉余弦級數(shù)，比較系數(shù)得 解為傅立葉余弦級數(shù)，由端點處的二類齊次邊界條件決定.2.1 有界弦的自由振動2. 2 有限長桿的熱傳導(dǎo)問題例1細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題 長為 l 的細(xì)桿，設(shè)與細(xì)桿線垂直截面上各點的溫度相等，側(cè)面絕熱, x=0 端溫度為0，x=l 端熱量自由散發(fā)到周圍介質(zhì)中，介質(zhì)溫度恒為0 ，初始溫度為 求此桿的溫度分布。 解：定解問題為 2.2 有限長桿的熱傳導(dǎo)問題得本征問題 由 及齊次邊界條件，有 設(shè) 且 并引入?yún)?shù)分離變量代入方程2.2 有限長桿的熱傳導(dǎo)問題當(dāng) 或 時, 當(dāng) 時,

20、由 得 由 得 故 即 令有函數(shù)方程2.2 有限長桿的熱傳導(dǎo)問題由圖1看出，函數(shù)方程有成對的無窮多個實根故本征值為： ry圖 12.2 有限長桿的熱傳導(dǎo)問題2.2 有限長桿的熱傳導(dǎo)問題對應(yīng)的本征函數(shù) 的方程： 解為故 由初始條件得可以證明函數(shù)系 在 上正交，在（*）式兩端乘以 并在 0, l 上積分, 得 且模值（二）利用邊界條件,得到特征值問題并求解 （三）將特征值代入另一常微分方程， 得到 （四）將 疊加，利用初始條件確定系數(shù)（一）將偏微分方程化為常微分方程（方程齊次）分離變量法解題步驟（邊界條件齊次）2.2 有限長桿的熱傳導(dǎo)問題分離變量法適用范圍：偏微分方程是線性齊次的，并且邊界條件也是

21、齊次的。其求解的關(guān)鍵步驟：確定特征函數(shù)和運用疊加原理。注2.2 有限長桿的熱傳導(dǎo)問題左端點右端點特征值特征函數(shù)取值范圍 一 一一 二 二 二二一課堂練習(xí)總結(jié)：端點邊界條件與特征值，特征函數(shù)的關(guān)系2.2 有限長桿的熱傳導(dǎo)問題練習(xí)： 求下列定解問題的解 其中2.2 有限長桿的熱傳導(dǎo)問題2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題1. 矩形域上拉普拉斯方程的邊值問題例1矩形薄板穩(wěn)恒狀態(tài)下溫度分布.設(shè)薄板上下底面絕熱，一組對邊絕熱，另一組對邊的溫度分別為零攝氏度和 ，求穩(wěn)恒狀態(tài)下薄板的溫度分布。 定解問題為： 解再利用 x = 0 和 x = a 處的齊次邊界條件得 設(shè) 且 代

22、入方程故 本征問題當(dāng) 時， ， 2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題當(dāng) 時， 將 代入 有解： 考慮邊界條件（y方向上），有 解得比較系數(shù)所以解為 作為例子取 ， ，可求得 于是 2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題考察一個半徑為r0的圓形薄板穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布問題, 設(shè)板的上下兩面絕熱, 圓周邊界上的溫度已知為 求穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布規(guī)律。2. 圓域上的拉普拉斯方程的邊值問題2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題采用平面極坐標(biāo)。令2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題 分離變量 代入方程得齊次偏微分方程化為兩個常微分方程:（一）將偏微分方程化為常微分方程由 可知，又圓

23、內(nèi)各點的溫度有界，因而 所以應(yīng)滿足條件 2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題（二）利用條件,確定特征值問題并求解 得到兩個常微分方程的定解問題 (1)(2)2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題先求哪一個？先求(1)啊!可以確定特征值啊!為什么？1) 時，無非零解；特征值特征函數(shù)2) 時， 有非零解3) 時 ，通解以 為周期, 必須是整數(shù) , 2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題（三）將特征值代入另一常微分方程，得 得到方程通解 滿足有界性條件的通解 將代入方程2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題滿足周期性條件 和有界性條件的特解為 2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題（四）將 疊加, 利用邊界條件確定系

24、數(shù)滿足周期性和有界性條件的通解為: 利用邊界條件，得由此可以確定系數(shù) 2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題注: 經(jīng)過化簡, 方程的解可以表示為 稱為圓域內(nèi)的泊松公式. 2.3 二維拉普拉斯方程的邊值問題2.4 非齊次方程的解法 2.4 非齊次方程的解法(I) 非齊次振動方程定解問題特征函數(shù)法令其中 (1) (2)2.4 非齊次方程的解法令 為待定函數(shù).并將 按特征函數(shù)系展為級數(shù) 其中 (3) (4) (1)2.4 非齊次方程的解法將(3),(4) 代入 (1) 得兩端比較將(3)代入初始條件2.4 非齊次方程的解法常數(shù)變易法所以2.4 非齊次方程的解法例在環(huán)形區(qū)域 內(nèi)求解下列定解問題解考慮極坐標(biāo)

25、變換:2.4 非齊次方程的解法定解問題可以轉(zhuǎn)化為: 相應(yīng)的齊次問題的特征函數(shù)系為:2.4 非齊次方程的解法于是可以設(shè)原問題的解為: 代入方程，整理得 2.4 非齊次方程的解法比較兩端 和 的系數(shù)可得 2.4 非齊次方程的解法由邊界條件，得 所以 2.4 非齊次方程的解法由邊界條件，可知 滿足的方程是齊次歐拉方程，其通解的形式為2.4 非齊次方程的解法下面求 . 方程的通解為 由端點的條件， 得 原問題的解為2.4 非齊次方程的解法2.5 非齊次邊界條件的處理 2.5 非齊次邊界條件的處理 處理非齊次邊界條件問題的基本原則是: 選取一個輔助函數(shù) , 通過函數(shù)之間的代換: 使得對新的未知函數(shù) 邊界

26、條件為齊次的. 例1振動問題 （I） 解：取 故要求滿足(I)的邊界條件，即解得思路: 作代換選取w(x,t)使v(x,t)的邊界條件化為齊次2.5 非齊次邊界條件的處理 代入(I),得 的定解問題(II) 令2.5 非齊次邊界條件的處理 如果仍取 的線性函數(shù)作為 ，則有 此時除非 ，否則這兩式互相矛盾。當(dāng)x0和x=l 滿足第二類邊界條件注意：應(yīng)取2.5 非齊次邊界條件的處理 例 定解問題其中A, B為常數(shù). 解:令2.5 非齊次邊界條件的處理 代入方程，得 選 滿足 它的解為2.5 非齊次邊界條件的處理 于是 滿足的方程為： 2.5 非齊次邊界條件的處理 利用分離變量法，求解得 其中從而，原

27、定解問題的解為 2.5 非齊次邊界條件的處理 一. 選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. 原則:邊界條件的表達式最簡單.二. 若邊界條件是非齊次的, 引進輔助函數(shù)把邊界條件化為齊次的。三. 對于齊次邊界條件、非齊次方程的定解問題，可將問題分解為兩個, 其 一是方程齊次, 并具有原定解條件的定解問題 (分離變量法)； 其二是具有齊次定解條件的非齊次方程的定解問題(特征函數(shù)法).一般的定解問題的解法2.5 非齊次邊界條件的處理 例 求下列定解問題的解其中 為常數(shù)。解 1）邊界條件齊次化，令 2.5 非齊次邊界條件的處理 于是 滿足如下定解問題2）將問題分解為兩個定解問題。設(shè)2.5 非齊次邊界條件的處理 2.5 非齊

28、次邊界條件的處理 3）求解問題 (I), (II) 。首先，利用分離變量法求解問題 (I) 。特征值及相應(yīng)的特征函數(shù)2.5 非齊次邊界條件的處理 則利用初始條件確定系數(shù)計算可得2.5 非齊次邊界條件的處理 其次，利用特征函數(shù)法求解問題 (II) 將 按問題（I）的特征函數(shù)系進行傅立葉展開代入問題（II）的方程及初始條件，得2.5 非齊次邊界條件的處理 問題轉(zhuǎn)化為求解下列常微分方程的初值問題解得所以2.5 非齊次邊界條件的處理 4）綜合上述結(jié)果, 得到原問題的解2.5 非齊次邊界條件的處理 對于二維拉普拉斯方程的邊值問題而言, 應(yīng)根據(jù)求解區(qū)域的形狀適當(dāng)?shù)倪x取坐標(biāo)系, 使得在此坐標(biāo)系下邊界條件的表

29、達方式最簡單, 便于求解. 例如, 對于圓域、圓環(huán)可以采用極坐標(biāo)。應(yīng)當(dāng)指出,只有當(dāng)求解區(qū)域非常規(guī)范時，才可以應(yīng)用分離變量法求解拉普拉斯方程的定解問題，或利用特征函數(shù)法求解泊松方程的定解問題.注： 圓域內(nèi)的周期性條件及有界性條件在題目中是不給出的，這些條件需根據(jù)對題目的分析自己寫出.2.5 非齊次邊界條件的處理 第三章 行波法與積分變換法行波法(求解無界區(qū)域內(nèi)波動方程定解問題)積分變換法 (無界或有界區(qū)域)3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式考慮代換利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式同理有: 代入方程，得到 在上式中對 積分, 得 ( 是 的

30、任意可微函數(shù))3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式再將此式對 積分, 其中 都是任意二次連續(xù)可微函數(shù). 利用初始條件，確定兩個函數(shù)的具體形式。 由第二式得.其中3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式由, 解得代入通解表達式，得達朗貝爾(DAlembert)公式.3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式圖 3-1 u2xt=0u2xu2xt=1/2u2xt=1t=2考慮 的物理意義隨著時間t 的推移u2的圖形以速度a 向x軸正向移動.3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式物理意義: 隨著時間 t 的推移, 的圖形以速度 a 向 x 軸正方向移動, 也就是說, 它表示一個以速度a 向x 軸正方向行進的波, 稱為右

31、行波.同樣道理, 以速度a 向x 軸負(fù)方向傳播的行波, 稱為左行波. 3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式在 平面上斜率為 的兩族直線 , 對一維波動方程的研究起到重要作用, 稱這兩族直線為一維波動方程的特征線, 變換稱為特征變換, 行波法也叫特征線法.3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式的積分曲線, 這個常微分方程稱為它的特征方程 .一維波動方程的兩族特征線恰好是常微分方程3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式一般的二階線性偏微分方程它的特征方程為(*)這個常微分方程的積分曲線稱為偏微分方程(*)的特征曲線. 記稱其為二階線性偏微分方程的判別式雙曲型方程橢圓型方程拋物型方程3.1 一維波動方程的達朗

32、貝爾公式可以證明，當(dāng) 時，有兩條相異的實特征線因此特征線法對雙曲型方程都是有效的，沿著特征線做自變量替換 總可以把雙曲型方程化為 從而得到方程的通解3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式例 求下面問題的解:(3.1)解: 特征方程 兩族積分曲線為 做特征變換 3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式代入方程化簡得:3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式它的通解為其中 , 是兩個二次連續(xù)可微函數(shù). 于是原方程的通解為代入初始條件 , ，得 第二式的兩端得關(guān)于 積分得解得所求問題的解為 3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式解 特征方程為特征曲線為 例 求方程的一般解.3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式所以，做變換則原方程可以變?yōu)?其中 , 是任意的二次連續(xù)可微函數(shù). 于是