放縮法在導(dǎo)數(shù)壓軸的題目中地應(yīng)用

1、恰當(dāng)采用放縮法巧證導(dǎo)數(shù)不等式鄭州市第四十四中學(xué)蘇明亮放縮法是高中數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)方法，尤其在證明不等式中經(jīng)常用到.由于近幾年數(shù)列在高考中的難度要求降低，放縮法的應(yīng)用重點(diǎn)也逐漸從證明數(shù)列不等式轉(zhuǎn)移到導(dǎo)數(shù)壓軸 題中，尤其是在導(dǎo)數(shù)不等式證明中更是大放異彩下面試舉幾例，以供大家參考.、利用基本不等式放縮，化曲為直例1 (2012年高考遼寧卷理科第 21題(n)設(shè)f(x)=ln(x 1) .一 X 1 _1.證明：當(dāng)9x0 x 2 時(shí)，f(x):x +6證明：由基本不等式，當(dāng) x 0時(shí)，2 (x 1) 1 ： x 2，故： -12f (x) = ln( x 1)亠.x 11 ： ln( x 1) x

2、2x 9x記 h(x)二 ln(x 1)54_ x(x2 15x - 36)2 1 1則 h "八 R 2 (x 6)2 一 2(x 1)(x 6)2當(dāng) 0 ：x ：2時(shí)，h'(x) ：0，所以 h(x)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù).故又由 h(x) ： h(0) = 0 ,所以 ln(x 1) x :，即 ln(x 1). x 1 -1 ：,2 x +6x +69x故當(dāng) 0 ： x : 2 時(shí),f (x)：x +69x評(píng)注：本題第(n )問若直接構(gòu)造函數(shù)h(x)二f(x)，對(duì)h(x)進(jìn)行求導(dǎo)，由于x + 6h'(x)中既有根式又有分式，因此h'(x)的零點(diǎn)及相應(yīng)區(qū)

3、間上的符號(hào)很難確定，而通過對(duì)廠！進(jìn)行放縮處理，使問題得到解決.上面的解法中，難點(diǎn)在用基本不等式證明、Fd < x 1，亦即是將拋物線弧 y二.蘆放大化簡為直線段 y = x T，而該線段正是 2 2拋物線弧y = .x 1在左端點(diǎn)(0,1)處的切線，這種“化曲為直”的方法是我們用放縮法處理函數(shù)問題的常用方法.二、利用單調(diào)性放縮，化動(dòng)為靜例2 (2013年新課標(biāo)全國n卷第 21題(n)已知函數(shù)f (x)二ex -ln(x m).當(dāng)m乞2時(shí)，證明f(x) 0.證法1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?_m,=)，貝y f'(x)二exx(x m)e -1x m設(shè) g(x) = (x m)ex -

4、1,因?yàn)?g'(x) = (x m 1)ex 0 ,所以g(x)在(-m, ：)上單調(diào)遞增.又 g(m) =-1 ： 0, g(2m) =2e2jm-1 2 1-10，故g(x)=O在(_m, ：)上有唯一實(shí)根Xo.當(dāng) x (-m,x。)時(shí)，g(x)：O, f'(x) ： 0 ;當(dāng) x (x。，：)時(shí)，g(x) 0，f'(x)0，由方程g(x) =0的根為Xo，得exo1Xomln(xo m) = -Xo，故 f(Xo)=1Xom-(xo m) - m _2-m (當(dāng)且僅當(dāng)從而當(dāng)X =Xo時(shí)，f (x)取得最小值為f(xj.又因?yàn)閙乞2時(shí)，所以f (xj _ O .取等

5、號(hào)的f (xo) _ O條件是xo m = 1，及m = 2同時(shí)成立，這是不可能Xom的，所以f(Xo)O，故f(x) o.證法2：因y =ln x在定義域上是增函數(shù)，而m 込 2，所以 ln(x 2)亠 ln(x m)，故只需證明當(dāng)m=2時(shí)，f(x) O即可.1當(dāng)m=2時(shí)，f'(x)二ex-在(-2,=)上單調(diào)遞增x +2又 f '(-1) <O, f '(O) O，故 f'(x)=O 在(-2,二)上有唯一實(shí)根 Xo，且 xo (-1,O).當(dāng) X (-2,Xo)時(shí)，f '(x) ： O ;當(dāng) X (Xo,時(shí)，f '(X) O，從而當(dāng)

6、X = Xo 時(shí)，f (X) 取得最小值1由 f'(x) =O 得, ln(Xo 2)=-Xo，Xo +2故 f(x) - f(Xo)二1Xo2(Xo 1)2Xo 2O.綜上，當(dāng)m _2時(shí)，f (x) . 0 .評(píng)注：借助導(dǎo)數(shù)取值研究函數(shù)單調(diào)性是證明初等不等式的重要方法證法1直接求導(dǎo)證明，由于其含有參數(shù) m，因而在判斷g(x)的零點(diǎn)和求f (x)取得最小值f (x()顯得較為麻 煩；證法2利用對(duì)數(shù)函數(shù)y =ln x的單調(diào)性化動(dòng)為靜，證法顯得簡單明了 此外，本題也是 處理函數(shù)隱零點(diǎn)問題的一個(gè)經(jīng)典范例 三、活用函數(shù)不等式放縮，化繁為簡兩個(gè)常用的函數(shù)不等式：ex _x亠1 (x R)Inx

7、二 x _1(x0)兩個(gè)常用的函數(shù)不等式源于高中教材(人教出現(xiàn)在高考試題中，筆者曾就此問題寫過專題文章A版選修2-2，巳2)的一組習(xí)題，曾多次1例3 ( 2014年高考新課標(biāo)I卷理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=aex In xbexJ，曲線y = f (x)在點(diǎn)(1,f (1)處的切線方程為 y =e(x -1)2.(I )求 a,b(II )證明：f (x) 1.分析：本題以曲線的切線為背景，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)作工具研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值以及不等式的證明.第(I )問較容易，一般學(xué)生都能做出來，只需求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，易得a =1,b =2.第(II )問難度較大，主要考查考

8、生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不 等式的能力及運(yùn)算求解能力，是近年來高考?jí)狠S題的熱點(diǎn)問題.本題第(II )問證法較多,下面筆者利用函數(shù)不等式來進(jìn)行證明.證明：由ex亠x 1，得ex 4丄x，即ex亠ex,1 亠故 e (當(dāng)且僅當(dāng)x =1時(shí)取等號(hào))ex1 1 1又由ex - x，得一 - e1，故e ex乞ex，兩邊取自然對(duì)數(shù)得ln(ex) -1 - -xex1 1即lnx0 (當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào))exe2由于、式等號(hào)不能同時(shí)成立， 兩式相加得Inxe，兩邊同乘以ex，得f (R 1ex評(píng)注：本題證明中利用函數(shù)不等式 ex _ x 1，并進(jìn)行適當(dāng)變形，結(jié)合不等式性質(zhì)進(jìn)行證明，從而避免了繁雜的計(jì)算，過程簡潔自

9、然，易于理解例4( 2016年高考山東卷理科第2X _120 題(n)已知 f(x)=ax-l nx 2 , a R . x3當(dāng)a =1時(shí)，證明f(x) .f(x) *對(duì)于任意的 x 1,2 1成立.a 2證明：f(x)的定義域?yàn)?0, ：), f'(x) =a- 2X X23 #X2X-2)(x-1)3x，a =1 時(shí),2x31=x -1 n x2x x由 Inx ex -1 得 f (x) - f '(x)XXXXx 1,2.2x _1122f(X)- f '(x) =x -In x -(1 -一 -二 飛)x xx2 ,-1，X 1,2，x3123x 1,2即只需

10、證3. 3XX X2，-3x2 -2x 63 12令 h(x)牙-飛,x 1,2，則 h'(x)二X X設(shè)(x -3x2x 6，：(x)在 x 1,2單調(diào)遞減,因?yàn)?1)=1, (2)二10，所以在1,2上存在 Xo使得 x(1,Xo)時(shí)，(x)>0,x (Xo,2)時(shí)，®(x)co , 所以函數(shù)h(x)在(1,X0)上單調(diào)遞增，在(心2)上單調(diào)遞減,33由于h(1)=2,h(2)，因此當(dāng)X 1,2時(shí)，h(x)h(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x = 2時(shí)取得等號(hào),2 23所以 f(x) - f'(x) h(2)：23即f(x) f '(x)2對(duì)于任意的1,2恒成立31

11、23評(píng)注：要證明f (x) - f'(x) = x T nx23 _1，比較麻煩的是式子中有xxx2Inx ,如果能讓它消失，問題勢(shì)必會(huì)簡單些，所以自然就想到了利用比較熟悉的函數(shù)不等式Inx乞x-1進(jìn)行放縮，方法自然，水到渠成.上述兩個(gè)常用函數(shù)不等式的變式:e" x(x R)1 1In 豈-1(x 0) x xIn xx< x -1(x0)四、巧用已證不等式放縮，借水行舟例5(2016年高考新課標(biāo)川卷文科 21題)設(shè)函數(shù)f (x) =ln XX 1.x -1(I )證明當(dāng)x(1,v)時(shí)，1x ；Inx(II )設(shè) c 1，證明當(dāng)(0,1)時(shí)，1 (c-1)x - cx.

12、證明:(I)易證當(dāng)1, 時(shí),11x _1In x ： x -1 , In1，即 1x.xxIn x(II )由題設(shè) c 1，設(shè) g(x) m c-1 x-c x，則 g'(x)二c -1-c inx ，令，g，x =0,In-1IncInc.當(dāng) X ：x° 時(shí)，g' X 0, g x 單調(diào)遞增；當(dāng) x xo 時(shí)，g' x 0 , g xc _1單調(diào)遞減.由(I)知，1 ： : c，故 0 ： x01，又 g(0) = g(1) = 0，故當(dāng) 0 ： x ： 1 時(shí),In cxg x 0.所以當(dāng) x 0,1 時(shí)，1 c-1 x c .c-11In評(píng)注：本題第(I

13、I )問利用第(I )中已證明的不等式1 ： ： x及x0血 巧妙I(lǐng)n xIn c地求出0<%£1 進(jìn)而利用g(X )在0vxv1單調(diào)性及端點(diǎn)值 g(0) = g(1) = 0證明出g x 0 利用已證不等式(或結(jié)論)服務(wù)后面問題的情況，在高考和?？荚囶}中屢屢出現(xiàn)，這種解題中的“服務(wù)意識(shí)”不僅可以避開復(fù)雜的計(jì)算， 往往也為解題思路指明了方向.下面再看一例：例6 (2013年高考遼寧卷理科 21題)已知函數(shù)3一f x = 1 x e°x,g x 二ax -1 2xcosx.當(dāng) x 0,1時(shí),2(I )證明：1 _x _ f X ；1 +x(II )確定a的所有可能取值，

14、使得f x _g x 恒成立證明：(I )證明：要證 x：= 10,1 時(shí)，1 x e-x _x,只需證明 1 x _(i x)ex .記 h(x) = 1 x-(1 -x)ex，則 h' (x) = x(ex -e*).當(dāng) x ：= (0,1)時(shí)，h'(x) 0 ,x：= 0,11.因此h(x)在1.0,1 上是增函數(shù)，故h(x) _h(0)=0 所以f x / _x ,要證x 0,1 1時(shí)，1 x eJ，只需證明ex _ x 1 .* 廠一1+x1綜上，-x, X豈廠3x1 - 2xcosx23(II )解：f x x = 1 x e?x _(ax1 2xcosx) _1

15、x ax2X=-x(1 a 2cos x).225X'設(shè) G(x)2cos x，則 G (x)二 x - 2sin x .記 H (x)二 x2sin x ,則 H'(x) =1-2cosx 當(dāng) x (0,1)時(shí)，H ' (x) : 0 ,于是 g'(x)在 1.0,11 上是減函數(shù), 從而當(dāng)(0,1)時(shí)，G'(x) ：G'(0) =0 ,故G(x)在0,1 1上是減函數(shù).于是 G(x)空G(0) =2，從而 a 1 G(x)空 a 3 .所以，當(dāng)a-3時(shí)，f x _g x在1.0,1 上恒成立.F面證明，當(dāng)a -3時(shí)，f x _g x 在0,1

16、上不恒成立.f x -g x <3彳 xTax22x cos x記 l(x)二 1-x1 x=-x(3xax2xcosx22,x 丄a 2cos x)2x21_1_a xr 皿a g(x)，則I(x-i G(x)，當(dāng)x (0,1)(V x)時(shí)，l'(x) ：0，故I (x)在0,11上是減函數(shù)，于是I(x)在1.0,11上的值域a 1 2cos1,a 3.因?yàn)楫?dāng)a-3 , a 3 -0 ,所以存在x (0,1)，使得1(冷) 0，此時(shí)f冷：:：g X。,即f x _g x 在1.0,11上不恒成立.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-=3.評(píng)注：本題第二問是一道典型的恒成立求參問題，這類題目很容易讓考生想到用分離參數(shù)的方法，但分離參數(shù)后利用高中所學(xué)知識(shí)無法解決(筆者研究發(fā)現(xiàn)不能解決的原因是分離參數(shù)后，出現(xiàn)了 “-型”的式子，解決這類問題的有效方法就是高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則)；0若直接構(gòu)造函數(shù)，里面涉及到指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及高次函數(shù)，處理起來難度很大本題解法中兩次巧妙利用第一問的結(jié)論，通過分類討論和假設(shè)反正，使問題得到解決.上述幾道導(dǎo)數(shù)不等式都不是考查某個(gè)單一的初等函數(shù)，而是綜合考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)