備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合經(jīng)典題

1、備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合經(jīng)典題一、二次函數(shù)1 . (10分)(2015?佛山)如圖，一小球從斜坡。點(diǎn)處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=- x2+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y】x刻畫.2A(1)請(qǐng)用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)小球的落點(diǎn)是 A,求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(3)連接拋物線的最高點(diǎn) P與點(diǎn)O、A得POA,求4POA的面積；(4)在OA上方的拋物線上存在一點(diǎn) M (M與P不重合)，/XMOA的面積等于 POA的213 15彳；(4)(之，彳)面積.請(qǐng)直接寫出點(diǎn) M的坐標(biāo).【答案】(1) (2,4); (2)試題分析：(1)利用配方法拋物線的一般式化為頂點(diǎn)式，即可求出二次函數(shù)圖

2、象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)聯(lián)立兩解析式，可求出交點(diǎn) A的坐標(biāo);(3)作PQ±x軸于點(diǎn)Q, ABx軸于點(diǎn)B.根據(jù) 2 POAfSaPOQ+Sm弟形 PQBA- S BOA,代入數(shù)值計(jì)算即可求解;(4)過(guò)P作0A的平行線，交拋物線于點(diǎn)M,連結(jié)0M、AM,由于兩平行線之間的距離 M0A的面積等于 4P0A的面積.設(shè)直求出直線 PM的解析式為y=x+3.再與拋物線的解析式聯(lián)立，得到方程組解方程組即可求出點(diǎn)(2)聯(lián)立兩解析式可得:P的坐標(biāo)為(2, 4);相等，根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，可得1線PM的解析式為y=-x+b,將P (2, 4)代入,M的坐標(biāo).試題解析：(1)由題意得，y=-

3、x2+4x=- (x-2) 2+4,故二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)故可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(？，4)；(3)如圖，作PQL x軸于點(diǎn)Q, AB±x軸于點(diǎn)B.Sa poa=S poq+S 梯形 pqba Sa boa二2Jx2x4 +C( 4+4) X(711 17 7? - 2) - 269=4+ 21=T.(4)過(guò)P作OA的平行線，交拋物線于點(diǎn) M,連結(jié)OM、AM,則 MOA的面積等于 POA的面積.111設(shè)直線PM的解析式為y=/x+b,P的坐標(biāo)為(2, 4), 1.-4=彳X 2+b 解得 b=3,1直線PM的解析式為y=%+3.1產(chǎn)/ + 341卜=2R 二一 x2 + 4jcv = 4由

4、，解得口 ： 2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線 y= ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A( - 1, 0) , B (3, 0),與y軸交于點(diǎn)C (0, 3),頂點(diǎn)為 G.，點(diǎn)M的坐標(biāo)為考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題(1)求拋物線和直線 AC的解析式；(2)如圖，設(shè)E (m, 0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若 4CGE和CGO的面積滿足S. cg4盧 CGO,求點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)如圖，設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 x軸向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間 為ts,點(diǎn)M為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M作MN / x軸交拋物線對(duì)稱軸右側(cè)部分于點(diǎn)N.試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以 P, M, N為頂點(diǎn)的三角

5、形為等腰直角三角形? 若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.¥八舊卜va圖I圖2箭用圉【答案】(1)拋物線解析式為：y=- x2+2x+3;直線AC解析式為：y=3x+3; ( 2)點(diǎn)E 坐標(biāo)為(1, 0)或(-7, 0) ; (3)存在以P, M, N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角100 13 13形，t的值為彳甲或正，或【解析】【分析】(1)用待定系數(shù)法即能求出拋物線和直線AC解析式.(2) 4CGE與CGO雖然有公共底邊 CG,但高不好求，故把 CGE構(gòu)造在比較好求的三 角形內(nèi)計(jì)算.延長(zhǎng) GC交x軸于點(diǎn)F,則4FGE與4FCE的差即為ACGE(3)設(shè)M的坐標(biāo)(e, 3e+3)

6、,分別以M、N、P為直角頂點(diǎn)作分類討論，利用等腰直角 三角形的特殊線段長(zhǎng)度關(guān)系，用e表示相關(guān)線段并列方程求解，再根據(jù) e與AP的關(guān)系求t的值.【詳解】(1) ;拋物線 y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn) A (-1, 0) , B (3, 0) , C (0, 3),Q - ft + C = 0- 1九十3右十。=0解徨.b=2 ，斛佝，拋物線解析式為：y=-x2+2x+3,設(shè)直線AC解析式為y=kx+3,.-k+3=0,得：k=3,直線AC解析式為：y=3x+3.(2)延長(zhǎng)GC交x軸于點(diǎn)F,過(guò)G作GH± x軸于點(diǎn)H,匿I,. y=-x2+2x+3=- (x-1) 2+4,.G (1 , 4)

7、 , GH=4,CC?xg=.X 3義才=Sa cgE=Sa cgc=今=2,若點(diǎn)E在x軸正半軸上,設(shè)直線 CG: y=kix+3,1- ki+3=4 得：ki=1,直線CG解析式：y=x+3,F (-3, 0),- E (m, 0),EF=m- (-3) =m+3,111111/.SacgE=Safg-Safc.EF?GHEF?OC=EF? (GH-CQ 亍(m+3) ?m + 3-=2,解得：m=1,.E的坐標(biāo)為(1,0).到直線CG距離相等, 若點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，則點(diǎn) E到直線CG的距離與點(diǎn)(1,0) 即點(diǎn)E到F的距離等于點(diǎn)(1, 0)到F的距離，.EF=-3-m=1- (-3) =4

8、,解得：m=-7 即 E (-7, 0),綜上所述，點(diǎn)E坐標(biāo)為(1, 0)或(-7, 0).(3)存在以 巳M, N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，設(shè) M (e, 3e+3),則 yN=yM=3e+3,過(guò)點(diǎn)N作NRx軸于點(diǎn) 若/MPN=90 , PM=PN,如圖2,過(guò)點(diǎn) M作MQx軸于點(diǎn)Q,R,圄1- MN / x 軸,，MQ=NR=3e+3, RtA MQP RtA NRP (HL), PQ=PR / MPQ=Z NPR=45 ,°MQ=PQ=PR=NR=3e+3 XN=XM+3e+3+3e+3=7e+6,即 N (7e+6, 3e+3),. N在拋物線上，.- (7e+6) 2+

9、2 (7e+6) +3=3e+3,解得：ei=-i (舍去)，e2=-,. AP=t, OP=t-1, OP+OQ=PQ.t-1-e=3e+3, 100-t=4e+4=， 若/PMN=90 , PM=MN ,如圖 3,I'HMN=PM=3e+3 ,.xN=xM+3e+3=4e+3,即 N (4e+3, 3e+3), .- (4e+3) 2+2 (4e+3) +3=3e+3,31解得：ei=-i (舍去)，e2=-j-,313t=AP=e- (-1)=-日+1=正， 若/PNM=90 , PN=MN,如圖 4,VH，MN=PN=3e+3, N (4e+3, 3e+3),131解得：e=-

10、,J3 t=AP=OA+OP=1+4e+3=-,t的值為13或綜上所述，存在以 P, M, N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形, 【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)系中三角形面積計(jì)算，等腰直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，考查了分類討論和方程思想.第(3)題根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找到相關(guān)線段長(zhǎng)的關(guān)系是解題關(guān)鍵，靈活運(yùn)用因式分解法解一元二次方程能簡(jiǎn)便運(yùn)算.3.新春佳節(jié)，電子鞭炮因其安全、無(wú)污染開始走俏.某商店經(jīng)銷一種電子鞭炮，已知這種 電子鞭炮的成本價(jià)為每盒 80元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種電子鞭炮每天的銷售量y (盒)與銷售單價(jià)x (元)有如下關(guān)系：y=- 2x+320 (80WXW16

11、0.設(shè)這種電子鞭炮每天的銷售利潤(rùn)為 w元.(1)求w與X之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)該種電子鞭炮銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大,?最大利潤(rùn)是多少元？(3)該商店銷售這種電子鞭炮要想每天獲得2400元的銷售利潤(rùn)，又想賣得快.那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】(1) w= - 2x2+480x - 25600 ； (2)銷售單價(jià)定為120元時(shí)，每天銷售利潤(rùn)最大， 最大銷售利潤(rùn)3200元(3)銷售單價(jià)應(yīng)定為100元【解析】【分析】(1)用每件的利潤(rùn) x 80乘以銷售量即可得到每天的銷售利潤(rùn)，即w x 80 y x 80 2x 320 ,然后化為一般式即可；2(2)把(1)中的解析式進(jìn)行配萬(wàn)得到

12、頂點(diǎn)式w 2 x 1203200,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解；2(3)求w 2400所對(duì)應(yīng)的自變量的值，即解萬(wàn)程 2 x 1203200 2400.然后檢驗(yàn)即可.【詳解】(1) w x 80 y x 80 2x 320 ,2x2 480x 25600,w與x的函數(shù)關(guān)系式為：w2x2 480x 25600;22(2) w 2x 480x 256002 x 1203200,Q 2 0,80 x 160,，當(dāng)x 120時(shí)，w有最大值.w最大值為3200.答：銷售單價(jià)定為120元時(shí)，每天銷售利潤(rùn)最大，最大銷售利潤(rùn)3200元.，一,2(3)當(dāng) w 2400時(shí)，2 x 1203200 2400.解得：

13、x1 100, x2 140. 想賣得快，x2 140不符合題意，應(yīng)舍去.答：銷售單彳應(yīng)定為 100元.4.如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A (1, 0)和點(diǎn)B與y軸交于 點(diǎn)C (0, 3),拋物線的對(duì)稱軸與 x軸交于點(diǎn)D.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在y軸上是否存在一點(diǎn) 巳 使4PBC為等腰三角形？若存在.請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)有一個(gè)點(diǎn) M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在 AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn) N 從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒 2個(gè)單位的速度在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) M到達(dá) 點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)點(diǎn) M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，4MNB面積最大

14、，試求出最 大面積.【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-4x+3; (2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(0, 3+3J2)或(0, 3-3衣)或(0, -3)或(0, 0) ; (3)當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，4MNB面 積最大，最大面積是 1.此時(shí)點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn) N在對(duì)稱軸上x軸 下方2個(gè)單位處.【解析】【分析】(1)把A (1, 0)和C (0, 3)代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數(shù)的表 達(dá)式；(2)先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)，當(dāng)4PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：CP=CB;BP=BC;PB=PC;分別根據(jù)這三種情況求出點(diǎn)P的

15、坐標(biāo)；(3)設(shè) AM=t 貝UDN=2t,由 AB=2,彳導(dǎo) BM=2-t, SA MNB=1 x(2-t) X 2t= t2+2t 把解2，析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得4MNB最大面積；此時(shí)點(diǎn) M在D點(diǎn)，點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸下方2個(gè)單位處.【詳解】解：(1)把 A (1, 0)和 C (0, 3)代入 y=x2+bx+c,1 b c 0c 3解得：b= - 4, c=3,，二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-4x+3；(2)令 y=0,則 x2 - 4x+3=0,解得：x=1或x=3,.B (3, 0),BC=3V2，點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)pbc為等腰三角形時(shí)

16、分三種情況進(jìn)行討論：如圖 1, 當(dāng) CP=CB時(shí)，PC=3衣，OP=OC+PC=3+3/2 或 OP=PC OC=3/2 3 .P1 (0, 3+3V2) , P2 (0, 3-372)；當(dāng) PB=PC時(shí)，OP=OB=3, .P3 (0, -3);當(dāng)BP=BC時(shí)， .OC=OB=3此時(shí)P與O重合, .P4 (0, 0)；)或(0, 3- 342 )或(-3, 0)或(0, 0);(3)如圖 2,設(shè) AM=t,由 AB=2,得 BM=2-t,則 DN=2t,SA MNB=-X (2 t) X2t= t2+2t= (t1)2+1,當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)1秒到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，4MNB面積最大，最大面積是 1.此時(shí)點(diǎn)N

17、在對(duì)稱軸上x 軸上方2個(gè)單位處或點(diǎn)N在對(duì)稱軸上x軸下方2個(gè)單位處.5.已知，點(diǎn)M為二次函數(shù)y= - (x-b) 2+4b+1圖象的頂點(diǎn)，直線 y=mx+5分另U交x軸 正半軸，y軸于點(diǎn)A, B.(1)判斷頂點(diǎn) M是否在直線y=4x+1上，并說(shuō)明理由.(2)如圖1,若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過(guò)點(diǎn)A, B,且mx+5>- (x-b) 2+4b+1,根據(jù)圖象，寫出x的取值范圍.13(3)如圖2,點(diǎn)A坐標(biāo)為(5, 0),點(diǎn)M在4AOB內(nèi)，若點(diǎn)C ( , y1)，D (一 , N*44都在二次函數(shù)圖象上，試比較y1與y2的大小.【答案】(1)點(diǎn)M在直線y = 4x+1上；理由見(jiàn)解析；(2) x的取值范圍是

18、x<0或x>4 I一時(shí)，yv5111.5; ( 3)當(dāng) 0V b< 一時(shí)，y1 >y2 當(dāng) b =一時(shí)，y= y2 當(dāng)一< b<222y2.【解析】【分析】(1)根據(jù)頂點(diǎn)式解析式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式檢驗(yàn)，可得答案；(2)根據(jù)待定系數(shù)法，可得二次函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系：圖象在下 方的函數(shù)值小，可得答案；(3)根據(jù)解方程組，可得頂點(diǎn) M的縱坐標(biāo)的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】(1)點(diǎn)M為二次函數(shù)y= - ( x- b) 2+4b+1圖象的頂點(diǎn)， .M 的坐標(biāo)是(b, 4b+1),把 x= b 代入 y=4x+

19、1,得 y=4b+1,點(diǎn)M在直線y= 4x+1上；(2)如圖1,直線y= mx+5交y軸于點(diǎn)B, .B點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 5)又B在拋物線上， '-5 = - ( 0 b) 2+4b+1 = 5,解得 b=2,二次函數(shù)的解析是為 y= - ( x- 2) 2+9,當(dāng) y= 0 時(shí)，-(x- 2) 2+9=0,解得 xi= 5, x2= - 1 , .A (5, 0).由圖象，得當(dāng)mx+5>- ( x- b) 2+4b+l時(shí)，x的取值范圍是 x<0或x> 5； (3)如圖2,.直線y=4x+1與直線AB交于點(diǎn)E,與y軸交于F,A (5, 0) , B (0, 5)得直線AB

20、的解析式為y=-x+5,ABEF,聯(lián)立y 4x 1y x 521，點(diǎn)421、55F (0, 1)點(diǎn)M在4AOB內(nèi),211 <4b+1< ，5當(dāng)點(diǎn)C, D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，b- - = - - b, . = 1 ,442且二次函數(shù)圖象開口向下，頂點(diǎn)M在直線y=4x+1上，1 .綜上：當(dāng)0vbv 3時(shí)，y>y2,1.1 I當(dāng) b=一時(shí)，y1 = y2,2一.1.4 當(dāng)一v b v 一時(shí)，y v y2.25解得>4【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解(1)的關(guān)鍵是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式檢驗(yàn)；解(2)的關(guān)鍵是利用函數(shù)圖不等式的關(guān)系：圖象在上方的函數(shù)值大；解(3)的關(guān)鍵

21、是解方程組得出頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的范圍，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)：a<0時(shí)，點(diǎn)與對(duì)稱軸的距離越小函數(shù)值越大.6 .拋物線 y=ax2+bx- 3 (awQ 與直線 y= kx+c (kwD 相交于 A (- 1, 0)、B (2, - 3) 兩點(diǎn)，且拋物線與y軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線的解析式；(2)求出C D兩點(diǎn)的坐標(biāo)(3)在第四象限拋物線上有一點(diǎn)P,若4PCD是以CD為底邊的等腰三角形，求出點(diǎn) P的坐標(biāo).【答案】(1) y=x2-2x-3; (2) C (0, - 3) ,D (0, - 1) ; (3) P (1+石，-2)【解析】【分析】(1)把A ( - 1, 0)、B (2, -

22、3)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入 y=ax2+bx - 3可得拋物線解析式.(2)當(dāng)x= 0時(shí)可求C點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線 AB解析式，當(dāng)x= 0可求D點(diǎn)坐標(biāo).(3)由題意可知P點(diǎn)縱坐標(biāo)為-2,代入拋物線解析式可求 P點(diǎn)橫坐標(biāo). 【詳解】解：(1)把A ( 1, 0)、B (2, - 3)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y= ax2+bx - 3 可得a b 3 04a 2b 33a 1解得b, y = x2- 2x- 3(2)把 x= 0 代入 y=x22x 3 中可得 y= 3，C (0, 3)k2k解得設(shè)y= kx+b,把A ( - 1, 0)、B (2, - 3)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入 b 0 b 3k 1 b 1 y = - x 1

23、.D (0, - 1)(3)由C (0, - 3) , D (0, - 1)可知CD的垂直平分線經(jīng)過(guò)(0, - 2)，P點(diǎn)縱坐標(biāo)為-2, .1. x2 - 2x - 3= - 2解得：x=1±J2, x> 0/.x=1 + J2.P (1 + 72，- 2)【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，把x=0代入二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式可求圖象與 y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，知道點(diǎn) P縱坐標(biāo)帶入拋物線解析式可求點(diǎn) P 的橫坐標(biāo).7 .對(duì)于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)m,當(dāng)其自變量的值為 m時(shí)，其函數(shù)值等于-m,則稱-m為這個(gè)函數(shù)的反向值.在函數(shù)存在反向值時(shí)，該函數(shù)

24、的最大反向值與最小 反向值之差n稱為這個(gè)函數(shù)的反向距離.特別地，當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)反向值時(shí)，其反向距離n為零.例如，圖中的函數(shù)有 4, - 1兩個(gè)反向值，其反向距離 n等于5.一一一一一1。(1)分別判斷函數(shù)y=-x+1, y= , y=x2有沒(méi)有反向值？如果有，直接寫出其反向距x離；(2)對(duì)于函數(shù)y=x2- b2x, 若其反向距離為零，求 b的值；若-1巾求其反向距離n的取值范圍；2(3)若函數(shù)y= x 2 x(x m)請(qǐng)直接寫出這個(gè)函數(shù)的反向距離的所有可能值，并寫出x 3x(x m)相應(yīng)m的取值范圍.【答案】(1) y=-1有反向值，反向距離為 2； y=x2有反向值，反向距離是 1； (2)

25、 x b= ± 上 0Wnw§ (3)當(dāng) m>2 或 mW 2 時(shí)，n= 2,當(dāng)一2V m W2時(shí)，n= 4.【解析】【分析】(1)根據(jù)題目中的新定義可以分別計(jì)算出各個(gè)函數(shù)是否有方向值，有反向值的可以求出相應(yīng)的反向距離；(2)根據(jù)題意可以求得相應(yīng)的 b的值；根據(jù)題意和b的取值范圍可以求得相應(yīng)的n的取值范圍；(3)根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和題意可以解答本題.【詳解】(1)由題意可得，當(dāng)m = - m+1時(shí)，該方程無(wú)解，故函數(shù) y= - x+1沒(méi)有反向值，當(dāng)-m= 1時(shí)，m= ±!，n=1-(-1)=2,故y= 1有反向值，反向距離為 2, mx當(dāng)m = m2,得

26、m= 0或m= 1,n= 0( 1)= 1,故y=x2有反向值，反向距離是 1；(2)4i - m=m2-b2m,解得，m=0或m=b2-1, 反向距離為零， . | b2_ 1 - 0| = 0 ,解得，b= ±令m = m2 b2m ,解得，m =0或m = b2- 1, . n = | b2T - 0| = | b2T| , 1 .0 訴2x 3x( x m)y=2，x 3x(x m)當(dāng)x利時(shí)，-m = m2 - 3m, 得 m = 0 或 m = 2,n = 2 - 0= 2,. m >2 或 mW- 2;當(dāng)x v m時(shí)，-m = - m2- 3m,解得，m=0或m=-

27、4,n = 0 ( 4) = 4,- 2V mw由上可得，當(dāng) m>2或mW 2時(shí)，n=2,當(dāng)一2v mW2時(shí)，n = 4.【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題目中的新定義，找出所求問(wèn)題需要 的條件，利用新定義解答相關(guān)問(wèn)題.8.已知，拋物線 y= - x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)A ( - 1, 0)和 C (0, 3).P,使PA+PC的值最?。咳绻嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)P的 MAC是直角三角形時(shí)，求點(diǎn) M的坐標(biāo).【答案】(1) yx2 2x 3; (2)當(dāng)PA

28、 PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,2 ；82點(diǎn)M的坐標(biāo)為1,1、 1,2、 1,-或1, §1由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;2連接BC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn) P,此時(shí)PA PC取最小值，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn) B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，利用配方法可求出拋物線的對(duì)稱軸，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；3設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為1,m，則CM,(1 0)2 (m 3)2 ，AC 邪 1 2 (3 0)2 月,AM，11 2 (m 0)2 ,分AMC 90°、 ACM 90o 和 CAM90o

29、三種情況，利用勾股定理可得出關(guān)于mm的值，進(jìn)而即可得出點(diǎn)bx c 中，M的坐標(biāo).的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出【詳解】解：1 將 A 1,0、C 0,3 代入 y x21 b c 0得：c 3 ,解得:拋物線的解析式為 yx2 2x 3.2連接BC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn) P,此時(shí)PA PC取最小值，如圖1所示.當(dāng) y 0時(shí)，有 x2 2x 3 0,解得：Xi1 , X2 3,點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,0 .Q拋物線的解析式為 yx2 2x 3 (x 1)2 4,拋物線的對(duì)稱軸為直線x 1 .設(shè)直線BC的解析式為y kx d k 0 ,將 B 3,0、C 0,3 代入 y kx d 中，3k d 0

30、k 1得：d 3,解得：d 3,直線BC的解析式為y x 3.Q 當(dāng) x 1 時(shí)，y x 3 2,當(dāng)PA PC的值最小時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)為1,2 .3設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為1,m ,則 CMJ(10)2(m3)2， AC 而 12(30)2而,AM 11 2 (m 0)2 .分三種情況考慮：當(dāng) AMC 90o 時(shí)，有 AC2 AM 2 CM2,即 10 1 (m 3)2 4 m2,解得：m1 1 , m2 2 ,點(diǎn)M的坐標(biāo)為1,1或1,2 ；當(dāng) ACM90o時(shí)，有 AM 2 AC2 CM 2 ,即 4 m2 10 1 (m 3)2,解得：m -, 38點(diǎn)M的坐標(biāo)為1,一 ；3當(dāng) CAM90o時(shí)，有 CM

31、 2 AM 2 AC2 ,即 1 (m 3)2 4 m2 10 ,解得：m2點(diǎn)M的坐標(biāo)為1,382綜上所述：當(dāng)VMAC是直角三角形時(shí)，點(diǎn) M的坐標(biāo)為1,1、 1,2、1,或1,.33【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次 (一次)函數(shù)解析式、二次(一次)函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對(duì)稱中的最短路徑問(wèn)題以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：1由點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；2由兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合拋物線的對(duì)稱性找出點(diǎn)P的位置；3分 AMC 90°、 ACM90o和 CAM90o三種情況，列出關(guān)于 m的方程.9.如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(3, 0),與y軸

32、交于點(diǎn)C (0, 3).(1)求拋物線y= x2+bx+c的表達(dá)式；(2)點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng) 4BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn) D的 坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn) P的直線y=x+m與直線BC交于點(diǎn)E,與y軸交于 點(diǎn)F,求PE+EF的最大值.苗用圄【答案】(1) y=x2-4x+3; (2) (2, - 1) ; (3) 4V2 .【解析】試題分析：(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；(2)如圖1,設(shè)D (2, y),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到BC2=32+32=18, DC2=4+ (y-3)2, BD2= (3-2) 2+y2=1+y2,然后討論：當(dāng) BD

33、為斜邊時(shí)得到 18+4+ (y-3) 2=1+y2;當(dāng) CD 為斜邊時(shí)得到4+ (y-3) 2=1+y2+18,再分別解方程即可得到對(duì)應(yīng)D的坐標(biāo)；(3)先證明/CEF=90°得到4ECF為等腰直角三角形，作 PHI±y軸于H, PG/ y軸交BC于G,如圖2, AEPG 4PHF都為等腰直角三角形，則 PE=- PG, PF= J2 PH,設(shè)P (t, t2 -4t+3) (1vtv3),則 G (t, - t+3),接著利用 t 表示 PF、PE,這樣 PE+EF=2PEPF=- j-t2+4j-t,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.c9 3b c 0試題解析：解：(1)把

34、B (3, 0) , C (0, 3)代入y=x2+bx+c得：，解c 3,口 b 4得：，拋物線y=x2+bx+c的表達(dá)式為y=x2-4x+3;c 3(2)如圖1,拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=- ；4=2,設(shè)D (2, y) , B (3, 0) , C (0, 3),BC2=32+32=18,DC2=4+(y-3) 2,BD2=(32)2+y2=1+y2,當(dāng) BCD是以 BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時(shí)，BC2+DC2=BD2,即18+4+ (y-3) 2=1+y2,解得：y=5,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 5);當(dāng) BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時(shí)，BC2+DB2=DC2,

35、即4+ (y- 3)2=1+y2+18,解得：y=- 1,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2, - 1);(3)易得BC的解析式為y=-x+3.=直線y=x+m與直線y=x平行，直線y=-x+3與直 線y=x+m垂直，./CEF=90°,. ECF為等腰直角三角形，作 PHI±y軸于H, PG/ y軸交 BC于G,如圖2, AEPG 4PHF都為等腰直角三角形， PE=g PG, PF= J2 PH,設(shè)P(t, t24t+3) (1vtv3),貝U G (t, - t+3) , -PF=72PH=/2t, PG=- t+3- (t2 4t+3) =- t2+3t,近1 g2+W|t,222

36、PE+EF=PE+PEnPF=2PE+PF=J2t2+3 J2t +J2t = - J2t2+4j2t=-&(t-2) 2+4 J2 ,當(dāng) t=2 時(shí)，PE+EF的最大值為點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題.熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上 點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形 性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式.10.若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x, y, z滿足：只要其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和, 則稱這三個(gè)實(shí)數(shù)x, y, z構(gòu)成 和諧三組數(shù)(1)實(shí)數(shù)1, 2, 3可以構(gòu)成 和諧三組數(shù)”嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；k(2)若M(t, yi), N(t+

37、1, y* R(t+3, y3)三點(diǎn)均在函數(shù) y= (k為常數(shù)，kw0)圖象上，且這 x三點(diǎn)的縱坐標(biāo)yi, 2, y3構(gòu)成 和諧三組數(shù)”，求實(shí)數(shù)t的值；(3)若直線y=2bx+2c(bc豐電)x軸交于點(diǎn) A(xi, 0),與拋物線 y= ax2+3bx+3c(a豐方方B(x2,y2), C(xj, y3)兩點(diǎn). 求證：A, B, C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)xi, x2, x3構(gòu)成 和諧三組數(shù)”；若a>2b>3c, x2=1,求點(diǎn)P(c, B)與原點(diǎn)O的距離OP的取值范圍.a a【答案】(1)不能，理由見(jiàn)解析；(2)t的值為-4、-2或2； (3)證明見(jiàn)解析；Y2WOP2V _10 且 OPM.

38、2【解析】【分析】(1)由和諧三組數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；(2)把M、N、R三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)解析式，可用 t和k分別表示出y1、y2、y3,再由和諧三組數(shù)的定義可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；c(3)由直線解析式可求得 x1=-,聯(lián)立直線和拋物線解析式消去y,利用一兀二次bbc方程根與系數(shù)的關(guān)系可求得x2+x3=- b, x2x3=-,再利用和諧三數(shù)組的定義證明即可；aa 由條件可得到a+b+c= 0,可得c= - (a+b),由a>2b>3c可求得b的取值范圍，令 m = abb,利用兩點(diǎn)間距離公式可得到OP2關(guān)于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得OP2a的取值范

39、圍，從而可求得OP的取值范圍.【詳解】(1)不能，理由如下：，一111、2、3的倒數(shù)分別為1、一、一，23U+1 1+14, 1+14,2 32 33 2實(shí)數(shù)1, 2, 3不可以構(gòu)成 和諧三組數(shù)”；k .(2) . M(t, y1)，N(t+1, y2), R(t+3, y3)三點(diǎn)均在函數(shù) 一(k 為常數(shù)，kw0)圖象上，x y1> y2、y3均不為 0,且 y= -> y2= , y3=t t 1 t 3工 t 工 t 1 工 t 3= = -= ) ) )yky2ky3k .yi,平,y3構(gòu)成 和諧三組數(shù) .有以下三種情況：111 一，t t 1 t 3當(dāng)=+ 時(shí)，則=+，即

40、t = t+1+t+3 ,解得 t= - 4;,111t1tt3rr-當(dāng)=+ 時(shí)，則=+,即 t+1 = t+t+3 ,斛得 t = 2;,111,t3tt1rr-當(dāng)一 =一 +時(shí)，則=-+，即t+3 = t+t+1 ,解得t=2； y3y1y2k k k.t的值為-4、- 2或2;(3).a、b、c均不為0, X1, X2, X3 都不為 0,.直線y=2bx+2c(bc導(dǎo)沖由交于點(diǎn)A(x1，0),c .0=2bx1+2c,解得 X1=-,b聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得2bx+2c= ax2+3bx+3c,即ax2+bx+c= 0, 直線與拋物線交與 B(x2, y2), C(x3,

41、y3)兩點(diǎn), x2> x3是方程ax2+bx+c= 0的兩根，bc. - x2+x3 = , x2x3=,aab+ 工 b = l,x2 x3x2x3C c x1a .x1, x2, x3構(gòu)成 和諧三組數(shù)”；,x2= 1 ,a+b+c=0,c= a b, -a>2b>3c,a2b3b1. - a>2b>3(- a- b),且 a>0,整理可得，斛得-v v,5b3a5a2,P(c，b),a a.OP2= (-)2+(b)2= (-ab)2+(-)2=2(b)2+2b +1 = 2(- +- )2+1 , a a a a a a a 22令 m =,則'

42、;vmv 工且 mo,且 OP2= 2(m+ )2+,a 5222 2>0, 當(dāng)-3 vmv-1時(shí)，OP2隨m的增大而減小，當(dāng) m=- 3時(shí)，OP2有最大臨界值,525251c 1當(dāng)m=時(shí)，OP2有最小臨界值,22當(dāng)vmv時(shí)，OP2隨m的增大而增大，當(dāng) m=-時(shí)，OP2有最小臨界值1，當(dāng)m22221, C . 一 一，5=時(shí)，OP2有最大臨界值 5,221c 5 c w O2<?且 OP2W122.P到原點(diǎn)的距離為非負(fù)數(shù)，1 W OP 或0 且 OPM.2 2【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及新定義、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論

43、思想及轉(zhuǎn)化思想等知識(shí).在(1)中注意利用和諧三數(shù)組的定義，在(2)中由和諧三數(shù)組得到關(guān)于 t的方程是解題的關(guān)鍵，在 (3)中用a、 b、C分別表示出X1, X2, X3是解題的關(guān)鍵，在(3)中把OP2表示成二次函數(shù)的形式是解題 的關(guān)鍵.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，特別是最后一問(wèn)，難度很大.11.綜合與探究2如圖，拋物線y ax bx 6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0), B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為 m(1 m 4) .連接AC, BC, DB, DC.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；3r,(2)4BCD的面積等于 4AOC的面積的z時(shí)，求m的值；(3)在(2

44、)的條件下，若點(diǎn) M是X軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存 在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)B, D, M, N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出 點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 【答案】(1)y3x2 -x 6； (2)3； (3)M1(8,0),M2(0,0),M3(而,0), M4( 屈,0).42(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；F,先求出S>aoac=6 ,再根據(jù)3 人-X 6 ,則可得點(diǎn)G的坐2(2)作直線DE± X軸于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)G,彳CFL DE,垂足為S>abcd= S aoc,得到S»abcd =,然后求出BC的解析

45、式為y42一, 33 2標(biāo)為(m, - m 6),由此可得DG - m 3m,再根據(jù)241 -Sabcd=S CDG+Skx bdg= DG BO ,可得關(guān)于 m的方程，解方程即可求得答案; 2(3)存在，如下圖所示，以 BD為邊或者以BD為對(duì)角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖，以BD為邊時(shí)，有3種情況，由點(diǎn)D的坐標(biāo)可得點(diǎn)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為土9,然后分點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為 ?和15 點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為 I兩種情況分別求解；以 BD為對(duì)角線時(shí)，有1種情況，此時(shí)Ni點(diǎn)與N2點(diǎn)重合，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可求得BM i=NiD=4,繼而求得OMi= 8,由此即可求得答案.【詳解】 2(1)拋物線 y ax bx c經(jīng)

46、過(guò)點(diǎn) A(-2,0), B(4,0),4a 2b 6 0343216a 4b 6 0 a解得b 323- ，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y x x 6；42(2)作直線DEL x軸于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)G,彳CF, DE,垂足為F,點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(-2,0),，OA=2,由 x 0,得 y 6, 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(0,6),OC=6,1 “1ccCSaoac= OA OC266,2 2一 3一 .Sa bcd= S aoc43 9Sa bcd = 1 61,4 2設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為 y kx n , , f4k n 0 由B, C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得直線BC的函數(shù)表達(dá)式為3y -x26,點(diǎn)G的坐標(biāo)為

47、3(m, - m6),DG 3 m243m 62(3m26)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(4,0),，OB=4,y J Sabcd=Scdg+Sa bdg= DG CF2DGBE一 DG(CF BE) - DG BO , 22.SA BCD =1( 3m,246m3,解得mi1（舍）,. m的值為3；（3）存在，如下圖所示，以 BD為邊或者以 以BD為邊時(shí)，有3種情況，BD為對(duì)角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖,15D點(diǎn)坐標(biāo)為（3,），點(diǎn)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為15時(shí)，如點(diǎn)N24，,一，3 2315此時(shí)一x x6一,解得：X14241，X23 (舍),15山（1產(chǎn)），M2（0,0）;4當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為15r,

48、一時(shí)，如點(diǎn)N3, N4,43 c 3此時(shí) 一x X421 .14, x2 114N3(1 而,15),4N4(1 .14,7) M3b/T4,0), m4(石4,0)；以BD為對(duì)角線時(shí)，有1種情況，此時(shí)Ni點(diǎn)與N2點(diǎn)重合，15、 15. Ni( 1,), D(3,-), 441 N1D=4,. .BM1=N1D=4,2 .OM1=OB+BM1=8,3 .M1(8, 0),綜上，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為：M1(8,0), M2(0,0) M3(JT4,0) M4( JT4,0).【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、解一元二次方程、 平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合

49、思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握和 靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵 .212 .如圖，已知直線 AB與拋物線C ： y ax 2x c相交于A 1,0和點(diǎn)B 2, 3兩 點(diǎn).求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式；若點(diǎn)M是位于直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，以 MA、MB為相鄰兩邊作平行四邊形 MANB，當(dāng)平行四邊形 MANB的面積最大時(shí)，求此時(shí)四邊形 MANB的面積S及點(diǎn)M的 坐標(biāo)；在拋物線C的對(duì)稱軸上是否存在定點(diǎn) F，使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到17直線y 彳的距離，若存在，求出定點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.127【答案】 y x2 2x 3；當(dāng)a ，Sdmanb=2SA ABM =一

50、，此時(shí) 241 15，15,M - ;存在.當(dāng)F 1, 時(shí)，無(wú)論x取任何實(shí)數(shù)，均有 PG PF .理由見(jiàn)解析 2 44【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法，將 A, B的坐標(biāo)代入y=ax2+2x+c即可求得二次函數(shù)的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)M作MHx軸于H,交直線AB于K,求出直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn) M (a,- a2+2a+3),則K (a, a+1),利用函數(shù)思想求出 MK的最大值，再求出 4AMB面積的最大 值，可推出此時(shí)平行四邊形 MANB的面積S及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2,分別過(guò)點(diǎn)B, C作直線y="的垂線，垂足為 N, H,設(shè)拋物線對(duì)稱軸上存在y=17的距離，其中F (1, a

51、),點(diǎn)F,使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線44連接BF, CF,則可根據(jù)BF=BN, CF=CN兩組等量關(guān)系列出關(guān)于 a的方程組，解方程組即 可.【詳解】(1)得，解得由題意把點(diǎn)(-1, 0)、( 2, 3)代入 y=ax2+2x+c,a 2 c 04a 4 c 3a=-1, c=3,，此拋物線C函數(shù)表達(dá)式為：y=-x2+2x+3;將點(diǎn)(-1 ,(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)M作MHx軸于H,交直線 AB于K,0）、（2, 3）代入 y=kx+b 中,得,k2kb= 0b= 3解得，k=1, b=1,yAB=x+1,設(shè)點(diǎn) M (a, -a2+2a+3),則 K (a, a+1),貝U MK=-

52、a2+2a+3- (a+1)=-(a) + 一,24根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng) a=2時(shí)，MK有最大長(zhǎng)度9,24Saamb 最大=Sx amk+Sx bmk= -MK?AH+ MK? (xb-xh)221,、=MK? (x&xa)2X3278以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形 MANB,當(dāng)平行四邊形 MANB的面積最大時(shí),c”一尹27S最大一2SzAMB最大=2%=8415、)4(3)存在點(diǎn)F,-y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4,，對(duì)稱軸為直線x=1,當(dāng) y=0 時(shí)，x1=-1, x2=3,，拋物線與點(diǎn)x軸正半軸交于點(diǎn) C (3, 0),17 一 一，N, H,y=1的垂線，垂足為如圖2,分別過(guò)點(diǎn)B, C作直線4 一八17 一拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)F,使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直