理解高中數(shù)學(xué)（蘇教版）習(xí)題特點提高教材利用率

1、理解高中數(shù)學(xué)（蘇教版）習(xí)題特點，提高教材利用率蘇教版作為地方編寫的教材在江蘇本地使用，一定程度上代表了我國地方新課程標準下的特色。蘇教版高中數(shù)學(xué)課后習(xí)題較之過去也有明顯的特點。充分理解課后習(xí)題的特點，對我們的教和學(xué)有不可限量的幫助。 1.課后習(xí)題聯(lián)系實際，強調(diào)應(yīng)用 本套書的習(xí)題安排，力求貫徹理論聯(lián)系實際的原則。從實際問題出發(fā)，結(jié)合實際例子講述抽象內(nèi)容，介紹數(shù)學(xué)知識的實際運用，數(shù)學(xué)習(xí)題背景生活化。數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展始終與人類社會的生產(chǎn)、生活有著密切的聯(lián)系。任何一個數(shù)學(xué)概念的引入，總有它的現(xiàn)實或數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需求。在普通高中課程標準（以下簡稱標準）的理念中特別說明了要講背景重知識發(fā)生的過程，這在蘇教

2、版教材上得以充分體現(xiàn)。對概念的引入很注重強調(diào)它的現(xiàn)實背景、數(shù)學(xué)理論發(fā)展的背景，從而使學(xué)生自然、親切地感受知識的發(fā)展過程。有利于學(xué)生認識數(shù)學(xué)的內(nèi)容和思想，對培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)能力以及用數(shù)學(xué)的意識都起到了很好的促進作用。比如教材在必修1“第一章函數(shù)的的概念”這一節(jié)中，一改以前教科書中由映射引入函數(shù)的方法，而是將函數(shù)安排在映射之前。以大量的實際例子為背景，讓學(xué)生充分體會兩個變量之間的某種對應(yīng)關(guān)系，同時讓學(xué)生認識到這種對應(yīng)關(guān)系反映的形式可以是多樣化的（解析式、圖象、表格），為函數(shù)概念的抽象化建立基礎(chǔ)。在新教材的習(xí)題設(shè)置中，列舉了大量的身邊周圍經(jīng)常發(fā)生的一些實際例子。例如在必修1映射的課后習(xí)題中，

3、在探究拓展的閱讀中將映射和生活中的紐扣相對應(yīng)，這樣不僅形象又更好地讓學(xué)生理解了映射的概念和特征。 以身邊經(jīng)常發(fā)生的一些生活實例為載體來編制習(xí)題，讓學(xué)生讀起來倍感親切，做起來興趣高漲。同時也向?qū)W生說明，數(shù)學(xué)并不是高深莫測的，只要自己在平常的學(xué)習(xí)和生活中做個有心人，都可以去發(fā)現(xiàn)一些隱藏在自然、社會現(xiàn)象中的數(shù)學(xué)問題。這對培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察周邊事物、思考日常生活問題的習(xí)慣起了一種推動作用。另外在實踐的過程也讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)是有用的。不但可以提高他們的思維能力，也是可以服務(wù)于實際生活，從而提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性和積極性。數(shù)學(xué)應(yīng)用與數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)是相互促進、相輔相成的。教科書在編排上努力開發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)用

4、的背景素材。通過解決具體的有真實背景的問題，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)的作用、與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，發(fā)展應(yīng)用意識，提高實踐能力。如教材在必修1中的函數(shù)及其表示的編寫中，提供了實際背景：商品的單價與個數(shù)、出租車計費問題、某學(xué)生從家去上班的路上發(fā)生狀況所用的時間與學(xué)生離開家的距離之間的對應(yīng)關(guān)系、郵資付費與信函質(zhì)量之間的關(guān)系。通過對大量的與學(xué)生實際生活聯(lián)系密切的具體問題的分析、解決，使學(xué)生充分認識數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用的聯(lián)系，增強學(xué)習(xí)興趣和用數(shù)學(xué)的意識，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加實際化。再如在必修1“函數(shù)的模型及其應(yīng)用”中，通過對幾種不同增長的函數(shù)模型的學(xué)習(xí)，解決了一系列實際問題，獎金的分配方案問題、投資分析問題、病毒傳染

5、問題、人口增長問題、物理中有關(guān)的運動問題、銷售量問題、體重身高分析問題、考古問題等等。總之，教科書緊緊地把握了標準的要求，并將具體要求很好地落實到了教材的實際內(nèi)容當(dāng)中，通過大量豐富有趣的實際問題的分析解決，進一步促進了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的積極性。2.滲透數(shù)學(xué)思想方法，突出培養(yǎng)思維能力課后習(xí)題編寫滲透著轉(zhuǎn)化、劃歸思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合方法等。例如在函數(shù)部分大部分課后習(xí)題都要使用數(shù)形結(jié)合的方法進行研究。在必修4中第109頁試說明與的圖像之間有什么關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。再如必修一（第43頁第1題）中已知，是常數(shù)，且，試根據(jù)函數(shù)與的圖像填寫下表：函數(shù)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和分類討論的

6、思想。3.增加探索性和開放性較強的問題新課程教材開放型問題所占的分量加重，更加注重學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。創(chuàng)新是一個民族的靈魂、是國家興旺發(fā)達的不竭動力。公民的數(shù)學(xué)素養(yǎng)成為社會發(fā)展的重要尺度，社會要求數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出具有更高數(shù)學(xué)素質(zhì)、更強創(chuàng)造能力的人才。如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，已經(jīng)是數(shù)學(xué)教育關(guān)注的一個焦點問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力最好的辦法就是給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個獨立、多元的思考空間。而這種辦法的落實往往又是通過開放性問題為載體的。新課程就非常強調(diào)學(xué)生創(chuàng)造思維的培養(yǎng)，在習(xí)題設(shè)置上開放型問題的分量較以前的教材大大加重。為增強學(xué)生思維能力的培養(yǎng)訓(xùn)練，本套書還安排了一些探索性和開放性較強的問題。在每冊

7、書的課后都有探究拓展類的習(xí)題。必修五中第一章配有實習(xí)作業(yè)，意在加強對學(xué)生的解決實際問題能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。例如：必修1函數(shù)概念及其基本初等函數(shù)部分在探究拓展部分13題已知一個函數(shù)的解析式為，它的值域為，這樣的函數(shù)有多少個？試寫出其中的兩個函數(shù)。相比舊教材新課標教材對問題的設(shè)置更具開放性，給學(xué)生更大的自主思考的空間。如學(xué)生可以根據(jù)函數(shù)概念自由構(gòu)造函數(shù)。在這樣一個開放的背景下，各個層次的學(xué)生都得到了較好的發(fā)展此外，這樣的訓(xùn)練有利于學(xué)生對函數(shù)概念本質(zhì)的理解。有的課后習(xí)題具有探究性 。（必修5第25頁）在數(shù)學(xué)必修3中，我們曾介紹過南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九昭發(fā)現(xiàn)的求三角形面積的“三斜求積”它與古希臘數(shù)學(xué)家

8、海倫給出的三角形面積公式（）是一致的?！叭鼻蠓e”公式的證明已經(jīng)失傳，吳文俊教授根據(jù)我國古代幾何證明的傳統(tǒng)點作了一個補證。你能運用正弦定理和余弦定理證明“三斜求積”公式或海倫公式？有的課后習(xí)題發(fā)揮學(xué)生的主動參與性。例如在必修1中有課后實習(xí)作業(yè)以小組為單位，查閱資料或進行調(diào)查，以參考主題為指導(dǎo)，自擬題目寫一篇文章，在班級進行交流。1.查閱或調(diào)查內(nèi)容（1）17世紀前后數(shù)學(xué)發(fā)展的重大事件（2）17世紀前后重要科學(xué)家（如開普勒 伽利略 迪卡爾 牛頓 萊布尼茲 歐拉等）（3）現(xiàn)實生活中的函數(shù)實例2.參考主題（1）函數(shù)概念的形成（2）函數(shù)概念的發(fā)展（3）函數(shù)的應(yīng)用3.參考資料（1）數(shù)學(xué)史書籍（2）數(shù)學(xué)家傳

9、紀（3）雜志 報紙等（如自然科學(xué)史研究 數(shù)學(xué)通報等）（4）網(wǎng)站4.活動過程建議（1）討論選題（2）討論分工（3）討論研究框架（4）分頭活動（5）整理資料（6）討論文章的結(jié)構(gòu)，撰寫文章（7）集體修改（8）班級交流通過這樣一個實習(xí)作業(yè)，讓學(xué)生自己動手參與其中，了解數(shù)學(xué)的歷史，激發(fā)起他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。部分題目明確要求借助計算機（計算器）來完成，體現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容整合的思想。例如在必修3算法中在閱讀題部分在VB編輯器窗口中創(chuàng)建名稱為孫子兵法的宏，輸入然后按F5運行，可得到一個不定方程的解。在必修1部分利用計算器直接求出的近似解等。4.習(xí)題素材多以生活實際為背景 高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗數(shù)

10、學(xué)在解決實際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進學(xué)生逐漸形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實踐能力。在習(xí)題的素材上，大體把應(yīng)用題分為學(xué)生生活為背景的和以社會生活為背景的，具體情況為，人教版中“學(xué)生生活類”與“社會生活類”題材所占的比例分別為19.0%和81.0%；而蘇教版分別為26.1%和73.9%。從應(yīng)用題在習(xí)題總數(shù)所占的比重來看，兩版本教材的差別不大。相對而言，蘇教版教材中應(yīng)用題的背景素材選取更注重與學(xué)生實際、社會生活等聯(lián)系。從整體來看蘇教版中的習(xí)題具有聯(lián)系實際，強調(diào)應(yīng)用、更具有開放性和探索性并且與現(xiàn)代信息技術(shù)緊密聯(lián)系。習(xí)題的題量適當(dāng)與學(xué)生生活和社會生活緊密聯(lián)系。5.新老教材習(xí)題類

11、型的比較突顯新教材習(xí)題亮點 新版本的題型比傳統(tǒng)教材更豐富，而在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面各有千秋，以下通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)、具體例子說明習(xí)題類型的特點。（1）傳統(tǒng)題型（這里指計算、證明、簡答題）在新教材中占主導(dǎo)地位 傳統(tǒng)題型在新教材中所占比例為： 83.1%。但是傳統(tǒng)型題型中的證明題所占的比例相對小了一些，新教材只占2.2%?？梢姡陆滩膶W(xué)生證明能力的要求相對低一些。（2）新教材增加了客觀性的題型 填空題是各類考試常見的題型，而以往教材中這些題型比較少見，導(dǎo)致了學(xué)與考的不一致。新教材在一定程度上加大了填空題的比例。在兩版本教材中，填空題所占的比例為人教版8.4%，蘇教版5.0%。事實上，填空題在培養(yǎng)學(xué)生的思

12、維敏銳性、嚴密性有其獨特的作用，新教材中設(shè)置一定量的填空題是必需的。（3）部分題目的答案不確定蘇教版必修一第88頁習(xí)題2.6第5題：“估計施肥量為40kg時水稻的產(chǎn)量”，第6題“請你預(yù)測今年7,8兩個月的月利潤”等。要求學(xué)生自己“估計”“預(yù)測”來解決問題，也是新教材的一大亮點。（4）新教材增加了閱讀題、寫作題、操作題頗有新意閱讀題，例如：在解析幾何中我們學(xué)習(xí)了直線方程，知道平面內(nèi)一條直線，若將直線方程寫為向量的坐標運算形式，便有，其中表示直線上任一點M的坐標，也即向量的坐標。令，則。我們把與直線垂直的向量稱為直線的法向量，故是直線的一個法向量。令，因為，所以，也就是說，是直線的一個方向向量（參

13、見必修二習(xí)題2.5第二題）。據(jù)此試分別求出直線及的一個法向量和一個方向向量。此類題目主要培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力和知識的遷移能力，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識打好基礎(chǔ)。寫作題如第17頁第10題：“用集合的語言介紹你自己”；第89頁第8題：“到學(xué)校附近的農(nóng)村、工廠、商店、機關(guān)做調(diào)查，了解函數(shù)模型在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用，收集一些生活中的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）實例，并作出分析，寫成調(diào)查報告?！睂懽黝}有效地培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)的知識并非莫不可測，在現(xiàn)實生活中處處有它的身影。操作題如第29頁第10題：“將一枚骰子投擲10次，并將每次骰子向上的點數(shù)記錄在下表中。規(guī)定對應(yīng)法則對每一投擲序號對應(yīng)到

14、該骰子的向上的點數(shù)。試判斷對應(yīng)是否為函數(shù)。若是，該函數(shù)值域一定是集合1，2，3，4，5，6嗎？通過學(xué)生自己動手操作，探究數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)。投擲序號12345678910向上點數(shù)可見在蘇教版教材中，將做習(xí)題的過程融入在閱讀、寫作、動手操作等過程中，為學(xué)生實現(xiàn)新的學(xué)習(xí)方式提供了可能的平臺。6.蘇教版部分課后習(xí)題在教學(xué)過程中具有獨特的功能有的習(xí)題在教學(xué)過程中具有承上啟下的功能。蘇教版課后習(xí)題從“練習(xí)”到“感受理解”、“思考”、“探究拓展”。部分習(xí)題具有引入的功能，例如必修4中的一道課后習(xí)題已知和是不共線的向量，（），試用與來表示。這道題看似為了復(fù)習(xí)鞏固向量的數(shù)乘和加減運算。其實不然，這道題更是為了書中

15、后面的例4做了一個鋪墊。要證明課后的結(jié)論，首先要將已知條件中的、 用結(jié)論中的 、來表示，進而解出，而前面的練習(xí)題就是做了這樣一個鋪墊，使學(xué)生在解決本題的時候，能夠迅速下手。例4：在中，為直線上一點，()。求證: 。例4是一道很重要的例題，它給出了線段定比分點的向量公式。若改寫成,就是、三點共線的條件。一般地，若存在兩個實數(shù)，且，使得,則、三點共線。再如書中的平面向量的設(shè)向量，試分別計算及比較兩次計算的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？本題復(fù)習(xí)了向量數(shù)量積的兩種運算和三角函數(shù)定義，而通過比較兩次計算的結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)。這正是后面31節(jié)兩角和、差的余弦公式的一個特例。筆者認為，把本習(xí)題可以留到“兩角差的余弦公式”

16、之前講解，這樣可以通過問題把特殊向一般推廣，可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)和探索的積極性和主動性。又例如（選修22，P27探究拓展15）設(shè)曲線圍成的封閉圖形的面積為。本題首先是對學(xué)生導(dǎo)數(shù)定義掌握程度的檢驗，其次如果教師在把本題講解結(jié)束后提出“我們?nèi)绾稳デ竺娣e”這樣的疑問，就自然而然地引導(dǎo)學(xué)生思考并對今后學(xué)習(xí)微積分埋下伏筆。 有的習(xí)題具有一題多用的作用。例如必修四（第93頁第14題）和必修五（第11頁第7題）為同一個題目。在中，,證明為正三角形。雖然是同一題，但處理的方法不同，這也是給師生提供一題多解的范例。有的習(xí)題作為知識點的補充。如必修五（第11頁第6題）。仿照正弦定理的證法1，證明，并運用這一結(jié)論解決下面的問題：在中，已知，求；在中，已知，,，求和；證明正弦定理。這里就通過習(xí)題補充了正弦定理的面積公式。這樣的例子很多，通過習(xí)題來補充正文內(nèi)容，讓學(xué)生學(xué)到更多的知識，這也是蘇教版課后習(xí)題的一個特色。蘇教版課后習(xí)題有以上明顯的特點。在教學(xué)中我們?nèi)缒荛_發(fā)利用，勢必對我們的教學(xué)工作起到事半功倍的效果。參考文獻1戴再平.數(shù)學(xué)習(xí)題理論M.上海：上海教育出版社，19962王雪