73任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂-習(xí)題

1、1.判別下列級數(shù)的斂散性，若收斂，是條件收斂還是絕對收斂?(；n1/n(1)nn1屬于交錯級數(shù),它滿足關(guān)系unUn1(n1,2,3,L)且limnUn1limnn0,即由萊布尼茲定理知，級數(shù)1)n1(1)n11的P級數(shù)，發(fā)散,綜上知，級數(shù)1)n1二條件收斂。n(1)nn11)nn3n1屬于交錯級數(shù),由于因為limn1)1n3n1un1Unlimn3nl.n13limnn3n3n13-由正項級數(shù)的比值判別法知，級數(shù)力收斂,綜上知，級數(shù)(1)n1-n7絕對收斂。n13(1)n1n1Inn1)n11nn屬于交錯級數(shù),1lnx_2-0當(dāng)xe時恒成立,xlnx知y當(dāng)xe時為增函數(shù),1lnn小小1收斂,n

2、,一1且級數(shù)11綜上知，級數(shù)(1)n11一條件收n1n11，一-為調(diào)和級數(shù),n2A斂。n1ln(n1)從而滿足關(guān)系unun13,4,5,L)且limunn一lnnlimnn但由于n11)nlnn一1.，皿而為調(diào)和級數(shù)，發(fā)散,n1n1)n1lnn條件收斂。(1)n1ln(n1)(1)n1ln(n1)屬于交錯級數(shù),它滿足關(guān)系un1ln(n1)1unln(n2)1(n1,2,3,L)且limunnlimn1ln(n1)即由萊布尼茲定理知，級數(shù)1)n11一收斂,ln(n1)但由于limnUn1limn1ln(n1)1n1limnn1ln(n1)limn11nim(n1)，n1lnx由于函數(shù)y有yx即由

3、萊布尼茲定理知，級數(shù)(1)n1發(fā)散,r1即由比較判別法的極限形式知，級數(shù)一1一發(fā)散,n1ln(n1)22n、gM 為交錯級數(shù),n!-2x2時，y一為增函數(shù),x(1)n1n12n2n!即有y(x)22y(2)2,亦即當(dāng)c2n2時，一2,n于是當(dāng)n2時，有Un1Un2(n1)2(n1)!2n2n!2(n1)2n2n122n1n12n12n2n21,n1可知，當(dāng)n2時,un1Un,不滿足交錯級數(shù)收斂條件,從而可知，交錯級數(shù)1)n12n21發(fā)散。n!誓為任意項級數(shù),n由于sinn2n1._2為p21的P級數(shù)，收斂,1n即由比較判別法知，級數(shù)*絕對收斂。n1n2.判定級數(shù)n1(1)nJ(121n(11)

4、n2x-，由于yx2xln2x2x2x(xln21)易見，當(dāng)2時，xln22ln2ln4即知當(dāng)x觀察limunnn1mg(11)n2n11nim2(1，一11由于lim(1)n2n1,可知limunn即由萊布尼茲定理知,11r.2(1)n(1-)n發(fā)散。3.判別級數(shù)(n1n11)sin-的斂散性。11)n1sinJn的,.2由(n1)考察函數(shù)y可知數(shù)列xx21亦即0nn211x2(x21)21時恒成立,從而由于函數(shù)-是減函數(shù)，其值域為1sinx在(0,)1(0,J2小1、(0，2)上是增函數(shù)，而知數(shù)列_一nsin2n-是遞減1再者，有l(wèi)imsinnnn21limsinnn12nsin00,即由

5、萊布尼茲定理知，級數(shù)1)n1sin是收斂級數(shù),n21_一nsin2再因limn一11,由比較判別法的極限形式知，級數(shù)xnn21sin1nn1n21具有相同的斂散性，而由1，一、一，,以及調(diào)和級數(shù)n11發(fā)散而1n1知道級數(shù)發(fā)散,從而知道級數(shù)1n21sinn1綜上知，級數(shù)n.n(1)sin2n2n-發(fā)散,1-條件收斂。1c14.級數(shù)（i）nsin是絕對收斂，條件收斂，還是發(fā)散?n2lnn1【解】級數(shù)（i）nsin，為交錯級數(shù),n2lnn1.111考祭函數(shù)ysin,由于ycos20當(dāng)x1時恒成立,lnxlnxln2xx1.1,知函數(shù)ysin是（1,）上的減函數(shù)，亦即數(shù)列sin是遞減數(shù)列，lnxlnn1一再者，有l(wèi)imsin0,nlnn1即由萊布尼茲定理知，級數(shù)（1）nsin，收斂，n2lnn.1sin再因limlnxx1lnx111一，以及調(diào)和級數(shù)一發(fā)放而知道級數(shù)發(fā)放，從nn2nn2lnn1而知道級數(shù)sin二發(fā)散,n2lnn1綜上知，級數(shù)（1）nsin,條件收斂。n2lnn5.設(shè)un和vn絕對收斂，證明（unvn）也絕對收斂。n2n2n2【證明】由題設(shè)un和vn絕對收斂，知級數(shù)un和vn收斂，n2n2n2n2即由收斂級數(shù)性質(zhì)7.1.2知，級數(shù)（unvn）也收斂，n2再由絕對值不等式abab得unvnunvn,（n1,2,3,L）1,由比較判別法的極限形式知，級數(shù)11sin與級數(shù)n