廣東省人教版高中數(shù)學(xué)必修2第二章知識點(diǎn)與典型試題分析

1、第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第9講過.1.1平面。學(xué)習(xí)目標(biāo)：能夠從日常生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)中所說的“平面”；理解平面的無限延展性；正確地用圖形和符號表示點(diǎn)、直線、平面以及它們之間的關(guān)系；初步掌握文字語言、圖形語言與符號語言三種語言之間的轉(zhuǎn)化；理解可以作為推理依據(jù)的三條公理。知識要點(diǎn)：1.點(diǎn)A在直線上，記作AWa;點(diǎn)A在平面ct內(nèi)，記作AWa;直線a在平面a內(nèi)，記作ata.2.平面基本性質(zhì)即三條公理的“文字語言”、“符號語言”、“圖形語言”列表如下：公理1公理2公理3圖形語言/“/»»-e-_M-.!jJ±文字語言如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直

2、線在此平面內(nèi).過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只仔-個平卸.如果兩個不重合的平卸有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.符號語言AWl,BWlluaAWa,BWaJA,B,C不共線二A,B,C確定平囿a院faPlP=lPWa,PWp=W(PWl3.公理2的三條推論：推i1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個平面;推i2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推i3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。例題精講：【例1】如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線是否共面？(P56A組5題)解：根據(jù)公理2的推論3,可知兩條平行直線確定一個平面，又由公理1可知，與兩條平行直線相交的第

3、三條直線在這個平面內(nèi)，所以一條直線與兩條平行直線都相交時，這三條直線是共面的關(guān)系【例2】空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，已知EF和GH交于P點(diǎn)，求證：EF、GH、AC三線共點(diǎn).(同P58B組3題)解：PEEF,EFU面ABC,PW面ABC.同理PW面ADC.P在面ABC與面ADC的交線上，又,面ABCn面ADC=AC,.PWAC,即EF、HG、AC三線共點(diǎn).【例3】求證：兩兩相交且不過同一個點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)CA已知：直線AB,BC,CA兩兩相交，交點(diǎn)分別為A,B,C,/求證：直線AB,BC,CA共面.：一證明：因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不在一條直線上，

4、所以過A,B,C三點(diǎn)可以確定平面a.因?yàn)锳6a,B6a,所以ABUa,同理BCUa,ACUa.所以AB,BC,CA三直線共面.點(diǎn)評：先依據(jù)公理2,由不共線的三點(diǎn)確定一個平面，再依據(jù)公理1,證三條直線在平面內(nèi).注意文字語言給出的證明題，先根據(jù)題意畫出圖形，然后給出符號語言表述的已知與求證.常根據(jù)三條公理，進(jìn)行“共面”問題的證明.【例4】在正方體ABCDA0C1D1中，(1) AA與CC1是否在同一平面內(nèi)？(2)點(diǎn)B,G,D是否在同一平面內(nèi)？(3)畫出平面AC1與平面BCD的交線，平面ACD1與平面BDC1的交線.解：(1)在正方體ABCDAB1C1D1中，AA1/CG,由公理2的推論可知，AA1

5、與CC1可確定平面Ag,AA1與CC1在同一平面內(nèi).(2) .點(diǎn)B,C1,D不共線，由公理3可知，點(diǎn)B,C1,D可確定平面BC1D,n.點(diǎn)B,Ci，D在同一平面內(nèi).(3) .ACBD=O,D1CriDC1=E,.點(diǎn)OW斗又CiW平面ACi,C1W平面BCiD,平卸AC1n平面BC1D=OCi,向理平卸ACD1n平面BDC1=OE.點(diǎn)評：確定平面的依據(jù)有公理2(不在同一條直線上的三直線和直線外一點(diǎn)).對幾條公理的作用，我們必須十分熟練湎AC1,OWT®BCD1,C:7/，抬目:三點(diǎn))和一些推論(兩條平行直線、兩條相交直線、.第9練§2.1.1平面基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .兩個平面若有三個

6、公共點(diǎn)，則這兩個平面（C）D.以上都不對A.相交B.重合C.相交或重合2 .下列推斷中，錯誤的是（C）.A. AWl,AWot,BWl,BWot=lUaB. AWa,AwP,BWo(,BwP=o(nP=ABC. l<Za,A三l=A更otD. A,B,CWa,A,B,CWP,且A、B、C不共線二a,P重合3 .E、F、G、H是三棱錐A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的點(diǎn)，延長EF、HG交于P,則點(diǎn)P（B）A.一定在直線AC上B.一定在直線BD上C.只在平面BCD內(nèi)D.只在平面ABD內(nèi)4 .用一個平面截一個正方體，其截面是一個多邊形，則這個多邊形邊數(shù)最多是（C）.A.三B.四C.六D.八

7、5 .下列說法中正確的是（D）.A.空間不同的三點(diǎn)確定一個平面B.空間兩兩相交的三條直線確定一個平面C.空間有三個角為直角的四邊形一定是平面圖形D.和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)6 .給出下列說法：梯形的四個頂點(diǎn)共面；三條平行直線共面；有三個公共點(diǎn)的兩個平面重合;每兩條都相交并且交點(diǎn)全部不同的四條直線共面.其中說法正確的序號依次是.7 .已知空間四點(diǎn)中無任何三點(diǎn)共線，那么這四點(diǎn)可以確定平面的個數(shù)是.4能力提高8 .正方體ABCD一AB1clD1中,E、F、G、H、K、L分別是DC、A1B1、BB、BC的中點(diǎn).求證：這六點(diǎn)共面.證明：連結(jié)BD和KF,因?yàn)镋、L是CD、CB的中點(diǎn)，

8、所以又矩形BDD14中KFBD,所以KF/EL,所以KF、EL可確定平面ot,所以E、F、K、L共面a,同理EHKL,故E、H、K、L共面P.又平面a與平面P都經(jīng)過不共線的三點(diǎn)E、K、L,故平面口與平面P重合，所以E、F、G、H、K、L共面于平面a.同理可證GWot,所以，E、F、G、H、K、L六點(diǎn)共面.（證明共面問題常有如下兩個方法：直接法：先確定一個平面，再證明其余元素均在這個平面上；間接法:先證明這些元素分別在幾個平面上，再證明這些平面重合.）9 .（1）MBC在平面a外，ABPla=P,BCp|a=Q,AC0|a=R,求證：P,Q,R三點(diǎn)共線.（2）已知四邊形ABCD中，AB/CD,四

9、條邊AB,BC,DC,AD（或其延長線）分別與平面a相交于E,F,G,H四點(diǎn)，求證：四點(diǎn)E,F,G,H共線.證明：（1）根據(jù)公理2易知MBC確定平面B,且與a有交線l,根據(jù)公理3易知，P,Q,R三點(diǎn)都在直線l上，即三點(diǎn)共線.（2） yABIICD,.AB,CD確定一個平面&易知AB,BC,DC,AD都在0內(nèi)，由平面的性質(zhì)可知四點(diǎn)E,F,G,H都在0上，因而，E,G,G,H必都在平面a與0的交線上，所以四點(diǎn)E,F,G,H共線.探究創(chuàng)新10.在一封閉的正方體容器內(nèi)裝滿水，M,N分別是AAi與CiDi的中點(diǎn)，由于某種原因，在D,M,N三點(diǎn)處各有一個小洞，為使此容器內(nèi)存水最多，問應(yīng)將此容器如何

10、放置？此時水的上表面的形狀怎樣？解：使過三點(diǎn)M,N,D的平面成為水平面時，容器內(nèi)存水最多，至于水表面的形狀，實(shí)質(zhì)上就是過M,N,D三點(diǎn)所作正方體的截面的形狀.連2DM并延長DM交D1A1的延長線于P,則點(diǎn)P既在截面內(nèi)又在底面A1B1C1D1內(nèi)，連結(jié)PN交AiBi于E,連ME,ND,則過M,N,D的截面就是四邊形DMEN,易證MEIIDN且ME二DN,因而它是一個梯形.第10講§2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系。學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解空間兩條直線的三種位置關(guān)系，理解異面直線的定義，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握兩條異面直線所成角的定義及垂直。知識要點(diǎn)：屋京士辦相交直線：同一平面內(nèi)，有

11、且只有一個公共點(diǎn)；北面直線J1 .空間兩條直線的位置關(guān)系：',產(chǎn)行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；尹面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)2 .已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a7/a,b'/b,把a(bǔ)：b'所成的銳角(或直角)叫異面直線a,b所成的角(或夾角).a：b所成的角的大小與點(diǎn)。的選擇無關(guān)，為了簡便，點(diǎn)O通常取在異面直線的一條上；異面直線所成的角的范圍為(0,90,如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直,記作a±b.求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點(diǎn)-平移-定角-計(jì)算。例題精講：【例1】已知異面直線a和b所成的角

12、為50°,P為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與a、b所成角都是30°的直線有且僅有().A.1條B.2條C.3條D.4條解：過P作a'/a,b'/b,若PCa,則取a為a'，若PCb,則取b為b1這時a',b相交于P點(diǎn)，它們的兩組對頂角分別為50°和130°.記a',b所確定的平面為B,那么在平面B內(nèi)，不存在與a',b都成30°的直線.過點(diǎn)P與a',b都成30°角的直線必在平面B外，這直線在平面B的射影是a',b所成對頂角的平分線.其中射影是50。對頂角平分線的直線有兩條l和1&

13、#39;,射影是130。對頂角平分線的直線不存在.故答案選B.P、Q分別為AC與BD、A1C1即P、Q、R三點(diǎn)共線【例2】如圖正方體ABCDABGD1中，E、F分別為D1C1和B1C1的中點(diǎn),與EF的交點(diǎn).(1)求證：D、B、F、E四點(diǎn)共面；(2)若AC與面DBFE交于點(diǎn)R,求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.證明：(1)正方體ABCDA0C1D1中，BB1/DD1,.BD/RD.又BQiCi中，E、F為中點(diǎn)，1EF/-B1D1.EFBD,即D、B、F、E四點(diǎn)共面.=2(2)QW平面AC1,QW平面BE,PW平面ACjPW平面BE,平面AC1A平面BE=PQ.又ACiPI平面BE=R,RW平面AC1,R

14、W平面BE,RPQ.【例3】已知直線a/b/c,直線d與a、b、c分別相交于A、B、C,求證：a、b、c、d四線共面.證明：因?yàn)閍/b,由公理2的推論，存在平面a,使得aca,bca.又因?yàn)橹本€d與a、b、c分別相交于A、B、C,由公理1,duct.假設(shè)c<Zc(,則c0|a=C,在平面a內(nèi)過點(diǎn)C作c7/b,因?yàn)閎/c,則cc'，此與cP|c'二C矛盾.故直線cca.綜上述，a、b、c、d四線共面.點(diǎn)評：證明一個圖形屬于平面圖形，需要緊扣公理2及其三條推論，尋找題中能確定平面的已知條件.此例拓展的證明先構(gòu)建出一個平面，然后從假設(shè)出發(fā)，推出矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，這就

15、是證明問題的一種反證法的思路.【例4】如圖中，正方體ABCDA1B1C1D1,E、F分別是AD、AA1的中點(diǎn).(1)求直線ABi和CCi所成的角的大?。?2)求直線ABi和EF所成的角的大小.解：(1)如圖，連結(jié)DC1,.DC1/AB1,DC1和CCi所成的銳角/CCiD就是ABi和CCi所成的角.11/CC1D=45°,AB1和CC1所成的角是45°.(2)如圖，連結(jié)DAi、A1C1,EF/A1D,AB1/DC1,/A1DC1是直線AB1和EF所成的角AAiDCi是等邊三角形，1/AiDCi=60o,即直線ABi和EF所成的角是60o.點(diǎn)評：求解異面直線所成角時，需緊扣概

16、念，結(jié)合平移的思想，發(fā)揮空間想象力，把兩異面直線成角問題轉(zhuǎn)化為與兩相交直線所成角，即將異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題，運(yùn)用化歸思想將難化易.解題中常借助正方體等幾何模型本身的性質(zhì)，依照選點(diǎn)、平移、定角、計(jì)算的步驟，逐步尋找出解答思路第10練§2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是(D)A.異面B.平行C.相交D.以上都有可能2 .教室內(nèi)有一把尺子，無論怎樣放置，地面上總有這樣的直線與該直尺所在直線(A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.異面3 .兩條直線a,b分別和異面直線c,d都相交，則直線a,b的位置關(guān)系是(DA.一定是異面直線B.一

17、定是相交直線C.可能是平行直線D.可能是異面直線，也可能是相交直線4 .把兩條異面直線稱作“一對”，在正方體的十二條棱中，異面直線的對數(shù)為(A.12B.24C.36D.485 .正方體ABCDA'B'C'D'中，AB的中點(diǎn)為M,DD'的中點(diǎn)為N,異面直線CN所成的角是(B).A.30°B,90°C,45°D,60°6 .如圖，正方體ABCDABiGDi中，直線ABi與BCi所成角為7 .右圖是正方體平面展開圖，在這個正方體中：BM與ED平行；CN與BE是異面直線；CN與BM成60o角；DM與BN垂直.以上四個說法中

18、，正確說法的序號依次是.度.60能力提高8 .已知空間四邊形ABCD各邊長與對角線都相等，求AB和CD所成的角的大小解：分別取AC、AD、BC的中點(diǎn)P、M、N.連接PM、PN,由三角形的中位線性質(zhì)知PN/AB,PMIICD,于是/MPN就是異面直線AB和CD成的角，如右圖所示連結(jié)MN、DN,設(shè)AB=2,PM=PN=1.而AN=DN=73,則MNXAD,AM=1,得MN=0,MN=MP+NP,MPN90°,即異面直線ARCD成90°角.9 .空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn),已知EF和GH交于P點(diǎn)，求證：EF、GH、AC三線共點(diǎn).證明：P

19、WEF,EFU面ABC,.P三面ABC,同理PW面ADC,P在面ABC與面ADC的交線上，又面ABCA面ADC=AC,.PWAC,即EF、HG、AC三線共點(diǎn).探究創(chuàng)新10.設(shè)異面直線a與b所成角為50°,。為空間一定點(diǎn)，試討論，過點(diǎn)。與a、b所成的角都是0(0注8M90的直線l有且僅有幾條？解：過點(diǎn)。作a/a,b1/b,則相交直線a“確定一平面a.a1與b1夾角為50°或130°,設(shè)直線OA與arb1均為e角，故當(dāng)0<25°時，直線l不存在；當(dāng)0=25°時，直線l有且僅有1條；當(dāng)25°<8<65°時，直線l

20、有且僅有2條；當(dāng)0=65°時，直線l有且僅有3條；當(dāng)65°<8<90°時，直線l有且僅有4條；當(dāng)0=90°時，直線l有且僅有1條.-7 -第11講S.1.3直線與平面、平面與平面位置關(guān)系。學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解直線與平面的三種位置關(guān)系,系.。知識要點(diǎn)：理解直線在平面外的概念,了解平面與平面的兩種位置關(guān)1.直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個公共點(diǎn)）;（2）直線與平面相交（有且只有一個公共點(diǎn)）；（3）直線與平面平行（沒有公共點(diǎn)）2.兩平面的位置關(guān)系：平行（沒有公共點(diǎn)）。例題精講：.分別記作：luot；1P|U=P；l/«.;相交

21、（有一條公共直線）.分別記作otP;【例1】已知空間邊邊形ABCD各邊長與對角線都相等，求異面直線AB和CD所成的角的大小.解：分別取AC、AD、BC的中點(diǎn)P、M、N連接PM、PN,由三角形的中位線性質(zhì)知PN/AB,PMIICD,于是/MPN就是異面直線AB和CD成的角（如圖所示）.連結(jié)MN、DN,設(shè)AB=2,.PM=PN=1.:,n:=.而AN=DN=33,由MNXAD,AM=1,得MN=2,.MN2=MP2+NP2,/MPN=90°.:異面直線AB、CD成90°角.【例2】在空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是CB、CD的中點(diǎn)，若AC+BD=

22、a,AC,BD=b，求EG2+FH2.解：四邊形EFGH是平行四邊形，2_22212212EG2FH2=2(EF2FG2)=(AC2BD2)(a2-2b).2【例3】已知空間四邊形ABCD中，E、分別是BC、CD上的點(diǎn)，且2上=2旦=2CBCD3求證：（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）證明：（1）在AABD和ACBD中，2H分別是三條直線E、H分別是CFCGCBCDEHIIFG.所以，E、F、G、（2）由（1）可知，AB、AD的中點(diǎn),F、GAB和CD的中點(diǎn),EH/1一BD.22=一，3FG/-BD.3H四點(diǎn)共面.EHIIFG所以它們的延長線必相交于一點(diǎn),且P.EH#FG,即直線EF,GH是梯

23、形的兩腰,AC是EF和GH分別所在平面EF、GH、AC交于一點(diǎn).ABC和平面ADC的交線，而點(diǎn)P是上述兩平面的公共點(diǎn),由公理3知PWAC.所以，三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn).點(diǎn)評：一般地，證明三線共點(diǎn)，可證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上，而第三條直線又往往是兩平面的交線.【例4】如下圖，設(shè)ABC和A1B1C1的三對對應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA1、BB1、AOBOCO2_Sabc='.試求婀的值.OA1OB1OC13Sabc解：依題意，因?yàn)锳ArBB1、CC1相交于一點(diǎn)。，且殷二毛二空OAOB10clCCi相交于一點(diǎn)O,且所以AB/A1B1,ACIIA1C1,BCIIB1C1.由平移角定理得/

24、BAC=/B1Ale，/ABC=/A1B1C1,ABCa1B1C1,所以_SAB=（2）2=4.SgC139點(diǎn)評：利用平移角定理，可證明空間兩個角相等或兩個三角形相似、全等；利用平行公理，可證明空間兩條直線平行，從而解決相關(guān)問題.1 .直線F與平面口不平行，則(A. £與a相交 B. gd2 .正方體各面所在平面將空間分成(A. 7B. 15第11練比1.3直線與平面、平面與平面位置關(guān)系基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)C).C.£與口相交或gaD.以上結(jié)論都不對D)個部分.C.21D.273. 若兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，則這兩個平面的公共點(diǎn)個數(shù)(D).A.有限個B.無限個C.

25、沒有D.沒有或無限個4. E、F、G、H是棱錐A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的點(diǎn)，延長EF、HG交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P(B)A.一定在直線AC上B.一定在直線BD上C.只在平面BCD內(nèi)D.只在平面ABD內(nèi)5. 一個平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)到另一個平面的距離相等且不為零，則這兩個平面(D).A.平行B.相交C.平行或垂合D.平行或相交6. 若一條直線與兩個平行平面中的一個平面平行，則這條直線與另一平面的位置關(guān)系是.平行、在平面內(nèi)7. 一個平面把空間分成部分，兩個平面可以把空間分成部分，三個平面可以把空間分成部分.2;3、4;4、6、7、8.能力提高8. A是ABCD平面外的一點(diǎn)，E、F分別是BC、AD

26、的中點(diǎn)，(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC±BD,AC=BD，求EF與BD所成的角.解：(1)證明：用反證法.設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是BCD平面外的一點(diǎn)相矛盾.故直線EF與BD是異面直線.(2)取CD的中點(diǎn)G,連結(jié)EG、FG,則EGIIBD,所以相交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角在RtAEGF4,求得/FEG45°,即異面直線EF與BD所成的角為459. 已知空間四邊形ABCD,E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、DC

27、的三等分點(diǎn)(如右圖)，求證：(1)對角線AC、BD是異面直線；(1) 直線EF和HG必交于一點(diǎn)，且交點(diǎn)在AC上.證明：(1)假設(shè)對角線AC、BD在同一平面a內(nèi)，則A、B、C、D都在平面a內(nèi)，這與ABCD是空間四邊形矛盾，AC、BD是異面直線.(2) E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，EH/-BD2又F、G分別是BC、DC的三等分點(diǎn)，F(xiàn)G/ZbD；.EH/FG,且EH<FG.3FE與GH相交.設(shè)交點(diǎn)為。，又O在GH上，GH在平面ADC內(nèi)，O在平面ADC內(nèi).同理，。在平面ABCft.從而O在平面ADCW平面ABC的交線AC上.探究創(chuàng)新10.空間四邊形ABCD中，P、Q、R、H分別是AB、BC、C

28、D、DA的中點(diǎn).(1)求證：四邊形PQRH是平行四邊形；(2)若AC=BD,則四邊形PQRH是什么四邊形?(3)若AC±BD,則四邊形PQRH是什么四邊形？(4)空間四邊形ABCD滿足什么條件時，PQRH是正方形？解：(1)在ABD中，P、H分別為AB、AD的中點(diǎn)，即PH為中位線.1PH/-BD-2PH/QR.1.四邊形PQRH為平行四邊形1同理QRbdj(2)在ABC中，P、Q為AB、BC中點(diǎn)，PQ/-AC,又PH1BD,AC=BD.22PH=PQ.平行四邊形PQRH為菱形.第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系。知識要點(diǎn)：1 .定義：直線和平面沒有公共點(diǎn)，則直線和平面平行.2 .判

29、定定理：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行符號表示為：。例題精講：【例1】已知PD的中點(diǎn)，求證：aQa,bua,allb= all a .圖形如右圖所示.P是平行四邊形 ABCD所在平面外一點(diǎn)，E、F分別為AB、AF II 平面 PEC證明：設(shè)PC的中點(diǎn)為 G,連接EG、FG.F為PD中點(diǎn),GF II CD 且 GF = 1 CD.2又【例EF II平面AB II CD, GF II AE , EG II AF ,AF0平面2】在正方體BB1D1D.AB=CD ,GF=AE,E為AB中點(diǎn)，四邊形AEGF為平行四邊形.PEC , EG u平面 PEC,AF/平面 PE

30、C.ABCD-AiBiCiDi 中,E、F 分別為棱BC、C1D1的中點(diǎn).求證:證明：連接 AC交BD于O,連接 OE ,則OE II DC,-1OE=1 DC.2 DC II D1C1, DC=De , F 為 D1C1 的中點(diǎn)，OE/D1F, OE = D1F,四邊形D1FEO為平行四邊形.EF/DQ又二 EF 0平面 BB1D1D, D1OU平面 BB1D1D, EF/平面 BB1D1D.【例3】如圖，已知E、F、G、M分別是四面體的棱 AD、CD、BD、 的中點(diǎn)，求證： AM /平面EFG .bc證明：如右圖，連結(jié)DM ,交GF于O點(diǎn)，連結(jié)OE ,在 加CD中，G、F分別是BD、CD中

31、點(diǎn)，GFllBC , G為BD中點(diǎn)，在 MMD 中，: E、又 AM C：平面EFGAM /平面 EFG .O為MD中點(diǎn)，O 為 AD、MD 中點(diǎn)， EO/AM , ,EO Ci 平面 EFG ,FF 一 GD點(diǎn)評：要證明直線和平面平行，只須在平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了 .注意適當(dāng)添加輔助線，重視中位線在解題中的應(yīng)用【例4】如圖，已知 P是平行四邊形 ABCD所在平面外一點(diǎn)， M、N分別是(1)求證：MNll平面PAD;(2)若MN=BC=4, PA =4 J3,求異面直線 PA與MN所成的角的大小AB、PC的中點(diǎn)解：(1)取PD的中點(diǎn)H,連接AH,由 ,1 _NHZ&D

32、C.由M是AB的中點(diǎn),即AMNH為平行四邊形.MN/AH.由MN ®平面PAD, AH仁平面PAD ,N是PC的中點(diǎn),NH /AM , MN 平面 PAD.(3) ACXBD,.異面直線AC與BD所成角為直角.PHIIBD,PQIIAC,/HPQ為AC與BD所成的角./HPQ=90°,即四邊形PQRH為矩形(4)由(2)、(3)的證明可知，當(dāng)AGBD且ACLBD時，四邊形PQR的正方形.第12講他.2.1直線與平面平行的判定。學(xué)習(xí)目標(biāo)：以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理二線面平行”解空間中線面平行的判定，掌握直線與平面平行判定定

33、理，掌握轉(zhuǎn)化思想“線線平行22-9 -(2) 連接AC并取其中點(diǎn)為O,連接OM、ON,OM/L-BC,ONll1FA,第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系所以ZONM就是異面直線PA與MN所成的角，且MOXNO.由MN=BC=4,PA=473,得OM=2,ON=20.所以ZONM=300,即異面直線PA與MN成30°的角.點(diǎn)評：已知中點(diǎn)，牢牢抓住中位線得到線線平行，通過線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行.求兩條異面直線所成角,方法的關(guān)鍵也是平移其中一條或者兩條直線，得到相交的線線角，通過解三角形而得第12練他.2.1直線與平面平行的判定基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .已知直線11、12,平面a,11/l2,11/

34、a,那么l2與平面a的關(guān)系是（C）A.11IIaB.12CaC.12/a或12UaD.12與a相交2 .以下說法（其中a,b表示直線，ot表示平面）若aIIb,bGot,則a/ct若a/a,bIIa,則a/b若aIIb,bIIo.,則a/c（若aIIcl,boot,則a/b其中正確說法的個數(shù)是（A）.A.0個B.1個C.2個D.3個3 .已知a,b是兩條相交直線，a/ot,則b與儀的位置關(guān)系是（D）.A.b/aB.b與ct相交C.bUaD.bIIa或b與a相交4 .如果平面支外有兩點(diǎn)A、B,它們到平面泌勺距離都是a,則直線AB和平面口的位置關(guān)系一定是（C）.A.平行B.相交C.平行或相交D.A

35、BOa5.如果點(diǎn)M是兩條異面直線外的一點(diǎn)，則過點(diǎn)M且與a, b都平行的平面（ A ）-17 -A.只有一個B.恰有兩個C.或沒有，或只有一個D.有無數(shù)個6 .已知P是正方體ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一點(diǎn)，則在正方體的12條棱中，與平面ABP平行的是.DCDC、A1B17 .過三棱錐A-BCD的棱AB、BC、CD的中點(diǎn)M、N、P作平面MNP,三棱錐的六條棱中與平面MNP平行的是;若AC與BD成90°角，AC=6,BD=8,則截面四邊形的面積是.BD、AC;12.能力提高8 .平面與AABC的兩邊AB、AC分別交于D、E,且AD：DB=AE:EC,求證：BC/平面,證明：在

36、/ABC中，AD:DB=AE:EC,BC/DE.又BCSc(,DE匚0(,BC豆.9 .P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E為PB的中點(diǎn)，O為AC,BD的交點(diǎn).（1）求證：EOII平面PCD;（2）圖中EO還與哪個平面平行？解：（1）證明：:在平行四邊形ABCD中，O為AC,BD的交點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn).又在PBD中，E為PB的中點(diǎn)，EO/PD.EO0平面PCD,PDU平面PCD,EOII平面PCD.（2）圖中EO還與平面PAD平行.探究創(chuàng)新10 .三角形的三條中線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的重心，且到頂點(diǎn)的距離等于到對邊中點(diǎn)距離的2倍.這一結(jié)論叫做三角形的重心定理.在四面體ABCD中，M、N

37、分別是面4ACD、ABCD的重心，在四面體的四個面中，與MN平行的是哪幾個面？t證明你的結(jié)論.解：連結(jié)AM并延長，交CD于E,連結(jié)BN并延長交CD于F,由重心性質(zhì)可知，E、F重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)E,由-EM=-EN=-得MN/AB,MANB2因此，MN/平面ABC且MN/平面ABD第13講他.2.2平面與平面平行的判定。學(xué)習(xí)目標(biāo)：以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中面面平行的判定，掌握兩個平面平行的判定定理與應(yīng)用及轉(zhuǎn)化的思想。知識要點(diǎn)：面面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.用符號主一期

38、a二，,b二，,a|b=P-表示為：-/II:a/-.,b/-.-。例題精講：【例1】如右圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分別是CC、B1C1、C1D1的中點(diǎn)，求證：平面MNP/平面A1BD.證明：連結(jié)B1D1,'P>N分別是D1C1、B1C1的中點(diǎn)，.PN/B1D1.又B1D1IIBD,PNIIBD.又PN不在平面A1BD上，.PN/平面A1BD.同理，MN/平面ARD.又PNAMN=N,平面PMN/平面A1BD.【例2】正方體ABCDA1B1C1D1中.(1)求證：平面ABD/平面B1D1C;(2)若E、F分別是AA1,CC1的中點(diǎn)，求證：平面EB1D1/平

39、面FBD.證明：(1)由B1B/DD1,得四邊形BB1D1D是平行四邊形，.B1D1/BD,又BD曬平面B1D1C,B1D1仁平面B1D1C,BD/平面B1D1C.同理AD/平面B1D1C.而ADnBD=D,.平面A1BD/平面B1CD.(2)由BD/B1D1,得BD/平面EB1D1.取BB1中點(diǎn)G,AE/B1G.從而得B1E/AG,同理GFIIAD.AGIIDF.B1EIIDF.DF/平面EB1D1.:平面EB1D1/平面FBD.證得兩條相交直線平行于一個【例3】已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形.點(diǎn)M、N、Q分別在PA、BD、PD上，且PM:MA=BN:ND=PQ:QD.求

40、證：平面MNQ/平面PBC.證明：:PM:MA=BN:ND=PQ:QD.MQ/AD,NQIIBP,而BP仁平面PBC,NQS平面PBC,NQ/平面PBC.又ABCD為平行四邊形，BC/AD,MQ/BC,而BCU平面PBC,MQ0平面PBC,MQ/平面PBC.由MQP|NQ=Q,根據(jù)平面與平面平行的判定定理，平面MNQ/平面PBC.點(diǎn)評：由比例線段得到線線平行，依據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行,平面后，轉(zhuǎn)化為面面平行.一般證“面面平面”問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行【例4】直四棱柱ABCDABC1D1中，底面ABCD為正方形，邊長為2,側(cè)棱A1A=3,M、N分別為A1B1、A1D1的中點(diǎn)，E、F

41、分別是B1C1、C1D1的中點(diǎn).（1）求證：平面 AMN /平面 EFDB ; （2）求平面 AMN與平面 EFDB的距離. 證：（1）連接AG ,分別交MN、EF于P、Q.連接AC交BD于O,連接AP、 由已知可得 MN/EF , MN 平面EFDB.由已知可得， PQ/ AO且PQ = AO .AP/OQ ,AP 平面EFDB. .平面 AMN/平面 EFDB.解：（2）過A作平面AMN與平面EFDB的垂線,垂足為H、H',易得AHHH 'A1PPQ由 AP = AA2 A1P=32個382OQ.=12根據(jù) VA1 3MN =NA AMN , 則3 21221 上A1H32

42、1 1 1 二一父M3,解得A1H323.1919.所以，平面 AMN與平面EFDB的距離為-69 . 19.第（2）問求面面距離,點(diǎn)評：第（1）問證面面平行，轉(zhuǎn)化途徑為“線線平行-線面平行-面面平行”.等價(jià)轉(zhuǎn)化巧妙將中間兩個平面的距離，轉(zhuǎn)化為平面另一側(cè)某點(diǎn)到平面距離的比例，然后利用等體積法求距離B到平面的思想在本題中十分突出，我們可以用同樣的轉(zhuǎn)化思維，將此例中的兩個平面的距離，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)AB'C的距離.第13練他.2.2平面與平面平行的判定基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .下列說法正確的是（D）.A.一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的任一條直線平行B.平行于同一平面的兩條直線平行C.如果一個平面

43、內(nèi)的無數(shù)條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行D.如果一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行2 .在下列條件中，可判斷平面a與0平行的是（D）.A. a、B都平行于直線lB. a內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到0的距離相等C. 1、m是a內(nèi)兩條直線，且l/0,m/0D. 1、m是兩條異面直線，且1/a,m/a,1/0,m/03 .下列說法正確的是（D）.A.垂直于同一條直線的兩條直線平行B.平行于同一個平面的兩條直線平行C.平行于同一條直線的兩個平面平行D.平行于同一個平面的兩個平面平行4 .經(jīng)過平面外的兩點(diǎn)作該平面的平行平面可以作（C）.A.0個B.1個C.0個或1個D.1個或2個

44、5 .不在同一直線上的三點(diǎn)A,B,C到平面a的距離相等，且AW%則（B）.A.a/平面ABCB.ABC中至少有一邊平行于aC.AABC中至多有兩邊平行于aD.AABC中只可能有一條邊與a平行6 .已知直線a、b,平面a、0,且a/b,a/a,a/0,則直線b與平面0的位置關(guān)系為直線b/平面B或直線b在平面B內(nèi)；.7 .已知a、b、c是三條不重合直線，口、R提三個不重合的平面，下列說法中：aIIc,bIIcna/b；aIIbII匕a/b；cIIa,cIIaIIP；（4）力/a,P/a/P；aIIc,a/cnaIIa；aIIXa/THa/a.其中正確的說法依次是.（1）、（4）.能力提高8,在棱長

45、為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,M,N,Q分別是棱A1A,A1B1,A1D1,CB,CC1,CD的中點(diǎn)，求證：平面EFG/平面MNQ.證明：由已知EF/AB1,AB1/DC1,DC1/QN,=EF/QN,同理FG/MQ,所以，平面EFG/平面MNQ.9.兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M6AC,N6FB,且AM=FN,過M作MHLAB于H,求證：(1)平面MNH/平面BCE;(2)MN/平面BCE.證明：(1):正方形ABCD中，MHXAB,.則MH/BC,.連結(jié)NH,由BF=AC,FN=AM,得FN=AH.NH/AF/BE.BFAB由MH/BC,N

46、H/BE,平面MNH/平面BCE.(2)MNU平面MNH,平面MNH/平面BCE,MN/平面BCE.探究創(chuàng)新10.P是MBC所在平面外一點(diǎn)，A、B、C分別是APBC、APCA、APAB的重心，(1)求證：平面ABC平面ABC;(2)求S&BC:Sbc.證明：分別連PA',PB',PC'并延長分別交BC,AC,AB于D,E,F.PA'2PC'則D,E,F分別是BC,CA,AB的中點(diǎn).PA=2=PCA'C7/FD.PD3PF同理A'B'/ZDE,平面ABC/平面ABC.A'B'PA'21(2)A'

47、;B'/DE,=-,又DE=AB.DEPD32A'B'1一.A-B-1-,易證M'B'C'sMBC.SA'Rr:S/abc=1:9.AB3A第14講他.2.3直線與平面平行的性質(zhì)。學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中線面平行的性質(zhì)，掌握直線和平面“線面”平行的轉(zhuǎn)化平行的性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握“線線”。知識要點(diǎn)：線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行,a/ :面相交，那么這條直線和交線平行.即：au P經(jīng)過這條直線的平面和這個平1=a/b .。例題精講：【例1】經(jīng)過正方體 ABCD-

48、AiBiCiDi的棱BBi作一平面交平面 證明：: AA/BBAA 值平面 BEEIBI,BBIU 平面 BEE,AAi 平面 BEEiBi .又 AAU 平面 ADD1Ab 平面 ADDA n 平面 BE&B =EE1， AA / EEi.AA1D1D 于 EiE,求證:EiE II B1B.AA1/ BB=BBi / EEi . AA1/EE1【例 2】如圖，AB/ot , AC/BD , C Wot , D Wot ,求證：AC = BD .證明：連結(jié)CD , AC/BD,直線AC和BD可以確定一個平面，記為 P ,. C, D Wa , C, D w P , . aflP =C

49、D , AB口，ABuP, o(nP=CDAB/CD ,又 AC/ BD ,四邊形ACDB為平行四邊形，.AC=BD.【例3】如右圖，平行四邊形 EFGH的分別在空間四邊形ABCD各邊上，求證： BD/平面EFGH .證明：: EH /FG, EH 0平面 BCD, FG U 平面 BCD ,EH /平面 BCD .又 EH U平面ABD,平面BCD 口平面ABD =BD , EH / BD .又 EH U平面EFGH , BD0平面EFGH ,BD 平面 EFGH .點(diǎn)評：轉(zhuǎn)化思維鏈?zhǔn)恰坝梢阎€線平行f線面平行-線線平行-線面平行”A題屬于教材（必修人教A版）中第64頁的3題的7M變，同樣還

50、可證 AC/平面EFGH【例4】已知直線a II平面a ,直線a II平面B ,平面a n平面B = b，求證a/ b .證明：經(jīng)過a作兩個平面,/和6 ,與平面”和B分別相交于直線c和d ,a II 平面 “，a / 平面 B ,a / c , a / d ,c / d ,又 d仁平面B , c紅平面B ,c II 平面 B ,又c仁平面a ,平面a n平面B = b ,c / b ,a / c ,a / b .點(diǎn)評：利用公理4,尋求一條直線分別與II a及a / B來實(shí)現(xiàn).證線線平行，可由公理a, b均平行，從而達(dá)到 a II b的目的，這里借用已知條件中的a4進(jìn)行平行傳遞，也可以由線面平

51、行的性質(zhì)及后面的面面平行的性質(zhì)得到線線平行.這里采用作輔助平面，利用線面平行的性質(zhì)得到線線平行第14練他.2.3直線與平面平行的性質(zhì)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1 .已知直線l/平面a,m為平面a內(nèi)任一直線，則直線l與直線m的位置關(guān)系是(D).A.平行B.異面C.相交D.平行或異面2 .梯形ABCD中AB/CD,ABU平面a,CD平面a,則直線CD與平面a內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是(B).A.平行B.平行和異面C.平行和相交D.異面和相交3 .一條直線若同時平行于兩個相交平面，那么這條直線與這兩個平面的交線的位置關(guān)系是(A.異面B.相交C.平行D.不能確定4 .若直線a、b均平行于平面a,則a與b的關(guān)系是(D).A

52、.平行B.相交C.異面D.平行或相交或異面5 .已知l是過正方體ABCDAiBiCiDi的頂點(diǎn)的平面ABiDi與下底面ABCD所在平面的交線，下列結(jié)論錯誤的是(D).A.DiBiIIlB.BD/平面ADiBiC.l/平面A1D1B1D.l±BiCi6 .已知正方體ACi的棱長為1,點(diǎn)P是的面AADiD的中心，點(diǎn)Q是面ABCiDi的對角線BiDi上一點(diǎn)，且PQ/平面AAiBiB,則線段PQ的長為7 .設(shè)不同的直線a,b和不同的平面a,B,丫，給出下列四個說法:a/a,b/a,則a/b；a/a,a/B,則a/B；a/丫，B/丫，則a/B；a/b,b二a,則a/a.其中說法正確的序號依次是

53、.能力提高8 .如圖，空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四邊形.(1)求證：CD/平面EFGH;(2)如果ABXCD,AB=a,CD=b是定值，求截面EFGH的面積.解：(1)證明：:EFGH是平行四邊形，EF/GH,又EF0平面BDC,GH匚平面BDC,EH/平面BDC.EF仁平面ADC,平面ADCA平面BDC=DC,EF/DC,CD/平面EFGH.1(2)截面EFGH的面積為S=ab.9.如右圖，直線AB和CD是異面直線，AB口，CD久，ACDa求證:AMBNMCND證明：如圖，連結(jié)AD交平面口于點(diǎn)Q,連結(jié)MQ、QNAB/飛AB仁平面ABDAB/QN口平面ABDD平面Q=Q

54、N,AQQDCD/二CD仁平面ACD$=CD/MQ=平面ACDn平面M=MQBNNDAQAMQDMC.AMBN.MCND探究創(chuàng)新10.如下圖，在正四棱柱ABCDAiBiCiDi中，AAi='AB,點(diǎn)E、M分別為AiB、2CiC的中點(diǎn)，過點(diǎn)Ai、B、M三點(diǎn)的平面AiBMN交CiDi于點(diǎn)N.(1)求證：EM/平面AiBiCiDi；(2)設(shè)截面AiBMN把該正四棱柱截成兩個幾何體的體積分別為VV2(V1W2),求Vi:V2的值.解：(1)證明：設(shè)AiBi的中點(diǎn)為F,連結(jié)EF、FCi.E為AiB的中點(diǎn)，.1.EF/-BiB.又CiM/BiB,.EFMCi.V -i722四邊形EMCiF為平行四邊形.EMIIFCi./EM0平面AiBiCiDi,FCi仁平面AiBiCiDi,EM/平面AiBiCiDi.(2)延長AiN與BiCi交于P,則P6平面AiBMN,且P6平面BBiCiC.又,.平面AiBMNn平面BBiCiC=BM,.P6BM,即直線AiN、BiCi、BM交于一點(diǎn)P.又平面MNCi/平面BAiBi,:幾何體MNCiBAiBi為棱臺.-S=-12a-a=a2