概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式大全

1、第1章隨機(jī)事件及其概率第二章隨機(jī)變量及其分布(1)離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為Xv(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=Xk)=pk,k=1,2,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量x的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：P(X=Xk)pi,p2O,pko。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：1Pk=1(1)Pk亡。二人2八，(2)k4。(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)F僅)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在負(fù)函數(shù)f(x),對(duì)任意實(shí)數(shù)X，有XF(x)二窗(x)dx則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f(X)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。密度函數(shù)具有卜面

2、4個(gè)性質(zhì)：10f(x)0。2f(x)dx1。(3)離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系P(XX)P(XX址搟眉f(x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(xxk)pk在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。(4)分布 函數(shù)人大分 布設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)=P(X冒x)F(x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(a0,q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在a,b內(nèi)，其密度函數(shù)，(X)在a,b1上為常數(shù)，即b-a1axwb其他，則稱隨機(jī)變量X在a,b上服從均勻分布，記為XU(a,b)。分布函數(shù)為0,xa

3、,xaJxb-aab。當(dāng)awXkX2Wb時(shí)，X洛在區(qū)間(xi，x2)內(nèi)的概率為X2XiP(xAX園xj-21oba指數(shù)分布,X0,f（x）=qo10,xfO,其中卜0，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為一斟JoF（x）冷,01u,x0。記住積分公式：xnedx=n!正態(tài)分布0(6)分位數(shù)下分位表：P(x)國(guó)；上分位表：P(X)勘屜。(7)函數(shù)分布離散型已知X的分布列為X*X2，凰Xn,園P1,P2,凰Pn,Y：g(X)的分布列(=g(xj互不相等)如下：P(Y=yi)?若有某些g(xf相等，”則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的？R相加作為g(x的概率。連續(xù)型先利用x的概率密度“X)寫(xiě)出Y的分布函數(shù)F

4、y(y)=P(g(X)y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。第三章二維隨機(jī)變量及其分布(1)聯(lián)合離散型分如果二維隨機(jī)向量(X,丫)的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)?X,y)，則稱布R為離散型隨機(jī)量。設(shè).=(X，丫)的所有可能取值為(xyj)(i,j=12上)，且事件=(Xi,y。的概率為R”稱P(X,Y)=(xy。二pj,j=1,2)為=(X，丫)的分布律或稱為X和丫的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示:CYXAyiV2yiXiPnP12pux2P21P22p2MA-lMXi5pqMA-lMA!M這里Pj具有下面兩個(gè)性質(zhì):連續(xù)型對(duì)于二維隨機(jī)向量0=(X,Y)，如果存

5、在非負(fù)函數(shù)f(X,y)-S，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)釉的矩形區(qū)域DJPD-(X,Y)|axb,cyO；(2) f(x,y)dxdy=1.(2)二維隨機(jī)變量的本質(zhì)(3)聯(lián)合分布函數(shù)普(X=x,Y=y)Lp(X=xIY=y)設(shè)(X，丫)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,y,二元函數(shù)F(x,y)=PX冒x,YCy稱為二維隨機(jī)向量(X，丫)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件(昌凰)1度DWx,丫凰)y的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1)6F(x,y)；(2)F(x,y)分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng)X2Xi

6、時(shí)有F(X2,y)F(X“);當(dāng)護(hù)W時(shí)，有F(x,y2)F(x,y1);(3)F(x,y)分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即F(x,y)=F(xMO,y),F(x,y)=F(x,yO);(4)19s=Fy)=F(xB9=O,F=1.(5)對(duì)于XiVX2,yHy2,F(X2,y2)FMyjF(Xi,y2).F(Xi,yJAO.(4)離散型與連續(xù)P(X=x,Y=p(x凰xx丹dx,圉yRdy)f(x,y)dxdy型的關(guān)系(5)邊緣分布離散型X的邊緣分布為R?=P(X=X)書(shū)皿日癟;丫的邊緣分布為p?j=p(Y=yj)李Pj(i,j=1,2H)oI連續(xù)型X的邊緣分布密度為fx(x)(X,y)dy；丫的邊緣分

7、布密度為f“y)(x,y)dx.(6)條件分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為PiP(Y=yj|X=xj=_L；JPi?在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為PuP(X二人|丫二川二，P?i連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為r1、f(X,y)f(X1y)、；f“y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y|x)嚴(yán)(7)獨(dú)立性一般型F(X,Y)=Fx(x)FY(y)離散型Pj二Pi?P?j有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fx(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布f(xy)1(國(guó)曲f(X,y)：76,P=0隨機(jī)變量的函數(shù)若Xi

8、,X2,XmXm+iX相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則:h(Xi,X2,Xm)和g(Xm+1,Xn)相互獨(dú)AA0特例：若X與Y獨(dú)立，則：h(X)和g(Y)獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5丫2獨(dú)立。設(shè)隨機(jī)向0(X,Y)的分布密度函數(shù)為(8)二維均勻分布(x,y)己D其他D上的均勻分布，記為(X,Y)（9）二維正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量（X,Y的分布密度函數(shù)為。比耐肓J其中pTiAO,6）。，申怎1是5個(gè)參數(shù)，則稱（X,Y服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）N（P凰日寺迂卜由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XNJg,包2）,丫N*2.）.但是若XN（片E;）,YN

9、（P2;）,（X,丫）未必是二維正態(tài)分布。11）函以Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：Fz（Z）=P（ZZ）=P（X卜歆）分布對(duì)于連續(xù)型，fz（z）=f（x,z-x）dx兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（P剛HRCT;）。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。H=Hc|Ro22Z=max,min(Xl,X2,Xn)若X、XQXn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fx1(X)，F(xiàn)x2(XA|Fxn(X)，則Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)為：Fmax(X)=FX1(X)?Fx2(X)PFxn(x)Fmin(X)=1-1-Fxi(X)?1-Fx2(X)|j1-Fxn(x)2分布設(shè)n個(gè)隨

10、機(jī)變量X,X2，上，Xn相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和我們稱隨機(jī)變量w服從自由度為n的2分布，記為Wf- 2(n),其中所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布 中的一個(gè)重要參數(shù)。2分布滿足可加性：設(shè)丫 - 2(nJ,kZ 八 Y 2(nj n2 n i呂t分布設(shè)x, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為X N(0,1),Y2(n),、Y/nf(t) =2n我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為T(mén)t(n)ti：.(n)-r.F分布設(shè)X/(njY警2(叫)，目x與Y獨(dú)立，可以證明X/nF=的概率密度函數(shù)為Y/n2,yo我們稱隨機(jī)變量F服從

11、第個(gè)自山度為m,第一個(gè)自山度為n2的F分布，記為F-f(n1,n2).Fi(nnn2) =Fa(n2,ni)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1)一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布1郎*pzy_y_nkk=1,2,n,E(X)暑XkPkk呂(要求絕對(duì)收斂)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(X),E(X)=0xf(x)dx(要求絕對(duì)收斂)函數(shù)的期望Y=g(x)nE(Y)=Wg(Xk)Pkk=1Y=g(X)E(Y)=g(x)f(x)dx-X方差2D(X)=EX-E(X)，標(biāo)準(zhǔn)差送送G(Xi,yj)PijEG(X,Y)=G(x,y)f(x,y)dxdy方差D

12、(X)冒人一E(X)Fp?1D(Y)韋Xj-E(Y)2p?jD(X)二JxE(X)2fx(x)dxD(Y)=|v-E(Y)l2fY(v)dv協(xié)方差對(duì)于隨機(jī)變量X與丫,稱它們的二階混合中心矩昌為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為xy或cov(X,Y)，即rxy=E(X-E(X)(Y-E(Y).與記號(hào)dxy相對(duì)應(yīng)，X與丫的方差D(X)與D(Y)也可分別記為xx與JCYY。相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X與丫，如果D(X)0,D(Y)0，則稱XYJd(x)Jd(y)為乂與丫的相關(guān)系數(shù)，記作丫(有時(shí)可簡(jiǎn)記為層)。IIW1,當(dāng)1圉=1時(shí)，稱X與丫完全相關(guān)：P(X=aY0b)=1正相關(guān)，當(dāng)=1時(shí)(a0),渙相關(guān)，完全相關(guān)

13、J當(dāng)卜_1時(shí)值.而當(dāng)層=0時(shí)，稱X與丫不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的： pXY=； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣YXYY混合矩對(duì)于隨機(jī)變量x與丫，如果有E(XkY)存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為bi；k+l階混合中心矩記為:kIUki=E(X-E(X)(Y-E(Y).(6)協(xié)方差的性質(zhì)(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);小)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);(町cov(Xi+X2,Y)=cov(Xi,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(X

14、Y)-E(X)E(Y).獨(dú)立和不相關(guān)(il(ii)若隨機(jī)變量x與丫相互獨(dú)立，則Ay=0；反之不真。若(X,Y)N(打fV”)，則X與丫相互獨(dú)立的充要條件是X和丫不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律X切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X,X2,湘互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D(X)vC(i=1,2,),則對(duì)于任意的正數(shù)&，有l(wèi)imP出Xb(Xi)n：伯努利大數(shù)定律說(shuō)明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，艮p這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)X,X2,，Xn,是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且()二，則對(duì)于任意的正數(shù)&有（2

15、）中心極限定理列維一林德伯設(shè)隨機(jī)變量X,X2,相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有a2XN(耳一)格定理E（XQ二卜）二數(shù)學(xué)T2包0(k=1,2和方差：），則隨機(jī)變量Xk_k用I的分布函數(shù)Fn（X）對(duì)任意的實(shí)數(shù)X,有1T o fTA|1困Xk-limFn(x)=limPE心LnjpaVnr此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗拉普設(shè)隨機(jī)變量Xn為具有參數(shù)n,p（0p量n1)HoamfE-tfl|n-1)未知CT2Hoy2二口2(n-1)S2wCTo2-2.(n-1)w(n-1)或22wn-1)2Ho：Hn22w忙仁小n-1)Li2、2How1)設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為彳Z*2f（x）=e衍，Xgg，寸2TTCT其中冒、豈。為常數(shù)，則稱隨