第五章 對(duì)流-擴(kuò)散方程離散格式

1、熱流問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算熱流問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算Numerical Simulations of Thermal & Fluid Problems第五章第五章 對(duì)流對(duì)流擴(kuò)散方程的離散格式擴(kuò)散方程的離散格式主講主講 李炎鋒李炎鋒2008年7月 北京5.1 對(duì)流項(xiàng)離散格式的重要性及兩種離散格式 非線性對(duì)流項(xiàng)的處理涉及到對(duì)流項(xiàng)的離散格式（物理過(guò)程觀點(diǎn)：對(duì)流作用帶有強(qiáng)烈的方向性）； 動(dòng)量方程的壓力梯度項(xiàng)處理涉及到壓力與速度的耦合問(wèn)題。5.1.1 對(duì)流項(xiàng)離散格式的重要性對(duì)流項(xiàng)離散格式是否合適將會(huì)影響： 數(shù)值解的準(zhǔn)確性（假擴(kuò)散誤差） ； 數(shù)值解的穩(wěn)定性 ； 數(shù)值解的經(jīng)濟(jì)性 。5.1.2 構(gòu)造對(duì)流項(xiàng)離散格式的兩

2、種方式1、Taylor展開方式 對(duì)于節(jié)點(diǎn)上的一階導(dǎo)數(shù)給出其相應(yīng)的離散方式，如表5-1。例如：例如：對(duì)一維均分網(wǎng)格，節(jié)點(diǎn)P一階導(dǎo)數(shù)的 中心差分為：xxxiiWEP22112、控制容積積分方式 將對(duì)流項(xiàng)的一階導(dǎo)數(shù)對(duì)控制容積P作積分，有： 所謂對(duì)流項(xiàng)的離散格式就是如何用相 鄰節(jié)點(diǎn)上之值來(lái)獲得 及 的插值方式。eweewdxxw由上式：如將界面上分段線性的型線代入上式，得dxxxxewwe1xxxPEWPPElinearwe22/ )(2/ )(3、兩種定義方式之間的關(guān)系 對(duì)某種對(duì)流項(xiàng)的離散格式，都可以從兩種方法來(lái)給出其相應(yīng)的定義； 兩種定義方式給出的格式的截?cái)嗾`差的階數(shù)一般地說(shuō)是一致的； 兩種定義方

3、式所逼近的量實(shí)際上有一定區(qū) 別。Taylor展開法逼近的是在P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，而控制容積積分法所逼近的是在該控制容積內(nèi)導(dǎo)數(shù)的積分平均值。5.2 對(duì)流項(xiàng)的中心差分與迎風(fēng)格式 5.2.1 一維對(duì)流-擴(kuò)散問(wèn)題模型方程的精確解一維穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源的對(duì)流-擴(kuò)散問(wèn)題的控制方程： 若邊界條件為：x = 0， ；xL， 。)()(dxddxdudxd0L則方程的解為： 其中Peclet數(shù) 。Pe數(shù)表示對(duì)流與擴(kuò)散作用的相對(duì)大小.當(dāng)Pe的絕對(duì)值很大時(shí)，導(dǎo)熱或擴(kuò)散作用就忽略.1)exp(1)/exp(1)exp(1)/exp(0PeLPexuLuxLuLPe5.2.2 對(duì)流項(xiàng)的中心差分1、定義及系數(shù)的構(gòu)成 用控制容積積分法

4、時(shí)，中心差分相當(dāng)于界面上取分段線性的型線。將控制方程對(duì)控制容積P作積分，對(duì)均分網(wǎng)格，離散方程為：)(21)()(21)()()(21)()(21wwwweeeEwwweeePuxuxxuxu 令 ， （擴(kuò)導(dǎo)）則上式可變?yōu)椋?式 在數(shù)值計(jì)算中，若連續(xù)性方程始終得到滿 足，aP仍為相鄰各系數(shù)的和。aE, aW包括了擴(kuò)散與對(duì)流作用的影響。 uFxDWWEEPPaaaeeEFDa21wwWFDa21pEWaaa2、特性分析 網(wǎng)格Pe數(shù)： 常物性下(1)式可寫為： xuP2)211 ()211 (WEPPP5.2.3 對(duì)流項(xiàng)的迎風(fēng)格式1、兩種離散方式下的迎風(fēng)格式 Taylor展開法 （如下圖） 以流動(dòng)方

5、向而言，P點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)永遠(yuǎn)是該方向上的向后差分，永遠(yuǎn)從上游獲取構(gòu)成一階導(dǎo)數(shù)所必須的信息 對(duì)多維問(wèn)題，用此方法構(gòu)造的對(duì)流項(xiàng)的離散格式，只有在求解區(qū)域內(nèi)流速不發(fā)生逆向時(shí)，所形成的離散方程才具有守恒性。 0011iiiiiiiuxuxdxd，2、控制容積積分法定義規(guī)定界面上的未知量恒取上游節(jié)點(diǎn)的值 e界面上：w界面上： 與中心差分格式的區(qū)別：迎風(fēng)差分界面上的未知量恒取上游節(jié)點(diǎn)的值，而中心差分取的是上、下游節(jié)點(diǎn)的算術(shù)平均值。 Eepeuu, 0, 0；PwWwuu, 0;, 00 , 0 ,) 0 ,max() 0 ,max()(eEePeEePeeeFFFFFu0 , 0 ,) 0 ,max() 0

6、 ,max(wWwWwPwWwwwFFFFFu2、采用迎風(fēng)格式的模型方程離散形式 用迎風(fēng)方式離散對(duì)流項(xiàng)，二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)仍采用分段線性，則模型方程的離散形式可寫為：WWEEPPaaa0 ,eeEFDa0 ,wwWFDa)(weWEPFFaaa5.2.4 中心差分及一階迎風(fēng)格式的討論1、在對(duì)流項(xiàng)中心差分的數(shù)值解不出現(xiàn)振蕩的參數(shù)范圍內(nèi)，在相同的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)下，采用中心差分的計(jì)算結(jié)果要比采用迎風(fēng)差分的結(jié)果誤差更??；2、一階迎風(fēng)格式離散方程的系數(shù)aE及aW永遠(yuǎn)大于零，因而無(wú)論在任何條件計(jì)算下都不會(huì)引起解的振蕩，永遠(yuǎn)可以得出看似合理的解；3、由于一階迎風(fēng)的截差階數(shù)低，除非相當(dāng)密的網(wǎng)格，其計(jì)算結(jié)果的誤差較大； 4

7、、一階迎風(fēng)格式的使用時(shí)間為構(gòu)造性能更優(yōu)良的離散格式提供了有益的啟示：應(yīng)當(dāng)在迎風(fēng)方向上獲取比背風(fēng)方向上更多的信息以較好地反映對(duì)流過(guò)程的物理本質(zhì)；5、在軟件的調(diào)試過(guò)程中，一階迎風(fēng)由于其絕對(duì)穩(wěn)定的特性仍有其應(yīng)用價(jià)值。 5.3 對(duì)流-擴(kuò)散方程的混合格式及乘方格式 5.3.1 系數(shù)aE與aW之間的內(nèi)在聯(lián)系 中心差分(CD):對(duì)同一界面 ， 于是有： )211 (21eeeeEPDFDa)211 (21wwwwWPDFDaPPPweDDDwePPPDiaDiaEW)211 ()211 ()() 1(迎風(fēng)差分(FUD)：對(duì)同一界面，有：只要知道 或 中的一個(gè)，就可算出另一個(gè)。0 ,10 ,eeeeEPDFD

8、a0 ,10 ,wwwwWPDFDaPPPDiaDiaEW0 ,10 ,1)() 1(eEDawWDa5.3.2 混合格式 (hybrid scheme) 對(duì)一維問(wèn)題而言，對(duì)流項(xiàng)與擴(kuò)散項(xiàng)均為中心差分的格式在P2時(shí)會(huì)引起解的振蕩 。如果把一維模型方程的精確解應(yīng)用于兩個(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn)之間，發(fā)現(xiàn)界面上的擴(kuò)散作用與P有關(guān)。 P絕對(duì)值越大，擴(kuò)散作用越小，擴(kuò)散作用相對(duì)于對(duì)流作用越小。 混合格式綜合了中心差分和考慮迎風(fēng)作用兩方面的因素，定義式為： 0,211,22221120eeeeeeeeEPPPPPPPDa5.3.3 指數(shù)格式（exponential scheme）1、對(duì)流-擴(kuò)散總通量密度 定義：定義：總通

9、量密度是指單位時(shí)間內(nèi)、單位面積上由擴(kuò)散及對(duì)流作用而引起的某一物理量的總轉(zhuǎn)移量。dxduJ對(duì)控制方程：一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源問(wèn)題的總通量為： )()(dxddxdudxdtconsJdxdJtan0，2、節(jié)點(diǎn)值表示的界面總通量密度計(jì)算式將分析解 代入通量密度定義式得： 1)exp(1)/exp(1)exp(1)/exp(0PeLPexuLuxL1)exp(00PeFJL把式（2）用于計(jì)算界面總通量密度Je, Jw:對(duì)Je： 對(duì)Jw： eELPxL,0，1)exp(eEPPeePFJ wPLWxL,0，1)exp(wPWWwwPFJ 對(duì)于控制容積P，代入對(duì)Je、 Jw的表達(dá)式整理得：令： ； 則1)

10、exp()exp(1)exp(1)exp(11)exp()exp(wwwWeeEwweeePPPFPFPFPPF1)exp(eeEPFa1)exp()exp(wwwWPPFa)(weWEPFFaaa5.3.4 乘方格式(Power-law scheme) 由于指數(shù)格式的計(jì)算量較大，Patankar提出了與指數(shù)格式接近的乘方格式： 見下頁(yè)表格： eeeeeeeeeeeEPPPPPPPPPPDa, 0)1 . 01 ( , 010,010,)1 . 01 (100,)1 . 01 (10, 05555.3.5 5種三點(diǎn)格式系數(shù)計(jì)算式的匯總 不同格式離散方程的形式相同，但系數(shù)不同。具體見下表51：5

11、.4 對(duì)流-擴(kuò)散方程5種3點(diǎn)格式系數(shù)特性的分析5.4.1 通量密度及其離散表達(dá)式 由于 所以)/(*xJJ)/(xxddPxdxduJ)/()/(*xxddPxJJ如圖界面上的表達(dá)式為：1*iiABJ5.4.2 系數(shù)A、B間關(guān)系的分析1、和差特性 當(dāng) 時(shí)，界面上的擴(kuò)散通量零，1ii1*iiPPJPAB2、對(duì)稱特性 對(duì)于坐標(biāo)系I，C位于界面之后，而D位于界面之前，于是： 對(duì)于坐標(biāo)系II，D位于界面之后，而C位于界面之前，于是： 由于 DCPAPBJ)()(*CDPAPBJ)()(*JJ)()()()(PBPAPAPBDC要使此式對(duì)任何，的組合都成立，只有 ： ，即： ，即： 如下圖：0)()(P

12、APB)()(PAPB0)()(PBPA)()(PBPA5.4.3 系數(shù)特性的推論 對(duì)5種3點(diǎn)格式的任何一種，若在P 0時(shí)，A(P)的計(jì)算式為已知，則在 的范圍內(nèi)，A(P)，B(P)的計(jì)算式均可得出。對(duì)于A(P)：當(dāng)P 0 或P 0），則有：22xxut211211126632xxutninininininininini 設(shè)初場(chǎng)均勻?yàn)榱?，在n時(shí)刻于i點(diǎn)引入一個(gè)擾動(dòng)，在其它地點(diǎn)及其它時(shí)刻不再引入擾動(dòng)，利用上述格式分析在(n+1)時(shí)刻在(i 1)點(diǎn)處擾動(dòng)傳遞的情形； 從物理?xiàng)l件來(lái)考慮，要求： （即 與 的正負(fù)號(hào)應(yīng)相同） 由于模型方程為線性方程（，u，均為已知常數(shù)），擴(kuò)散項(xiàng)傳遞的擾動(dòng)與對(duì)流項(xiàng)傳遞的擾

13、動(dòng)可以線性迭加。011nini11nini5.7.4 符號(hào)不變?cè)瓌t的實(shí)施例子例例3：試分析所代表的三階迎風(fēng)格式的穩(wěn)定性。解：解：將該式對(duì)節(jié)點(diǎn)(i+1)寫出，不計(jì)入擴(kuò)散項(xiàng)， 有： 211211126632xxutnininininininininixutnininininini6632112111所以 對(duì)于節(jié)點(diǎn)(i-1)，有 所以ninixtu)(11xutnininininini6632321111ninixtu)(3111符號(hào)不變?cè)瓌t要求： 由此得 三階迎風(fēng)的臨界Pelect數(shù)為3。0)()(312nininixtxtu3Pxu5.7.5 穩(wěn)定性分析結(jié)果的討論 如果一個(gè)對(duì)流項(xiàng)的離散格式具有遷

14、移特性，“符號(hào)不變”原則永遠(yuǎn)滿足，因而該格式絕對(duì)穩(wěn)定； 如果一個(gè)離散格式所定義的在節(jié)點(diǎn)i的一階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式或在(i+1/2)，(i-1/2)界面上函數(shù)插值的表達(dá)式含有下游的節(jié)點(diǎn)值，且其系數(shù)為常數(shù)，則該格式不具有遷移特性，該格式也必是條件穩(wěn)定的； 對(duì)流項(xiàng)離散格式定義式中下游節(jié)點(diǎn)值的系數(shù)越小，該格式的臨界Pelect數(shù)越大。中心差分中下游節(jié)點(diǎn)項(xiàng)為 ,系數(shù)為1/2，QUICK格式中下游節(jié)點(diǎn)項(xiàng)為 ,系數(shù)為3/8,三階迎風(fēng)中下游節(jié)點(diǎn)項(xiàng)為 ,系數(shù)為2/6，F(xiàn)romm格式中下游節(jié)點(diǎn)項(xiàng)為 ,系數(shù)為1/4， 21i2, crcP831i3/8, crcP621i3, crcP41i4, crcP上述分析是在下列條

15、件下作出的：（1）一維；（2）線性問(wèn)題（，u，均為已知常數(shù)）；（3）無(wú)源項(xiàng)；（4）兩點(diǎn)邊值問(wèn)題；（5）均勻網(wǎng)格。5.7.6 對(duì)流項(xiàng)離散格式性能討論（1 1） 在滿足穩(wěn)定性條件的范圍內(nèi)，一般地說(shuō)，截差較高的格式解的準(zhǔn)確度要高一些； （2 2）采用非組合格式時(shí)，對(duì)流-擴(kuò)散方程差分格式的穩(wěn)定性與準(zhǔn)確性常常相互矛盾，準(zhǔn)確性比較高的格式，都不是無(wú)條件穩(wěn)定的，而假擴(kuò)散現(xiàn)象 相對(duì)嚴(yán)重的一階迎風(fēng)則是無(wú)條件穩(wěn)定的；（3 3）現(xiàn)有分析格式穩(wěn)定性的各種方法都基于5個(gè)假設(shè)，所得出的穩(wěn)定性條件是最苛刻的要求。5.8 多維對(duì)流-擴(kuò)散方程的離散及邊界條件 的處理 5.8.1 二維對(duì)流-擴(kuò)散方程的離散1直角坐標(biāo)系中的對(duì)流-擴(kuò)

16、散方程Syyxxvyuxt)()()()()(引入在x與y方向的對(duì)流-擴(kuò)散總通量密度，則上式變?yōu)椋杭碨yvyxuxt)()()(SyJxJtyx2.用控制容積積分法進(jìn)行離散對(duì)控制容積P作時(shí)間與空間的積分，假設(shè) 以 近似地替代 ； 在x與y方向上的總通量密度Jx, Jy在各自的界面e, w及n, s上是均勻的，于是有： tPP0)()(t )(wewxexwxnsexnswexJJyJJdyJJdxdyxJ )()(其中 分別代表x方向上在e界面及w界面上的轉(zhuǎn)移量，而 則是總面積y上的轉(zhuǎn)移量。 則可得：V為控制容積得體積， 。wxexJJ，0PPPCSSSSVSSJJJJVtPPCsnwePP)

17、()()()()(0yxVweJJ，35種三點(diǎn)格式的界面總通量表達(dá)式對(duì)Je :)()()()()()()(*eePeePeeEePeeeEePeeeePADPDPADDPAPPADPAPBDJJ即： 對(duì)Jw 即： NNPnNnEPeEeaFaJaFaJ)()(wwPewWwwwPwWwwwwPDPBDPBDDPAPBDJJ)()()()(*PSSSSsPwWWWwFaaJFaaJ)()(4五點(diǎn)格式的通用離散方程將Js, Jn, Je, Jw的表達(dá)式代入離散方程，得:其中baaaaaNNSSWWEEPP0 ,)()(0 ,)()(wwwwwWeeeeeEFPADPADaFPADPADatVcaV

18、SaaaaaaaVSbFPADPADaFPADPADaPPPPSNWEPPPCsssssSnnnnnN)(0 ,)()(0 ,)()(00005. 3種二維坐標(biāo)系中界面流量、擴(kuò)導(dǎo)及體積的計(jì)算式5.8.2 三維對(duì)流-擴(kuò)散方程的離散格式其中其中baaaaaaaBBTTNNSSWWEEPP0 ,)()(0 ,)()(0 ,)()(0 ,)()(sssssSnnnnnNwwwwwWeeeeeEFPADPADaFPADPADaFPADPADaFPADPADatVcaVSaaaaaaaVSbFPADPADaFPADPADaPPPPSNWEPPPCbbbbbBtttttT)(0 ,)()(0 ,)()(0000界面上的流量及擴(kuò)導(dǎo)的計(jì)算式： nnnnnwwwwweeeeey