第八章固體中熱傳導

1、1第八章 固體中的熱傳導Chapter 8 Conduction of Heat in Solids28.1 傅立葉導熱定律及導熱系數(shù)Fouriers Law and Thermal Conductivity of Materials 一、傅立葉導熱定律 (Fouriers Law) 傅立葉導熱定律是描述以導熱方式傳熱熱流密度的基本表達式。 傅立葉導熱定律是個實驗定律，即根據(jù)實驗規(guī)律總結(jié)出的一種定律。 在導熱傳熱中，將y方向上的導熱熱流密度(the rate of heat flow)寫為： (7-1) 上式為一維方向上的傅立葉導熱定律的形式。yTqy3 在三維空間中傅立葉導熱定律的表達式為：

2、 (1) 式中q熱流密度w/m2；導熱系數(shù)w/mk (7-1)式和(1)式表明：某方向上的導熱熱流密度與該方向上的溫度梯度成正比；負號表明傳熱方向與溫度梯度方向相反，即導熱熱流方向為溫度降低的方向；系數(shù)為導熱系數(shù)，它表明物體的導熱能力的大小，取決于導熱物質(zhì)的物理性質(zhì)，通常取溫度T變化。 =(T) w/m (1)式還表明物質(zhì)中某點P處最大導熱熱流的方向為P所在等溫面的法線方向。nTnTq4 由(1)還可知： 即導熱系數(shù)(thermal conductivity)在數(shù)值上等于物質(zhì)中在單位溫度梯度下產(chǎn)生的熱流密度。 在一定范圍內(nèi)，可以認為固體導熱系數(shù)是溫度的線性關(guān)系。 =a+bT a溫度為0時的導熱

3、系數(shù) b取決于物體本身的系數(shù)yTqy/5如改寫傅立葉定律： 式中： 導溫系數(shù)（熱擴散系數(shù) thermal diffusivity） pcT 溫度為T的物體的單位體積的熱焓量 導熱多， 熱量傳輸慢。ypcTycppcTq)()(cp6二、不同物理狀態(tài)下的物質(zhì)導熱系數(shù) Thermal Conductivity of Materials in Different States 1、固體的導熱系數(shù) Thermal Conductivity of Solids 固體的導熱能力主要取決于晶體晶格振波的傳遞能力，及自由電子的傳熱能力（對金屬、導電體）。 大多數(shù)固體的導熱能力主要由晶格的振動來導熱，大 多數(shù)金

4、屬也是如此，圖8-1給出了不同金屬的導熱系數(shù)隨溫度的變化曲線，可見大多數(shù)金屬的都是隨T (T 晶格節(jié)點分子/原子的振動能力增大，破壞了晶格的完整性，有礙于晶格波的傳播，所以 )。789造型材料的導熱系數(shù)Thermal conductivity of mould materials1011 2、氣體的導熱系數(shù)Thermal Conductivity of Gases 氣體中分子/原子之間的間距較大，氣體的導熱是氣體分子/原子的激烈熱運動和碰撞傳遞能量。 可見溫度T越高，氣體分子/原子的碰撞越頻繁，導熱能力越強，因而導熱系數(shù)越大。 T 氣 氣 與壓力無關(guān) T0=273K， 0為273K時的導熱系數(shù)

5、nTT)(0012 3、液體的導熱系數(shù) Thermal Conductivity of Liquids 人們目前對液體的結(jié)構(gòu)尚不十分清楚，還無法給出液體物質(zhì)導熱機制和能力大小的完整的數(shù)學描述。一般來講液體的導熱傳熱機制介于固體和氣體之間，由于液體屬于凝聚態(tài)物質(zhì)，即密度與固體相近，近程有序的晶格波振動傳輸對液體的導熱作用更大，近年來的研究也支持這一觀點。 如圖所示：Al固相導熱系數(shù)和液相導熱系數(shù)在熔點上有一間斷，突然下降，熔化使完整的晶格破壞為近程有序的晶格，晶格波傳遞能力下降。 131415 固體中的導熱規(guī)律及溫度的分布和變化的定量分析，對于冶金和材料熱加工工藝過程的控制具有很重要的意義。事實

6、上在熱處理和鍛造熱加工工藝中，熱傳導是工件內(nèi)部加熱和冷卻過程中的唯一傳熱方式，在焊接和鑄造工藝中焊件和鑄件凝固冷卻過程的熱量，均要通過工件的固相區(qū)中的純導熱方式散走。 即使在液相區(qū)中有金屬液對流傳熱方式，但液態(tài)金屬的導熱也起重要的作用，熱傳導是各種傳熱現(xiàn)象中最基本但最重要的傳熱方式。 因此，研究固體中的導熱傳熱，特別是導熱熱量傳輸率及對工件固相中的溫度分布形式的定量描述，對于掌握傳熱過程的分析原理及認識傳熱現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律都具有重要意義。168.2 導熱微分方程及傳熱邊界條件Energy Equation for Conduction and Boundary Conditions in Hea

7、t Transfer一、傳熱體系的熱能平衡關(guān)系式(Energy Balance) 建立定量描述某一體系中傳熱規(guī)律方程所基于的是傳熱體系的熱能守恒定律(即能量守恒原理)。 對于圖示意的一個傳熱系統(tǒng)，其熱能平衡(守恒)關(guān)系的文字表達為： 傳入體系的熱量從體系傳出的熱量體系的熱量增加量 Qin- Qout= Q 熱量輸入Qin熱量輸出QoutQ17 上述熱能守恒關(guān)系式對任何不穩(wěn)定傳熱系統(tǒng)(任何傳熱方式)都是成立的。 對于穩(wěn)定的傳熱體系，Q =0，則熱能守恒關(guān)系式為： Qin- Qout= 0 () 下面基于傳熱體系熱能平衡基本關(guān)系導出固相體系以導熱方式的基本導熱微分方程，也稱傅立葉導熱第二定律。18

8、二、導熱微分方程傅立葉導熱第二定律 General Differential Equation for Conduction 在以純導熱方式傳熱的三維物系中任意一點P處，取一邊長各為x, y, z的矩形六面微元體，如圖示： V= xy z 設：固體的導熱系數(shù)，密度p,比熱cp（均為常數(shù)，各向同性）； 體系中無熱源 微元體與環(huán)境的導熱熱流見圖19 對于三維不穩(wěn)定導熱熱能守恒， ()式可寫成： Q =Qin- Qout x + Qin- Qout y + Qin- Qout z 其中： 1、增量Q =xyz(pCpT)t+ t(pCpT)t 2、x方向傳入、傳出熱量的凈差值：（入為正，出為負） Q

9、in- Qout x = yzt (qx- qx+ x) 3、y方向傳入、傳出熱量的凈差值： Qin- Qout y = xzt (qy- qy+ y) 4、z方向傳入、傳出熱量的凈差值： Qin- Qout z = xyt (qz- qz+ z)20 將以上各項代入()式，兩邊同時除以xyz t，得： 取極限t,x,y,z0，得：zqqyqqxqqtTpcTpczzzyyyxxxtpttp)()(zqyqxqtTpczyxp21 因是純導熱問題，qx, qy, qz可用傅立葉定律表示： 將x, y, z三方向上的傅立葉第一導熱定律式代入上式，得到描述三維不穩(wěn)定導熱的微分方程： (1) 或zT

10、qyTqxTqzyx)()()()(zTzyTyxTxtTpcp)()(TtTpcp22 當 p, cp和均設為常數(shù)時，以上方程為： (2) 或： 式中： =/pcp 稱為導熱物質(zhì)的“熱擴散系數(shù)”m2/s (1)式或(2)式，稱為導熱微分方程（傅立葉導熱第二定律）,（是T有關(guān)t, x, y, z的拋物型二階段偏微分方程）)(222222zTyTxTtTTtT223 柱坐標及球坐標 Cylindrical and Spherical Coordinates 圓柱坐標:球坐標:當穩(wěn)定導熱(Steady State Conduction)時:帶熱源的方程（見書上P146： 8-11, 8-13, 8

11、-14）)11(2222222zTQTrrTrrTtTsin1)(sinsin1)(1222222QTrTrrTrrtT0222222zTyTxT24三、三類基本傳熱邊界條件Three Types of Boundary Conditions 應用(1)式或(2)定量描述導熱物體溫度場分布時，還需要具體的問題“初始條件”：如T0=f (t=0, x, y, z) (I. C.)和“邊界條件”(B.C.)，才能構(gòu)成對具體導熱問題定解方程組。 傳熱物質(zhì)體系與環(huán)境之間的傳熱邊界條件，可分為以下三種基本類型： (1)第一類邊界條件(Boundary Condition Type I ) 邊界上的溫度已

12、知，即T |=Tb (t, x, y, z) (x, y, z) 當T | =0時，稱為齊次第一類邊界條件25(2)第二類邊界條件(Boundary Condition Type II) 邊界上法線方向上的溫度已知，即熱流密度q |已知 即： (x, y, z) 當 時，稱為齊次第二類邊界條件 如在對稱的導熱物體的對稱面(線)，即是如此，它代表了絕對面),(zyxtfnT0nT00nqnT26 (3)第三類邊界條件(Boundary Condition Type III ) 邊界上一點的溫度與該點溫度處法向?qū)?shù)的線性之和是已知的， 即： (x, y, z) 上式第三類邊界條件表達式的物理意義是

13、固體在表面上的導熱熱流通量通過對流換熱方式傳給溫度為T=f (t, x, y, z)/ h 的流體環(huán)境中，即 當 時，稱為齊次第三類邊界條件 其物理意義是邊界熱流以對流方式傳給溫度為零的流體環(huán)境中。),(zyxtfThnTk)(TThnTk0hiTnTk27注：上述三類邊界條件與溫度的關(guān)系都是線性的。 當邊界為輻射傳熱時，邊界條件是非線性的。如：)(44TTnTk),(4zyxtfBTnTA288.3 一維穩(wěn)定導熱Steady State One-Dimensional Systems一、穩(wěn)定導熱方程(Steady State Equation for Conduction) 在穩(wěn)定導熱情況下

14、，導熱物體內(nèi)部的溫度場不隨時間變化，即：T=T (x, y, z)。 此時物體內(nèi)部任意一點均有 ，也就是說在穩(wěn)定導熱物體中任何位置都沒有熱能的積蓄(此時，由()式知：導入某體系的熱能量與導出的熱量相等)。 描述物體中穩(wěn)定導熱方程，可由導熱微分方程(2)式， 令 ，簡化后，直接得到，即： 2T=0，或0tT0222222zTyTxT0tT29二、無限大平壁導熱 Infinite Flat Plate1、單層無限大平壁導熱(Single Layer Wall)30 邊界條件：x=0, T=T1 和 x= , T=T2 積分上式： dT= C1dx T=C1x+C2 代入邊界條件，得平壁內(nèi)溫度分布表

15、達式： T1= C2 T2=C1 + C2 或 即大平壁內(nèi)穩(wěn)定導熱時，其中溫度呈線性分布。1CdxdT121TTC112TxTTTxTTTT12131 比較歐姆定律： REE21RtTTQ21FRtE1E1RI322、多層無限大平壁導熱 Series Composite Wall 由多層不同材料組成的多層平壁如圖8-6所示，在穩(wěn)定導熱情況下，經(jīng)過各層平壁的熱流量Q都是相同的，根據(jù)單層導熱的熱流量表達式(8-17)，可以求得各層的熱流量表達式：333435三、熱阻的概念 Thermal Resistance (8-17)式表示的大平壁中的導熱傳熱熱流量Q與平壁兩表面溫差(T1-T2)及/F項的函

16、數(shù)關(guān)系可與一個描述簡單電路中，（如圖）電流與電壓關(guān)系的歐姆定律相類比： 即在電勢差E1-E2作用下，通過電阻R的電流I為： 歐姆定律： 歐姆定律式中的電流I項通過平壁的傳熱量Q 電勢差E1-E2 平壁兩表面上溫差(T1-T2) 電阻R /F項REE21E1E1RI36 稱/F為熱阻，記為：這可得下式： 可見(8-17)式與歐姆定律式具有相同的形式。在歐姆定律中電阻R是對電流的一種阻力，而在(8-17)中Rt對在溫差(T1-T2)驅(qū)動下的熱流Q也是一種阻力，在電阻式中： ：增加了傳熱距離整塊平壁的熱阻Rt ：平壁的導熱能力下降整塊平壁的熱阻Rt F ：平壁導熱總面積減小，導熱能力下降整塊平壁的熱

17、阻Rt ) 178(21RtTTQFRt37n熱阻的概念在計算通過多層不同材料(不同)組成的復合，熱傳導體系的導熱熱流量是十分方便的。n不同傳熱方式的熱阻可具有不同的表達形式，歐姆定律式是針對平壁導熱的熱阻。n固體壁表面與流體間進行以對流換熱方式傳熱時，牛頓對流換熱式：Q=Ah (Ts-T) 也可等效為： 的形式 溫差(Ts-T)產(chǎn)生熱流q的驅(qū)動力 熱阻Rt=1/(hA) (為h的倒數(shù)，h對流換熱系數(shù)) Rt=1/(hA) 稱為對流的傳熱熱阻， h，Rt ； q (Ts-T)不變)n串聯(lián)熱阻：R=R1+R2+R3+R4 并聯(lián)熱阻：RtTTQs432111111RRRRR38四、多層平板的穩(wěn)定導

18、熱 Series Composite Wall with Convection Boundaries 設有一個由三種不同材料板疊成三層復合板，如圖示這三種材料的導熱系數(shù)分別為1, 2 , 3 ，厚度分別為L1, L2, L3，復合板的面積為A。另一方面，復合板的左側(cè)和右側(cè)分別與溫度為T1和T2的流體對流換熱(穩(wěn)定的)。 求：由溫度為T1的流體通過面積為A的復合板傳到溫度為T2的流體中的熱流量Q。u解：對于這樣一種由多層材料穩(wěn)定熱傳導，并通過板兩側(cè)對流換熱，將熱量從左流體傳到右流體的熱流量計算，可分別在各個傳熱環(huán)節(jié)上列傳熱熱流計算式。39 首先需要設板的左側(cè)外表面溫度，板1與板2的界面溫度，板2

19、與板3的界面溫度及右側(cè)外表面的溫度分別為T1, T2, T3,和T4 ，都為未知溫度： 左側(cè)表面對流換熱環(huán)節(jié)：Q1=h1A (T1- T1) (1) 板1內(nèi)的導熱環(huán)節(jié)： 板2內(nèi)的導熱環(huán)節(jié)： 板3內(nèi)的導熱環(huán)節(jié)： 左側(cè)表面對流換熱環(huán)節(jié)：Q5=h2A (T4- T2) (5)(2) )(21112TTLAQ(3) )(32223TTLAQ(4) )(43334TTLAQ40 由熱能守恒原理，上述五個傳熱環(huán)節(jié)是串聯(lián)關(guān)系，熱流量均相等，即：Q1= Q2= Q3= Q4= Q5=Q 由(1)-(5)式，得：T1- T1= Q / h1A (1) T1- T2= Q / (A 1/L1) (2) T2- T

20、3= Q / (A 2/L2) (3) T3- T4= Q / (A 3/L3) (4) T4- T2 = Q / h2A (5) (1)+ (2)+ (3)+ (4)+ (5)，得： )11(2332211121AhALALALAhQTT)11()(2332211121AhALALALAhTTQ41 利用熱阻的概念，與串聯(lián)電路類比，則可方便地解出傳熱熱量Q。 根據(jù)串聯(lián)電路求電流的計算原理如圖示，其中： R1=1 / (h1A ) R2= L1 / (1 A ) R3= L2 / (2 A ) R4= L3 / (3 A ) R5=1 / (h2A ) 將復合材料板及兩側(cè)對流傳熱，系統(tǒng)的總的傳

21、熱熱流量可方便的解出為：)11()(2332211121AhALALALAhTTQ R1 R2 R3 R4 R5T 1 T2 T1 T2 T3 T4 42五、單層組合平壁Single Layer Composite Wall43與電阻并聯(lián)有一致的形式所以式中總電阻其值由兩個熱阻并聯(lián)得到。18)-(8 )()(212121212112122122112121RTTRRRRTTRRRTTRTTRTTRTTQQQ21111RRR44六、無限長圓筒壁導熱 Infinite Cylindrical Wall 設有一無限長圓筒，可看作一維導熱，筒內(nèi)外表面的溫度分別為T1和T2 (T1 T2)，并保持不變，

22、圓筒內(nèi)外半徑分別為 r1和 r2，圖8-7所示。由(8-13)式得到： 面積 T = C1lnr+C20)(drdTrdrd1CdrdTr0)(drdTrdrd45 邊界條件： 將上式積分得： 由式(8-23)，在無限長圓筒內(nèi)，溫度分布是半徑的對數(shù)函數(shù)。1212112222121111lnlnC ,rrlnC ,rrr-TTTTTrr-TTTTrr時，時，23)-(8 ln)ln(112211rrrrTTTT46l注意：在穩(wěn)定條件下，通過圓筒壁的熱流量 Q 是個常量，而熱流密度 qr 是個與導熱面積 r 有關(guān)的變量。 r 越大， qr 越小。47在工程上，為了簡化計算，對于直徑較大而厚度較薄的

23、圓筒壁可以作為平壁處理，采用下式計算熱流量： 48 對兩側(cè)有不同溫度的流體進行換熱49n對于由不同材料組合成的多層圓筒，其壁內(nèi)溫度分布是由各層內(nèi)溫度分布對數(shù)曲線所組成，圖8-8所示。按照串聯(lián)熱阻疊加特性，可得長度為L多層圓筒導熱熱流量計算式：n對于多層圓筒，表面有換熱情況下： (8-29)288( )ln(211111niiiinrrLTTQ505152七、球殼壁導熱 Spherical Wall積分上式：帶入邊界條件： )318( 2112 CrC TCdrdTr(2) 2) 1 ( 2212111CrCTCrCT53式(1)-(2), 得： 33)-(8 )11(41)( 1 )(r-rr

24、rr4-rF-)328()328( )(11(r-rrr)318(C ,C)()11/()(2121221212122112121121212211111212211112121rrTTrTTTQ- - TTrrTTrrrTTTrCTCrrTTCrCrCTT過球殼壁的熱流量：代入傅立葉定律，得通將分布：式中，得球殼壁內(nèi)溫度代入將5455八、接觸熱阻Interfacial Thermal Resistance565758間隙熱阻包括氣體層熱阻和涂料層熱阻兩部分：式中g(shù), g氣體層的厚度及導熱系數(shù) c, c涂料層的厚度及導熱系數(shù)可用一個綜合換熱系數(shù) h 表示間隙傳熱特性：h 并不是一個物性值，其值

25、隨條件不同而變化。ccggcgRRR)/(1ccggccgghThTRTq598.4 二維穩(wěn)定導熱的分析解法 Steady State, Two-Dimensional Heat Flow60半無限大平板穩(wěn)定導熱分析解法Semi-Infinite Plate6162636465668.5 不穩(wěn)定導熱Unsteady State Heat Conduction一、不穩(wěn)定導熱的基本概念 Basic Concepts for Unsteady State Heat Conduction 穩(wěn)定導熱時，物體內(nèi)部熱焓值保持不變，由高溫面流入，低溫面流出（相等）。 在不穩(wěn)定導熱狀態(tài)下，單位時間所傳遞的熱量Q

26、 不是常數(shù)，而是時間的函數(shù)。 不穩(wěn)定導熱時，物體內(nèi)能 T 的變化速度它的導熱能力（即導熱系數(shù)）成正比，與它的蓄熱能力（單位容積熱容量Cp）成反比，故在不穩(wěn)定狀態(tài)下的熱過程速度取決于熱擴散系數(shù)： Cp6768物體在加熱或冷卻時，其溫度場的變化可分為三個階段：(1) 過程開始階段：溫度場一層一層地逐漸從表面深入內(nèi)部，物體內(nèi)各點溫度變化均不相同溫度場初始溫度影響較大。(2) 正常情況階段：此時，物體內(nèi)各點的溫 度變化速率具有一定的規(guī)律。一般認為此時過余溫度 T- T 的自然對數(shù)值隨時間 t 呈直線變化 (圖8-18)，即： 44)-(8 lnlnmtCmt69上式中：m為一正數(shù)，對物體內(nèi)部任一點來說

27、，m都保持為恒定。它表明物體加熱速度（或冷卻速度）的大小，稱為加熱率（或冷卻率）。(3) 新的穩(wěn)定階段：重新達到熱平衡階段，理論上需要經(jīng)歷無限長時間 t = ，建立穩(wěn)定導熱平衡。求解不穩(wěn)定導熱的目的就是找出溫度及熱流量隨時間變化的規(guī)律：求得物體達到預定的溫度所需要的時間；或者經(jīng)歷一定時間后，物體所能達到的溫度。求得物體的溫度場后，可以用傅立葉定律來確定熱流量變化規(guī)律。v求解不穩(wěn)定導熱有以下幾種解法： 1、數(shù)學解析法；2、數(shù)值法； 3、圖解法； 4、實驗法。70二、第一類邊界條件下的一維不穩(wěn)定導熱One-Dimensional Transient Heat Conduction with B.C

28、. Type I 圖(8-21)所示為平面厚度方向( x方向)板內(nèi) T 溫度隨時間 t 的分布情況。導熱方程為： 初始條件：t = 0, T = T0； 邊界條件：x= 0, T = Ts； ( t 0時) x= , T = T0 由數(shù)學解析法求得： T = Ts + (T0 - Ts) erf () 式中erf ()為高斯誤差函數(shù)22xTtT71 可根據(jù) 的值查表，書上附錄4 (p361)高斯誤差函數(shù)表。 半無限大平板溫度場表達式： 由此可計算在給定時間及深度 x處的溫度，也可計算在x處到達某一溫度所需的時間。 圖8-22為式(8-58)的圖解1)( , 0)( 0)exp(2)2()(20

29、2erfxerfxdtxerferftxtx258)-(8 )2(0txerfTTTTs72 利用(8-58)式及傅立葉定律可以求出通過平板受熱表面(x=0)處的熱流密度：73三、第三類邊界條件下的一維不穩(wěn)定導熱 One-Dimensional Transient Heat Conduction with B.C. Type III74 在講到三類基本傳熱邊界條件時，曾提到相應的齊次邊界條件。具有齊次形式的邊界條件，能使定解導熱方程組求解簡單，上述中引入了相對溫度的概念，相對溫度也稱為；“過余溫度”。 引入過余溫度 = T - T，將邊界條件化為齊次，即： (3) 式 (4) 式分別為齊次第二類和齊次第三類邊界條件。(4) 0 0(3) 0 0(2) , 0 ), 0( (1) , 0 , 0 00022thxtxxTTxtxtxtxxx75 采用分離變量法求解上述齊次邊界條件的定解一維不穩(wěn)定導熱方程。取相對溫度（t 和x 的函數(shù)） 為兩個分別只與